第5章 弯曲应力
思考题
1.推导梁的弯曲正应力公式时，采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。（ √）
2.在等截面梁中，最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。（ × ）
3.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。（ × ）
4.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C ）旋转。
（A ）梁的轴线；（B ）截面对称轴；（C ）中性轴；（ D ）截面形心 5.对于纯弯曲梁，可由平面假设直接导出（ B ）。 （A ）
z EI M =
ρ
1
；（B ）ρ
εy
=；（C ）梁产生平面弯曲；（D ）中性轴通过形心 6.如图所示，两根h b ?矩形截面的木梁叠合在一起，两端受力偶矩o M 作用，则该叠合梁的抗弯截面模量W 为（ A ）。
（A ）261bh ；（B ）)61(22bh ；（C ）2
)2(61h b ；（D ）
bh )
121
(23
7.受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用3m ax 2m ax 1m ax )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，则（ B ）。
（A ）3max 2max 1max )()()(σσσ<<；（B ）2max 3max 1max )()()(σσσ<=； （C ）3max 2max 1max )()()(σσσ=<；（D ）3max 2max 1max )()()(σσσ==。
M o
1 2 3
8.设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ B ）的截面。
（A ）对称轴； （B ）偏于受拉边的非对称轴； （C ）偏于受压边的非对称轴； （D ）对称或非对称轴。
9.梁的四种截面形状如图所示，其截面面积相同。若从强度方面考虑，则截面形状最为合理的是 c ；最不合理的是 b 。
10.空心圆轴外径为D ，内径为d ，其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子
4
4
3
3
64
64
32
32
z z D d D d I W ππππ=
-
=
-
和计算，简述理由。
否。44
()/(/2)/26464
z z I D d W D D ππ=
=-
11.圆截面梁，当横截面直径增大一倍时，该梁的抗弯能力增大几倍？
3
32
d W π=
增大8倍
2a
2a
2a
5.1将厚度mm h 3=钢板围卷在半径R=1.2m 的圆柱面上，试求钢板内产生的最大弯曲正应力。设钢板材料的弹性模量E=210GPa,屈服极限MPa s 280=σ，为避免钢板产生塑性变形，圆柱面的半径应为多大？
解：3
9
1.510
2.110262MPa 1.2
y
E E σερ-?=
==??
= 1.125m s s
y
Ey
E E
σεσρρ
σ==≤≥
=
5.2简支梁AB 为16号工字钢，跨度L=1.5m ，在跨度中点处作用一集中力P 。为
测P 的大小，在距跨中点250mm 处梁的下缘C 点粘贴了一电阻应变片，梁受力后
由应变片测得C 处下缘的应变为4
4.010ε-=? 。已知钢材的弹性模量E=210GPa ，求载荷P 的数值。
解：根据单向拉伸时的胡克定律，点D 的正应力为
9421010 4.01084 MPa E σε-==???=
根据弯曲正应力公式z
M
W σ=
， 查表知No.16工字钢的3141 cm z W = ，因此
6684101411011.84 kN m z M W σ-==???=?
由截面法求出截面D 的弯矩M 与载荷P 的关系6
Pl
M =
由此得3
6611.421045.68 kN 1.5
M P l ??===47.38kN
5.3简支梁受均布载荷作用如图所示。若分别采用截面积相等的实心和空心圆截面，且5
3
,40221=
=D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。并求空心截面比实心截面的最大应力减小了百分之几？
解：
因空心与实心圆截面面积相等，所以：
)(4
4
222221d D D -=
π
π
则：2
22
22
22222215453??? ??=??? ??-=-=D D D d D D
图示简支梁的的约束反力为：2
ql
R R B A ===2KN ，其弯矩图如图所示，最大弯矩
为
m KN ql M .18
2
max ==
对实心截面梁：MPa D M W M z 15.15940
32
10132
3
631max 1max 1max =???===ππσ 对空心截面梁：
MPa D d D M W M z 64.935315010321324
3642232max 2
max 2
max =????
??????? ??-???=???
????????? ??-==ππσ 空心圆截面梁比实心圆截面梁最大正应力减少了
%16.4115
.15964
.9315.1591max 2max 1max =-=-σσσ
5.4受均布载荷作用的简支梁如图所示，计算（1）Ⅰ-Ⅰ截面A-A 线上1、2两点处的正应力；（2）此截面的最大正应力；（3）全梁的最大正应力。
解：(1)求截面弯矩
kNm 60)22(12
1=-==x qx qLx M
kNm 5.678/3608/22max =?==qL M
(2)求应力
4
5123
3m 10832.51012
18012012--?=??==bh I z
342
m 1048.66
-?==bh W z
MPa 7.6110832
.560
605121=??-==
=z I y M σσ MPa 6.921048
.66071max 1=?==
z W M σ MPa 2.1041048
.65
.677max max =?==
z W M σ 5.5当20号槽钢发生纯弯曲变形时，测出A ，B 两点间长度的改变为
mm l 31027-?=?，材料的E=200GPa 。试求梁截面上的弯矩M 。
解：20号槽钢的截面几何性质查型钢表可得
4419.5mm, 14410mm c z y I ==?
由胡克定律和弯曲正应力公式得
//z
E E l l
My I σεσ==?=
z I E l
M ly
?=
可得 41296
6
1441010200102710N m
50(19.55)10 =10.7kN m
M ---??????=?-?
5.6铸铁梁的横截面尺寸和所受载荷如图所示。材料的许用拉应力[]MPa t 40=σ，许用压应力[]MPa c 100=σ。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将T 型截面倒置（呈⊥形），梁是否安全？
解：（1）画梁的弯矩图
由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 （2）计算截面几何性质
形心位置和形心惯性矩
x
26
4
157.560.1310
i Ci C i ZC
A
A y y mm A
I
y dA m -====?∑∑?
（3）强度计算
B 截面的最大压应力
max 52.4[]B C
C C ZC
M y MPa I σσ=
=< B 截面的最大拉应力
max (0.23)
24.12[]B C t t ZC
M y MPa I σσ-=
=<
C 截面的最大拉应力
max 26.2[]C C
t t ZC
M y MPa I σσ=
=< 梁的强度足够。
（4）讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。
max 52.4[]B C
t t ZC
M y MPa I σσ=
=>
梁的强度不够
5.7由三根木条胶合而成的悬臂梁截面的尺寸如图所示。跨度m l 1=。若胶合面上的许用剪应力[]MPa 34.0=τ，木材的许用正应力[]MPa 10=σ，木材的许用剪应力[]MPa 1=τ，试确定该梁的许可载荷。
解：
（1） 按木条弯曲正应力强度条件确定许可载荷
[]Pa P W Pl W M z z 62
max max 101015.01.06
11
?=≤???===
σσ 得：N P 3750≤
[]Pa P
A Q
max 61010.150.12323?=≤??=
=
ττ
得：N P 10000≤
（3） 按胶合面剪应力强度条件确定许可载荷
()Pa P b I QS z z 631034.01.015.01.012
105.01.005.0?≤?????==*τ
得：N P 3825≤
从三个许可载荷中选取最小者，P=3750N 。
5.8一简易起重设备如图示。起重量（包括电葫芦自重）30P =kN ，跨长m l 5=。吊车大梁由20a 工字钢制成，其容许弯曲应力[]MPa 170=
σ
，许用切应力
[]MPa 100=τ。试校核此梁的强度。
解：1、校核正应力强度
max 37.5.M kN m =
3
273z W cm =由型钢表，查得
[]3max max
6
37.51015823710z M MPa W σσ-?==
Smax
30 A
F F F kN
=≈
=
max
/17.27
z z
I S cm d mm
*==
由型钢表，查得，
()
[
]
max
max
max
3
4
/
3010
24.9
17.20.710
S
z z
F
I S d
MPa
τ
τ
*
-
=
?
<
??
＝＝
所以梁是安全的。
5.9截面为正方形的梁按图示两种方式安置。试问哪种安置方式比较合理？
(a) (b)
解：
44 224
10
1
4d4)d4|
)
123
12 c
z A
y
y a
I y A y y y
==-=?=?=
?
34
21
1212
c c
z z
bh a
I I
===
12
44
12
33
12
1
12
,
16
2
2
c c
z z
z z
a a
I I
W W a
y y a
======
（b）合理。
5.10图示一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为⊥字形。材料的拉伸和压缩许用应力
之比为[][]1=
c
t
σ
σ，求水平翼板的合理宽度b。
(a) (b)
解： 水平翼板的合理宽度b 将使铸铁梁内的最大拉应力和压应力分别达到各自的许用应力，即
12
t max t cmax c [],[],My My I I
σσσσ=
=== ○
1 由○
1式得 t max t 1cmax 2c []1
[]4
y y σσσσ=== ○
2 由几何条件知 12400mm y y += ○
3 解 ○
2 、○
3 式得到 1280mm,320mm y y ==
截面上，对中性轴c z 的静矩（图5.10（b ））应等于0，即
c 12120z c c
S A y A y =+=
[60()8030)(30340)(320170)]mm=0b --?- ○
4 解○
4式， 得 510mm b =
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5
第五章 弯曲应力 §5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1.?? ?===----σ τ,0,,0,const M F M F S S 纯弯曲横力弯曲弯曲 2．观察变形 以矩形截面梁为例 （1）变形前的直线aa 、bb 变形后 成为曲线a a ''、b b ''，变形前的mm ，nn 变形后仍为直线m m ''、n m ''，然而却相对转过了一个角度，且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。 （2）平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。 （3）设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。
（4）中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139 note ：可以证明，中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1．正应力分布规律： ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系 取d x 微段来研究，竖直对称轴为y 轴，中性轴为z 轴，距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。 ()ρ θ ρθρθρεy y = -+= d d d （a ） （2）物理关系 因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 ε=σE ρ =σy E （b ） 此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。 （3）静力关系 横截面上的微内力σd A 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 e
第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲 一、纯弯曲和横力弯曲 1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。 特点：弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。 特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。 F s 二、弯曲变形假设 1. 平面假设: 变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴 1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。 2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
5.2 纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系 ()ρ θ ρθ ρθρεy d d d y = -＋＝ 二、 物理关系 当应力小于比例极限，由胡克定律： ρ εσy E E ＝＝ 任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系 横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为 ?= A dA N σ， ? = A y dA z M σ， ? = A z dA y M σ 根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝?= A dA N σ 0＝? = A y dA z M σ ? = A z M dA y M ＝σ 由0＝?=A dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0== ?? A A y dA zy E dA z M ρ σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。 由M dA y E dA M A A z ==??ρ σ2 y ＝可得? A dA y M E 2＝ ρ 令?=A z I dA y 2--对z 轴的惯性矩 y I M y E E z ＝ ＝＝ρ εσ 5.3 横力弯曲时的正应力 一、正应力近似计算公式 y I M z ＝ σ （误差不大，满足工程所需精度） 二、惯性矩计算 1. ? = A dA y 2Z I 若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12 I 3 Z bh =； 若横截面是直径为D 的圆形，64 I 4 Z D π= 2. 平行移轴公式 A 2ZC Z b I I += 例题 1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式 z M y I 时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 (a) 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图 5.3.3 图 5.3.4
第五章弯曲应力 §5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力* §5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念* §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力 一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元 σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。 M σdA τdA Q 当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类 P P a a A C D B A C D +?B C D + P P Pa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。 CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备 A B C D E F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH 。 在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M M A B C D E F G H 2.现象 ?变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直 线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。 ?纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长； ?曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；?横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定 ?梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。——平截面假定。 ?梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。 ?中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。 中性层 纵向对称面 中性轴
5-2简支梁承受均布荷载如图，若分别采用截面面积相等的实心圆和空心圆截面，且 D i 40mm,鱼 3 ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减少了百分之 D 2 4 几？ q=2kN/m (3) 求最大应力 5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴的最大正应力。 解：(1)荷载在纵向对称面内，与轴线垂直, 梁发生平面弯曲。中性轴 z 轴过圆心C 与载荷垂直，沿水平 方向。实心圆和空心圆截面，且 D 1 40mm,色 3 D 2 4 4D 12 产1 2 ) D 2 D 1 40 60.47 mm (2弯矩图如图( b ) 所示： M max 1 (kN m) 实心圆截面: max M max W z 32 Pa 159MPa 。 0.043 空心圆截面: M max max W z M max 1 3 1 10 32 D ；(1 4 ) 32 Pa 67.39MPa 3 4 0.06047 (1 0.75 ) 故：空心截面比实心截面的最大正应力减少了 159 67.39 100%= 57.62% 。 159 M kN - m)
5kN A 解：(1)外力分析。压板可以简化为图示外伸梁，荷载与轴线垂直，发生平面弯曲变形，中性轴是水平 上下对称轴。 (2)内力分析，判危险面。弯矩图如图所示。 M m-m 15.4 0.02 0.308 (kN m) (3)应力分析，判危险点: 3kN 3kN B E ■ r IBM BIB 卩r 3.36 kN << 仁 L 34 + ------------------- 1 ---- 1 ------- |7.64 kN 1 1 1 1 1 1 003 M (kN ?m ) X|- | 丨” 解：(1 )荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。约束反力如图所示。 (2)弯矩图如图(b )所示：M C 1.34 (kN m) M B 0.9 (kN m) (3)求最大应力 度。 实心圆截面: 空心圆截面: C ,max B,max M C,max W z M max W z 5-8压板的尺寸和载荷情况如图所示。 3 1.34 103 1 32 32 材料为 F1=15. 4kN 0.308 Hll M(kN 5 题 5-8 图 Pa 63.2MPa 。 0.063 1 103 3 0.063 [ 45钢, Pa 62.45MPa 4 45/60 ] s 380MPa ，取安全因素 n=1.7。试校核压板的强 题5-8图 200 300 0.9 题5-2 图
第5章弯曲应力 判断正误 1.直径为D的圆形截面挖去一个边长为a的正方形如图所示，该截面对轴z的弯曲截面系数 。（） 2.平面弯曲静定梁横截面上的正应力与杆件材料的力学性能有关。（） 3.外径为D、内径为d的空心圆截面梁，其弯曲截面系数为。（） 4.铸铁梁的危险截面为弯矩最大的截面。（） 5.几种常用截面（矩形、工字形、圆形）梁，其最大弯曲切应力发生在剪力最大的截面中性轴上。（） 6.以中性轴为界，梁凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。（） 7.称为梁的弯曲刚度。（） 8.梁内最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力一定发生在同一截面的上、下边缘处。（） 9.钢梁第三类危险点的强度计算需要用第三强度理论或第四强度理论。（） 10.从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是：用较小的面积获得较大弯曲截面系数。（） 计算题 5-1受均布荷载的简支梁如图所示，试计算：（1）1-1截面AA线上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力。
5-2简支梁承受均布荷载2/q kN m =，梁跨长2l m =，如图示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，实心圆截面的直径140D mm =，空心圆截面的内、外径比22=35d D α=，试分别计算它们的最大弯曲正应力及两者之比值。 5-3 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若许用应力[]160MPa σ=，求许可荷载[F]。 5-4如图所示的简支钢梁AB ，材料许用应力。该梁拟采用三种形状的截面：（a ）直径为d 的圆截面；（b ）高宽比为2的矩形截面；（c ）工字型钢截面。试：（1）按弯曲正应力强度条件设计三种形状的截面尺寸；（2）比较三种截面的值，说明何种形式最为经济；（3）按弯曲切应力强度条件进行校核。
第五章弯曲应力
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2)
正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5l h ≥时，误差2%≤。 Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁 []max max z M W σσ= ≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。 当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为 [],max t t σσ≤，[],max c σσ≤ Ⅵ、提高梁正应力强度的措施 1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。 2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使 [] [] ,max ,max t t c c y y σσσσ== 拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。
第5章 弯曲应力 思考题 1.推导梁的弯曲正应力公式时，采用物理关系εσE =是根据线弹性变形和纵向层不受挤压的假设。（ √） 2.在等截面梁中，最大弯曲正应力一定发生在弯矩值最大的截面上。（ × ） 3.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上一定相等。（ × ） 4.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ C ）旋转。 （A ）梁的轴线；（B ）截面对称轴；（C ）中性轴；（ D ）截面形心 5.对于纯弯曲梁，可由平面假设直接导出（ B ）。 （A ） z EI M = ρ 1 ；（B ）ρεy =；（C ）梁产生平面弯曲；（D ）中性轴通过形心 6.如图所示，两根h b ?矩形截面的木梁叠合在一起，两端受力偶矩o M 作用，则该叠合梁的抗弯截面模量W 为（ A ）。 （A ）261bh ；（B ）)61(22bh ；（C ）2 )2(61h b ；（D ） bh ) 121 (23 7.受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用3max 2max 1max )(,)(,)(σσσ分别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，则（ B ）。 （A ）3max 2max 1max )()()(σσσ<<；（B ）2max 3max 1max )()()(σσσ<=； （C ）3max 2max 1max )()()(σσσ=<；（D ）3max 2max 1max )()()(σσσ==。 M o
1 2 3 8.设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ B ）的截面。 （A ）对称轴； （B ）偏于受拉边的非对称轴； （C ）偏于受压边的非对称轴； （D ）对称或非对称轴。 9.梁的四种截面形状如图所示，其截面面积相同。若从强度方面考虑，则截面形状最为合理的是 c ；最不合理的是 b 。 10.空心圆轴外径为D ，内径为d ，其惯性矩z I 和抗弯截面模量z W 能否按式子 4 4 3 3 64 64 32 32 z z D d D d I W ππππ= - = - 和计算，简述理由。 否。44 ()/(/2)/26464 z z I D d W D D ππ= =- 11.圆截面梁，当横截面直径增大一倍时，该梁的抗弯能力增大几倍？ 3 32 d W π= 增大8倍 2a 2a 2a
第五章 弯曲应力 5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且 5 3 , 40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？ 解：1)空心截面尺寸： 由 () ??? ? ??????? ? ??-=-= 2 2 2 2222 22 21 144 4 D d D d D D π π π 求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。且：m KN ql M ?==18 2max 3)求最大正应力： 实心截面：32 3 1D W Z π= MPa W M Z 2.159max max == σ 空心截面：? ?? ????????? ??-=4 2232 132D d D W Z π MPa W M Z 6.93max ' max ==σ 4)最大正应力之比： %2.412 .1596 .932.159max ' max max =-=-σσσ 5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3 2 ,4====σ。试确定此梁横截面的尺寸。
解：1) )确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。且：2 2max ql M = 2)建立强度条件：[]σσ≤=Z W M max max 其中：6 2bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥. 5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。 解：1)最大弯矩 ()() m N M ?=??=-3081020104.1533max 2)A —A 截面抗弯模量 () 3 2 633max 568.110 112102.1203.0cm y I W =???-== --3)最大正应力： MPa W M Z 4.196max max == σ 许用应力[]MPa n s 253== σσ 可见s σσ?max ，压板强度足够。 5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比 [][]4/1/=c t σσ。求水平翼板的合理宽度。 解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。由于：