解析几何中的基本公式
1、两点间距离：若A( x1, y1), B( x2, y2)，则AB( x2x1 ) 2( y2y1 )2
特别地： AB // x 轴，则 AB。
AB // y 轴，则 AB。
2、平行线间距离：若l1:Ax By C10,l 2 :Ax By C20
则： d C1C2 A 2 B 2
注意点： x， y 对应项系数应相等。
3、点到直线的距离：P(x , y ),l :Ax By C0
则 P 到 l 的距离为：d
Ax By C
A 2
B 2
4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y kx b F(x, y )0
消 y：ax2bx c0，务必注意0.
若 l 与曲线交于 A ( x1, y1), B( x2, y2)
则： AB(1 k 2 )( x2x1 )2
5、若 A (x1, y1), B( x2, y2)，P（ x， y）。 P 在直线 AB 上，且 P 分有向线段A B 所成的比
为，
x1x2x1x2
x x
2则1，特别地：=1 时，P 为 AB 中点且
y1y2y2
y1
y y
2
1
变形后：x x1或y y1
x2x y2y
6、若直线 l 1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 l1到 l 2的角为,(0,)
适用范围： k1， k2都存在且 k1k2－ 1，
k2 k1
tan
k1k 2
1
若 l1与 l2的夹角为，则 tan k1k2，(0, ]
1k1k 22
注意：（ 1） l 1到 l2的角，指从 l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围(0,) l 1到 l2的夹角：指l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
（ 2） l 1l 2时，夹角、到角=。
2
（ 3）当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、（1）倾斜角，(0, )；
（2）a, b夹角，[0， ]；
（3）直线 l 与平面的夹角，[0， ]；
2
（4） l1与 l 2的夹角为，[ 0， ] ，其中l1//l2时夹角=0；
2
（5）二面角,(0, ]；
（6） l1到 l 2的角，(0， )
8、直线的倾斜角与斜率 k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则k=tan。
9、直线 l1与直线 l2的的平行与垂直
（ 1）若 l 1， l 2均存在斜率且不重合：① l1 //l 2k1=k2
② l1 l 2k1 k2 =－ 1
（ 2）若l1: A1x B1y C10,l 2 : A2 x B 2 y C20若 A 1、A 2、 B1、 B 2都不为零
① l 1//l 2A1B1C1；
A2B2C2
② l 1 l2 A 1A 2+B 1B 2=0；
③ l 1与 l 2 相交
A1B1
A2B2
④ l 1与 l 2重合A1B1C
1 ；
A2B2C2
注意：若 A 2或 B 2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。
10、直线方程的五种形式
名称方程注意点
斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式：y y k(x x )（ 1 ）斜率不存在：x x （ 2）斜率存在时为y y k (x x )
两点式：
y y1x x1
截距式：
x y
y2y1x2x1a
1
b
其中 l 交 x 轴于(a,0)，交 y轴于 (0, b) 当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：
（ 1）截距 =0设 y=kx （2）截距 = a0
x y
1即 x+y= a
设
a
a
一般式：Ax By C0（其中 A 、B 不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程（ 1）标准方程：( x a)2( y b) 2r 2， (a, b)圆心， r半径。
（2）一般方程：x2y2Dx Ey F0，（ D2 E 24F0)
(
D
,
E
)圆心 , r D 2 E 24F
222
11、直线Ax By C0 与圆( x a) 2( y b) 2r 2的位置关系有三种
Aa Bb C
r相离0
若 d
A2
， d
B 2
d r相切0
d r相交0
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r 1， r2，O1O2d
d r1r2外离4条公切线
d r1r2外切3条公切线
r1r2 d r1r2相交2条公切线
d r1r2内切1条公切线0 d r1r 2内含无公切线
外离外切
相交内切内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆定义Ⅰ：若 F1，F2是两定点， P 为动点，且PF1PF22a F1F2（ a 为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若 F1为定点， l 为定直线，动点P 到 F1的距离与到定直线l的距离之比为常数 e（ 0 标准方程：x 2 y21 a2b2 ( a b 0) 定义域：{ x a x a} 值域：{ x b y b} 长轴长 = 2a，短轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程：x a2焦半径： PF1(a2)a2x) ， c e x c， PF2 e(c PF1 2a PF2，a c PF1a c 等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。） 注意：（ 1）图中线段的几何特征：A1 F1A2 F2 a c ， A1F2A2 F1a c B F B F B F 2 B F a ，A2B2A1B2 a 2b2等等。顶 1112221 点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c 有关。 （2）PF F中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF 、 PF 2 、 12 ．．．．．．．．．．．1 2c，有关角F1 PF2结合起来，建立 PF1+ PF2、 PF1PF2等关系 x a cos ； （ 3）椭圆上的点有时常用到三角换元： b sin y （ 4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在 y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。 