第 五 章 弯 曲 应 力
一、是非判断题
1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。
（ × ）
2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。
（ √ ）
3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max
σ
不一定出现在max
M
的截面上。（ × ）
4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。
（ √ ）
5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ）
6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ）
7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ）
二、填空题
1、应用公式z
M
y I s =
时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。
3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力
=S F
bh
F
23 。
4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为
226
1
61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H
bh BH 66132
- 。
x
三、选择题
1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。
2、
如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F
增大时，破坏的情况是（ C ）。
A 同时破坏；
B （a）梁先坏；
C （b）梁先坏
3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ）
A B C D
A B
D
x
四、计算题
1、长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知m h 18.0=，m b 12.0=，
m y 06.0=，m a 2=，kN F 1=，求C 截面上K 点的正应力。
解：33
11020.06 2.10.120.1812
C K
Z
M y MPa I s
创?===′ 2、⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。截面对形心轴z C 的惯性矩4
10181cm I Z =，
cm h 64.91=，kN P 44=，求梁内的最大拉应力和最大压应力。
44kN
44kN
35.2kNm
26.4kNm
A
:C :
解：内力图如上所示，A 截面和C 截面为危险截面，其应力分布如图所示。 A 截面：
32
18
35.2109.61033.31018110
A A
Z M h MPa I s -+
-创?===′ 32
28
35.21015.361053.11018110A A
Z M h MPa I s ---创?===′
C 截面：
32
28
26.41015.361039.831018110C C
Z M h MPa I s -+
-创?===′
32
18
26.4109.641025.01018110
C C
Z M h MPa I s ---创?===′ 所以，最大拉应力：max 39.83MPa s +
=
最大压应力：
max
53.1MPa s
-=
3、图示矩形截面梁。已知[]160MPa s
=，试确定图示梁的许用载荷][q 。
第四题图
2.5q
1.5q
2q
3.125q
解：内力图如上所示。
[]max Z
My
I s s =
? []Z
I M y
s ￡
3
612
3
8022016010102512811010q --′创?￡′
33/q kN m ￡
故许用载荷
[]33/q kN m
=
4、图示T 形截面铸铁梁承受载荷作用。已知铸铁的许用拉应力MPa 40][t =σ，许用压应力
MPa 160][c =σ。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将横截面由T 形倒置
成⊥形，是否合理？为什么？
解：内力图如上所示，B 截面和E 截面为危险截面，其应力分布如图所示。
B :
E:
解：以截面最下端为z 轴，计算惯性矩。
2003021520030100
157.52003020030
C y mm 鬃+鬃=
=??
()332
254
20030302002003042.5152003057.5 6.021*******
Z I II I I I m -鬃=+=+鬃+++鬃=? B 截面：
33
15
201072.51024.126.021510B B
Z M y MPa I s -+
-创?===′
33
25
2010157.51052.396.021510
B B
Z M y MPa I s ---创?===′ E 截面：
33
25
1010157.51026.196.021510
E E
Z M y MPa I s -+
-创?===′ 33
15
101072.51012.066.021510E E
Z M y MPa I s ---创?===′
所以，最大拉应力：max 26.19MPa s +
=
最大压应力：max 52.39MPa s -=
如果将T 形截面倒置，则：
[]33
15
2010157.51052.39406.021510
B B
t Z M y MPa MPa I s s -+
-创?===>=′ 不满足强度条件，所以不合理。
5、图示工字形截面梁。已知：24/q kN m =， 1.5o m kN m =?，截面高180H mm =
腹板高110h mm =，腹板厚mm d 7=，截面面积2
31A cm =,21660Z I cm =，
/15.4Z Z I S cm =，[]150MPa s =，[]130MPa t =。试（1）按照梁的弯曲正应力强度校
核梁的强度；（2）按照弯曲剪应力强度校核梁的强度。
，试选择工字钢的型号。 18kN
22kN
16.2kNm
4kN
8kNm
解：内力图如上所示，剪力、弯矩最大截面为危险截面。
[]max
max Z
M W s s =
?
