第六章正交试验设计
（I）教学内容与要求
（1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。
（2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法；
（3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。
（4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。
（II）教学重点
正交试验的直观分析法。
（III）教学难点
正交试验的方差分析。
6.1 概述
6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点
用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。
例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。
表6-1 因素水平表
对此实例该如何进行试验方案的设计呢？
很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案）
A2——…
A3——…
此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。
先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验：
发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。
固定A和C，改变B的三次实验为：
发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为：
发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。
第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。
对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点：
9
4
试验号
列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg
符号 A B C
1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1
2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2
3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3
4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3
5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1
6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2
7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2
8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3
9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1
（1）在每一列中，各个不同的数字出现的次数相同。在表L9（34）中，每一列有三个水平，水平1、2、3都是各出现3次。
（2）表中任意两列并列在一起形成若干个数字对，不同数字对出现的次数也都相同。在表L9(34)中，任意两列并列在一起形成的数字对共有9个：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)，每一个数字对各出现1次。
这两个特点称为正交性。正是由于正交表具有上述特点，就保证了用正交表安排的试验方案中因素水平是均衡搭配的，数据点的分布是均匀的。这从图6-1中可以直观地看出。虽然数据点只有9个，却非常均匀地分布在图中的各个平面和各条直线上。与A轴垂直的三个平面，与B轴垂直的三个平面，与C轴垂直的三个平面等9个平面内，每一个平面内都正好含有3个数据点。图中与A、B、C轴平行的27条直线，每一条直线上都正好含有一个数据点。
可见，运用正交试验设计方法得出的第三方案，不仅试验的次数少，而且数据点分布的均匀性极好。兼有第一和第二方案的优点。不难理解，对第三方案的全部数据，进行数理统计分析引出的结论的可靠性肯定会远好于第二方案。因素愈多，水平数愈多，运用正交试验设计方法，减少试验次数的效益愈明显。做一个6因素3水平试验，若用因素水平全面搭配方法，共需的试验次数=36=729次；若用正交表L27(313)来安排，则只需做27次试验。
图6-1 对应的数据分布图
6.1.2 因素之间的交互作用
交互作用的定义
如果因素A的数值和水平发生变化时，试验指标随因素B变化的规律也生变化。或反之，若因素B的数值或水平发生变化时，试验指标随因素A变化的规律也发生变化。则称因素A、B间有交互作用，记为A×B。
交互作用的判别
例6-2 在合成橡胶生产中，催化剂用量和聚合反应温度是对转化率有重要影响的两个因素。判别这两个因素是否有交互作用，基本方法是按表6-3所示的二元表，做四次实验，而后画出和分析图6-2。
图6-2 交互作用A×B的二元图
由图6-2可见,转化率随催化剂用量的变化规律，因聚合反应温度的不同而差异很大。在聚合反应温度为30℃时，转化率随催化剂用量的增大而减少；在聚合反应温度为50℃时，转化率却随催化剂用量的增大而增大。两直线在图中相交，这是交互作用很强的一种表现。
若两因素间没有交互作用，则出现在图6-2中的两直线应该是严格的互相平行。
若两直线不互相平行，是不是就可以说“有交互作用”呢？不能。因为实验数据的误差也会造成两直线不互相平行。为此请看例6-3。
例6-3为判别合成橡胶生产中，催化剂用量（B）与聚合时间C两因素之间是否存在有交互作用，为此，研究它们对转化率y的影响，进行了四次实验（见表6-4）。
从表中的数据可以得出
在因素C=0.5(h)时，直线的斜率
在因素C=1.0(h)时，直线的斜率
两直线的斜率不同，只能说有交互作用存在的可能性。交互作用是否真的存在，还必须做进一步的分析。
假设按第5章介绍的方法已得到转化率y相对误差的最大值[E r（y）]max=0.03。C=1.0, B=2时，y的实验值y实验=89.7，y的计算值y计算按下式计算
则y实验与y计算的相对偏差
因为y实验对y计算的相对偏差e r小于y值据相对误差的最大值，所以可以认为两直线的斜率不同，是由于实验数据的误差所致，可以引出“因素B、C间无交互作用”的结论。
若试验的相对误差最大值尚未确定，判别因素之间对试验指标有无存在交互作用问题，可以在对试验结果进行数学分析时得到确认。
6.1.3 正交表
使用正交试验设计方法进行试验方案的设计，就必须用到正交表。常用的正交表见本书的附录。
各列水平数均相同的正交表（可称单一水平正交表）
这类正交表名称的写法为：
各列水平数均为2的常用正交表有：①L4（23）；②L8（27）；③L12（211）；④L16（215）；⑤L20（219）；⑥L32（231）。
各列水平数均为3的常用正交表有：①L9（34）②L27（313）
各列水平数均为5的常用正交表有：L25（56）
各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45）
各列水平数均相同的正交表，允许进行三种初等置换：
①表中的任意两列之间可以互相置换。
②表中的任意两行之间可以互相置换。
③同一列中任意两种水平记号之间可以互相置换。
经初等置换得到的一切新的正交表与置换之前的原来的正交表是等价的
单一水平正交表均具有因素水平均衡搭配的两个特点(见4.1.1)。
混合水平正交表
各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法：
L 8（41×24）
2水平列的列数为4
4水平列的列数为1
实验的次数
正交表的代号
以上写法常简写为L8（4×24）。此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水平列，共有1+4=5列。
混合水平正交表同样具有单一水平正交表所具有的因素水平均衡搭配的两个特点。
6.1.4 选择正交表的基本原则
一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。
在选择L表时：
1．先看水平数。若各因素全是2水平，就选L*（2*）表；若各因素全是三水平，就选L*（3*）表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。
2．每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中可作为“其它因素”列处理。
3．要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。
4．若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。
5．在按原考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，无正好适用的正交表可选时，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。
6．在某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可,应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析做显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。
6.1.5 正交表的表头设计
所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。
1．有交互作用时，表头设计则必须严格地按规定办事。
例6-4乙酰胺苯磺化反应试验
试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率
因素和水平：有四个二水平的因素（见表6-5）
考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号A×B和A×C表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。
因为4个因素均为2水平，2个交互作用需占2列，为方差分析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表L8（27）。
此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。
方法之一：使用附录9正交表L8（27）后面的“L8（27）二列间交互作用表”(见表6-6)。
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因为考虑的交互作用是A×B和A×C，所以宜先考虑A、B、C及其交互作用的安排，暂不考虑D的安排。表6-7是本例题表头设计的结果。其中方案1的思路为：①先将因素A、B分别放在第1、2列。②第1列和第2列的交互作用A×B该放在哪一列？在表6-6所示的L8（27）二列间交互作用表中，从最左边的列号“（1）”向右画水平线，从最上面的列号“2”向下画垂直线，所画两直线交点处的“3”就是交互作用A×B的列号。③将因素C放在第4列。
④第1列和第4列的交互作用A×C该放在哪一列？由L8(27）二列间交互作用表知，A×C 应放在第5列。⑤因素D该放在哪一列？因为无与D有关的交互作用，故放在第6或第7列均可。方案2的思路为：①将A、B分别放在第7、6列。②由L8（27）二列间交互作用表知第6、7的交互作用A×B应放在第1列。③将C放在第5列。④将第5、7列的交互作用A×C放在第2列。⑤将D放在第4列或第3列均可。
方法之二：采用附录9中所列的正交表L8（27）后面的“L8（27）表头设计”表（见表
6-8）。
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注：*例6-4采用此表头设计。
本例题的因素数为4，应取表6-8中因素数为4的上行还是下行？这决定于试验者试验研究的重点是什么？
若试验者认为对试验指标影响最大的是4个单因素A、B、C、D和交互作用A×B、A×C，它们是试验研究的重点，应尽量避免因表头设计混杂而影响试验结果的分析，则宜取表6-8中因素数为4的上一行，作为表头设计。本例题即属于这种情况。
若试验者认为交互作用A×B，A×C，A×D对试验指标的影响远大于其它的交互作用，特别希望得到它们对指标影响的较可靠的信息，则宜取表6-8中因素数为4的下一行作为表头设计。
若将本例题改为希望能够不受干扰地考察4个因素及其所有的两两交互作用对试验指标的影响，则由表6-8可以看出，选L8（27）表是不可能办到的。为此可选正交表L16（215）。由附录9表Ｌ16（215）的表头设计得知，因素数为4时的表头设计见表6-9。
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二水平两因素之间的交互作用只占一列，而三水平的两因素之间的交互作用则占两列。m水平两因素间的交互作用要占m—1列。表6-10是L27（313）表头设计的一部分。因素数和水平数均为3时，交互作用（B×C）1 和（B×C）2 分别在第8，11列，所以交互作用B×C 对指标影响的大小应用第8，11两列来计算。
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2．若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意的。例如：在例6-1中，对L9（34）的表头设计，表6-11所列的各种方案都是可用的。
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但是正交表的构造是组合数学问题，必须满足1.1中所述的特点。对试验之初不考虑交互作用而选用较大的正交表，空列较多时，最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计（比如用表6-6）。只不过将有交互作用列先视为空列，待试验结束后再加以判定。
6.2 正交试验的操作方法
1．分区组
对于一批试验，如果要使用几台不同的机器，或要使用几种原料来进行，为了防止机器或原料的不同而带来误差，从而干扰试验的分析，可在开始做实验之前，用Ｌ表中未排因素和交互作用的一个空白列来安排机器或原料。
与此类似，若试验指标的检验需要几个人（或几台仪器）来做，为了消除不同人（或仪器）检验的水平不同给试验分析带来干扰，也可采用在Ｌ表中用一空白列来安排的办法。
这样一种办法叫做分区组的办法。
2．因素水平表排列顺序的随机化
在例6-1和例6-4等常见的例题中，每个因素的水平序号从小到大时，因素的数值总是按由小到大或由大到小的顺序排列。按正交表做试验时，所有的1水平要碰在一起，而这种极端的情况有时是不希望出现的，有时也没有实际意义。因此在排列因素水平表时，最好不要简单地完全按因素数值由小到大或由大到小的顺序排列。从理论上讲，最好能使用一种叫做随机化的方法。所谓随机化就是采用抽签或查随机数值表的办法，来决定排列的顺序。
3．试验进行的次序没有必要完全按照正交表上试验号码的顺序。为减少试验中由于先后实验操作熟练的程度不匀带来的误差干扰，理论上推荐用抽签的办法来决定试验的次序。
4．在确定每一个实验的实验条件时，只需考虑所确定的几个因素和分区组该如何取值，而不要（其实也无法）考虑交互作用列和误差列怎么办的问题。交互作用列和误差列的取值问题由实验本身的客观规律来确定，它们对试验指标影响的大小在方差分析时给出。
5．做实验时，实验条件的控制力求做到十分严格。这个问题在因素各水平下的数值差别不大时更为重要。例如在例6-1中，因素C的C1=2.0, C2=2.5, C3=3.0, 在以C= C2=2.5为条件的某一个实验中，就必须严格认真地让C=2.5。若因为粗心和不负责任，造成C=2.2或者造成C=3.0，那就将使整个试验失去正交试验设计方法的特点，使极差和方差分析方法的应用丧失了必要的前提条件，因而得不到正确的试验结果。
6.3 正交试验结果的极差分析法
正交试验方法能得到科技工作者的重视，在实践中得到广泛的应用，原因之一是不仅试验的次数减少，而且用相应的方法对试验结果进行分析可以引出许多有价值的结论。因此，在正交试验中，如果不对试验结果进行认真的分析，并明确地引出应该引出的结论，那就失去用正交试验法的意义和价值。
下面以L4（23）表为例讨论正交试验结果的极差分析法。
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在表6-12中：
I j——第j列“1”水平所对应的试验指标的数值之和。
Ⅱj——第j列“2”水平所对应的试验指标的数值之和。
（第j列有“3”，“4”水平时）
k j——第j列同一水平出现的次数。等于试验的次数（n）除以第j列的水平数。
——第j列“1”水平所对应的试验指标的平均值。
——第j列“2”水平所对应的试验指标的平均值。
D j——第j列的极差。等于第j列各水平对应的试验指标平均值中的最大值减最小值，即
用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论：
①在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。
某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。
所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。
②试验指标随各因素的变化趋势。
