第一章数字信号处理概述
简答题：
1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？
答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：
2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）
答：错。需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、连续时间信号取样与取样定理
计算题：
1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果
kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ）
对于kHz 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(=≥ωπω
j e H rad 时，在数 — 模变换中
)(1)(1)(T
j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c
对应于模拟信号的角频率c Ω为
8
π
=
ΩT c
因此
Hz T
f c c 6251612==Ω=
π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T
π
，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频
率由)(ω
j e
H 决定，是625Hz 。
（b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T
f c 1250161
==
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
2．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。
（1）)2(n x （2）)(*n x （共轭）
解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式
DTFT ∑
∞
-∞
=-=
=n n
j j e n x e X n x ωω)(()]([)
可以得到
DTFT 2
)()2()]
2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)
(*ωωω
j n n jn jn e X e n x e
n x n x -∞
-∞
=∞
-∞
=-===
∑∑
3．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ （d ）n
n )
2
1(
解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ωωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
=
（b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（
ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116
)41(20)2(2
（c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞
==-=
=
∑∑
（d ）]12
111
2111[21)(?--+-==
--∞
-∞=∑ω
ωωωj j n j n n e e e X ）（ 利用频率微分特性，可得
22)2
11(1
21)211(121)
()(ωωωωω
ωωj j j j e e
e e d X d j
X ---+--=-=)
4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*
n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx
解： （1）
)(*])([)(*)
(*
jw n n jw n jwn
e X e
n x e
n x
=-=
-∑∑∞
-∞
=--∞
-∞=-
（2）
∑∑∞
-∞=-*-*∞
-∞=-+=+=
n jw jw jwn
n jwn
e X e X e n x n x e
n x )]()([21)]()([2
1)](Re[ （3）
dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e
n nx jw n jwn
n jwn n jwn
)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞
=-∞
-∞=-∞
-∞
=- 5．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw
e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3)
)(2
n x 解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn
e X e n x e
n x e
n x
-**∞
-∞
=--∞
-∞
=*
---∞
-∞
=-*
===
∑∑∑
（2）
[]
)()(2
1
)()(21])()([21)]()([21)(jw jw n n w j jw
n n jwn jwn jwn n e X e X e n x e X e n x e n x e n x n x -**
∞-∞=--∞-∞=∞
-∞
=-*--∞
-∞=*-=
???
?
??????? ??-=-=--∑∑∑∑
（3）
)()(21)()(21)()(21)()
()(2
jw j w j j n n n w j j n jwn
e X e X d e X e X e n x d e X e
n x *==
?
?
????=?∑?∑∑--∞
-∞=-
∞
-∞=--∞
-∞
=-θππθθπ
π
θθ
πθπθ
π
6．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用
)(jw
e X 表示下面各序列的傅立叶变换。
（1）)2()(n x n g = （2）()??
?=为奇数为偶数
n n n x n g 0
2)(
解：（1）∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-=
=
=
为偶数
k k w k j n jnw
n jnw
jw e
k x e
n x e
n g e G 2
)()2()()(
[]
??????-+=??????+=+=+=-+=-∞
-∞
=--∞-∞
=-∞-∞=-∞
-∞=-∑∑∑∑)()(2121
)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2
12
2)2(2)2
(22
2
2w
j w j w
j w j k w
jk w j k w
jk j k w jk k w k
j k
e X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ
（2）)()()2()()(222w j r w
jr r rw
j n jnw
jw
e X e
r x e
r g e
n g e G ==
=
=
∑∑∑∞
-∞
=-∞
-∞
=-∞
-∞
=-
7．求下列序列的时域离散傅里叶变换
)(n x -*， [])(Re n x ， )(0n x
解：)()()()(ωωj n j e X e n x n x **
∞∞---∞
∞-*=??