[]
33
max
6
16.210101.2516010
Z M W cm s ′?=′ 选用14号工字钢，并用其计算剪应力。此时，
*12, 5.5Z
Z
I cm b cm S == *
max max
Z
Z
Q S bI t
=
[]
3
max
32
2210331005.5101210MPa MPa t
t --′==?创?
说明14号工字钢剪应力强调满足强度要求，故选用14号工字钢。
1. 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2 kN ，F 2=5 kN ，试计算梁 内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩（位于F 2作用点所在横截面）： M max =2kNm (3) 计算应力： 最大应力：MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力：MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ，许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T 形截面倒置成为⊥形，是否 合理？何故？ 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 (a) 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 6、如图一空气泵的操纵杆，右端受力为，截面I -I =3， 材料的许用应力[σ]=50Mpa ，试求该横截面的尺寸。图中尺寸单位为mm 。 图 5.3.3 图 5.3.4
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
第五章 弯曲应力习题 一、单项选择题 1、梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（ ） A 、正应力 B 、拉应力 C 、压应力 D 、切应力 二、填空题 1、对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p = ；截面对过圆心的Z 轴的惯性矩I z = ；截面的抗扭截面系数W p = ；截面的抗弯截面系数W z = 2、在梁弯曲变形时 1 Z M EI ρ = ，式中ρ 表示梁中性层的曲率半径，M 表示梁横截面上的 ，I z 表示梁横截面的 ，EI z 称为梁的抗弯 。 3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值 ,中性轴上的各点应力为 . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维称为 。该层与梁横截面的交线称为 。 ~ 三、计算题 1、由50a 号工字钢制成的简支梁如图所示，q =30kN/m ，a =3m ，50a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1860×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试校核梁的强度。 ' 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F =3kN ，梁长l =300mm ，其高宽比为h /b =3，材料的许用应力[σ]=160Mpa ，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图5.3.1
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D =25mm ，P =60N ，m =180N ?m, a =2m ，圆形截面梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，试校核梁的强度。 { 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为l ,截面为b ×4b 的矩形，自由端作用力为P 。 拟用图(a )和图（b ）两种方式搁置，试求图（a ）情形下梁横截面上的最大拉应力(σmax ) 和 图（b ）情形下梁横截面上的最大拉应力（σmax ）。图中力的单位为（N ），尺寸单位为（mm ）。 ( (a) 】 5、如图一单梁吊车，其跨度l =10m ，吊车大梁由45a 号工字钢制成，45a 号工字钢的抗弯截面系数W z =1430×10-6m 3，大梁材料的许用应力[σ]=140Mpa ，电葫芦自重G =15kN ，最大起重量Q=55kN ，试校核大梁的强度。（大梁自重暂不考虑。） 图5.3.2 图 5.3.3 图 5.3.4 图5.3.5
习题 10?1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。 解：梁内的最大弯矩发生在跨中kN.m 30 max = M 查表知20a工字钢3 cm 237 = z W 则 MPa 6. 126 Pa 10 6. 126 10 237 10 306 6 3 max max = ? = ? ? = = - z W M σ 10?2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。 解：梁的弯矩方程为()2 2 1 2 1 qx qlx x M- = 则曲率方程为() () ? ? ? ? ? - = =2 2 1 2 1 1 1 qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变()()? ? ? ? ? - = =2 2 1 2 1 2 2 qx qlx EI h x h x z ρ ε 下边缘伸长为() 2 3 2 02 2 1 2 1 2Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l l z l = ? ? ? ? ? - = = ?? ?ε 10?3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。 解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一 b h
侧产生压应力。 10?4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m ,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。 解： 1、设截面的形心到下边缘距离为y 1 则有 cm 33.74 108410 4104841=?+???+??= y 则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y 于是截面对中性轴的惯性距为 4 2323cm 0.86467.24101241033.3841284=??? ? ????+?+???? ????+?=z I 2、作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面 MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.168 2 31max t,=?=????==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910 0.8641067.410778.16 8 232max c,=?=????==--y I M z D σ 在E 截面上 MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.168 2 32max t,=?=????==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810 0.8641033.7100.16 8 231max c,=?=????==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ C