③使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。
④对所得结论和进一步研究方向的讨论。
例6-5要求对例6-4的试验问题，写出应用正交试验设计方法的全过程，用极差法分析正交实验的结果。
解：试验目的：提高磺化反应的乙酰胺苯的收率。
试验指标：乙酰胺苯的收率
应考虑的交互作用：A×B，A×C
选择的正交表：L8（27），表头设计及计算结果均见表6-14。
应该引出的四个结论如下：
1．各列对试验指标影响大小的排队问题。
因为极差
D3=D4=4.75最大，依次是D1=2.75，D2=D7=2.25，D6=1.75，最小是D5=0.75。
所以，在本试验范围内，各因素和交互作用对试验指标的影响是交互作用A×B及因素C最大，其次是因素A，再次要的是因素B、D，交互作用A×C的影响比“其他”因素的影响还小，可以认为交互作用A×C不必考虑，让A×C参与排队毫无意义。
由此可见，正交试验法的优点是，即使无法直接利用表中几个试验来考察某列单独变化的影响，它仍然能够求出每列或每个因素对指标影响的大小，求出对应于每个水平的指标平均值。
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表中数据的计算举例，以第3列为例：
j=3
I j=I3=y1+y2+y7+y8=65+74+62+67=268
II j=II3=y3+y4+y5+y6=71+73+70+73=287
K j=k3=8/2=4
I j/k j=I3/k3=268/4=67.00
II j/k j=II3/k3=287/4=71.75
极差D j=D3=71.75-67.00=4.75
2．试验指标随各因素的变化趋势。
由表6-14中的第1（A）列：I1/k1=70.75，1水平A1=50℃
II1/k1=68.00，2水平A2=70℃
可见，反应温度（A）升高，收率下降。
同样可引出结论：
反应时间（B）加长，收率下降。
硫酸浓度（C）增大，收率增大。
操作方法（D）由搅拌改为不搅拌，收率增大。
3．适宜的操作条件。
首先应搞清，所讨论问题的试验指标的数值是大好还是小好。很明显，本题的试验指标收率是愈大愈好。
在确定适宜操作条件时，应优先考虑对试验指标影响大的试验因素和交互作用。也就是说必须按对试验指标的影响从大到小的顺序，来确定适宜的操作条件。
①对于交互作用A×B：
I3/k3=67.00时交互作用（A×B)1列←→A、B的水平号码相同，即A1B1或A2B2。
II3/k3=71.75时交互作用（A×B)2列对应的因素A 、B的水平号码不同即A1B2或A2B1。
可见，为提高收率，首先应让（A×B）=（A×B)2，即应让A、B的水平号码不同。
②对于C因素，宜取2水平，
③对于A因素，宜取1水平，
④对于B因素，应让A、B的水平号码不同，故应取2水平，
⑤对于D因素，宜取2水平。
所以，为提高收率，在本试验范围内，适宜的操作条件为：
反应温度A=A1=50℃；反应时间B=B2=2h；
硫酸浓度C=C2=27%；操作方法D=D2=不搅拌。
4．对所得结论和进一步研究方向的讨论
这个问题涉及到正交试验设计方法的有关知识，也涉及到所研究的试验问题的理论知识和实践知识。
①由搅拌改为不搅拌，收率增大。这个结论很可能是错误的。因为加搅拌的唯一目的是使反应器内的浓度场和温度场更加均匀一致，这会使收率下降，是没有道理的。另外，因素D的极差D7=2.25，与“其他”因素的极差D6=1.75，相差不多，D7和D6的相对偏差
可见，操作方法对指标的影响不算太大，可认为不搅拌有利于提高收率的结论是实验误差造成的。
也可这样认为，理论上搅拌有利于提高收率，但在本试验的范围内，实际上提高的不多。既然搅拌带来的好处不大，当然就不要搅拌了。
②在适宜操作条件中，取A=A1=50℃，B=B2=2h, 与B1=1h相比，时间长了1倍，这显然是不好的。在维持A×B=（A×B）2的前提下，改取A=A2=70℃，B=B1=1h，行吗？
由表6-14中的#3，#4号试验知，A=A1，B=B2时，收率y的平均值=（71+73）/2=72%。
由表6-14中的#5，#6号试验知，A=A2，B=B1时，收率y的平均值=（70+73）/2=71.5%。
可见，若改A=A2=70℃，B=B1=1h, 收率只下降0.5%，而反应时间却缩短了一半。
所以，遇到这类情况，必要时，可重复进行试验，以便将适宜操作条件改为：
A2（70℃），B1（1h），C2(27%), D2(不搅拌)。
③从二元图看交互作用A×B和A×C
交互作用A×B、A×C的二元表分别见表6-15和表6-16。
交互作用A×B、A×C的二元图分别见图6-3和图6-4。
注：y1~y8的数据从表6-14中读取（下同）。
图6-3 交互作用A×B的二元图图6-4 交互作用A×C的二元图
由图6-3可见，A与B有效明显的交互作用，而因素A与C是否有交互作用（见图6-4）需要进一步作误差估算。
由表6-14得C=C1=17%时直线的斜率
C=C2=27%，A2=70℃时，y实验=70.0%
y实验对y计算的相对偏差
e r(y实验，y计算)＝（70.0-71.5）/71.5=-2.1×10-2，
在常见的工程测试误差范围[±5%左右]之内，故可认为两直线不平行是由于数据误差所致，交互作用A×C并不存在。
6.4 正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表6-12一样，第j列的
(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”
(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)以上各项的计算方法，与“极差法”同，见1.7节
(8)偏差平方和
(6-1)
(9) f j——自由度.f j第j列的水平数－1.
(10）V j——方差.
=S j/f j(6-2)
Vj
（11）V e——误差列的方差。
(6-3) （12）F j——方差之比
(6-4) （13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和
(6-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即
(6-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
6.5 引出的结论
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
6.6 方差分析方法应用举例
例6-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表6-17。
试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出应用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。
解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。
试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表6-17。
理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。
四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为3个因素是4水平，1个因素是2水平，所以选L16（43×26）正交表，见表6-18（a）
表头设计：见表6-18（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
I3=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
II3=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
III3=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
IV3=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
k3=4
I3/k3=36.32/4=9.08
II3/k3=38.34/4=9.59
III3/k3=52.74/4=13.19
IV3/k3=53.68/4=13.42
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
36
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2
=63.67
自由度f3=4－1=3
方差
S e= S总－(S1+S2+ S3+ S9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9
f e=(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F分布数据值表得：
F(α=0.01, f1=3, f2=5)=12.06> F3
F(α=0.05, f1=3, f2=5)=5.41> F3
F(α=0.10, f1=3, f2=5)=3.62> F3
F(α=0.25, f1=3, f2=5)=1.88< F3
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。
其它列的计算结果见表6-18(b)。
用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。
(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图6-5
图6-5是用表6-17及表6-18（b）中的Ⅰj/k j, Ⅱj/k j, Ⅲj/k j, Ⅳj/k j值来标绘的。
图6-5 指标随各因素的变化趋势
（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x1, 一方面因为图6-5 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平的依据。另一方面，F 检验不显著，F j太小，可能是因为V e太大，误差太大；也可能是因为V j太小，该因素对指标影响太小。所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃不可。所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50）℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。
（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。
①由图6-5 (d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以
x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。
②从图6-5（c）可见，初始pH值等于5时的总酸度与初始pH值等于4时的总酸度差不多。但与令pH=4相比较，令pH=5，比较容易实现。所以进一步研究的方向之一，是研究令pH=5的好处和问题。
③从图6-5（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。
例6-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。它们都取三个水平[见表6-19（a）]。
为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L27（313），依该表的表头设计表得到的表头设计如表6-19（b）所示。
可见，3水平两因素的交互作用占两列。
试验结果见表6-19（c）
试验结果的方差分析计算见表6-19（d）
①
总的偏差平方和161.02
②两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？
以交互作用B×C为例。B×C占第8和第11列。
偏差平方和S B×C=S8+S11=0.09187465+0.08907423=0.18095
13
第三章：统计推断 第3章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672； （2）用铂球测定观察值：6.661，6.661，6.667，6.667，6.664。 σ），u，2σ均为未知。试就1，2两种情况分别求u的置信度为设测定值总体为N（u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 0.9的置信区间，并求2 （1）金球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开SAS软件②打开solution-analysis- analyst输入数据并保存 ③打开analyst，选择jingqiu文件，打开： ④Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量jq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%：
⑤结果输出：金球u的置信度为0.9的置信区间为(6.67,6.68)。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SAS程序如下： ①打开solution-analysis- analyst输入数据并保存②打开analyst，选择Bq文件，打开： ③Statistics ——Hypothesis Tests ——One-Sample t-test for a Mean，将待分析变量bq送入Variable中，在单击Tests，选中Interval，设置confidence level设置为90.0%： ④结果输出：铂球u的置信度为0.9的置信区间为(6.66,6.67)。
第六章 方差分析与正交试验设计 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §6.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2 i i N X ，),,2,1(r i 。 检验如下假设： r H 210:， r H ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i ，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i ，称为组内差平方和。
这里 r i i n n 1 ， i n j ij i i x n x 1 1 ， r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果),1(r n r F F ，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij 再进行计算，不会影响F 值的大小。 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321 n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321 x x x x 43.70)()(21 2 11 x x n x x S i r i i r i n j i A i ， 74.137)(211 i r i n j ij e x x S i 49.5)27,2(90.601.0 F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。 §6.2 双因素方差分析 同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平： r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验， 称为双因素试验。 一、无交互作用的双因素方差分析 在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：
第六章正交试验设计 （I）教学内容与要求 （1）了解正交试验设计的优点，掌握正交表的表示符号、基本结构和特点，掌握正交试验设计的基本步骤。 （2）掌握单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的直观分析法； （3）理解单指标正交试验、多指标正交试验、有交互作用正交试验、混合水平的正交试验的方差分析法。 （4）了解Ecxel在正交试验设计中应用。 （II）教学重点 正交试验的直观分析法。 （III）教学难点 正交试验的方差分析。 6.1 概述 6.1.1 正交试验设计方法的优点和特点 用正交表安排多因素试验的方法，称为正交试验设计法。我国60年代开始使用，70年代得到推广。这一方法具有这样的特点：①完成试验要求所需的实验次数少。②数据点的分布很均匀。③可用相应的极差分析方法、方差分析方法、回归分析方法等对试验结果进行分析，引出许多有价值的结论。因此日益受到科学工作者的重视，在实践中获得了广泛的应用。 例6-1:某化工厂想提高某化工产品的质量和产量，对工艺中三个主要因素各按三个水平进行试验（见表6-1）。试验的目的是为提高合格产品的产量，寻找最适宜的操作条件。 表6-1 因素水平表 对此实例该如何进行试验方案的设计呢？ 很容易想到的是第一方案：（全面搭配法方案） A2——… A3——…
此方案数据点分布的均匀性极好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺点是实验次数多达33=27次。（指数3代表3个因素，底数3代表每因素有3个水平）想节省费用而又快出成果的人提出了第二方案：（简单比较法方案）。 先固定A和B，只改变C，观察因素C不同水平的影响。作了如下的三次实验： 发现C=C2的那次实验的效果最好，合格产品的产量最高，因此认为在后面的实验中因素C应取C2水平。 固定A和C，改变B的三次实验为： 发现B=B3的那次实验效果最好，因此认为因素B宜取B3水平。固定B和C，改变A 的三次实验为： 发现因素A宜取A2水平。因此可以引出结论：为提高合格产品的产量，最适宜的操作条件为A2B3C2。与第一方案相比，第二方案的优点是实验的次数少，只需做9次实验。但必须指出，第二方案的试验结果是不可靠的。因为，①在改变C值（或B值，或A值）的三次实验中，说C2（或B3或A2）水平最好是有条件的。在A≠A1，B≠B1时，C2水平不是最好的可能性是有的。②在改变C的三次实验中，固定A=A2，B=B3应该说也是可以的，是随意的，故在第二方案中，数据点分布的均匀性是毫无保障的。③用这种方法比较条件好坏时，只是对单个的试验数据，进行数值上的简单比较，不能排除必然存在的试验数据误差的干扰。 第三方案是用正交试验设计方法，用正交表来安排试验。 对于例6-1适用的正交表L9（34）及其试验安排见表6-2。所有的正交表与L9（34）正交表一样，都具有下面两个特点： 9 4 试验号 列号 1 2 3 4 因素温度／℃压力／（N/m2）加碱量／kg 符号 A B C 1 1(A1) 1(B1) 1(C1) 1 2 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2 3 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3 4 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3 5 2(A1) 2(B2) 3(C3) 1 6 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2 7 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2 8 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3 9 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1
\ 第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 & 图7-1 R 法示意图 — 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，K jm 为K jm 的平均值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max(jm j j K K K ,,,21 )-min(jm j j K K K ,,,21 )
R j反映了第j列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. ( 表6-4 因素水平表 酶解温度 (C) ( C 表6-6 试验方案及结果
第六章 正交试验设计 课后作业参考答案 6.1某实验考察因素A 、B 、C 、D ，选用表4 9(3)L ，将因素A 、B 、C 、D 依次排在第1，2， 3，4列上，所得9个实验结果依次为： 45.5，33.0，32.5，36.5，32.0，14.5，40.5，33.0，28.0 试用极差分析方法指出较优工艺条件及因素影响的主次，并作因素-指标图。 解：下表中Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 表示对第j 列而言，把9个试验结果分为三组对应各列的“1”、“2”、“3”水平，然后将每组的3个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ⅰj 、Ⅱj 、Ⅲj 三个数据的极差。
从表中和图中可以看出，Rb>Ra>Rd>Rc,最优工艺条件为:B1,A1,D1,C3 6.2 某四种因素二水平试验，除考察因素A,B,C,D 外，还需要考察C B B A ??,,今选用表 ()7 82L ,将A,B,C,D 依次排在第1、2、4、5列上，所得8个实验结果依次为： 12.8 28.2 26.1 35.3 30.5 4.3 33.3 4.0 试用极差分析法指出因素(包括交互作用)的主次顺序及较优工艺条件。 解：下表中Ij 、IIj 表示将第j 列，把8个试验结果分为两组对应各列的“1”、“2”水平，然后将每组的4个实验结果分别相加所得之和；Rj 表示Ij 、IIj 三个数据的极差。
A?,由上表知，因素从主到次的顺序为：D, C, A, B,B 分别将A与B、B与C的各种搭配结果列出如下： A与B最好的搭配是A2B1,其次是A1B1,A2B2,最后是A1B2 B与C最好的搭配B2C1,其次是B1C1,B2C2,最后是B1C2
JMP试验设计 1.试验设计方法及其在国内的应用 (2) 2.试验设计(DOE)就在你身边试验设计(DOE)就在你身边 (7) 3.初识试验设计(DOE) (13) 4.多因子试验设计(DOE)的魅力 (18) 5.用DOE方法最优化质量因子配置 (26) 6.顾此不失彼的DOE (32) 7.试验设计(DOE)五部曲 (39) 8.稳健参数设计的新方法 (45) 9.JMP的试验设计优势——为什么用JMP做试验设计 (50)
试验设计方法及其在国内的应用 随着改革开放的深入，以市场经济为代表的西方先进文明及其方法论越来越多被国内企业界所接纳。在质量管理、产品（医药，化工产品，食品，高科技产品，国防等）研发、流程改进等领域，统计方法越来越多成为企业运营的标准配置。 试验设计作为质量管理领域相对复杂、高级的统计方法应用，也开始在国内被逐渐接受，推广。其实试验设计对于我国学术界来说并不陌生。比如均匀设计，均匀设计是中国统计学家方开泰教授(下图左)和中科院院士王元首创，是处理多因素多水平试验设计的卓有成效的试验技术，可用较少的试验次数，完成复杂的科研课题开发和研究。国内一些大学的数学系和统计系近年来已经逐渐开始开设专门的试验设计课程，比如清华大学，电子科技大学、复旦大学等高校。国内一些行业领先的企业，比如中石化，华为科技，中石油，宝钢等企业，也开始在质量管理和产品研发、工艺改进等领域采用DOE方法。尽管DOE越来越多的被国内产、学、研领域所接受，但是我们还是看到，国内对于DOE的研究和推广仍旧停留在比较浅的层次。以上述企业为例，中石化下属的石化科学研究院和上海石化研究院应该是我国石油化工研究领域的王牌单位了，不过不管是北京的石科院，还是上海石化研究院，在油品研发、工艺改进、质量管理等领域，对于DOE的使用还仅仅停留在部分因子和正交设计层面。笔者在网络
第7章 正交试验设计的极差分析 正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。 7.1 单指标正交试验设计及其极差分析 极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。 图7-1 R 法示意图 图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和， jm 为K jm 的平均 值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差： R j =max( )-min( ) R j 反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j 越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据 R 法 1.计算 2.判断 ○1K jm , ○2R j ○1因素主次 ○2优水平 ○3最优组合
R j的大小，就可以判断因素的主次。 极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。 一、确定因素的优水平和最优水平组合 例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。 在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示. 表6-4 因素水平表 表6-6 试验方案及结果
第8章正交试验设计的方差分析 前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1.偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和: 4 )(2 4 1 221 212 _T x n T x x x S i i n i i n i i T - =- =-=∑∑∑=== T=∑=n i i x 1 =(x 21+x 22+x 23+x 24)-4 1 (x 4321x x x +++)2 整理后可得 43 = (24232221x x x x +++) 2 1 - (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为 S 1=22 _ 21_ 2 _11_ )(2)(x K x K -+- =2[221211)4 2()42( T K T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114 1 41164164--+++] =22 2121141)(21T K K -+ )(211141 K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++ =)(2 1)(414321423241312 42322 21x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++ 表8-1 L 4(23)正交表及计算表
第三章:统计推断 第３章第7题 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值:6。683,６.681，６.676，６。678，6.679,6．６72; （2）用铂球测定观察值:6．661,６。661,6.667，6。667，６。664． σ），ｕ，2σ均为未知。试就1,２两种情况分别求u的置信度为０。设测定值总体为N(u，2 σ的置信度为0.9的置信区间。 9的置信区间,并求2 (1)金球均值置信度为0．9的置信区间,SAS程序如下: ①打开ＳAＳ软件②打开solutioｎ—aｎaｌｙsｉs- analyst输入数据并保存 ③打开anａｌyｓt，选择jiｎgqiu文件,打开: ④Ｓtatｉstics -—Ｈypoｔhｅｓis Teｓｔs——One-Samplｅt-tｅst foｒa Meａn,将待分析变量jq送入Variaｂle中，在单击Ｔests，选中Inteｒval,设置confｉdｅnｃeｌeｖｅl 设置为90.0％:
⑤结果输出：金球u的置信度为０。9的置信区间为(6。67,6.68）。 （2）铂球均值置信度为0.9的置信区间，SＡS程序如下： ①打开ｓｏlution—analysis－analyst输入数据并保存②打开anａlyｓt，选择Bq文件,打开： ③Ｓtatｉstiｃs——HypothｅｓiｓTests ——One-Sample t-test for ａMeａn，将待分析变量ｂq送入Vａｒiabｌe中,在单击Tｅsts,选中Inteｒｖal，设置confidｅnce leｖel设置为9０.0%：
④结果输出:铂球u的置信度为0。9的置信区间为(6。６6,6。6７）. (3）金球方差置信度为０。9的置信区间，SAS程序如下： ①打开analyst,选择Bq文件,打开数据： ②Staｔiｓｔｉcs ——Ｈypothesｉs Tesｔs ——One－Ｓaｍple Teｓt for a Ｖariance，将待分析变量jq送入Variable中,并在Nulｌ:Vａr中设置一个大于０的数，再单击Interｖaｌｓ,选中Iｎterval，设置ｃonfidｅｎｃｅlevel设置为９０.0％： ③结果输出:金球σ2的置信度为０。9的置信区间为(676E—8,０。0００1）