第六章 正交试验设计
课后作业参考答案
6.1某实验考察因素A 、B 、C 、D ，选用表49(3)L ，将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1，2，3，4列上，所得9个实验结果依次为：
45.5，33.0，32.5，36.5，32.0，14.5，40.5，33.0，28.0
试用极差分析方法指出较优工艺条件及因素影响的主次，并作因素-指标图。 解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 表示对第j 列而言，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 三个数据的极差。
从表中和图中可以看出，Rb>Ra>Rd>Rc,最优工艺条件为:B1,A1,D1,C3
6.2 某四种因素二水平试验，除考察因素A,B,C,D 外，还需要考察C B B A ??,,今选用表
()782L ,将A,B,C,D 依次排在第1、2、4、5列上，所得8个实验结果依次为：
12.8 28.2 26.1 35.3 30.5 4.3 33.3 4.0
试用极差分析法指出因素(包括交互作用)的主次顺序及较优工艺条件。
解：下表中Ij 、IIj 表示将第j 列，把8个试验结果分为两组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 三个数据的极差。
由上表知，因素从主到次的顺序为：D, C, A, B,
B A ?,
C B ?
分别将A 与B 、B 与C 的各种搭配结果列出如下：
A 与
B 最好的搭配是A2B1,其次是A1B1,A2B2,最后是A1B2
B 与
C 最好的搭配B2C1,其次是B1C1,B2C2,最后是B1C2
综上可得，最好工艺条件为A1B2C1 D2
6.3某毛线厂为了摸索洗呢工艺对织物弹性的影响，从而找出较优洗呢工艺，进行了二水平四因素试验，因素间的相互作用均可忽略，考核指标为织物弹性（次数越多越好）。因素水平如下表，选用表78(2)L ，因素A 、B 、C 、D 依次排在第1、2，4，7列上，8个实验结果为： 150，135，156，147，130，131，144，131
解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 表示对第j 列而言，把8个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 两个数据的极差。 某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和, 自由度fj =水平数t-1, n r t
= 1
,n
i i T T y y n
===
∑ 根据以上数据，得出方差分析表如下： 总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和, 自由度fT=试验次数n-1,
某因子的自由度fj =水平数t-1
ij T 表示正交表的第j 列的第i 水平的试验结果i y 之和
∑
=-=
n i i T y y S 1
2)?(∑==m
j j
T f f 1
m
j y r
T
r S n i ij
j ,...,2,1,(12=-=∑=∑
==m j j
T S S 1
查表，得，F0.99
从而各因素的显著性如表所示。
因素的重要程度依次为:A,C,B,D.和极差分析结果一样。
最优工艺条件是:A1C1B2D2.
6.4 为了提高某农药的收率进行正交试验设计。据生产经验知，影响收率的有A、
B、C、D四因素，且A与B有交互作用，因素水平如下表，8个试验结果是：
86,95,91,94,91,96,83,88
试用方差分析法，找出最优工艺条件。
根据以上数据，得出方差分析表如下：
查表，得， F0.95(1,2)=18.5,
从而各因素的显著性如表所示。
因素的重要程度依次为:C,A*B, B,A,D.
最优工艺条件是:A2B1C2D1.
6.5 为寻求较好的工艺条件以提高某种产品的产量，选取因素水平表如表6-21。希望考察全部交互作用C B C A B A ???,,。选用表()13
27
3L ，将A,B,C 分别排在第1、2、5列上。
27个试验结果为：
1.3 4.63 7.23 0.5 3.67 6.23 1.37 4.73 7.07 0.47 3.47 6.13 0.33 3.40 5.8 0.63 3.97 6.5 0.03 3.40 6.80 0.57 3.97 6.83 1.07 3.97 6.57
试用方差分析法找出较优工艺条件(取1.0=α)。 解：
下表中Ij 、IIj 、IIIj 表示将第j 列，把27个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的9个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 、IIIj 三个数据的极差。 某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和, 自由度fj =水平数t -1
2
11,,,∑∑==???