? ??-=-∑∑
[]()()
)()()(2
1
)()(21)(Re ωωωωj e j j n j e X e X e X e n x n x n x =+=+=-*∞
∞
--*∞∞-∑
∑ ()[]
)(Im )()(21)(0
ωωω
j n j j e X j e n x n x e
n x
=--=∑∑∞
∞
--*∞
∞
--
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。 解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，8.0=z 的零点需成对出现，
j z +=1的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。
简答题：
1．何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(min Z H 有何特点？
解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式
∑∑=-=--==
N k k
k M
r r
r Z a Z
b Z Q Z P Z H 1
01)
()
()(，他的所有极点都应在单位圆，即1πk α。但零点可
以位于Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)
(1
)(Z H Z G =也是稳定因果的。这就需要)(Z H 的零点也位于单位圆，即1πr β。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。 【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jw e H 唯一确定。从jw
e 求)(Z H 的过
程如下：给定jw
e
，先求2
jw e
，它是)cos(kw 的函数。然后，用
)(2
1k k
Z Z -+替代)cos(kw ，我们得到)()()(1
-=Z
H Z H Z G 。最后，最小相位系统由单位圆的)(Z G 的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
)()()(min Z H Z H Z H ap =
完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(Z H 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(min Z H 是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(Z H ap ，把与之对应的)(min Z H 中的零点映射回单位圆外。
2．何谓全通系统？全通系统的系统函数
)
(Z H ap 有何特点？
解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应的傅里叶变换幅值1)(=jw e H ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
∏∑∑=-*
-=-=---=-=
=N
k k k
N k k
k M
r r
r ap Z Z Z a Z
b Z Q Z P Z H 11
11
011)
()()(αα。因而，如果在k Z α=处有一个极点，则在其共轭倒数点*=k
Z α1
处必须有一个零点。
3．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。
解：频率响应：∑∞
∞
--=n
j j e n h e
H ωω
)()(
系统函数：∑∞
∞
--=
n
Z n h Z H )()( 差分方程：?
?
??
??-)()(1Z X Z Y Z 卷积关系：∑∞
∞
-*=
)()()(n x n h n y
第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
计算题：
1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
解： ∑∑-=-=-==10
10
21)(~)(~)(~N n N n kn N j kn N e n x W n x k X π
n k
N j N N
n N n N n n k N j kn N e n x e n x W n x k X 2
212120
10
2222)(~)(~)(~)(~ππ--=-=-=-∑∑∑+==
对后一项令N n n -='，则
∑∑-=-='+'--+'+=10
10
)(22222)(~)(~)(~N n N n N n k
N j n k
N j e N n x e n x k X ππ
)
2
(~)1()(~)1(1
2
2k
X e e
n x e jk N n n k
N j
jk πππ--=--+=+=∑
所以?????=0)2(~2)(12k X k X 为奇数为偶数k k
二、离散傅立叶变换定义
填空题
1．某DFT 的表达式是∑-==
1
)()(N k kl M
W
k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之
间的间隔是（ ）。 解：M π2
2．某序列DFT 的表达式是∑-==
1
0)()(N k kl
M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 解：N
M π2
3．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件
（ ）。 解：纯实数、偶对称
4．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1
-z
代表的物理意义是（ ），
其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N
k π
ω2=
5．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域
抽样点之间的频率间隔f ?为_______,数字角频率间隔w ?为 _______和模拟角频率间隔
?Ω ______。
解：15.625，0.0123rad ，98.4rad/s 判断说明题：
6．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ）
解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题
7．令
)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序
列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。 解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=??
????'==
101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+?
??=1
)
(0N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+
所以
∑-'
-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
8．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT
)
(k x 如下图所示。现将
)(n x 按下列（1）
，（2），
（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）
n x
k
（1）
??
?-=)4()
()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）
??
?=0)
()(2n x n y 7~43~0==n n
（3）
????
?=0)
2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）
()()()0
1230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y
（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==??
?
??=k k k k k X k X k Y （3）
()()()()4
mod ,30,70114113k k k k k X k X k Y =≤≤≤≤==
9．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+
另设)()()
(1n R n x n x N =，它的
N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和
)(1k X 的关系。
解： ()??
? ??=221k X k X 推导过程略
10．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式） （1）)()(n R a n x N n
=
（2）)()(n nR n x N =
解：（1）因为)()
(n R a n x N n =，所以
k N
j N N n nk N
j n ae
a e
a k X ππ210
211)(--=---=
=∑
（2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k
n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X
[]
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++=ΛΛ)()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=?????
?--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
11．计算下列序列的N 点DFT ：
()116P
（1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ??
?
??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==
∑-=1111)(10
，10-≤≤N k （2）∑∑-=---=???
? ??+=??? ??=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
π
π
π ????
?
??
--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N
j m k j m k N j m k j e e e e π
πππ ????
? ??--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N
j m k j m k j e e e e e e e e
e e ()()()
???
