解析几何公式大全一份付出一分耕耘
圆锥曲线知识考点
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2180＜α≤0(tan x x y y --==）
α 2、直线方程：
⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点)
,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121
121
y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ：
1x y a b
+= ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B
A
k -
=，y 轴截距为B
C -） (6)k 不存在⇔a x b a x o
=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α
3、直线之间的关系：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=
⑴
平行：{
⇔
⇔≠=2121212
1//b b k k k k l l 且都不存在
，
2
1
2121C C B B A A ≠=
⑵
垂直：{
⇔⇔
⊥-=⇔-==2
1212111.0
21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A
⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：
0=++m By Ax
⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：
0=++n Ay Bx
⑸定点(交点)系方程：过两条直线
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：
0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ
反之直线0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一
切实数R ，则直线一定过定点),
(0
0y x ，即
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点
),(0
y x
4、距离公式： （1）两点间距离公式：
两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=
（2）点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2
2
00B
A C
By Ax d +++=
（3）两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程 1、圆的方程：
⑴标准方程：()()22
2
r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D ) 其中圆心为(,)22
D E -
-，半径为r =
2、直线与圆的位置关系
点),(0
0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
2
2
2
22
2
2
2
2
)()()(r
b y a x r b y a x r
b y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .
切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+ 圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+-- （2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y
y -=-，并利用d=r 求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】
④弦长公式：222||d r AB -==3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线
三、圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()2
2
2210x y a b a b
+=>> ()2
2
2210y x
a b a b
+=>> 第一定义 到两定点21F F 、
的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(01)MF
e e d
=<< 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 222122()F F c c a b ==-
离心率 222222
2
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程 2a x c
=±
2
a y c
=±
焦半径 0,0()M x y 左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-
下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-
焦点三角形面积
12212tan
()
2
MF F S b F MF θ
θ∆==∠0
2
1
s 2
1
y c in PF PF •=••=θ 通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： a
b 2
2
2．双曲线
焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
2210,0x y a b a b
-=>> ()22
2210,0y x a b a b
-=>> 第一定义
到两定点21F F 、
的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(1)MF
e e d
=> 范围 或x a ≤-x a ≥，y R ∈
y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A
()10,a A -、()20,a A
轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 222122()F F c c a b ==+
离心率 2
222
2
22
1(1)c c a b b e e a a a a
+==
==+>
准线方程 2a x c
=±
2
a y c
=±
渐近线方 程
b y x a
=±
a y x b
=±
焦半径
0,0()M x y M 在右支1020MF ex a
MF ex a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩左焦：
右焦：
M 在左支
1020MF ex a MF ex a ⎧=--⎪⎨
=-+⎪⎩左焦：右焦：
M 上支1020MF ey a
MF ey a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩左焦：
右焦：
M 下支1020MF ey a
MF ey a ⎧=--⎪⎨
=-+⎪⎩左焦：右焦：
焦点三角形面积 12212cot
()
2
MF F S b F MF θ
θ∆==∠0
2
1
s 2
1
y c in PF PF •=••=θ 通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：a
b 2
2
【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：
由双曲线求渐进线：
x a b y a x b y a
x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-2
2222222222201 由渐进线求双曲线：
λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=22
22222222220b
y a x b y a x a x b y a x b y x a b y
2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝
2⇔渐近线x ±=y
⇔方程设为λ=-2
2
y x
2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式
） （消 ） （消x y y y y k y y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||1
1]4))[(1(1212
212
212
212212212-++
=-+
=
-++=-+=
3.抛物线图形
五、.直线与圆锥曲线的关系
1、直线与圆锥曲线的关系
如：直线y＝kx＋b与椭圆x2
a2+
y2
b2＝1 (
a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相交?⎩
⎪⎨⎪
⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.