第五章 弯曲应力 §5.1 纯弯曲 §5.2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施 §5.1 纯弯曲 1.?? ?===----σ τ,0,,0,const M F M F S S 纯弯曲横力弯曲弯曲 2．观察变形 以矩形截面梁为例 （1）变形前的直线aa 、bb 变形后 成为曲线a a ''、b b ''，变形前的mm ，nn 变形后仍为直线m m ''、n m ''，然而却相对转过了一个角度，且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。 （2）平面假设 根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。 （3）设想 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压， 只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。
（4）中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139 note ：可以证明，中性轴为形心主轴。 §5.2 纯弯曲时的正应力 1．正应力分布规律： ①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系 取d x 微段来研究，竖直对称轴为y 轴，中性轴为z 轴，距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。 ()ρ θ ρθρθρεy y = -+= d d d （a ） （2）物理关系 因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 ε=σE ρ =σy E （b ） 此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。 （3）静力关系 横截面上的微内力σd A 组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力 e
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是（ ） 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B ．粱内最大应力不超过材料的比例极限 C ．粱必须是纯弯曲变形 D ．粱的变形是平面弯曲 E ．中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中，I z 为粱的横截面对（ ）轴的惯性矩。 A . 形心轴 B ．对称轴 C ．中性轴 D ．形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面，如图所示，则梁的抗弯截面模量W 为（ ）。 A . 32 3 D π B ． )1(32 4 3 απ-D C ． 32 3 d π D ． 32 32 3 3 d D ππ- E ．2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，S *z 表示 的是（ ）对中性轴的静矩。 A ．面积I B ．面积Ⅱ C ．面积I 和Ⅱ D ．面积Ⅱ和Ⅲ E ．整个截面面积 -21-
5．欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，b 应取（ ）。 A ．上翼缘宽度 B ．下翼缘宽度 C ．腹板宽度 D ．上翼缘和腹板宽度的平均值 6．图为梁的横截面形状。那么，梁的抗弯截面模量W z ＝（ ）。 A . 6 2 bh B ．32632d bh π- C ．2641243h d bh ? ??? ??-π D ．??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7．两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦)，如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B ．??? ? ??622 bh C ．)2(612 h b D ．h bh 21222???? ?? 8．T 形截面的简支梁受集中力作用(如图)，若材料的[σ]- ＞[σ]+，则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
第五章 弯曲应力 内容提要 一、梁的正应力 Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲 纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。 横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。 Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法： 1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程； 2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律； 3. 由静力学关系得出正应力公式。 Ⅲ、中性层和中性轴 中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。 中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为 ()()1 z M x x EI ρ= (5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。 Ⅳ、梁的正应力公式 1. 横截面上任一点的正应力为 z My I σ= (5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。 2. 横截面上的最大正应力，为 max max z My I σ= (5-3) max z z I W y = (5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。 3. 弯曲正应力公式的适用范围： 1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。 2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公
材料力学专项习题练习-弯曲应力
弯曲应力 1 . 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹 M e M e l d 2d A B 57