二、双曲线 （一）定义：Ⅰ若F1，F2是两定点，PF1PF 22a F1 F2（a为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e（ e>1），则动点 P 的轨 迹是双曲线。 （ 二） 图 形： （三）性质 方程： x 2 y 2 1 (a 0, b 0) y 2 x 2 1 ( a 0, b 0) a 2 b 2 a 2 b 2 定义域： { x x a 或x a} ； 值域为 R ； 实轴长 = 2a ，虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程： x a 2 c 焦半径 ： PF 1 ( a 2 ) ， PF 2 a 2 PFPF 2 2a ； e x c e( x) ， 1 c 注意：（1）图中线段的几何特征： AF 1 BF 2 c a ， AF 2 BF 1 a c 顶点到准线的距离： a a 2 或 a a 2 ；焦点到准线的距离： c a 2 或 c a 2 c c c c 两准线间的距离 = 2a 2 c （ 2）若双曲线方程为 x 2 y 2 1 渐近线方程： x 2 y 2 0 y b x a 2 b 2 a 2 b 2 a 若渐近线方程为 y b x y 0 双曲线可设为 x 2 y 2 x a b a 2 b 2 a 若双曲线与 x 2 y 2 1有公共渐近线，可设为 x 2 y 2 a 2 b 2 a 2 b 2 （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上） （ 3）特别地当 a b 时 离心率 e 2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ， 此时双曲线为等轴双曲线，可设为 x 2 y 2 ； （ 4）注意 PF 1F 2 中结合定义 PF 1 PF 2 2a 与余弦定理 cos F 1 PF 2 ，将有 关线段 PF 1 、 PF 2 、 F 1F 2 和角结合起来。 （ 5）完成当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线 （一）定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e （ e=1）。 （二）图形： （三）性质：方程： y 2 2 px,( p 0), p 焦参数 ； 焦点： ( p ,0) ，通径 AB 2 p ； 准线： x p ； 2 2 焦半径： CF x p , 过焦点弦长 CD x 1 p x 2 p x 1 x 2 p 2 2 2 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离 = p ；焦点到准线的距离 = p ；通径长 = 2 p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （ 2 ） 抛 物 线 y 2 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( y 2 , y ) 或 2 p (2 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) 其中 y 2 2 px P pt 高三数学解题公式、结论大全（解析几何） 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴，则=AB 。 y //AB 轴，则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++，则：2 2 21B A C C d +-= 注意：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ ，则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨ ⎧=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x ， 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--=λ2121或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠ －1 ， 21121tan k k k k +-= α若l 1与l 2的夹角为θ，则=θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 高中数学解析几何基本公式与题型 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ???? λ+λ+=λ+λ+=1121 21y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为 AB 中点且??? ????+=+=22 2121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 丨 y1-y2丨 。 y //AB 轴， 则=AB 丨x1-x2丨 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 解析几何中的基本公式 解析几何是高中数学中的一门重要学科，它研究几何图形的坐标表示方法和相关性质。在解析几何中，使用了一系列经典的基本公式，本文将对这些公式进行详细解析。 一、两点间距离公式 在解析几何中，经常需要计算两点之间的距离。对于平面直角坐标系中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，它们之间的距离可以用以下公式表示： $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ 其中 $d$ 表示两点之间的距离。 这个公式的计算方法非常简单，只需要将两点横、纵坐标的差值平方相加，再开方即可。 二、两点间中点公式 在解析几何中，还需要计算两点间的中点。对于平面直角坐标系中的两个点 $P(x_1,y_1)$ 和 $Q(x_2,y_2)$，它们的中点可以用以下公式表示： $$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$ 这个公式的计算方法也非常简单，只需要将两点横、纵坐标分别求出平均值，即可得到中点的坐标。 三、点到直线距离公式 在解析几何中，还需要计算一个点到一条直线的距离。对于一条直线 $ax+by+c=0$ 和一个点 $P(x_0,y_0)$，它们之间的距离可以用以下公式表示： $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 其中 $d$ 表示点 $P$ 到直线的距离。 这个公式的计算方法稍微有些复杂，但是可以通过向量的方法 来简化计算。 四、直线的斜截式方程公式 在解析几何中，我们经常需要用一条直线的方程表示它的位置 关系。在平面直角坐标系中，如果直线的斜率为$k$，截距为$b$，则这条直线的方程可以用以下公式表示： $$y=kx+b$$ 这个公式非常简单明了，如果已知一条直线的斜率和截距，则 可以用这个公式求出它的方程。 五、两条直线的交点公式 在解析几何中，我们经常需要求出两条直线的交点，以确定它 们的位置关系。对于一条直线 $y=k_1x+b_1$ 和另一条直线 $y=k_2x+b_2$，它们的交点可以用以下公式表示： 解析几何的概念与基本公式 解析几何是数学中的一个分支，是研究几何图形的位置、形状和关 系的一种方法。它通过运用代数的工具和方法，将几何问题转化为代 数问题，从而通过数学方程来描述和解决问题。本文将介绍解析几何 的概念以及其中涉及的基本公式。 一、概念 1. 平面直角坐标系 在解析几何中，常用的坐标系是平面直角坐标系。平面直角坐标系 可以通过两个相互垂直的坐标轴来确定。水平方向的轴通常称为x轴，垂直方向的轴通常称为y轴。一个点在平面直角坐标系中可以用一个 有序数对(x,y)来表示，其中x称为该点的横坐标，y称为该点的纵坐标。 2. 直线的方程 在平面直角坐标系中，直线可以用一元一次方程来表示。一元一次 方程的标准形式为y = ax + b，其中a和b为常数。a称为直线的斜率，决定了直线的倾斜程度，b称为直线的截距，表示直线与y轴的交点坐标。 3. 曲线的方程 曲线的方程可以是一元一次方程、一元二次方程、三次方程等等。 曲线的形状和位置由方程的系数及次数决定。 二、基本公式 1. 距离公式 在平面直角坐标系中，两点间的距离可以通过距离公式来计算。设两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则两点间的距离d可以通过以下公式计算： d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) 距离公式可以用来计算直线段的长度，也可以用来计算两点间的距离。 2. 中点公式 在平面直角坐标系中，两点的中点坐标可以通过中点公式来计算。设两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则两点的中点坐标为： (x, y) = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2) 中点公式可以用来计算直线段的中点坐标。 3. 斜率公式 在解析几何中，直线的斜率是很重要的一个概念。斜率表示了直线的倾斜程度，可以通过斜率公式来计算。设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的斜率m可以通过以下公式计算： m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 斜率公式可以用来判断直线的斜率是正斜率、负斜率还是零斜率。 4. 直线的方程 高中数学解析几何总结(非常全) 高中数学解析几何 第一部分：直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α 直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角α，其范围为0≤α<180度。 2.斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，表示为 k=tanα。 1）倾斜角为90度的直线没有斜率。 2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率。当直线垂直于x轴时，其斜率不存在，因此在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k，则当x1≠x2时，k=(y1-y2)/(x1-x2)；当x1=x2时，斜率不存在。 二、直线的方程 1.点斜式 已知直线上一点P(x,y)及直线的斜率k（倾斜角α），求直线的方程，可以用点斜式表示为y-y1=k(x-x1)。需要注意的是，当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x1. 2.斜截式 若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程为y=kx+b。特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为y=kx。 需要正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式 若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且(x1≠x2,y1≠y2)， 则直线的方程为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。需要注意的是，不能表示与x轴和y轴垂直的直线。 4.截距式 若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a≠0， b≠0），则直线方程为xy/a + y/b = 1.需要注意的是，截距式方 程不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 5.一般式 高中解析几何公式大全 1. 平面解析几何公式 1.1 直线方程 - 一般式直线方程：$Ax + By + C = 0$ - 点斜式直线方程：$y - y_1 = k(x - x_1)$ - 两点式直线方程：$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$ 1.2 距离公式 - 两点间距离公式：$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 1.3 中点公式 - 两点中点公式：$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ 1.4 斜率公式 - 直线斜率公式：$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 1.5 垂直/平行线判定公式 - 斜率相乘为-1时，两直线垂直；斜率相等时，两直线平行2. 空间解析几何公式 2.1 点和向量坐标表示 - 一点坐标：$P(x, y, z)$ - 向量坐标：$\vec{AB}=(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ 2.2 向量公式 - 两点连线向量：$\vec{AB}=(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ - 向量加法：$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ - 向量数量积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$ 2.3 平面方程 - 法线向量公式：$ax + by + cz + d = 0$ 2.4 空间距离公式 - 两点间距离公式：$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ 3. 