?
????+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)
(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
12．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k
=，求序列)(n y
（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列)(n m
解；（1）[]∑∑-==-+==
1
9
10)5(2)()()(N n n nk
nk N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510
=1+2k j
e
510
2π
-
=1+2k
)1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210k X W k Y k
=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(n y n x n m
一种方法是先计算的线性卷积与)()(n y n x
∑∞
-∞
=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()(
={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==??
?
???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ
另一种方法是先计算)(n y 的10点离散傅立叶变换
()()[]k
k n nk N n nk
N
W W W n n W
n y k Y 7102109
101
2722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k
k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k k k k W W W W 1210710710210422+++= k
k W W 71021045+=
由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ
13．（1）已知序列：102sin )(-≤≤??
?
??=N n n N
n x ，π
，求)(n x 的N 点DFT 。 （2）已知序列：
{
2,1,010)(==
n n x ，，其它
，则)(n x 的
9点DFT 是
8,...,2,1,09sin 3sin )(9
2=??
? ???
?? ??=-k k k e
k X k j
，πππ 正确否？用演算来证明你的结论。()345P 解：（1）)(k X kn
N j N n e n N π
π
21
2sin --=∑??
?
??= ∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--???
? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j = 1,2
-=k N
j
0， 其它
（2）?
??
? ??-???? ??-=--=
=
------=-∑k j k j k j k j k j k j k j
k j
n kn
j e e e e e e e
e e
k X 999333
9
2962
9
211)(π
πππ
π
π
πππ
8,...,1,09sin 3sin 9
2=??
? ???
?? ??-K k k e
k j
，πππ 可见，题给答案是正确的。
14．一个8点序列)(n x 的8点离散傅里叶变换)(k X 如图5.29所示。在)(n x 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列)(n y ，即
??
?
??2n x ，n 为偶数 =)(n y
0 ，n 为奇数
（1）求)(n y 的16点离散傅里叶变换)(k Y ，并画出)(k Y 的图形。
（2）设)(k X 的长度N 为偶数，且有12,...,1,0),1()(-=--=N k k N X k X ，求??
?
??2N x 。
解：（1）因n 为奇数时0)(=n y ，故
∑∑=-??
? ??=
=14
,...2,01615
16
2)()(n nk n nk
W n x W
n y k Y ∑==
7
8
)(m mk
W m x ， 150≤≤k 另一方面 ?????≤≤=∑=其它,07
0,)()(7
08k W m x k X m mk
因此 ?????≤≤=-∑=-其它,015
8,)()8(7
0)8(8k W m x k X m k m
?????≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
所以 )(k Y ??
???≤≤=∑=其它,015
0,)(7
08k W m x m mk
??
?
??≤≤-≤≤=其它,015
8),8(70),(k k X k k X
按照上式可画出)(k Y 的图形，如图5.34所示。
k
15．计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。
（1）n
a n x =)( 10-≤≤N n
（2）{
}1,3,2,1)(--=n x
解：（1）()
∑∑-=-===
1
1
)(N n n
k
N N n nk
N
n
aW W
a k X
()
k
N
N
k
N
N
k
N
aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==
3
4
)()(n nk W
n x k X
k k k k k k W
W W W W W W 34
24342440432132--+=--+=
k
k
k
j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k
16．长度为8的有限长序列)(n x 的8点DFT 为)(k X ，长度为16的一个新序列定义为 )2
(n
x 14,...2,0=n =)(n y
0 15,...,3,1=n 试用)(k X 来表示[])()(n y DFT k Y =。 解：∑==
15
016
)()(n nk W
n y k Y
∑∑=+=++=7
)12(167
216
)12()2(r k
r r rk W r y W
r y
∑==7
8)(r rk W r x )15,...,1,0(=k
而 ∑==
7
8
)()(n nk
W
n x k X )7,...,1,0(=k
因此，当7,...,1,0=k 时，)()(k X k Y =；当15,...,9,8=k 时，令)7,...,1,0(8=+=l l k ，得
到：)()()()8(7
87
)8(8
l X W r x W
r x l Y r rl r l r ===
+∑∑==+
即 )8()(-=k X k Y
于是有 )(k X 7,...,1,0=k =)(k Y
)8(-k X 15,...,9,8=k
17．??
?