? ??-====t
i ij j n
i i y r T r S t n
r n T y y T
根据以上数据，得出方差分析表如下：
其中，总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和；自由度ft =试验次数n -1；某因子的自由度fj =水平数t -1
()∑∑∑=====-=m
j j T m
j j T n
i i T f f S S y
y S 1
1
2
1
,,? ij T 表示正交表的第j 列的第i 水平的试验结果i y 之和
由以上分析可知，因素从主到次的顺序为：C ,A ,B ,B A ? 各因素试验数据的均值见下表
综上可得，最好工艺条件为A1B1C3
6.6 某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干不匀率的影响，从而找出较优工艺条件进行生产，进行了三因素三水平试验，因素水平如表6-22。由经验知各因素间交互作用可以忽略。选表()4
9
3L ,将A,B,C 依次排在第1、2、3列上。9个试验结果依次为：
21.5 21.3 19.8 22.6 21.4 19.7 22.8 20.4 20.0
试分别用极差分析法和方差分析法(取05.0=α)找出较优工艺条件，并画出因素-指标图。
解：
方法一：极差法
下表中Ij 、IIj 、IIIj 表示将第j 列，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 、IIIj 三个数据的极差。 某因子的主效应平方和=重复数×参数估计的平方和, 自由度fj =水平数t -1
2
11,,,∑∑==???
? ??-====t
i ij j n
i i y r T r S t n
r n T y y T
因素从主到次的顺序为：BCA ，最好工艺条件为B1C3A2
方法二：方差分析方法
根据以上数据，得出方差分析表如下：
其中，总平方和=(试验数据-总平均值)的平方和；自由度ft =试验次数n -1；某因子的自由度fj =水平数t -1
()∑∑∑=====-=m
j j T m j j T n
i i T f f S S y
y S 1
1
2
1
,,? ij T 表示正交表的第j 列的第i 水平的试验结果i y 之和
由以上分析可知，因素从主到次的顺序为：BCA 各因素试验数据的均值见下表
最优的工艺选择为：B1C3A2
正交试验设计方法讲义及举例 第5章 正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？ 先固定T 1和p 1，只改变m ，观察因素m 不同水平的影响，做了如图2-2（1）所示的三次实验，发现 m ＝m 2时的实验效果最好（好的用 □ 表示），合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m 应取m 2水平。 固定T 1和m 2，改变p 的三次实验如图5-2（2）所示，发现p ＝p ３时的实验效果最好，因此认为因素p 应取p ３水平。 固定p ３和m 2，改变T 的三次实验如图5-2（3）所示，发现因素T 宜取T 2水平。 因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T 2p ３m 2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m 值（或p 值，或T 值）的三次实验中，说m 2（或p ３或T 2 ）水平最好是有条件的。在T ≠T １，p ≠p １时，m 2 水平不是最好的可能性是有的。②在改变m 的三次实验中，固定T ＝T ２，p ＝p ３ 应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。 正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L 9（34），其试验安排见表5-2。 所有的正交表与L 9（34）正交表一样，都具有以下两个特点： （1） 在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L 9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。 （2） 表中任意两列并列在一起形成若干个数字对， 不同数字对出现的次数也都相同。
第三章：统计推断 第3章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672； （2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。 σ），u，2σ均为未知。试就1，2两种情况分别求u的置信度为设测定值总体为N（u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 0.9的置信区间，并求2 （1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存 ③打开analyst，选择jingqiu文件，打开： ④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：
⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开： ③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%： ④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
第六章 方差分析与正交试验设计 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §6.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2 i i N X ，),,2,1(r i 。 检验如下假设： r H 210:， r H ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i ，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i ，称为组内差平方和。
这里 r i i n n 1 ， i n j ij i i x n x 1 1 ， r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果),1(r n r F F ，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij 再进行计算，不会影响F 值的大小。 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321 n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321 x x x x 43.70)()(21 2 11 x x n x x S i r i i r i n j i A i ， 74.137)(211 i r i n j ij e x x S i 49.5)27,2(90.601.0 F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。 §6.2 双因素方差分析 同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平： r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验， 称为双因素试验。 一、无交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
