2017-2018学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（）
A．sin1+cos1 B．cos1 C．sin1 D．sin1﹣cos1
2．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）
A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数
4．若A=8C，则n的值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），则=（）
A．﹣﹣i B．﹣﹣i C． +i D． +i
6．展开式中的常数项为（）
A．第5项B．第6项C．第5项或第6项D．不存在
7．已知△ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则△ABC的面积为cr．运用类比推理
可知，若三棱椎D﹣ABC的表面积为6，内切球的半径为，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）
A．B．C．3 D．2
8．小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（）
A．B．C．D．
9．若函数f（x）=x3﹣ax2﹣ax在区间（0，1）内只有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，2）
10．甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互
独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（）
A．B． C．D．
11．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）
12．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的
单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…，依此拆分
法可得1=+++++++++++++，其中m，n∈N*，
则m﹣n=（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
二、填空题(每题5分，共20分)
13．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，8），其回归
直线方程是=x+，且x1+x2+x3+…+x8=3（y1+y2+y3+…+y8）=6，则=．
14．某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为（用数字作答）．15．（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=．
16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值
为．
三、解答题
17．已知复数z=k﹣2i（k∈R）的共轭复数，且z﹣（﹣i）=﹣2i．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积．
18．为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？
K2=（n=a+b+c+d）
19．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）试比较20182018与20182018的大小，并说明理由．
20．甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为
，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自考上的概率；
（Ⅱ）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．
21．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，设数列{a n}的通项公式为a n=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2（2n﹣1）]．
（Ⅰ）求a1?a2?a3的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得a n=（n﹣2）?2n+a（n∈N*），并说明理由．
22．已知函数f（x）=e x+ax+b（a≠0，b≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；
（Ⅱ）若a=﹣b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．
2017-2018学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（）
A．sin1+cos1 B．cos1 C．sin1 D．sin1﹣cos1
【考点】导数的运算．
【分析】先求出函数的导数f′（x）的解析式，再把x=1代入f′（x）的解析式运算求得结果．【解答】解：∵函数f（x）=sin1﹣cosx，
∴f′（x）=sinx，
∴f'（1）=sin1，
故选：C
2．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，到曲线关于x=0.5对称，利用P（ξ＞2）=0.3，根据概率的性质得到结果．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，
∴曲线关于x=0.5对称，
∵P（ξ＞2）=0.3，
∴P（ξ＜2μ+1）=P（ξ＜2）=0.7，
故选：D．
3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）
A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数
【考点】反证法．
【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．
【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，
由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，
故选C．
4．若A=8C，则n的值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】排列及排列数公式．
【分析】根据排列与组合的公式，列出方程，求出解即可．
【解答】解：∵A n3=8C n2，
∴n（n﹣1）（n﹣2）=8×，
即n﹣2=4；
解得n=6．
故选：A．
5．在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），则=（）
A．﹣﹣i B．﹣﹣i C． +i D． +i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），得z1=﹣2﹣i，z2=i，
然后把z1，z2的值代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．
【解答】解：由复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），
得z1=﹣2﹣i，z2=i．
则==．
故选：A．
6．展开式中的常数项为（）
A．第5项B．第6项C．第5项或第6项D．不存在
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据题意，写出展开式中的通项为T r+1，令x的指数为0，可得r的值，由项数与r的关系，可得答案．
【解答】解：根据题意，展开式中的通项为T r+1=C10r（x）10﹣r（）r=C10r（x）10﹣2r，
令10﹣2r=0，可得r=5；
则其常数项为第5+1=6项；
故选B．
7．已知△ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则△ABC的面积为cr．运用类比推理
可知，若三棱椎D﹣ABC的表面积为6，内切球的半径为，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）
A．B．C．3 D．2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
∴四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体A﹣BCD=（S1+S2+S3+S4）R
∴V===．
故选：B．
8．小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（）
A．B．C．D．
