第九章欧氏空间习题
一、填空题
1．设V 是一个欧氏空间，V ξ∈，若对任意V η∈，都有(,)0ξη=，则______ξ=。
2．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是12(,,,)n x x x L ，那么(,)____i ξη=，||____ξ=。
3．若33()ij A a ?=是一个正交矩阵，则方程组111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=??++=??++=?的解
为 。
4.已知三维欧式空间中有一组基123(,,)a a a ，其度量矩阵为110120003A -?? ?=- ? ???
，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5.设中的内积为(,)'A αβαβ=，2112A ??= ???
则在此内积之下的度量矩阵为 。
6．设1(0,1,1)α=-，2(2,1,2)α=-，12k βαα=+，若β与2α正交，则k = 。
7．若欧氏空间V 在某组基下的度量矩阵为200031011?? ? ? ???
，某向量在此组基下的坐标为(1,1,1),则它的长度为 ，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,1,1)-的夹角为 。
8．在欧氏空间中，若,αβ线性相关，且2,3αβ==，则(,)αβ 。
9．11010002A k k ?? ?= ? ?-??
是度量阵，则k 必须满足条件______________。 10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 。
11. 在欧氏空间3
R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ=___________， α=___________。
12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。
13. 已知A 是一个正交矩阵，那么1A -=__________，2
A ＝__________。 V 2?
14. 已知A 为n 阶正交阵，且0A <，则A = 。
15. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。
16.设()()1,1,0,0',1,0,0,1'X Y ==，则X 与Y 的夹角=θ 。
17.在n 维欧氏空间V 中，n 级矩阵A 是V 某个基的度量矩阵的充要条件是 。
二、判断题
1．在实线性空间2R 中，对向量12(,)x x α=，12(,)y y β=，定义1122(,)1x y x y αβ=++，那么2R 构成欧氏空间 （ ）
2．在实线性空间n R 中，对于向量12(,,,)n a a a α=L ，12(,,,)n b b b β=L ，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧氏空间。 （ ）
3．12,,,n εεεL 是欧氏空间V 的一组基，对于V 中任意向量,αβ，均有1122(,)n n x y x y x y αβ=+++L ，（12(,,,)n x x x L ，12(,,,)n y y y L 分别是在此基下的坐标）），则此基必为标准正交基。 （ ）
4．欧氏空间3
R 中的线性变换可以将椭圆映射成圆。 （ ）
5．V 与W 均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。 ( )
6．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，αβ=，则αβ+与αβ-正交。（） 7．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。（ ）
8．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。 （ ）
9．欧氏空间n
R 中，()(2,2)x y x y x y σ+=+-为对称变换。 （ ） 10．σ是欧氏空间V 的线性变换，V 中向量,αβ的夹角为2π，而,σασβ的夹角为3
π，则σ不是V 的正交变换。 （ ）
11.12,,,n εεεL 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij
n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A
是正定矩阵。( )
12. 欧氏空间n R 中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）
13. 若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）
14. 正交矩阵的行列式等于1 （ ）
15. 欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
16. 设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。（ ）
17. 在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0α=。( )
18. 设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 任意基下的矩阵是正交矩阵。( )
19. 设12,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间且12V V V =+，则12V V V =⊕。( )
20. 实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。( )
三．选择题
1．关于欧几里得空间，下列说法正确的是 （ ）
(A)任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；
(B)欧几里得空间未必是线性空间；
(C)欧几里得空间必为实数域上的线性空间；
(D)欧几里得空间可以为有理数域上的线性空间。
2． 设,αβ是相互正交的n 维实向量，则下列各式中错误的是 （ ）
（A ）222αβ
αβ+=+ （B ） αβαβ+=- (C) 222αβαβ-=+ （D ）αβαβ+=+
3． 对于n 阶实对称矩阵A ，以下结论正确的是 （ ）
（A ）一定有n 个不同的特征根；（B ）存在正交矩阵P ，使'P AP 成对角形；
（C ）它的特征根一定是整数；（D ）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
4．设σ是n 维欧氏空间V 的对称变换，则 （ ）
（A ）σ只有一组n 个两两正交的特征向量； （B ）σ的特征向量彼此正交；
（C ）σ有n 个两两正交的特征向量；
（D ）σ有n 个两两正交的特征向量σ?有n 个不同的特征根。
5．12(,,,)n a a a α=L ，12(,,,)n b b b β=L ，定义：111222(,)n n n k a b k a b k a b αβ=+++L ，则满足下列何中情况可使n
R 作成欧氏空间 （ ）
（A ）120n k k k ====L ； （B ）12,,,n k k k L 是全不为零的实数；
（C ）12,,,n k k k L 都是大于零的实数； （D ）12,,,n k k k L 全是不小于零的实数 6．123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，M 为三阶实方阵，定义(,)'M αβαβ=，下列可使定义作为3R 的内积的矩阵是 （ ） （A ）012313120M -?? ?=- ? ???； （B ）111310102M -?? ?= ? ???
；
（C ）200010003M ?? ?= ? ???； （D ）702041213M ?? ?= ? ???
.
AP P '
7．若欧氏空间3R 的线性变换σ关于3R 的一个标准正交基矩阵为100000001A ?? ?= ? ?-??
，则下
列正确的是 （ ）
（A ）σ是对称变换； （B ）σ是对称变换且是正交变换；
（C ）σ不是对称变换； （D ）σ是正交变换。
8．若σ是n 维欧氏空间的一个对称变换，则下列成立的选项是 （ ）
（A ）σ关于V 的仅一个标准正交基的矩阵是对称矩阵；
（B ）σ关于V 的任意基的矩阵都是对称矩阵；
（C ）σ关于V 的任意标准正交基的矩阵都是对称矩阵；
（D ）σ关于V 的非标准正交基的矩阵一定不是对称矩阵。
9．若σ是n 维欧氏空间V 的对称变换，则有 （ ）
（A ）σ一定有n 个两两不等的特征根； （B ）σ一定有n 个特征根（重根按重数算）；
（C ）σ的特征根的个数n <； （D ）σ无特征根。
10．1
212223434,a a b b R a a b b αβ??????==∈ ? ?????
，如下定义实数(,)αβ中做成22R ?内积的是（） （A ）11(,)a b αβ=； （B ）11223344(,)a b a b a b a b αβ=+++；
（C ）1344(,)a a a b αβ=+； （D ）11223344(,)234a b a b a b a b αβ=+++.
11. 若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ的不变子空间。
.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的
12. 设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（ ）
.A 若(,)(,)αβαγβγ=?=； .B 若αβαβ=?=；
.C 若(,)11ααα=?=； D.若0αβαβαβ-+=?=(,)||||。
13. 欧氏空间3
R 中的标准正交基是（ ） .
A
；；(0,1,0)； .B 11(,,0)22；11(,,0)22-；(0,0,1) .
C
；；(0,0,0)； D. (1,1,1)-；(1,1,1)-；(1,1,1)-。 14. 设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的必要非充分条件是（ ）
.A σ保持非零向量的夹角； .B σ保持内积；
V
.C σ保持向量的长度； D. σ把标准正交基映射为标准正交基。
15. A 为n 阶正交方阵，则
.A A 为可逆矩阵 B. 秩()A 1= C. 0=A D.1=A
16. 下列说法正确的是( )
A. 实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量必正交;
B. 实对称矩阵A 的属于相同特征值的特征向量必不正交;
C. 实对称矩阵A 的所有特征向量都正交;
D. 以上都不对。
17. (1)n ≥维欧氏空间的标准正交基( ).
A. 不存在
B. 存在不唯一;
C. 存在且唯一;
D. 不一定存在。
18. 若??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛM O M M ΛΛ212222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A)''AA A A E == (B)1=A
(C)222
111211n a a a +++=L (D)021********=+++n n a a a a a a Λ。
四、计算题 1．已知220212020A ?? ?=-- ? ?-??
。求正交矩阵T ，使'T AT 成对角形。
2．已知二次型222123121323()222f t x x x x x x x x x =++++-，问
（1）t 为何值时二次型f 是正定的？
（2）取1t =，用正交线性替换化二次型f 为标准形。
3．已知二次型22212312232324f x ax x bx x x x =++++，通过正交变换化为标准形
f =y 12+2y 22+5y 32，求,a b 及所用的正交变换的矩阵。4．设A 为三阶实对称矩阵，其特征值λ1= -1, λ2=λ3=1，已知属于λ1的特征向量α1=(0,1,1)，求 A 。
5．在[0,2π]上所有连续函数的全体构成的欧氏空间中，判断：对任意正整数n ，集合 {cos(),sin()|1,2,,}jx jx j n =L
是否正交向量组。
6．欧氏空间2R 中，定义内积112212211212((,),(,))22x y x y x x x y x y y y =--+，求其在
'
基（1，0），（0，1）下的度量阵。并求一组基，使得在此基下的矩阵为对角阵，且在此基下所有向量的长度不变。说明为什么对角阵不是单位矩阵。
7．将二次曲面222
322240x y z xy xy yz +++++-=通过正交变换和平移变成标准形式。
8．设欧氏空间3R 的线性变换σ为(,,)(24,222,42)x y z x y z x y z x y z σ=++-+++问：σ是否为3R 的对称变换？若是，求出3R 的一个标准正交基，使σ在这个基下的矩阵为对角形矩阵。
9. 把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基。
10. 设123,,εεε为V 的基，且线性变换A 在此基下的矩阵为 111111111A ?? ?= ? ???
（1）求A 的特征值与特征向量；
（2）A 是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T 使得1T AT -为对角形．
五、证明题
1．设，为同级的正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=．
2．设σ是欧氏空间3
R 的线性变换，且
证明：σ是3R 的对称变换。
3．证明：n 维欧氏空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射:'V V σ→，并且,V αβ?∈有(,)(,)αβσασβ=．
4．设12,,,m αααL 与12,,,m βββL 为欧氏空间V 的两组向量。证明:如果
(,)(,)i j i j ααββ=，,1,2,,i j m =L ,
则子空间112(,,,)m V L ααα=L 112(,,,)m V L βββ=L 与同构。
5．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量,ξη,以下等式成立: (1)222222ξηξηξη++-=+；(2)2211(,)44ξηξηξη=
+-- 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
6.设,στ为欧氏空间V 的两个对称变换。证明: σττσ+也是V 的对称变换。
A B )2,2,(),,(3213231321x x x x x x x x x x +--+=σ
7．证明：实系数线性方程组1n ij j i j a
x b ==∑，1,2,,i n =L 有解的充分且必要条件是向量
12(,,,)n
n b b b R β=∈L 与齐次线性方程组1
0n ij j j a x ==∑，1,2,,i n =L 的解空间正交。 8．设为实对称矩阵，证明：当实数t 充分大后，tE A +是正定矩阵。
9．设12,,,m αααL 与12,,,m βββL 是n 维欧氏空间V 的两组向量，证明：存在正交变换σ，使得()i i σαβ=，(1,2,,i m =L )成立的充分必要条件是(,)(,)i j i j ααββ=，,1,2,,i j m =L 。
A