正交试验设计步骤 1 在SPSS中手动录入数据。请注意写入空白列。 2 点击数据→正交设计→生成，出现“生成正交设计”对话框。按因素水平表进行赋值， 空白列的赋值为1“1”，2“2”，3“3”
3 点击“数据”→“正交设计”→“显示”， 空白列的D可不加到右边的“因子”框中。 4 测量数据填入表8中的“STATUS_”列的相应单元格中 5单击“分析”→“一般线性模型”→“单变量” 注意不要选“空白列” 6 单击“对比”→选择“简单”
7 单击“模型”→选择“设定”→将“A”、“B”、“C”选入右边的“模型”中→单击“构建项”中的“主效应”， 8 单击“选项”→将“因子与因子交互”中的“A”、“B”、“C”选入“显示均值”中→勾选“比较主效应”， 9 结果分析 （1）方差分析结果 主体间因子 值标签N
硬脂酸钠溶液浓度 1 40 3 2 50 3 3 60 3 硫酸铝溶液浓度 1 40 3 2 50 3 3 60 3 浸渍时间 1 5 3 2 15 3 3 20 3 主体间效应的检验 因变量:STATUS_ 源III 型平方 和df 均方 F Sig. 校正模型733.073a 6 122.179 35.690 .028 截距10588.410 1 10588.410 3093.012 .000 A 423.487 2 211.743 61.853 .016 B 305.060 2 152.530 44.556 .022 C 4.527 2 2.263 .661 .602 误差 6.847 2 3.423 总计11328.330 9 校正的总计739.920 8 a. R 方 = .991（调整 R 方 = .963） 根据正交试验方差分析可知，硬脂酸钠溶液浓度和硫酸铝溶液浓度对试验指标的影响非常显著，而处理时间对试验指标的影响不显著。影响程度的大小也有差异，A＞B （2）单因素统计量分析 1. 硬脂酸钠溶液浓度 估计 因变量:STATUS_ 硬脂酸钠溶液浓度 均值标准误差 95% 置信区间下限上限 dimensio n140 25.600 1.068 21.004 30.196 50 34.933 1.068 30.337 39.530 60 42.367 1.068 37.770 46.963
正交试验设计法[17] 正交试验设计是利用“正交表”选择试验的条件，并利用正交表的特点进行数据分析，找出最好的或满意的试验条件，适用于多因素的设计问题。正交试验法的理论基础是正交拉丁方理论与群论。在工作中可用的多因素寻优工作方法，一类是从优选区某一点开始试验，一步一步到达较优点，这类实验方法叫序贯试验法，如因素轮换法、爬山法等；另一类是，在优选区内一次布置一批试验点，通过对这批试验结果的分析，逐步缩小优选范围从而达到较优点，如正交试验法等。科研中普遍采用正交试验法，因其具有如下优点： ①实用上按表格安排试验，使用方便； ②布点均衡、试验次数较少； ③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到； ④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰； ⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。 名词解释： 1 试验因素：影响考核指标取值的量称为试验因素(因子)，一般记为：A，B，C等。有定量的因素，可控因素，定性的因素，不可控因素等。 2 因素的位级(水平)：指试验因素所处的状态。 4 考核指标：根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值(指标)。 5 完全因素位级组合：指参与实验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的实验次数。
6 部分因素位级组合：⑴单因素转换法⑵正交试验法 7 正交表的符号：正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名的基础上构造的一种规格化的表格。符号：Ln(ji) 其中： L--正交表的符号 n--正交表的行数(试验次数，试验方案数) j--正交表中的数码(因素的位级数) i--正交表的列数(试验因素的个数) N=ji--全部试验次数(完全因素位级组合数) 总之，利用正交试验法的设计方案，结合代数方法对数据进行分析，可达到使试验收敛速度加快、试验的效率非常高的效果。可利用试验结果获取更多信息，准确掌握效应的趋势规律，而且优选点可超越所选水平范围和精度，从而可大大减少试验次数。这种联用技术，对于可获得定量结果或结果容易定量化，以及试验代价高时，很有效。 正交实验设计 当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 1．正交表
第六章正交试验设计 （I）教学内容与要求 （1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。 （2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法； （3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。 （4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。 （II）教学重点 正交试验的直观分析法。 （III）教学难点 正交试验的方差分析。 6.1 概述 6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。 例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。 表6-1 因素水平表 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案） A2——… A3——…
此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。 先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验： 发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。 固定A和C，改变B的三次实验为： 发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为： 发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。 对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点： 9 4 试验号 列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg 符号 A B C 1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1 2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2 3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3 4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3 5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1 6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2 7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2 8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3 9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1
L9（34） 序号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C 也都取三个水平： A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点.......... (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C于Bl、Cl，使A变化之： ↗A1 B1C1 →A2 ↘A3 (好结果) 如得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是Cl，使B变化之： ↗B1 A3C1 →B2 (好结果) ↘B3 得出结果以B2为最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化之： ↗C1 A3B2→C2 (好结果) ↘C3 试验结果以C2最好。于是就认为最好的工艺条件是A3B2C2。 这种方法一般也有一定的效果，但缺点很多。首先这种方法的选点代表性很差，如按上述方法进行试验，试验点完全分布在一个角上，而在一个很大的范围内没有选点。因此这种试验方法不全面，所选的工艺条件A3B2C2不一定是27个组合中最好的。其次，用这种方法比较条件好坏时，是把单个的试验数据拿来，进行数值上的简单比较，而试验数据中必然要包含着误差成分，所以单个数据的简单比较不能剔除误差的干扰，必然造成结论的不稳定。
\ 第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 & 图7-1 R 法示意图 — 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，K jm 为K jm 的平均值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max(jm j j K K K ,,,21 )-min(jm j j K K K ,,,21 )
R j反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. ( 表6-4 因素水平表 酶解温度 (C) ( C 表6-6 试验方案及结果
正交试验设计方法（1）(2008-12-17 12:59:39) 标签：正交设计杂谈分类：其他 5．1试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 表5－1因素水平
对此实例该如何进行试验方案的设计呢 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。
图5－1 全面搭配法方案 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T1、T2、T3。
常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢
正交试验设计方法在试验设计中的应用 来稿日期:1999-10-06 郝行舟 李春生 (南阳市公路交通规划勘察设计院) 摘要 本文以三因素三水平的正交试验设计为例,说明正交表的使用方法及正交试验设计方法在试验设计中的应用。并通过一个具体实例向大家介绍正交试验设计的原理、优点及试验结果处理的方法。 关键词 正交试验设计 应用 正交表 优选法 Orthogonal Test Method ′s Applications on Testing Designs Hao X ingzhou (N anya ng H ighw ay Pla n&Reconnaissance Institute ) Abstract This paper ,using 3factor s a nd 3dim ensio ns o r tho go nal test a s a n ex ample ,sho w ho w to use the o rt-hog o nal test table and o rthog o na l test me tho d ′s applica tions on testing desig ns .It a lso g iv e an exa mple to sho w the de -tails o f principle ,adv antag es ,dealing with testing results o f or thog onal test desig ns . Key words O r tho g onal test desig ns Applica tion O r tho go na l test table O ptimum seeking metho d 1 引言 如何科学地设计试验,以获得高可靠性的试验数 据,这是我们工程技术人员在试验设计中最需要解决的问题。试验安排得好,试验次数少且能获得满意的结果,多快好省,事半功倍,反之则事倍功半。 举例来说:若影响质量指标的因素有A 、B 、C 3种因素,每个因素各取3个水平,分别为A 1、A 2、A 3、B1、B2、B3、C1、C2、C3.(所谓因素的水平即该因素在其试验范围内取具有代表性的“值”,三水平就是有代表性的3个“值”,水平有时不限于数值,它可以是原料的种类或操作方式等等)。按传统的方法采用单因素轮换法安排试验:譬如因素B 固定在B1水平上,因素C 固定在C 1水平上,试验安排为B 1C 1A1 A2A3 ,如果试验结果发现在A3水平较好,则安排试验A3C1 B1B2B3 ,这时发现B 2较好,以后就安排A 3B 2 C1 C2C3 ,如果发现C 3较好,那么A3B2C3为最佳条件,这种试验安排的缺点是:①考察的因素水平仅局限于局部区域,不能全面地反映因素的全面情况,找不出影响质量的主要因素,无 法再在三水平外继续找更好的配比组合(水平)。②如果不进行重复试验,试验误差就估计不出来,因此无法确定最佳分析条件的精度。当然,我们可以用全面试验法按它们所有可能组合的情况做试验,则需做33=27次试验,对各因素进行全面考虑,从中选出最优化条件,但这种作法很不经济,有时是不可能实现的。例如安排5个因素的3水平的全面试验需做35=243次,这在人力、物力、时间上是几乎不可能执行的。因此,我们很自然地会提出下列问题:如何从大量的试验点中挑选适量的具有代表性、典型性的点呢?特别是怎样选择试验次数尽量少而又有代表性的试验呢?利用根据数学原理制作好的规格化表——正交表来设计试验不失为一种上策,这种设计方法被称为正交最优化,即正交试验设计方法。事实上,正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上,更表现在对试验结果的处理上。 2 正交试验设计方法简介 还以前面提到过的三因素三水平的项目为例,是否同样做9次试验,可以完全克服单因素轮换法安排试验的诸多缺点,且能选出影响质量的最主要因素,便于进一步试验呢?回答是肯定的,这便是利用正交表,进行正交试验设计。表1为三水平正交表中的一种,可以在本例中应用。 26 第19卷 第6期河南交通科技 V ol.19 N o.61999年12月SCIEN CE AN D T ECHN O LO G Y O F HEN AN CO M M UN ICA T IO N Dec.1999
实验一正交实验设计 1为了提高某种产品的质量，研究A（温度，℃），B（压力，kg），C（配比，%），D（时间，h）四个因素对质量指标的影响。每个因素各取3个水平（见表1.1）进行实验。请根据实验方案选择合适的正交表安排实验，并用直观分析方法寻找最优实验方案。 9 实验数据分析表：
效应曲线图： 结果分析：极差越大，影响越大;虚拟值越大，条件越优 对质量指标的影响：温度>压力>时间>配比 极值最大为：A3，B2 ,C2 ,D3 选取最优方案为：温度470℃，压力20 kg ，配比5% ，时间3h 2为了提高铸件的精铸性能指标，确定最优的工艺条件，研究以下5个具有2水平的因素。见表1.2，且A与B、B与C之间存在交互作用，见表1.3，试用L8（27）设计实验，并做直观分析。
表1.2 实验数据分析表： 结果分析：极差越大，影响越大;虚拟值越大，条件越优 对性能指标的影响：A(硬化剂相对密度)＞A×B＞E(脱蜡条件)＞B(硬化时间)=D（晾干时间）＞B×C＞C（硬化剂温度） 所以，最优工艺条件为：硬化剂密度1.48, 硬化时间2min, 硬化剂温度（根据BC交互判定）25℃，晾干时间15h，脱蜡条件HCl
3、试用正交表方差分析方法，确定T8钢的最优热处理工艺方案，因素与水平见表1.4。 表1.4 注，其中A与B有交互作用，测试淬火后钢的硬度，硬度越大越好。选L8（27）设计，实验结果如下： 方差分析表
1.对T8钢的影响因素大小如下：A×B（或者C）>A>B(或者D)>E>e 2.由于测试淬火后钢的硬度，硬度越大越好。则由实验结果可知：实验2的结果最优！即在淬火温度为800℃，淬火时间为15 min，A×B为1，冷却液为水，e为2，E为2，操作方法为D2时得到的钢是最硬的！
正交试验设计方法讲义及举例 第5章正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案 的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方 案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极 好，因素和水平的搭配十分全面，唯 一的缺点是实验次数多达33＝27次 （指数3代表3个因素，底数3代表 每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T1、T2、T3。 表5－1 因素水平 水平 因素温度℃压力Pa 加碱量kg 符号T p m 1 2 3 T1 (80 ) T2(100) T3(120) p1(5.0) p2(6.0) p3(7.0) m 1(2.0) m2(2.5) m3(3.0) 图5－1 全面搭配法方案
第5章 正交试验设计方法 5．1 试验设计方法概述 试验设计是数理统计学的一个重要的分支。多数数理统计方法主要用于分析已经得到的数据，而试验设计却是用于决定数据收集的方法。试验设计方法主要讨论如何合理地安排试验以及试验所得的数据如何分析等。 例5-1 某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表5-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻求最适宜的操作条件。 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如图5-1所示）： 此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33 ＝27次（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）。因素、水平数 愈多，则实验次数就愈多，例如，做一个6因素3水平的试验，就需36＝729次实验，显然难以做到。因此需要寻找一种合适的试验设计方法。 试验设计方法常用的术语定义如下。 试验指标：指作为试验研究过程的因变量，常为试验结果特征的量（如得率、纯度等）。例1的试验指标为合格产品的产量。 因素：指作试验研究过程的自变量，常常是造成试验指标按某种规律发生变化的那些原因。如例1的温度、压力、碱的用量。 水平：指试验中因素所处的具体状态或情况，又称为等级。如例1的温度有3个水平。温度用T 表示，下标1、2、3表示因素的不同水平，分别记为T 1、T 2、T 3。 常用的试验设计方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多，各种试
验设计方法都有其一定的特点。所面对的任务与要解决的问题不同，选择的试验设计方法也应有所不同。由于篇幅的限制，我们只讨论正交试验设计方法。 5．2 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。其特点为：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。 从例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次实验。那么采用简单比较法方案又如何呢？ 先固定T1和p1，只改变m，观察因素m不同水平的影响，做了如图2-2（1）所示的三次实验，发现m＝m2时的实验效果最好（好的用□表示），合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素m应取m2水平。 固定T1和m2，改变p的三次实验如图5-2（2）所示，发现p＝p３时的实验效果最好，因此认为因素p应取p３水平。 固定p３和m2，改变T 的三次实验如图5-2（3）所示，发现因素T 宜取T2水平。 