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】这是求小张单独去了一个城市的前提下，三个人去的城市都不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．
【解答】解：小张单独去了一个城市，则有3个城市可选，小王、小李只能在小张剩下的两个城市中选择，可能性为2×2=4
所以小张单独去了一个城市的可能性为3×2×2=12
因为三个人去的城市都不同的可能性为3×2×1=6，
所以P（A|B）==．
故选：D．
9．若函数f（x）=x3﹣ax2﹣ax在区间（0，1）内只有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，2）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，根据二次函数的性质以及极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2﹣ax，
f′（x）=3x2﹣2ax﹣a，
若f（x）在区间（0，1）内只有极小值，
则即，
解得：0＜a＜1，
故选：C．
10．甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互
独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（）
A．B． C．D．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】先求出两个人都击中一次的概率、两个人都击中2次的概率，相加，即得所求．
【解答】解：两个人都击中一次的概率为××××=，
两个人都击中2次的概率为（）2?（）2=，
故两人命中目标的次数相等的概率为+=
故选：C．
11．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=在（0，
+∞）上为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，分类讨论即可得到答案．
【解答】解：令g（x）=，
则g′（x）=，
∵xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵g（﹣x）=﹣g（x），
∴函数g（x）为定义域上的奇函数，g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
又∵g（﹣1）=0，
∴g（1）=0，
∴不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，
∴x＞0，g（x）＞0或x＜0，g（x）＜0，
∴0＜x＜1或﹣1＜x＜0，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1），
故选：C．
12．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的
单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…，依此拆分
法可得1=+++++++++++++，其中m，n∈N*，
则m﹣n=（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】归纳推理．
【分析】结合裂项相消法，可得+==﹣+=+，解得m，n值，可得答案．
【解答】解：∵1=+++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
156=12×13，
182=13×14
∴1=+++++++++++++
=（1﹣）+++（﹣），
+==﹣+=+，
∴m=14，n=20，
∴m﹣n=﹣6，
故选：C．
二、填空题(每题5分，共20分)
13．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，8），其回归
直线方程是=x+，且x1+x2+x3+…+x8=3（y1+y2+y3+…+y8）=6，则=．
【考点】线性回归方程．
【分析】由题意求得样本中心点（，），代入回归直线方程即可求得的值．
【解答】解：由x1+x2+x3+…+x8=3（y1+y2+y3+…+y8）=6，
∴=（x1+x2+x3+…+x8）=，=（y1+y2+y3+…+y8）=，
由回归直线方程过样本中心点（，），
=﹣=﹣×=，
故答案为：．
14．某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为144（用数字作答）．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】依题意，先求出相邻2天的所有种数，再选2名值相邻的2天，剩下2人各值1
天利用分步乘法计数原理即可求得答案．
【解答】解：单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天．
故相邻的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6种情形，
选2名值相邻的2天，剩下2人各值1天，故有6A42A22=144种，
故答案为：144
15．（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=5．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二次函数的性质．
【分析】先解不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S，再由随机变量ξ=m2，求出分布列，用公式求出期望．
【解答】解：由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，符合条件的整数解的集合S={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}
∵ξ=m2，故变量可取的值分别为0，1，4，9，16，
相应的概率分别为，，，，
∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+4×+9×+16×==5
故答案为：5．
16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用已知条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值．
【解答】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足e b=2a﹣3，2a﹣3＞0，可得b=ln（2a﹣3），|2a﹣b﹣1|=|2a﹣ln（2a﹣3）﹣1|，令2a﹣3=x，上式化为|x﹣lnx+2|，
令y=x﹣lnx+2，可得y′=1﹣，由y′=0，可得x=1，当x∈（0，1）时，y′＜0，函数是减函
数，
x＞1时，y′＞0，函数是增函数，x=1时，y=x﹣lnx取得最小值：3．
则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题
17．已知复数z=k﹣2i（k∈R）的共轭复数，且z﹣（﹣i）=﹣2i．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积．
【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】（Ⅰ）利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值；
（Ⅱ）写出直线l的方程，求出直线l与曲线y=的交点，再利用积分求对应的面积．
【解答】解：（Ⅰ）复数z=k﹣2i的共轭复数=k+2i，
且z﹣（﹣i）=﹣2i，
∴（k﹣2i）﹣（﹣i）=（k+2i）﹣2i，
∴（k﹣）﹣i=k﹣i，
即k﹣=k，
解得k=1；
（Ⅱ）过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k=1，
∴直线l的方程为：y=x﹣2；
令，解得，
∴直线l与曲线y=的交点为（4，2）；
如图所示，
曲线y=与直线y=x﹣2以及y轴所围成的图形的面积为：
S△OBC+∫02dx+∫24（﹣x+2）dx=×2×2++（﹣x2+2x）=．
18．为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？
K2=（n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据等高条形图，可得留守儿童有40人，心理健康的有12人，心理不健康的有28人，非留守儿童有70人，心理健康的有56人，心理不健康的有14人，把数据代入公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论．
【解答】解：根据等高条形图，可得留守儿童有40人，心理健康的有12人，心理不健康的有28人，非留守儿童有70人，心理健康的有56人，心理不健康的有14人，
∴K2=≈26.96＞10.828，
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系．