圆的解析几何公式 3.1 圆的标准方程 - 圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 3.2 圆的一般方程 - 圆的一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB → |.数轴上同 向且相等的向量叫做相等的向量．．．．．。零向量的方向任意。．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .． AC →＝AB →＋ 2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21； 5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M( x 1＋x 22 ， y 1＋y 2 2 ). A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )． 6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°. 7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系 ①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合． ②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°. 8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . 9.直线方程的五种形式 （1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 （适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式 1.两点间距离公式：两点()11,A x y ,()22,B x y . ()()2 2 2121AB x x y y =-+- 2.点到直线距离公式：()00,y x P ，直线0=++C By Ax . 2 200B A C By Ax d +++= 3.中点坐标：),(11y x A 和()22,y x B 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛ ++2,2 2211y x y x 4.斜率公式: ①已知两点()11,A x y ，()22,B x y ）（21 x x ≠， 则1 21 2x x y y k --= ②已知倾斜角α，则αtan =k 5.斜率的取值范围：()+∞∞-∈,k 6.倾斜角范围：[)︒ ∈1800， α 7.直线方程的五种形式： （1）点斜式方程：点()00,y x A ， 斜率k .()00x x k y y -=- （2）斜截式方程：斜率k ，截距b .[或给点()b ,0].b kx y += （3）两点式方程:),(11y x A ,()22,B x y (21x x ≠且21y y ≠) 则1 21 121x x x x y y y y --= --（21x x ≠,且21y y ≠） （4）截距式方程.横截距a ，纵截距b [或给点()0,a ，()b ,0] 则1=+b y a x （0≠a 且0≠ b ） （5）一般式方程：适合与所有条件，最后统一写成方程形式 )0(022≠+=++B A C By Ax 8.两条直线的位置关系 （1）相交⇔（一般式） )0(222 1 21≠≠B A B B A A ⇔（斜截式）21k k ≠ （2）平行⇔（一般式）)0(2222 1 2121≠≠=C B A C C B B A A ⇔（斜截式）21k k =且21b b ≠ （3）重合⇔（一般式）2 1 2121C C B B A A == ⇔（斜截式）21k k =且21b b = （4）垂直⇔（一般式）02121=+B B A A ⇔（斜截式）121-=k k 高中数学中的解析几何知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形在坐标系中的性质和变换规律。在高中数学学习中，解析几何是一个重要的内容模块。本文将对高中数学中的解析几何知识点做一总结。 一、直线的方程 1.点斜式方程：已知直线上一点P(x1, y1)及其斜率k的情况下，直线的方程可以写为y-y1=k(x-x1)。 2.两点式方程：已知直线上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的情况下，直线的方程可以写为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。 3.斜截式方程：已知直线与y轴的交点为截距b，斜率为k的情况下，直线的方程可以写为y=kx+b。 二、平面坐标系 1.点的坐标：平面坐标系中，一个点的位置可以由其横坐标x和纵坐标y确定。 2.距离公式：平面上两个点的距离可以通过距离公式d=sqrt((x2- x1)²+(y2-y1)²)计算得出。 3.中点公式：平面上两个点的中点坐标可以通过中点公式 M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)计算得出。 三、直线的性质 1.平行与垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线 垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。 2.直线的倾斜角：直线与x轴的倾斜角可以通过斜率的反正切得到。 3.直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，x轴截距即为直线 与x轴的交点的横坐标，y轴截距即为直线与y轴的交点的纵坐标。 四、圆的方程 1.标准形式方程：圆的标准方程可以写为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b) 为圆心的坐标，r为半径。 2.一般形式方程：圆的一般形式方程可以写为x²+y²+Dx+Ey+F=0， 其中D、E、F为常数。 五、直线与圆的位置关系 1.相切：当直线与圆只有一个交点，且此交点处的切线斜率存在时，直线与圆相切。 2.相离：当直线与圆没有交点时，直线与圆相离。 3.相交：当直线与圆有两个交点时，直线与圆相交。 六、曲线的方程 1.抛物线：抛物线的方程可以写为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。 解析几何中的根本公式 1、 两点间距离：假设)y ,x (B ),y ,x (A 2211，那么212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 那么=AB 。 y //AB 轴， 那么=AB 。 2、 平行线间距离：假设0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 那么：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 那么P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩ ⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>∆ 假设l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 那么：2122))(1(x x k AB -+= 5、 假设A ),(),,(2211y x B y x ，P 〔x ，y 〕。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的 比为λ， 那么⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时， P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 假设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，那么l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 假设l 1与l 2的夹角为θ，那么= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：〔1〕l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 〔2〕l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 〔3〕当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 解析几何 1.两直线分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的关系 平行不重合A1B2=A2B1且C1B2≠C2B1 相交：A1B2≠A2B1 垂直：B1B2≠0时，A1A2=-B1B2 B1=0,A2=0或B2=0，A1=0 重合：A1B2=A2B1且C1B2=C2B1 :// 3.三角函数公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 [编辑本段]诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 解析几何中の基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线の距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l の距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交の弦长公式：⎩⎨ ⎧=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成の比为λ， 则⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1の斜率为k 1，直线l 2の斜率为k 2，则l 1到l 2の角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2の夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2の角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成の角，范围),0(π l 1到l 2の夹角：指 l 1、l 2相交所成の锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2の夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2の角)0(π∈θθ，， 8、 直线の倾斜角α与斜率k の关系 a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 《平面解析几何初步》常用方法、公式总结 一、基本公式 1．数轴上向量关系式：AC AB BC =+ 2．数轴上向量坐标公式：B A AB x x =- 3 4 5 二、直线的倾斜角与斜率 1．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。 2．倾斜角为90︒的直线无斜率，另外，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，故运用直线的斜率解题时，一定要考虑斜率是否存在的情况。 3．倾斜角范围为[)0,180︒︒，当0α=︒时，0k =；当()0,90α︒︒时，0k >；当()90,180 α︒︒时，0k <。 4．直线斜率k 的求法： （1）已知两点()()1122,,,P x y P x y 12x x ≠）；当12x x =时，无斜率。 （2）已知直线方程0Ax By C ++=，当0B ≠0B =时，无斜率。 5．已知点()()(),,,,,A a b B c d P m n ，要使过P 点的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的斜率k 范围的求法（A 点在B 点左侧）可分为两种情形： （1）当直线x m =与线段AB 有公共点时，PB k k 或PA k k ； （2）当直线 x m =与线段AB 无交点时，PA PB k k k 。 1 x 轴垂直的直. 2 . 3．“截距”与“距离”是两个不同的概念，横截距是指直线与x 轴的交点的横坐标，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标.截距可为正数、负数或零，而距离是大于或等于零的实数． 4．题目中凡涉及“截距相等”、“截距互为相反数”、“截距的绝对值相等”等条件时，一定要考虑截距为零的情形．截距要加绝对值符号后才成为线段的长度． 5的最值时，先应列出所求最值的目标函数关系式，再利用代数方法()求最值． 6．判断直线在坐标平面内的位置，第一看斜率(或倾斜角)，第二看直线在y 轴上的截距的正负，即可得出结论。 7．当点在直线上时，常借助直线的方程，用一个字母(本数)来表示直线上点的两个坐标，这种方法称为“直线标点法”，它是解析几何最基本的思想方法，在解题中有较灵活的应用。如：点P 为直线21y x =-上的点，可设 (),21P a a -；圆心在直线10x y -+=上，可设圆心坐标为(),1a a +。解析几何中的基本公式
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