??=====304
,211,02
)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值
)3,2,1,0(=k 。
【解】 ∑-==
1
40)()(k kn
N W k x n X 所以 50122)()0(0
0030
=+++==∑=N N N k kn
N W W W W
k x X
ππ
ππj j
j
j
N
N N k kn
N
e e
e
e
W W W W
k x X ----=++=++=+++==∑2
24
24
22103
022220122)()1(
ππ24
203
220122)()2(j j N N N k kn N e e W W W W k x X --=++=+++==∑
ππ32
36303
220122)()3(j j
N
N N k kn
N
e e
W W W W
k x X --=++=+++==∑
证明题：
18．设)(k X 表示长度为N 的有限长序列)(n x 的DFT 。 （1）
证明如果)(n x 满足关系式
)1()(n N x n x ---=
则
0)0(=X
（2）
证明当N 为偶数时，如果
)1()(n N x n x --=
则0)2
(
=N
X 解 （1）
∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=---=
===1
2
120
1
10
1
)
1()()()()0()()(N N
n N n N n N n N N n nk
N
n N x n x n x W n x X W n x k X
令m n N =--1
∑∑-=-=-
=0
12
12
)()()0(N n N n m x n x X
显然可得 0)0(=X
（2）∑∑-=-=-==1
10)1)(()()2(N n n N n jk n x e
n x N X π
（将n 分为奇数和偶数两部分表示）
∑∑-=+-=-++-=120
12120
2)1)(12()1)(2(N r r N
r r r x r x
∑∑-=-=+-=120
120
)12()2(N r N r r x r x
()1221)12()21(120
120
+=--+---=∑∑-=-=k r N r x r N x N r N r 令
∑∑-==+-+=
12
2
)12()12(N r N k r x r x
显然可得 0)2
(
=N
X 简答题：
19．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理
减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2s f 的频率成分。
20．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。
解：离散傅立叶变换是Z 变换在单位圆上的等间隔采样。
三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列
]
[])2[(4k R k x N -的值（ ）。
解：{}{}3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4=--===-k k x x x x k R k x N
2．已知}{
}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1)(=-===k n h k n ，则)(n x 和)(n h 的5点循环卷积为（ ）。
解：{
})3()2()()()()(---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[()(55==---+=k k x k x k x
3．已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。
解：?
?
???
?
??????-=?????????????????????????--------=??????????????????????
???734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]
3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]
0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h
证明题：
4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式
2
1
21
0][1][∑∑-=-==N m N k k X N n x
证：
∑∑
-=-==
1
2
1
][*][1
][1N m N m m X m X N
m X N
2
10
10
*10
1
*
1
0*10
]
[][][][1
]
[)
][]([1∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=-=====N k N k N m mk
N N k N m N k mk N
k x k x k x W
m X N k x W
k x m X N
5．)(n x 长为N 的有限长序列，)
(),(n x n x o e 分别为
)(n x 的圆周共轭偶部及奇部，也
即
)]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x e e -+=-= )]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x o o --=--=
证明：
)](Im[)]([)](Re[)]([K X j n x DFT K X n x DFT o e ==
证
]))((*)([2
1)](*)([21
)(*)(N e e n x n x n N x n x n N x n x -+=-+=-=
)](Re[)](*)([2
1k X k X k X =+? ]))((*)([2
1
)](*)([21)(*)(N o o n x n x n N x n x n N x n x --=--=--=
)](Im[)](*)([2
1
k X j k X k X =-? 6．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，试证明：
（a ） 如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。 （b ） 当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2
(
=N
X 。