19．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）试比较20182018与20182018的大小，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=的定义域是（0，+∞），
f′（x）==，
令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
=f（e）=，无极小值；
∴f（x）
极大值
（Ⅱ）∵f（x）在（，+∞）递减，
∴＞，
∴2018ln2018＞2018ln2018，
∴20182018＞20182018．
20．甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为
，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自考上的概率；
（Ⅱ）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率．（Ⅱ）由题意X的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，
则P（A）=，且，
解得P（C）=，P（B）=．
∴乙考上的概率为，丙考上的概率为．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为1，2，
P（X=1）
=+++++=，
P（X=2）==，
X
1
EX==．
21．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，设数列{a n}的通项公式为a n=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2（2n﹣1）]．
（Ⅰ）求a1?a2?a3的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得a n=（n﹣2）?2n+a（n∈N*），并说明理由．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）计算a1=0，故a1?a2?a3=0；
（2）根据对数性质得出a n=1?0+2?1+22?2+23?3+…+2n﹣1?（n﹣1），使用错位相减法求出a n，得出a的值．
【解答】解：（I）a1=[log21]=0，a2=[log21]+[log22]+[log23]=0+1+1=2，
a3=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log27]=0+1+1+2+2+2+2=10．
∴a1?a2?a3=0．
（II）当2n﹣1≤x≤2n﹣1时，[log2x]=n﹣1．
∴[log22n﹣1]+[log22n﹣1+1]+[log22n﹣1+2]+…+[log2（2n﹣1）]=（n﹣1）（2n﹣1﹣2n﹣1+1）=2n ﹣1（n﹣1）．
∴a n=1?0+2?1+22?2+23?3+…+2n﹣1?（n﹣1），①
∴2a n=22?1+23?2+24?3+…+2n?（n﹣1），②
②﹣①得：a n=﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+2n?（n﹣1）﹣2
=﹣+2n?（n﹣1）﹣2
=2n?（n﹣2）+2．
又a n=（n﹣2）?2n+a，
∴a=2．
22．已知函数f（x）=e x+ax+b（a≠0，b≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；
（Ⅱ）若a=﹣b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出导数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，解得a=﹣1，b=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（﹣2）和f（1），比较即可得到最大值；
（Ⅱ）若a=﹣b ，f （x ）=e x +ax ﹣a=0，x ＞1，﹣a=
，g （x ）=，求出导数，求得
单调区间和极值，即可讨论函数f （x ）在区间（1，+∞）上零点的个数． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=e x +ax +b ，∴f ′（x ）=e x +a ， ∴f ′（0）=1+a ，
∵函数f （x ）的图象在点（0，f （0））处的切线方程为y=2， ∴a=﹣1．
∵x=0，f （0）=2， ∴1+b=2， ∴b=1，
∴f （x ）=e x ﹣x +1， ∴f ′（x ）=e x ﹣1，
当x ＜0时，有f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 当x ＞0时，有f ′（x ）＞0，f （x ）递增．
则x=0处f （x ）取得极小值，也为最小值，且为2， 又f （﹣2）=e ﹣2+3，f （1）=e ，f （2）＞f （1）， 即有f （﹣2）为最大值e ﹣2+3；
（Ⅱ）若a=﹣b ，f （x ）=e x +ax ﹣a=0，x ＞1，﹣a=
，
令g （x ）=，则g ′（x ）=，
当x ＞2时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增，
当x ＜1和1＜x ＜2时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减． 即有x=2处g （x ）取得极小值，为e 2，
∴﹣a ＜e 2，即a ＞﹣e 2，函数f （x ）在区间（1，+∞）上零点的个数为0； ﹣a=e 2，即a=﹣e 2，函数f （x ）在区间（1，+∞）上零点的个数为1； ﹣a ＞e 2，即a ＜﹣e 2，函数f （x ）在区间（1，+∞）上零点的个数为2．
2018年8月4日
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的． 1．命题〝假设2x =，那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠，那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=，那么2x = C 、假设2320x x -+≠，那么2x ≠ D 、假设2x ≠，那么2 320x x -+= 2．〝直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 ．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6，那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4．圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)， (0,2,0)，(2,2,2)．那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学（理） 试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设命题p ：x R ?∈，2 10x ，则p ?为（ ） A ．0x R ?∈，2010x +> B ．0x R ?∈，2010x +≤ C ．0x R ?∈，2010x +< D ．0x R ?∈，2010x +≤ 2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 3．双曲线22 134 y x -=的渐近线方程是（ ） A ．y x = B ．y x = C ．34y x D ．43y x =± 4．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题 B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题 5．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k =（ ） A ．75 B ．1 C ．35 D ．15 6．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 B ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 C ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和 D ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3π α=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在 小正方形内的概率是（ ） A ．12- B C ．44- D 8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( ) A ．2a B C ．a D 9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )