第五章 弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：
1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；
2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；
3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴
中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为
()()1
z
M x x EI ρ=
(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式
1. 横截面上任一点的正应力为
z
My
I σ=
(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为
max
max z
My I σ=
(5-3) max
z
z I W y =
(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：
1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，
公式为近似公式，当梁的跨高比
5l
h
≥时，误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
[]max
max z
M W σσ=
≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为
[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤
Ⅵ、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。
2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使[]
[]
,max ,max t t c c y y σσσσ==
拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。
3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。
二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
Ⅰ、矩形截面梁
假设切应力τ的方向平行于剪力s F ，其大小沿宽度b 均匀分布(图b )，由图a 中带阴影线部分微段的平衡条件，得
x
s z z
F S bI τ= (5-6) 式中，s F 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度，3
12
z bh I =，x z S 为横截面上距中性轴
为y 的横向线以下(或以上)的部分面积2h b y ??
- ???
对中性轴z 的静面矩，其值为
2
224x z
b h S y ??=- ???
，可见切应力沿横截面高度h 按抛物线规律变化，2y h =±处，0τ=，
0y =(中性轴处)时，max ττ=，其值为
max 3322s s
F F bh A
τ=
=
(5-7) Ⅱ、工字形截面梁
1. 腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b )的平衡条件，得
x
s z z
F S dI τ= (5-8) 式中，s F 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，z I 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，x z S 为距中性轴z 为y 的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩
()211222x z h S b h d y δδδ????
=-+-- ???????，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，
在腹板和翼缘交界处min τ，在中性轴处max τ，其值为
,max max s z z
F S dI τ=
(5-9)
式中，,max z S 为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min τ时，
x z S 为下(或上)翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。型钢时,max z z I S 为型钢表中的x x I S 。
腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。 2. 翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度δ均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得
1x
s z z
F S I τδ= (5-10) 式中，δ为翼缘的厚度，s F 和z I 的意义和(5-8)式相同，x z S 为距翼缘端部为η的部分
翼缘面积()ηδ对中性轴z 的静面矩，22x z h S δηδ??=- ???，022h δη??
??≤≤- ???????
，可见1τ沿翼缘
宽度按线性规律变化(图5-2，d)。
3. 切应力流
根据剪力s F 的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设s F 的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。
Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力
对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。
Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁
图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为 max 43s
F A
τ=?
(5-11) 式中，2
4
A d π
=
。
图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为
max 2
s
F A
τ= (5-12) 式中，02A R πδ=。 Ⅴ、切应力强度条件
对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力max F 所在的横截面上，一般位于该
该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即max τ所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为
[],max ,max
max s z z
F S bI ττ=
≤ (5-13)
式中，,max z S 为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b 为横截面在中性轴处的宽度，
z I 为横截面对中性轴电惯性矩。
梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。
三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心
Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件 梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy 内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a )或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b )。梁产生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c )。
Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A
1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A 表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。
图5-6a,b 中，弯心A 和形心C 重合；图5-6c 中，弯心A 位于对称轴z 上；图5-6d,e 中，弯心A 位于两狭长矩形中心线的交点处。
3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。
例5-1 一铸铁梁如图a 所示，已知材料拉伸时的强度极限为.150MPa b t σ=，压缩时的强度极限为.630MPa b c σ=。试求梁的安全因数。
解：梁的弯矩图如图b 所示。
以横截面的下底边为参考轴，形心C 的y 坐标1y 为
()
()
1201604021201016053.3mm 16040210160y ??+???=
=?+?
220053.3146.7mm y =-=
横截面对形轴z 的惯性矩为
()()3322
160401016053.32016040212053.3101601212z I ????=+-??++-??????
6429.01210mm =?
B 、
C 截面上正应力的分布规律如图 c 所示，最大拉应力发生在B 的上边缘或C 截面的下边缘，由于21B c M y M y >，所以最大拉应发生B 截面的上边缘。
由 ,2,max
b t
B t z t
M y I n σσ=≤
得 664
,33215010Pa 29.01210m 3.7810N m 146.710m b t z
t B I n M y σ--???≤==????
式中，t n 为拉应力达到强度极限时的安全因数。 最大压应力显然发生在C 截面的上边缘， 由 ,2,max b c
c c z c
M y I σση=
≤ 得 664
,33
263010Pa 29.01210m 10.41210N m 146.710m
b c z
c c I n M y σ--???≤==????
式中，c n 为压应力达到强度极限时的安全因数。
由于c n >t n ，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为
3.7t n n ==
例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为[t
]=30MPa ，许用压应
力[c ]=90MPa ，试确定截面尺寸值。
解：设形心C 距截面下底边的距离为1y
22122
681688163
y δδδδδδδ?+?==+ 于是
2822
1033
y δδδ=-=
截面对中性轴z 的惯性矩为
()
()3
3
2
2
2
2488288681618112
3123z I δδδδδδδδδδδ????=
+-++-= ? ?????
C 截面的弯矩为
max 40kN 1m 40kN m M =?=?
由 ()3
6max
,max 14
3
84010N m 589.3N m
3
3010Pa 181t z
M y I δσδδ????=
==
≤?
得 127mm δ=
由 ()36max
,max 24
3
224010N m 1620.6N m 39010Pa 181c o
M y I δ
σδδ
???
?=
==≤?
得 226mm δ= 由于12δδ>，所以取 27mm δ=。
讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。
[][]90330
c i σσ==，,max 2,max 122
1133843
c t y y δσδσ===<
A
C
B
80kN
F =1m
1m
52-例图
22
88δ
y
z
C
2δ
8δ23
y δ=
13
y δ
=
可知，
,max
t
σ选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定δ即可。
例5-3 一平顶凉台如图a所示，其长度6m
l=，顶面荷载集度2000Pa
f=，由间距1m
s=的木次梁AB支持。木梁的许用弯曲正应力[]10MPa
σ=，木次梁为b×h的矩形截面，且2
h b
=。试求：(1)在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置x值；(2)选择木次梁的尺寸。
解：1. 次梁的计算简图如图b所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为
2000Pa1m2000N m2kN m
q fs
==?==
用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示，当
D C
M M
=时，次梁用料最经济。
由()222
111
842
q l x qx qx
--=
22
520
x lx l
+-=
得 1.74m
x==
3. 选择b和h
当 1.74m
x=时
()2
2
max
11
2kN m 1.74m 3.03kN m
22
M qx
==??=
由
()
[]
max max max
max23
63
2
2
z
M M M
W b
b b
σσ
===≤
得0.0769m=76.9mm
b≥==
2276.9mm154mm
h b
==?=
讨论：上面分析次梁用料最经济时，利用了
D C
M M
=，
D
M为梁的最大弯矩的近似值，
得到主梁位置 1.74m x =也是近似的，实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处，若用实际的最大弯矩等于C M ，得到的主梁位置 1.76m x =，可见二者误差甚小，但用第二种方法计算时，计算工作量较大。
例5-4 起重机大梁由两根25a 工字组成如图a 所示，起重机自重50kN W =，起重机起吊的重量为10kN P =。梁材料的许用应力[]170MPa σ=，[]100MPa τ=，单根25a 号工字钢的33401.8810mm z W =?，8mm d =，215.8mm z z I S =，设全部荷载平均分配在两根梁。试校核梁的正应和切应力强度。
解：1. 求起重机的支反力 起重机的受力图如图b 所示
由 0D M =∑ 得 10kN C F = 由 0C M =∑ 得 50kN D F = 2. 校核梁的正应力
梁的受力图如图c 所示，由于荷载是移动的，必须确定最不利位置，梁在集中力C F 和
D F 作用下，其最大弯矩必在C 或D 截面处，设C 轮距支座A 的距离为x ，梁的支反力为
506A F x =- (kN) ，106B F x =+ (kN) (1)
C 截面的弯矩为
()2506506C A M F x x x x x ==-=-
由
0C
dM dx
= ，得 50120 x -= 即 4.17m x =
()2
,max 50 4.176 4.17104.2kN m C M =?-?=? (2)
D 截面的弯矩为
()()()()21028106880386D B B M F x F x x x x x =--=-=+-=+-
由
0D
dM dx
= ，得 38120x -= 即 3.17m x =
2,max 8038 3.176 3.17140.2kN m D M =+?-?=? (3)
由于,max ,max D C M M >，所以最不利位置为 3.17m x =，梁的弯矩图如图d 所示。
()36max max
932140.210N m 174.410Pa 174.4MPa 22401.8810m
M W σ-??===?=?? max σ稍大于[]σ，但其误差<5%，所以梁满足正应力强度条件。
3. 校核切应力
当两个集中力移动至使D F 紧靠B 支座()8m x ≈时，为剪力的最不利位置，即8m x =时由(1)和(2)式，得2KN A F =，58KN B F =，梁的剪力图如图e 所示。
()()()
[]3,max
6
max
335810N 16.810Pa 16.8MPa 22810m 215.810m s z z F d I S ττ--?===?=
讨论：梁在两个移动的集中力作用下，最大弯矩部是发生集中力作用点处，最大剪力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。
例5-5 图所示吊车梁由36a 号工字钢在其中间区段焊上两块100mm 16mm ?的矩形钢板制成。电葫芦重12kN W =，起吊的重物的重量为50kN P =，材料的许用应力为
[]160MPa σ=，[]100MPa τ=。
1. 校核梁的正应力强度；
2. 求加强板的长度1l ；
3. 校核梁的切应力强度。 解：由于梁上受移动荷载作用，必须确定荷载的最不利位置，在进行正应力强度校核时，集中
力应位于跨度的中间截面处；求加强板长度1l 时，集中力应位于C (或D )截面处；进行切应力强度校核时集中力应在紧靠支座处。
1. 校核正应力
梁上受到的移动的集中力为
12kN 50kN 62kN F W P =+=+=
设F 力位梁的跨度中央截面处，该截面的弯矩为
max 11
62kN 10.5m 162.75kN m 44
M Fl ==?=?
36a 号工字钢的64157.610mm z I =?，考虑加强板时整个截面的惯性矩为
36
4
246410016157.610mm 218810016mm 270.7710mm 12z I ??
?=?++??=?????
跨中截面的最大正应力为
()()[]33
6max max max
6-124
162.7510N 19610m 117.810Pa=117.8MPa<270.771010m
z M y I σσ-???===??? 2. 求加强板长度1l
设集中力F 位于C (或D )截面处，
由 0B M =∑ ，得 62 (kN)A l x F l -=；()()62 kN m A l x
M x F x x l -==?
36a 号工字钢的3387510mm z W =?，梁在C 截面处的许用弯矩为
[][]66316010Pa 87510m 140kN m z M W σ-==???=?
令()[]M x M =，即
62
=140l x
x l
- 210.523.70x x -+=
解得 3.28m x = 加强板的长度为
1210.52 3.28 3.94m l l x =-=-?=
3. 校核梁的切应力
当集中力F 紧靠支座时，最大剪力为
,max 62kN s F =
36a 号工字钢的10mm d =，307mm z z I S =，梁的最大切应力为
()()
[]3,max
max
336210N
20.2MPa 1010m 30710m s z z F d I S ττ--?===
例5-6 T 形截面外伸梁,受移动荷载F 作用,支座A 为滚轴支承(活动铰支座)。支座B 为用销钉连接两块支承板(固定铰支座)，如图a 所示。已知：25kN F =，T 形截面对形心轴z 的惯性矩6413.6710mm z I =?，销钉的直径20mm d =，许用切应力[]100MPa τ=。
1. 求梁的最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ；
2. 求梁的最大切应力；
3. 校核销钉的剪切强度。
解：1. 求,max t σ和,max c σ。
F 力位于C 截面和D 截面时， 梁的剪力图和弯矩图分别如图b 、c 、d 、e 所示，,max
t σ位于C 截面的下边缘，
()()3
3
,max
64
2510N m 8510m 155.4MPa 13.6710m t σ--???==?
由于12A C M y M y >，所以,max c σ发生在A 截面的下边缘，
()()3
3
,max
64
2010N m 8510m 124.4MPa 13.6710m c σ--???==?
2. 求梁的最大切应力。
由剪力图可见，当F 力位于D 时，,max 25kN S F =，最大切应力为，
()()()
3
333max max
max 46412510N 8510m 4010m 8510m 24010m 13.6710m 66.1MPa s z z
F S d I τ-----?????????
????=
=???= 3. 校核销钉的切应力强度
当F 力位于B 支座处时，销钉受力最大，其剪切为2
s F F =。
()[]32223222510N 239.8MPa 2010m 4
s s F F F d A d ττπππ-??=====
例5-7 箱形截面悬臂梁由四块木板胶合而成如图所示。已知横截面对中性的惯性矩
64478.810mm z I =?；材料为红松，其许用弯曲正应力[]10MPa σ=，许用顺纹切应力
[] 1.1MPa τ=；胶合缝的许用切应力0.35MPa τ??=??胶。试校核梁的强度，并画出危险截面
上切应力的分布规律以及切应力流的指向。
解：1. 校核梁的正应力强度
max 18 1.527kN m M Fl ==?=?
()()[]33
6max max max
64
2710N m 17810m 10.010Pa=10MPa=478.810m
z M y I σσ--???===?? 2. 校核顺纹切应力强度。
(),max 178mm 168mm 100mm 20mm 2178mm 50mm 2z S ??
=??+?? ???
631.92010mm =?
()()()()
[]3336
max max
364
1810N 1.92010m 0.7210Pa 0.72MPa<25010m 478.810m s z z F S dI ττ---??===?=??? 3. 校核胶合缝的切应力强度。
上水平板和两块竖直板有两条胶合缝，求其切应力1τ的公式中，*z S 为上水平板对中性轴z 的静面矩，因为有两胶合缝，其宽d 为250100mm ?=。
()()()()
3333*6
1364
1810N 15210m 30010m 2010m 0.3410Pa 0.34MPa<10010m 478.810m s z z F S dI ττ-----????????===?=????胶 下水平板和两块竖直板也有两条胶合缝，下水平板的dx 微段的分离体如图b 所示，
可见求胶合缝的切应2τ的公式中，z S 为下水平板对中性轴z 的静面矩，因为有两条胶合缝，
其宽度δ为22040mm ?=。
()()()()
[]3333*6
2364
1810N 16810m 10010m 2010m 0.3210Pa 0.32MPa<4010m 478.810m s z z F S I ττδ-----??????===?=??胶 可见，梁满足正应力、顺纹切应力及胶合缝处的切应力强度。
4. 横截面上切应力的分布规律及切应力流的方向如图c 所示，上、下水平板中点处的水平切应力为零，可从分离体的平衡条件或水平切应力是反对称分布的，可以得到该结论。
例5-8 矩形截面悬臂梁，受均布荷载q 作用(图a)，沿梁的中性层截出其下半部分(图b)，试求：
1. 图b 中顶面上的切应力()x τ'及其由()x τ'组合的水平力x F '；
2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出梁的挤压应力y σ的公式。
解：1. 求图b 中顶面上的()x τ'及F x ' 梁的x 横截面上的剪力及切应力分别为
()() s F x qx =↑
()*2222s z z z F S qx h x y bI I τ??==- ???
(1) ()()max 3 2qx
x bh
τ=
↑ (2) 由切应力互等定理，得图b 顶面上的切应力为
()()()max 3 2qx
x x bh
ττ'==→ (3)
切应力()x τ'形成的合力为
()()2
0133 224l
ql ql F x x bdx bl bh h
τ??''===→ ???? (4) 2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出y σ的公式。 B 截面处的最大压应力为
()22max max 221632 z
ql M ql w bh bh
σ??
? ???=
==← 由B 截面处的压应力组合的合力为
()2
2max 2111313 22224x ql ql F bh bh bh h σ????==?=← ? ?????
(5)
x F 的作用线距中性层的距离为 2323
h h
?=。
由(4)式和(5)式可见，x F '和x F 满足平衡方程 0x F =∑
B 截面上的剪力为 ()1 2
y F ql =↑
下半部分梁(图b)，仅在x F '、x F 及y F 作用下不能满足平衡方程 0y F =∑及
0z
M
=∑，要满足该两平衡方程，应在图b 的顶面上有y σ作用。因为dx 微段(图c)上有
荷载q 作用，其左、右两侧的剪力不相同，图c 中带阴影线部分的立体图如图d 所示，其左、右两侧面上的剪力分别为
()()222
*2323342424h h
sI
y
y
z z qx h qbx F x bdy y bdy h h y y I I τ??==-=-+ ???
??
(6) ()()*
3
233424sII z
qb x dx F h h y y I +=
-+ (7) 设图d 的顶面上有y σ作用，由
0y
F
=∑， **
sII sI y F F bdx σ-=
即 ()3
233424y z
qbdx h h y y bdx I σ-+= 梁的挤压应力为
()3233424y z
q
h h y y I σ=
-+ (8) 当2h y =+时，0y σ=；2h y =-时，y q
b
σ=；当0y =时，即中性层处的挤压应力为
2y q b
σ=。
中性层上y σ组成的合力为
()1
22
y y q F bl bl ql b σ'==
=↓ (9) 下半部分梁上各力如图e 所示，其平衡方程为
22330,044x x x ql ql
F F F h h '=-=-=∑
11
0,022
y y y F F F ql ql '=-=
-=∑ 2310,0234322z x y h ql h l l M F F ql h =-=?-?=∑
可见，图b 所示下半部分梁满足所有平衡方程。
*例5-9 矩形截面悬臂梁，其顶、底两面受大小相等、指向相反的切向均布荷载
()kN m q 作用。试导出横截面上切应力τ的计算公式，并画出τ的指向和沿高度的变化规律。
解：用相距dx 的两个横截面及距中性层为y 的纵截面从梁中截取一微段如图b 所示，图中
()M x qhx =，()dM x qhdx =
()()**
1y
NI z A z z
M x M x F y dA S I I ==?
()()*
*NII
z z
M x dM x F
S I +=
式中， 2y h A b y ??=- ???，2*
224z C y b h S y A y ??==- ???
由 **
0 0x NII NI F F F qdx bdx τ'=---=∑
()*
z z
dM x bdx S qdx I τ'=
- 得 *
2*226114
z z z z hS qh q q q h S y bI b b I b h τ??????'=
-=-=--?? ? ???????
2
2
2
6
1
4
q h
y
b h
ττ
??
??
'
==--
??
?
??
??
当0
τ=时，得
6
y h
==±，0
y=时，0.5
q
b
τ=；
2
h
y=±时，
q
b
τ=-。切应力指向和沿高度的变化规律如图
c所示。
*例5-10 开口薄壁圆弧形截面如图a所示，已知截面
上的剪力
s
F铅垂向下。试求
1.截面上的切应力及其方向；
2.弯曲中心A的位置。
解：1. 截面上的切应力
取坐标Oyz如图b所示，dA rd
δθ
=，()
sin
y rαθ
=-
()()()
*2
sin cos cos
z A
S ydA r rd r
?
αθδθδα?α
==-=--
????
????
??
()()()
2
233
1
2sin2sin cos sin cos
22
z A
I y dA r rd r r
αα
αθδθδααδααα
??
==-=-=-
?? ?
??
??
??
()
*cos cos
sin cos
s z s s
z
F S F
I r
α?α
τ
δδααα
--
==?
-?
切应力的方向与截面的中线相切。图中仅画出?截面上τ的方向。
2. 弯曲中心位置。
由
()()
22
00
cos cos2sin cos
sin cos sin cos s s s
A
F e r dA r rd F r d F r
ααα?αααα
ττδ??
αααααα
---
?====
--
???
所以
sin cos
2
sin cos
e r
ααα
ααα
-
=
-
例5-11 试判断图示各截面弯曲中心的大致位置。若各截面上的剪力
s
F指向向下，试画出各截面切应力流的方向。
解：弯曲中心为截面上的剪应力所构成的合力作用点，各截面的弯曲中心A 的位置和切应力流的方向如图b 所示。图b 中y 、z 为形心主轴。
例5-12 两根20a 号工字钢用螺栓连在一起组成组合梁如图a 所示。螺栓的间距
90mm a =，直径22mm d =，[]100MPa τ=。若梁横截面上的剪力200KN s F =。试校核螺栓的剪切强度(不计工字钢之间的摩擦力)。
解：两根工字钢作为整体弯曲时，由于相邻两横截面上的弯矩不相等，使**
NII NI F F >，
上、下两工字钢有沿接触面相对错动的趋势(图b)，使螺栓受到剪力(图c)，由于梁的各横截面上剪力s F 相等，螺栓间距及直径分别相同，故每个螺栓受的剪力相等。
1
1
*
NI z A A z
z
M
M F dA ydA S I I σ==
=
??
*NII z z
M M
F S I +?=
式中，1A 为单根工字钢的面积，z S 为1A 对z 轴的静矩。s M F a ?=，研究图c 所示各力的平衡条件，由0x F =∑，即
**202
s NII NI F F F '
--?
= 得 s s z z z z
F a M
F S S I I ?'== 螺栓的切应力为
122
224s s s z s
z
F F F a
S A d d I τππ''=
=
= 20a 工字钢的213550mm A =，144237010mm z I =?，1200mm h =。
331
135510mm 2
z h S A =
=? 12
54112118410mm 2z z h I I A ????
=+=??? ???????
()()()()()[]336362
2374220010N 9010m 235510m 7110Pa=71MPa<2210m 118410m s z z F a
S d I ττππ----??==?=??? 故螺栓是满足切应力强度条件的。
*例5-13 矩形截面的钢、木组合梁，其宽度b =10mm ，木材部分地高度h =200mm ，钢板
的厚度=5mm ，木材与钢板之间不能滑动。已知M e =，木材的弹性模量E 1=10GPa ，钢材的弹性模量E 2=210GPa 。试求木材与钢板中得最大弯曲正应力。
解：由于木材和钢板之间不能相对滑动，所以梁的横截面可以视为整体。试验表明，平面假设依然成立，设y 为对称轴，z
为中性轴(位置待定)如图(b)所示，纵向线应变沿着横截面高度呈线性规律
变化如图(c)所示，任一点处地线应变为
y ερ
= 式中，为中性层得曲率半径。
由胡克定律得材料1、2两部分的正应力分别为
11
y
E σρ
=，22
y
E σρ
= (1)
正应力沿横截面高度变化规律如图(d )所示。 静力学条件为
1
2
120N A A dA dA F σσ+==?? (2)
1
2
1122A A y dA y dA M σσ+=?
? (3)
将(1)式带入(2)式，可得
1,12,20z z E S E S += (4)
式中，S z ,1、S z ,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z 的静面积。由(4)式确定中性轴位置。将(1)式带入(3)式，可得
1,12,2
1
z z M
E I E I ρ
=
+ (5)
11E A h
δb 22
E A 2m e
M e
M ()a 513-例图
式中，I z ,1、I z ,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z 的惯性矩。 将(5)式带入(1)式，可得
111,12,2
z z E yM
E I E I σ=
+，221,12,2z z E yM E I E I σ=+ (6)
设中性轴z 到横截面底边得距离为y 如图(b )所示，材料1、2两部分对中性轴z 的静面积分别为
,1200mm 100mm 200mm 5mm mm 22z h S bh y y δ????
=-+-=-?+- ? ?????
6343= 2.110mm +210mm y -??
,25mm 100mm 5mm mm 22z S b y y δδ???
?=-=?- ? ?????
333=500mm 1.2510mm y -?
将E 1、E 2、S z ,1、S z ,2带入(4)式，得
()()9634393331010Pa 2.110mm +210mm 21010Pa 500mm 1.2510mm 0y y ?-??+?-?= 解得 69.7mm y =
材料1、2两部分面积对中性轴z 的惯性矩[图(e )]分别为
()()3
2
64,1100mm 200mm 135.3mm 100mm 100mm 200mm=91.5910mm 12z I ?=+-???
()()3
264,2
100mm 5mm 69.7mm 2.5mm 100mm 5mm=2.25910mm 12
z I ?=+-???
由(6)式可得木材和钢板的最大弯曲正应力分别为
9332,max
9612496124
1010Pa 135.310m 810N.m
1010Pa 91.591010m 21010Pa 2.2591010mm σ---?????=????+???? 67.810Pa=7.8MPa =?(压应力)
9331,max
9612496124
21010Pa 69.710m 810N.m
1010Pa 91.591010m 21010Pa 2.2591010mm σ---?????=????+???? 684.210Pa=84.2MPa =?
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5
第五章 弯曲应力 §5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1.?? ?===----σ τ,0,,0,const M F M F S S 纯弯曲横力弯曲弯曲 2．观察变形 以矩形截面梁为例 （1）变形前的直线aa 、bb 变形后 成为曲线a a ''、b b ''，变形前的mm ，nn 变形后仍为直线m m ''、n m ''，然而却相对转过了一个角度，且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。 （2）平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。 （3）设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。
（4）中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139 note ：可以证明，中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1．正应力分布规律： ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系 取d x 微段来研究，竖直对称轴为y 轴，中性轴为z 轴，距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。 ()ρ θ ρθρθρεy y = -+= d d d （a ） （2）物理关系 因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 ε=σE ρ =σy E （b ） 此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。 （3）静力关系 横截面上的微内力σd A 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 e
第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲 一、纯弯曲和横力弯曲 1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。 特点：弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。 特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。 F s 二、弯曲变形假设 1. 平面假设: 变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴 1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。 2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
5.2 纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系 ()ρ θ ρθ ρθρεy d d d y = -＋＝ 二、 物理关系 当应力小于比例极限，由胡克定律： ρ εσy E E ＝＝ 任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系 横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为 ?= A dA N σ， ? = A y dA z M σ， ? = A z dA y M σ 根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝?= A dA N σ 0＝? = A y dA z M σ ? = A z M dA y M ＝σ 由0＝?=A dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0== ?? A A y dA zy E dA z M ρ σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。 由M dA y E dA M A A z ==??ρ σ2 y ＝可得? A dA y M E 2＝ ρ 令?=A z I dA y 2--对z 轴的惯性矩 y I M y E E z ＝ ＝＝ρ εσ 5.3 横力弯曲时的正应力 一、正应力近似计算公式 y I M z ＝ σ （误差不大，满足工程所需精度） 二、惯性矩计算 1. ? = A dA y 2Z I 若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12 I 3 Z bh =； 若横截面是直径为D 的圆形，64 I 4 Z D π= 2. 平行移轴公式 A 2ZC Z b I I += 例题 1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式 z M y I 时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 (a) 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图 5.3.3 图 5.3.4
第五章弯曲应力 §5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力* §5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念* §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力 一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元 σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。 M σdA τdA Q 当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类 P P a a A C D B A C D +?B C D + P P Pa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。 CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备 A B C D E F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH 。 在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M M A B C D E F G H 2.现象 ?变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直 线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。 ?纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长； ?曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；?横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定 ?梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。——平截面假定。 ?梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。 ?中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。 中性层 纵向对称面 中性轴
5-2简支梁承受均布荷载如图，若分别采用截面面积相等的实心圆和空心圆截面，且 D i 40mm,鱼 3 ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之 D 2 4 几？ q=2kN/m (3) 求最大应力 5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴的最大正应力。 解：(1)荷载在纵向对称面内，与轴线垂直, 梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过圆心C 与载荷垂直，沿水平 方向。实心圆和空心圆截面，且 D 1 40mm,色 3 D 2 4 4D 12 产1 2 ) D 2 D 1 40 60.47 mm (2弯矩图如图( b ) 所示： M max 1 (kN m) 实心圆截面: max M max W z 32 Pa 159MPa 。 0.043 空心圆截面: M max max W z M max 1 3 1 10 32 D ；(1 4 ) 32 Pa 67.39MPa 3 4 0.06047 (1 0.75 ) 故：空心截面比实心截面的最大正应力减少了 159 67.39 100%= 57.62% 。 159 M kN - m)