因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为T2p３m2。与全面搭配法方案相比，简单比较法方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，简单比较法方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变m值（或p值，或T值）的三次实验中，说m2（或p３或T2）水平最好是有条件的。在T≠T１，p≠p１时，m2水平不是最好的可能性是有的。②在改变m的三次实验中，固定T＝T２，p＝p３应该说也是可以的，是随意的，故在此方案中数据点的分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 运用正交试验设计方法，不仅兼有上述两个方案的优点，而且实验次数少，数据点分布均匀，结论的可靠性较好。 正交试验设计方法是用正交表来安排试验的。对于例1适用的正交表是L9（34），其试验安排见表5-2。 所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有以下两个特点： （1）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。 （2）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。在表L9（34）中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一个数字对各出现一次。
1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围：A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平： A：A l＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：B l＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：C l＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：
(Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即A l B l C1，A1B l C2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有 33=27次 试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时，如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 (Ⅱ)简单对比法，即变化一个因素而固定其他因素，如首先固定B、C 于B l、C l，使A变化之： ↗A1 B1C1→A2 ↘A3 (好结果)
本体是一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3^3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)^7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。 全面试验的最大优点是所获得的信息量很多,可以准确地估计各实验因素的主效应的大小,还可估计因素之间各级交互作用效应的大小;其最大缺点是所需要的实验次数最多,因此耗费的人力、物力和时间也较多,当所考察的实验因素和水平较多时,研究者很难承受.此设计还有3个明显的特点:其一,它要求实验时全部因素同时施加,即每次做实验都将涉及到每个因素的一个特定水平(注:若实验因素施加时有"先后顺序"之分,一般被称为"分割或裂区设计");其二,因素对定量观测结果的影响是地位平等的,即在专业上没有充分的证据认为哪些因素对定量观测结果的影响大、而另一些影响小(注:若实验因素对观测结果的影响在专业上能排出主、次顺序,一般就被称为"系统分组或嵌套设计");其三,可以准确地估计各因素及其各级交互作用的效应大小(注:若某些交互作用的效应不能准确估计,就属于非正规的析因设计了,如分式析因设计、正交设计、均匀设计,等等). 正交试验设计是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是是一种高效率、快速、经济的实验设计方法.
正交试验还具有如下优点: ①实用上按表格安排试验，使用方便； ②布点均衡、试验次数较少； ③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到； ④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰； ⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。 但其也有一些缺点：它提供的数据分析方法所获得的优选值，只能是试验所用水平的某种组合，优选结果不会超越所取水平的范围；另外，也不能给进一步的试验提供明确的指向性，使试验仍然带很强的摸索性色彩，不很精确。这样，正交试验法用在初步筛选时显得收敛速度缓慢、难于确定数据变化规律，增加试验次数。尤其在试验工作烦琐、费用昂贵的情况更显突出。
第六章 正交试验设计 课后作业参考答案 6.1某实验考察因素A 、B 、C 、D ，选用表4 9(3)L ，将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1，2， 3，4列上，所得9个实验结果依次为： 45.5，33.0，32.5，36.5，32.0，14.5，40.5，33.0，28.0 试用极差分析方法指出较优工艺条件及因素影响的主次，并作因素-指标图。 解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 表示对第j 列而言，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 三个数据的极差。
从表中和图中可以看出，Rb>Ra>Rd>Rc,最优工艺条件为:B1,A1,D1,C3 6.2 某四种因素二水平试验，除考察因素A,B,C,D 外，还需要考察C B B A ??,,今选用表 ()7 82L ,将A,B,C,D 依次排在第1、2、4、5列上，所得8个实验结果依次为： 12.8 28.2 26.1 35.3 30.5 4.3 33.3 4.0 试用极差分析法指出因素(包括交互作用)的主次顺序及较优工艺条件。 解：下表中Ij 、IIj 表示将第j 列，把8个试验结果分为两组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 三个数据的极差。
A?,由上表知，因素从主到次的顺序为：D, C, A, B,B 分别将A与B、B与C的各种搭配结果列出如下： A与B最好的搭配是A2B1,其次是A1B1,A2B2,最后是A1B2 B与C最好的搭配B2C1,其次是B1C1,B2C2,最后是B1C2