直线与椭圆相切?⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，
直线与椭圆相离⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：
把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；
020
2y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）
3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、
，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ
=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；
⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2
π
；⑸
112.||||FA FB P +=
解析几何常用公式(景斌汇编) (内部资料仅限东方之子学校学生使用) 1、倾斜角(0180θ?≤
初中：平面解析几何必备公式 （文/李文龙） 初三的同学们现在应该学习二次函数了吧。再此之前你必须把平面解析几何的一些常识和公式弄清楚。 本文将从我们熟知的定理出发，通过一系列证明，最后得出好用的结论。记住这些结论，从初三到高三你就可以自由的畅游在坐标系中，游刃有余。 以下内容有的很基础，有的则需借助高中知识，对于学生学习水平的要求也不一样，我以精英班★★★，目标班★★和提高班★为要求，每一部分后面会有能力等级的标注。学习★是考试必备的技能，学习★★能让你做题更快，学习★★★可以让你做题方法增多。文章较长，因此建议先收藏再慢慢学 目录 （一）两点之间 1、求距离★ 2、取中点★ 3、算斜率★★ 4、速求解析式★★ 5、构造圆★★★
（二）点线之间 1、距离公式 ① 利用圆方程★★★ ② 利用斜率关系★★ ③ 利用相似★★ （三）两线之间 1、平行★★★ 2、垂直★★ （一）两点之间 在坐标系下给出两个已知的定点可以算出那些东西呢？以下结论不要错过！ 1，求距离★ 如下图坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）， 求线段AB的长度 我们分别作水平和竖直线如下图所示， 可以得到Rt△ABC，其中C（x2,y1）， 这样AC的长为丨x2-x1丨 由于不知道x2和x1谁大，线段长度为正，因此需要加绝对值。 同理BC长为丨y2-y1丨。
根据勾股定理可知 举例：A（2,1），B（-2，4）则 这样就免去画图了，一步出答案。因此必须记住这个公式。 2，取中点★ 坐标系中有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），求AB 中点C的坐标 若A和B在x轴同侧，如下图，则y1和y2都大于零 我们向横轴作垂线，AD=y1，BF=y2， 四边形ADFB是直角梯形， CE是中位线，y=CE=（y1+y2）/2， 同理都向纵轴作做垂线，可得x=（x1+x2）/2 若A和B在x轴两侧，如图，y1＜0，y2＞0 我们作水平和竖直辅助线如下图：BN=y2-y1， CM为△ABN中位线，CM=（y2-y1）/2。 而EM=-y1 则y=CE=（y2-y1）/2-（-y1）=（y1+y2）/2。 同理x=（x1+x2）/2
解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若 A （x 1，y 1), B （X 2，y 2)，则 AB=J(X 2 — X i ）2 +(y 2 — yj 2 2、平行线间距离：若 l 1 : AX By C^ 0, 12 : AX By C 0 注意点：X ，y 对应项系数应相等。 则P 到—S B J 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 丿 y 一 kX + b J z (x ，y) =0 消y ： ax 2 ? bx ? c = 0 ，务必注意 厶? 0. 若l 与曲线交于A （x 1, y 1）， B （X 2 ， y 2） 贝 V ： AB = (1一k 2）（x2=xj 2 5、若A （X 1,y 1）， B （X 2,y 2） , P （X ， y )。P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为入, X I HL X 2 1 ■ W 丁2 1 ■ X 2 -X y 2 一 y 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为 二很三（0，二) 则: C I - C 2 ..A 2 B 2 3、点到直线的距离: P(X , y ), l: AXByC=O ,特别地: 变形后: X-X l y 一 y 1 '=1时，P 为AB 中点且 X 1 X 2 2 y 「y 2 2 或
适用范围：k ι, k 2都存在且k ιk 2= — 1 ， 若I i 与12的夹角为R 则tan ， =k1 ^ k 2 ， —（0,上] 1 + k 1k 2 2 I I JmnJnJ 注意:(1） ∣1到∣2的角，指从∣1按逆时针方向旋转到∣2所成的角,范围（0，二） ∣1到∣2的夹角：指 丨1、∣2相交所成的锐角或直角. （2）∣1 _12时，夹角、到角 =—。 tan _ 1 + k k
解析几何基础知识
5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)?两圆内含 6.椭圆 一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点. 定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。 2．椭圆的方程 (1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． (2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 二、椭圆的简单几何性质(a 2＝b 2＋c 2) 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 图 形 性 质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 性 质 轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1) a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2