第1章 离散时间信号与系统 1. 解：由题意可知 165 w π= 则周期为：22585168 5 N k k w πππ = ?= ?= ?= 其中k 为整数，且满足使N 为最小整数。 2. （1）解：由题意可知 37 w π= 则周期为：2214314337 N k k w πππ= ?=?= ?= （2）解：由题意可知 1211,4 7 w w ππ= = 则 12281814 N k k w πππ= ?= ?=?= 2221411417 N k k w πππ = ?= ?=?= 则所求周期N 为：1N 和2N 的最小公倍数，即为：56 3. 解：（1） n 幅值 (2)
01 24 3 n 幅度 4. 解：由题意得： 123123 8,2,6,102, 2, 2s s s s ππππΩ=Ω=Ω=Ω=Ω>ΩΩ<ΩΩ<Ω 1/4s T = 根据采样定理，只有信号对1()a x t 采样没有频率混叠。 11()() () cos 2(/4) cos 24 cos 2 a a n n x n x t t nT t t n n n δπδππ∞ =-∞ ∞ =-∞ =-=-==∑ ∑ t 幅度
22()() () cos 6(/4) cos 64 3cos 2 a a n n x n x t t nT t t n n n δπδππ∞ =-∞ ∞ =-∞ =-=--=-=-∑ ∑ t 幅度 33()() () cos10(/4) cos104 5cos 2 a a n n x n x t t nT t t n n n δπδππ∞ =-∞ ∞ =-∞ =- =-==∑ ∑ t 幅度
数字信号处理第一章总结
1.1 引言 (3) 1.2 时域离散信号 (3) 1）离散信号： (3) 2）常用序列： .................................................................... 错误！未定义书签。 3）正弦序列： (3) 4）周期序列： (4) 1.3 时域离散系统 (4) 1.3.1 线性系统 (4) 1.3.2 时不变系统 (5) 1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 (5) 1.3.4 系统的因果性和稳定性 (5) 1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程 (6) 1.4.1线性常系数差分方程： (6) 1.4.2线性常系数差分方程的求解 (6) 1.5 模拟信号数字处理方法 (7)
摘要：信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为以维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。通常把信号看做时间的函数。实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。 关键词：模拟信号；等间隔采样；时域离散信号 1.1 引言 信号分为三类：1）模拟信号：自变量和函数值都是连续的。 2）时域离散信号：自变量离散，函数值连续。 它来源于对数字信号的采样。 3）数字信号：自变量和函数值都是离散的。 它是幅度化的时域离散信号。 1.2 时域离散信号 离散信号：模拟信号（时域连续）经过“采样”变成时域离散信号，公式是： x(n)=x a (nT)，-∞＜n ＜∞ 这里，x(n)称为时域离散信号，式中的n 取整数，显然，x （n ）是一串有序的数字的集合，因此时域离散信号也可以称为序列。 时域离散信号有三种表示方法： （1）用集合符号表示序列 （2）用图形表示序列 （3）用公式表示序列 常用典型序列（时域离散信号）： 1）单位采样信号：0 001n ≠=???=n n ）（δ 2）单位阶跃信号：0001n u <≥? ??=n n ）（ 3)(n R N =u )(n -u )(N n -：（N 是矩形序列的长度） 实指数序列：a n x =)(n )(n u ，a 为实数。 3正弦序列：)s i n ()(n n x ω=，ω是“数字域频率” 如果正弦序列是由模拟信号)sin()(t t x a Ω=对比 两个)(n x 的表达式，可得
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+-
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果 kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(=≥ωπω j e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 6251612==Ω= π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π ，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频 率由)(ω j e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T f c 1250161 == 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 2．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。
第一章题目 一、单项选择题（每题1分） 1. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信号 最高截止频率Ωc应满足关系（） A.Ωs>2Ωc B. Ωs>Ωc C.Ωs<Ωc D. Ωs<2Ωc 2. 以下四个序列中，与其他三个不相等的序列是（） A. u(n)-u(n-3) B. δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2) C. δ(n)+ R4(n+1) D. R3(n) 3. 计算两个序列的卷积涉及多种序列运算，以下哪种运算不包含在其中（） A.序列的移位 B. 序列的数乘 C.序列相乘 D. 序列的反转 4. 若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为y(n)=R2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时， 输出为（） A.R2 (n)-R2 (n-2) B.R2 (n)+R2 (n-2) C.R2 (n)-R2 (n-1) D.R2 (n)+R2 (n-1) 5. 下列哪一个单位冲激响应h(n)所表示的系统不是因果系统（） A.h(n)=δ(n-4) B.h(n)=u(n)-u(n+1) C.h(n)=u(n)-u(n-1) D.h(n)=u(n) 6. 数字信号的特征是( ) A.时间离散、幅值连续 B.时间离散、幅值量化 C.时间连续、幅值量化 D.时间连续、幅值连续 7. 根据时域采样定理，为确保不发生频谱混叠现象，则采样频率f s与信号最高截止频率f c 应满足关系是（） A. f s>2 f c B. f s>f c C. f s< f c D. f s<2 f c 8. 经典数字信号处理理论的研究对象是（） A.非线性移变离散时间系统 B. 线性移变离散时间系统