5kN A 解：(1)外力分析。压板可以简化为图示外伸梁，荷载与轴线垂直，发生平面弯曲变形，中性轴是水平 上下对称轴。 (2)内力分析，判危险面。弯矩图如图所示。 M m-m 15.4 0.02 0.308 (kN m) (3)应力分析，判危险点: 3kN 3kN B E ■ r IBM BIB 卩r 3.36 kN << 仁 L 34 + ------------------- 1 ---- 1 ------- |7.64 kN 1 1 1 1 1 1 003 M (kN ?m ) X|- | 丨” 解：(1 )荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。约束反力如图所示。 (2)弯矩图如图(b )所示：M C 1.34 (kN m) M B 0.9 (kN m) (3)求最大应力 度。 实心圆截面: 空心圆截面: C ,max B,max M C,max W z M max W z 5-8压板的尺寸和载荷情况如图所示。 3 1.34 103 1 32 32 材料为 F1=15. 4kN 0.308 Hll M(kN 5 题 5-8 图 Pa 63.2MPa 。 0.063 1 103 3 0.063 [ 45钢, Pa 62.45MPa 4 45/60 ] s 380MPa ，取安全因素 n=1.7。试校核压板的强 题5-8图 200 300 0.9 题5-2 图
第5章弯曲应力 判断正误 1.直径为D的圆形截面挖去一个边长为a的正方形如图所示，该截面对轴z的弯曲截面系数 。（） 2.平面弯曲静定梁横截面上的正应力与杆件材料的力学性能有关。（） 3.外径为D、内径为d的空心圆截面梁，其弯曲截面系数为。（） 4.铸铁梁的危险截面为弯矩最大的截面。（） 5.几种常用截面（矩形、工字形、圆形）梁，其最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面中性轴上。（） 6.以中性轴为界，梁凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。（） 7.称为梁的弯曲刚度。（） 8.梁内最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力一定发生在同一截面的上、下边缘处。（） 9.钢梁第三类危险点的强度计算需要用第三强度理论或第四强度理论。（） 10.从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是：用较小的面积获得较大弯曲截面系数。（） 计算题 5-1受均布荷载的简支梁如图所示，试计算：（1）1-1截面AA线上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力。
5-2简支梁承受均布荷载2/q kN m =，梁跨长2l m =，如图示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，实心圆截面的直径140D mm =，空心圆截面的内、外径比22=35d D α=，试分别计算它们的最大弯曲正应力及两者之比值。 5-3 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若许用应力[]160MPa σ=，求许可荷载[F]。 5-4如图所示的简支钢梁AB ，材料许用应力。该梁拟采用三种形状的截面：（a ）直径为d 的圆截面；（b ）高宽比为2的矩形截面；（c ）工字型钢截面。试：（1）按弯曲正应力强度条件设计三种形状的截面尺寸；（2）比较三种截面的值，说明何种形式最为经济；（3）按弯曲切应力强度条件进行校核。
第五章弯曲应力
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2)
正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5l h ≥时，误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁 []max max z M W σσ= ≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。 当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为 [],max t t σσ≤，[],max c σσ≤ Ⅵ、提高梁正应力强度的措施 1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。 2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使 [] [] ,max ,max t t c c y y σσσσ== 拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。
第5章 弯曲应力 思考题 1.推导梁的弯曲正应力公式时，采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。（ √） 2.在等截面梁中，最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。（ × ） 3.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。（ × ） 4.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C ）旋转。 （A ）梁的轴线；（B ）截面对称轴；（C ）中性轴；（ D ）截面形心 5.对于纯弯曲梁，可由平面假设直接导出（ B ）。 （A ） z EI M = ρ 1 ；（B ）ρεy =；（C ）梁产生平面弯曲；（D ）中性轴通过形心 6.如图所示，两根h b ?矩形截面的木梁叠合在一起，两端受力偶矩o M 作用，则该叠合梁的抗弯截面模量W 为（ A ）。 （A ）261bh ；（B ）)61(22bh ；（C ）2 )2(61h b ；（D ） bh ) 121 (23 7.受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用3max 2max 1max )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，则（ B ）。 （A ）3max 2max 1max )()()(σσσ<<；（B ）2max 3max 1max )()()(σσσ<=； （C ）3max 2max 1max )()()(σσσ=<；（D ）3max 2max 1max )()()(σσσ==。 M o
1 2 3 8.设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ B ）的截面。 （A ）对称轴； （B ）偏于受拉边的非对称轴； （C ）偏于受压边的非对称轴； （D ）对称或非对称轴。 9.梁的四种截面形状如图所示，其截面面积相同。若从强度方面考虑，则截面形状最为合理的是 c ；最不合理的是 b 。 10.空心圆轴外径为D ，内径为d ，其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子 4 4 3 3 64 64 32 32 z z D d D d I W ππππ= - = - 和计算，简述理由。 否。44 ()/(/2)/26464 z z I D d W D D ππ= =- 11.圆截面梁，当横截面直径增大一倍时，该梁的抗弯能力增大几倍？ 3 32 d W π= 增大8倍 2a 2a 2a
第五章 弯曲应力 5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且 5 3 , 40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？ 解：1)空心截面尺寸： 由 () ??? ? ??????? ? ??-=-= 2 2 2 2222 22 21 144 4 D d D d D D π π π 求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。且：m KN ql M ?==18 2max 3)求最大正应力： 实心截面：32 3 1D W Z π= MPa W M Z 2.159max max == σ 空心截面：? ?? ????????? ??-=4 2232 132D d D W Z π MPa W M Z 6.93max ' max ==σ 4)最大正应力之比： %2.412 .1596 .932.159max ' max max =-=-σσσ 5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3 2 ,4====σ。试确定此梁横截面的尺寸。
解：1) )确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。且：2 2max ql M = 2)建立强度条件：[]σσ≤=Z W M max max 其中：6 2bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥. 5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。 解：1)最大弯矩 ()() m N M ?=??=-3081020104.1533max 2)A —A 截面抗弯模量 () 3 2 633max 568.110 112102.1203.0cm y I W =???-== --3)最大正应力： MPa W M Z 4.196max max == σ 许用应力[]MPa n s 253== σσ 可见s σσ?max ，压板强度足够。 5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比 [][]4/1/=c t σσ。求水平翼板的合理宽度。 解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。由于：