8．抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程()022 >=p px y 叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2 p ,0），它的准线方程是2p x -= ； （2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22 -=，py x 22 =，py x 22 -=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）] 标准方程 22(0) y px p => 22(0) y px p =-> 22(0)x py p => 22(0) x py p =-> 图形 焦点坐标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2 p - 准线方程 2 p x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e = 1e = 1e = 1e = 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。 2.焦点弦(以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例) 设AB 是过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝x 1＋x 2＋p ；|AB |min ＝2p ；x 1·x 2＝p 2 4；y 1·y 2＝－p ；|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p 2. o F x y l o x y F l x y o F l
解析几何中的基本公式 解析几何是高中数学中的一门重要学科，它研究几何图形的坐标表示方法和相关性质。在解析几何中，使用了一系列经典的基本公式，本文将对这些公式进行详细解析。 一、两点间距离公式 在解析几何中，经常需要计算两点之间的距离。对于平面直角坐标系中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，它们之间的距离可以用以下公式表示： $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ 其中 $d$ 表示两点之间的距离。 这个公式的计算方法非常简单，只需要将两点横、纵坐标的差值平方相加，再开方即可。 二、两点间中点公式
在解析几何中，还需要计算两点间的中点。对于平面直角坐标系中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，它们的中点可以用以下公式表示： $$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$ 这个公式的计算方法也非常简单，只需要将两点横、纵坐标分别求出平均值，即可得到中点的坐标。 三、点到直线距离公式 在解析几何中，还需要计算一个点到一条直线的距离。对于一条直线 $ax+by+c=0$ 和一个点 $P(x_0,y_0)$，它们之间的距离可以用以下公式表示： $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 其中 $d$ 表示点 $P$ 到直线的距离。
这个公式的计算方法稍微有些复杂，但是可以通过向量的方法 来简化计算。 四、直线的斜截式方程公式 在解析几何中，我们经常需要用一条直线的方程表示它的位置 关系。在平面直角坐标系中，如果直线的斜率为$k$，截距为$b$，则这条直线的方程可以用以下公式表示： $$y=kx+b$$ 这个公式非常简单明了，如果已知一条直线的斜率和截距，则 可以用这个公式求出它的方程。 五、两条直线的交点公式 在解析几何中，我们经常需要求出两条直线的交点，以确定它 们的位置关系。对于一条直线 $y=k_1x+b_1$ 和另一条直线 $y=k_2x+b_2$，它们的交点可以用以下公式表示：
平面解析几何公式 1、 直线的斜率坐标公式：21 21 y y x x -- 2、 直线方程 点斜式：00(x x )y y k -=- 斜截式：y kx b =+ 两点式： 11 2121y y x x y y x x --= -- (1212,x x y y ≠≠) 截距式：1x y a b += 一般式：0ax by c ++= (,a b 不同时为0) 3、 两点之间的距离公式： A （11,x y ） B （22,x y ）两点的距离公式： 4点到直线的距离公式： 点P （00,x y ）到直线0ax by c ++= 的距离为：d = 5、 两平行直线的距离公式： 直线1L :10Ax By C ++= 直线2L :20Ax By C ++= 的距离公式为：d =6、 圆的标准方程： 222(x a)(y b)r -+-= 圆心是：(a,b)o ，半径是：r 7圆的一般方程：
220x y Dx Ey C ++++= 圆心是：(,)22D E o - -，半径是：r =8、椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程：22 221x y a b += (a b 0) >> 焦点坐标：12(a,0),(a,0)F F - 准线方程：2 a x c =± 焦点在y 轴上的标准方程：22 221y x a b += (a b 0) >> 焦点坐标：12(0,b),(0,b)F F - 准线方程：2 a y c =± a,b,c 三者之间的关系：222 a b c =+ 离心率：c e a = 两准线之间的距离：2 2a d c = 焦点到相应的准线的距离：2 b d c = 9、双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的标准方程：22 221x y a b -= (a 0,b 0)>> 焦点坐标：12(a,0),(a,0)F F - 准线方程：2 a x c =± 焦点在y 轴上的标准方程：22 221y x a b -= (a 0,b 0)>>
数学平面解析几何公式 数学的世界中，平面解析几何占据着重要的地位。它通过坐标系将几何问题转化为代数问题，使我们能够更直观地理解和解决几何问题。本文将为您详细介绍平面解析几何中常用的公式。 一、直线方程 1.一般式方程：Ax + By + C = 0 其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。 2.斜截式方程：y = kx + b 其中，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。 3.点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) 其中，(x1, y1)为直线上的一个点，k为直线的斜率。 二、圆的方程 圆的标准方程为：(x - a) + (y - b) = r 其中，(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。 三、椭圆的方程 椭圆的标准方程为：(x / a) + (y / b) = 1 其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。 四、双曲线的方程 双曲线的标准方程为：(x / a) - (y / b) = 1 其中，a和b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。 五、抛物线的方程
抛物线的标准方程为：y = 2px 或x = 2py 其中，p为焦点到准线的距离。 六、坐标变换 1.平移变换：(x", y") = (x + h, y + k) 其中，(h, k)为平移向量。 2.比例变换：(x", y") = (kx, ly) 其中，k和l为比例系数。 3.旋转变换：(x", y") = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ) 其中，θ为旋转角度。 总结：平面解析几何公式为我们解决几何问题提供了强大的工具。掌握这些公式，有助于我们更好地理解和运用几何知识。
（适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式 1.两点间距离公式：两点()11,A x y ,()22,B x y . ()()2 122 12 y y x x AB -+-= 2.点到直线距离公式：()00,y x P ，直线0=++C By Ax . 2 200B A C By Ax d +++= 3.中点坐标：),(1 1 y x A 和()2 2 ,y x B 的中点坐标为??? ?? ++2,2 2211y x y x 4.斜率公式: ①已知两点()11,A x y ，()22,B x y ）（2 1 x x ≠， 则1 21 2x x y y k --= ②已知倾斜角α，则αtan =k 5.斜率的取值范围：()+∞∞-∈,k 6.倾斜角范围：[)? ∈ 1800， α 7.直线方程的五种形式： （1）点斜式方程：点()00,y x A ， 斜率k .()00x x k y y -=- （2）斜截式方程：斜率k ，截距b .[或给点()b ,0].※截距b 是坐标， 有+,有-,有0。b kx y += （3）两点式方程:),(11y x A ,()22,B x y (21x x ≠且21y y ≠) 则1 21121x x x x y y y y --= --（2 1 x x ≠,且2 1 y y ≠） （4）截距式方程.横截距a ，纵截距b [或给点()0,a ，()b ,0] 则1=+b y a x （0≠a 且0≠ b ）
（5）一般式方程：适合与所有条件，最后统一写成方程形式 )0(022≠+=++B A C By Ax 8.两条直线的位置关系 （1）相交?（一般式）01221≠-B A B A ?（一般式）)0(222 1 21≠≠B A B B A A ?（斜截式）21k k ≠ （2）平行?（一般式）01221=-B A B A 且02121≠-B C C B 或 02112≠-C A C A ?（一般式）)0(2222 1 2121≠≠=C B A C C B B A A ?（斜截式）21k k =且21b b ≠ （3）重合?（一般式）)0(,,212121≠===λλλλC C B B A A ?（一般式）2 1 2121C C B B A A == ?（一般式）01221=-B A B A 且02121=-B C C B 或 02112=-C A C A ?（斜截式）21k k =且21b b = （4）垂直?（一般式）02121=+B B A A ?（斜截式）121-=k k 9.一般式方程0=++C By Ax （0≠B ，保证斜率k 存在）与斜截 式方程b kx y +=关系：B C b B A k -=-=,
解析几何公式 第一篇：解析几何公式（上篇） 几何学是研究空间、形状和位置的分支学科。解析几何 是几何学中的一种方法，将几何问题转化为代数问题，通过使用坐标和代数公式进行求解。在本篇文章中，我们将介绍一些常见的解析几何公式。 1. 距离公式： 在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。设给 定两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离d可以通 过以下公式计算： d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 2. 中点公式： 中点公式是用来计算线段的中点坐标的公式。对于给定两 点A(x1, y1)和B(x2, y2)，该线段的中点M可以通过以下公 式计算： M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) 3. 斜率公式： 斜率是描述线段倾斜程度的值，可以通过两点的坐标计算 得到。对于给定两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的斜率 k可以通过以下公式计算： k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 4. 直线方程： 直线可以用一般式方程Ax + By + C = 0来表示。其中，A、B和C是常数，而x和y是直线上的变量。对于给定的斜率k
和直线上的一点P(x1, y1)，可以使用以下公式计算A、B和C 的值： A = -k B = 1 C = k * x1 - y1 5. 圆的方程： 圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合。圆可以 用一般式方程(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2来表示，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。我们可以使用以下公式将圆心和 半径用给定的圆的方程求出： 圆心：(h, k) 半径：r = √(x^2 + y^2) 6. 双曲线的方程： 双曲线是平面上的一种特殊曲线，可以用一般式方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1来表示。其中，a和b是常数。我们可以使用该公式来表示横轴为x轴的双曲线。 这些是解析几何中的一些常见公式。通过使用这些公式，我们可以在坐标平面上解决各种几何问题，如计算距离、确定中点、计算斜率、表示直线和圆等等。在下一篇文章中，我们将继续介绍更多有关解析几何的公式和概念。 （字数：302 词）
1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB → |.数轴上同 向且相等的向量叫做相等的向量．．．．．。零向量的方向任意。．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .． AC →＝AB →＋ 2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21； 5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M( x 1＋x 22 ， y 1＋y 2 2 ). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )． 6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°. 7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系 ①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合． ②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°. 8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . 9.直线方程的五种形式 （1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为
解析几何知识点总结 解析几何是数学中的一个分支，它研究几何图形在坐标系中的性质和变化规律。在解析几何中，我们使用坐标系表示各种几何图形，通过运用代数的方法来研究它们的性质和关系。本文将对解析几何的核心知识点进行总结，包括直线、圆、曲线以及相应的性质和公式。 直线是解析几何中最基本的图形之一。在平面直角坐标系中，一条直线可以通 过两点确定。若给出直线上两点的坐标为（x₁, y₁）和（x₂, y₂），则可以得到 直线的斜率 k 为： k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 斜率表示了直线与 x 轴的夹角和斜率的大小关系。若直线垂直于 x 轴，则斜率 不存在；若直线平行于 x 轴，则斜率为零。 直线的方程可以用点斜式、斜截式和一般式等多种方式表示。点斜式的形式为：y - y₁ = k(x - x₁) 斜截式的形式为： y = kx + b 一般式的形式为： Ax + By + C = 0 其中 A、B、C 为常数。 圆是解析几何中的另一个重要概念。在平面直角坐标系中，圆的方程为： (x - a)² + (y - b)² = r²
其中（a，b）为圆心的坐标，r 为半径。通过圆的方程，我们可以得到圆上任 意一点（x，y）满足的条件。 解析几何还涉及到曲线的研究。常见的曲线包括抛物线、椭圆和双曲线等。以 抛物线为例，它的一般方程为： y = ax² + bx + c 其中 a、b、c 为常数。根据 a 的正负和 a 的绝对值大小，可以确定抛物线的开 口方向和形状。 在解析几何中，还有一些重要的性质和公式需要掌握。例如，两条直线的位置 关系可以通过它们的斜率来判断。如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率互为倒数，则它们垂直。 此外，解析几何还涉及到点、线、圆之间的距离计算。点（x₁, y₁）和点 （x₂, y₂）之间的距离可以通过以下公式计算： d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 同样地，点（x₁, y₁）到直线 Ax + By + C = 0 的距离可以通过以下公式计算： d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²) 通过掌握以上基本原理和公式，我们可以进一步应用解析几何的知识，解决实 际问题。例如，通过研究图形的几何特征和方程的性质，我们可以求解两条直线的交点、判断一个点是否在圆内、确定两条曲线的交点等等。 总结起来，解析几何是一门研究几何图形在坐标系中性质和变化规律的学科。 在解析几何中，直线、圆、曲线是常见的几何图形，我们可以通过斜率、方程和几何特征等方式来分析它们的性质。掌握解析几何的基本知识和技巧，能够帮助我们更好地理解几何图形，并应用于解决实际问题。
解析几何知识点总结大全 几何是数学的一个大类，在考试考点中占据很大一部分。下面是由编辑为大家整理的“解析几何知识点总结大全”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。 几何知识点总结大全 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边
边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形 43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的
解析几何的基本定理 解析几何，是学习数学时的一个分支，也叫作坐标几何。它是关于平面和空间中的点、直线、曲线的研究方法。解析几何有很多的基本定理，这些基本定理是我们学习解析几何的基石，对于解决各种几何问题都是非常重要的。下面就来逐一介绍一下这些基本定理。 一、平面直角坐标系 平面直角坐标系，是解析几何的基础。它的概念是：在平面上取定一个原点O，指定一条直线x（叫做x轴），平面内的另一条直线y（叫做y轴）与x轴相交于O，且x轴正向与y轴正向的方向相互垂直。 二、距离公式 在平面上两个点A（x1，y1）和B（x2，y2）的距离公式为：AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
这个公式是解析几何中最基本的公式之一。它的意义是：平面 上两点之间的距离等于各坐标之间的差的平方和的平方根。 三、中点公式 在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的中点为点M （(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）。 直接根据公式计算M点的坐标很容易。在解决许多几何问题时，中点公式的应用非常广泛，是解析几何中的一条基本规则。 四、斜率公式 在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的斜率公式为：k = (y2-y1)/(x2-x1) 斜率公式的意义是：两个点间的斜率等于纵坐标之差除以横坐 标之差。直接应用斜率公式可以求出平面上两点之间的斜率。 五、两点式和点斜式
在平面上，已知经过点A（x1，y1）和直线的斜率k，点斜式公式是：y-y1 = k(x-x1) 在平面上，已知经过两点A（x1，y1）和B（x2，y2），两点式公式是：(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) 斜率公式提供了一个解析直线的最基本方式，而两点式和点斜式则是其中比较常用的两种方式。 六、直线垂直和平行性定理 在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2垂直的充要条件是k1k2 = -1，即k1和k2互为相反数。 在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2平行的充要条件是k1 = k2。
解 析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩ ⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α
若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π ，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2 ②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1 （2）若0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 ① l 1//l 2⇔ 2 1 2121C C B B A A ≠ =； ② l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；
空间解析几何公式 空间解析几何是研究空间中点、直线、平面之间的关系和性质的一门数学学科。它通过代数方法来描述和分析几何问题，与传统几何学相辅相成。在空间解析几何中，有许多重要的公式可以帮助我们解决各种空间几何问题。以下是一些常见的空间解析几何公式。 1.点到直线的距离公式： 对于空间中的一点P(x1, y1, z1)和直线ax + by + cz + d = 0，其中a，b，c不全为0，点P到直线的距离等于 d = ，ax1 + by1 + cz1 + d， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 2.两点之间的距离公式： 对于空间中的两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，两点之间的距离等于 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) 3.线段的长度公式： 对于空间中的线段AB所对应的两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，线段AB的长度等于 d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) 4.点到平面的距离公式： 对于空间中的一点P(x1,y1,z1)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C 不全为0，点P到平面的距离等于
d = ，Ax1 + By1 + Cz1 + D， / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) 5.直线的斜率公式： 对于空间中的一条直线L，以点A(x1,y1,z1)和向量v(a,b,c)表示， 直线的斜率等于 m=b/a 6.平面的法向量公式： 对于空间中的一个平面Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C不全为0，平面 的法向量等于 N=(A,B,C) 7.平行向量的判断： 对于空间中的两个向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)，如果v1和 v2平行，则有 a1/a2=b1/b2=c1/c2 8.垂直向量的判断： 对于空间中的两个向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)，如果v1和 v2垂直，则有 a1a2+b1b2+c1c2=0 这些公式在解决空间几何问题时非常有用。它们的应用范围广泛，例 如求解点、直线、平面之间的距离关系、判断直线与平面是否平行或垂直、求解平面的法向量等。通过应用这些公式，我们可以通过代数计算来得出 几何关系和性质，从而更好地理解空间中的几何学。同时，这些公式也为
第三部分 解析几何常用公式、结论汇总 1. 斜率公式 2121 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2 .直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3. 两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①1 21212||,l l k k b b ⇔=≠; ②1 2121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111 :0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111 12222 ||A B C l l A B C ⇔ =≠； ②1 212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4. 夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α -=+. (111: l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan | |A B A B A A B B α -=+. (1111 :0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则:2 2 21B A C C d +-= 注意点:x,y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为:2 2 B A C By Ax d +++= οο 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:⎩⎨ ⎧=+=0 )y ,x (F b kx y 消y:02 =++c bx ax ,务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则:2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ,P(x,y)。P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ, 则⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ,特别地:λ=1时,P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222 121y y y x x x 变形后:y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα
适用范围:k 1,k 2都存在且k 1k 2≠－1 , 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ,则= θtan 2 1211k k k k +-,]2,0(π ∈θ 注意:(1)l 1到l 2的角,指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角,范围),0(π l 1到l 2的夹角:指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 (2)l 1⊥l 2时,夹角、到角= 2 π 。 (3)当l 1与l 2中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。 7、 (1)倾斜角α,),0(π∈α; (2)]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ; (3)直线l 与平面]2 0[π∈ββα，，的夹角; (4)l 1与l 2的夹角为θ,∈θ]2 0[π，,其中l 1//l 2时夹角θ=0; (5)二面角,θ],0(π∈α; (6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系