58 性模量2B A E E =。求在外力偶矩 e M 作用下，A 、B 中最大 正应力的比值max min A B σσ有
59 M (A)(B)(C) (D)A 2 mm ρO 4个答案： (A)16； (B)14； (C)1 8； (D)110。 答：B 2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案： 答：C 3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢 尺点A 处的应变为1 1000-，则该曲 面在点A 处的曲率半径为 mm 。 答：999 mm 4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大 (a) z a a z
60 正应力之比max a max b ()()σ σ = 。 答：2/1 5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。 证： 4 12, (d ) 1 8203B A z z z My M Mt M y yb y I I I σ==?=? ? 4 690z I t =, 414 1 1 82088%3690M t M t =??≈ 其中：积分限1 , 22 h h B t A M =+=为翼缘弯矩 6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。 解：1M EI ρ= 而M F a = 4 840.78510 m , 0.654 kN 64 d EI I F a πρ-= =?= = 33max 8 0.654100.22010167 MPa 2220.78510M d Fad I I σ--?????====?? 7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加 y t /2 t z t b /2B a D a C A ρA C B F l /3 2l /3
第五章弯曲应力习题答案 一、单项选择题 1、A 二、填空题 1、 4 4 3 3 d d d d 32 64 16 32 p p p p L L L L L L 2、弯矩 惯性矩 刚度 3、线性 愈大 零 4、中性层 中性轴 三、 计算题 1、 解： m ax M 270kN m =? []3m ax -6 z 8 27010σ186010 1.4510pa =145M pa <σ160M pa M W ?= = ?=?= 故梁的强度足够。 2、 解： max M 900N m =? []3 m ax 3 z 90010σσ160M pa 96 M b W ?= = ≤= 15.5m m 46.5m m b h ≥≥ 3、 解： 故梁的强度足够。 []m ax 3 3 Z 3 m ax Z M 160N m W 0.11562.5m m M 16010σ102.4M pa <σ140M pa W 1562.5 d =?==?= = = =270kN.m Fl=900N.m 160N.m 140N.m 20N.m
4、 解： ()(Mpa) 8b 3Pl (4b) b 6Pl W M σ3 2 Z a max = ?= = () (M p a ) 2b 3Pl b 4b 6Pl W M σ 3 2 Z b max = ?= = 5、 解：M=1/2（G + Q ）×l /2 = 1/2（55+15）×10/2 ×106 =175×106 （N m m ?） []6 6 9 17510122.4M pa <140M pa 143010 10 Z M W σσ-?= = ==?? 故大梁的强度足够。 6、 解： M=8.5×103×（720-80）=5440×103（N m m ?） () []3 2 6544010503Z M M pa W b b σσ??= = ≤=? 解得： b≥41.7mm; h=125.1 mm 7、 解：（1）求最大弯矩 梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为2 m ax 2 60001 3000N m 2 2 ql M ?== =? （2）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截面上边缘受最大拉应力， 6 m ax m ax 18 6 m ax m ax 2830000.015217810Pa 178M Pa 25.610 30000.032838510Pa 385M Pa 25.610 t z c z M y I M y I σσ--=?=?=?=?= ?= ?=?=? 8、 解： 3 6 m ax 3 m ax m ax 6 m ax 510600310N m m 0.1[]310[] 80 72.5m m Z Z Z M Fa W d M W M W d σσσ==??=??== ≤?≥ = ≥
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式y I M z = σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
第五章 弯曲应力 5.2简支梁承受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且 5 3 , 40221==D d mm D ，试分别计算它们的最大正应力。并问空心截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？ 解：1)空心截面尺寸： 由 () ??? ? ??????? ? ??-=-= 2 2 2 2222 22 21 144 4 D d D d D D π π π 求出；mm d mm D 30,5022== 2)确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁中间截面。且：m KN ql M ?==18 2max 3)求最大正应力： 实心截面：32 3 1D W Z π= M P a W M Z 2.159m a x m a x == σ 空心截面：??? ????????? ??-=4 2232 132D d D W Z π M P a W M Z 6.93max ' max ==σ 4)最大正应力之比： %2.412 .1596 .932.159max ' max max =-=-σσσ 5.4矩形截面悬臂梁如图所示，已知[]MPa m KN q h b m l 10,/10,3 2 ,4====σ。试确定此梁横截面的尺寸。
解：1) )确定危险截面： 梁的弯矩图如图，最大弯矩发生在梁固定端截面。且：2 2max ql M = 2)建立强度条件：[]σσ≤=Z W M max max 其中：62 bh W Z = 3)代入数据求出梁截面尺寸：mm h mm b 416,277≥≥. 5.8压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，MPa s 380=σ，取安全系数n=1.5。试校核压板的强度。 解：1)最大弯矩 ()() m N M ?=??=-3081020104.1533max 2)A —A 截面抗弯模量 () 3 2 633max 568.110 112102.1203.0cm y I W =???-== --3)最大正应力： MPa W M Z 4.196max max == σ 许用应力[]MPa n s 253== σσ 可见s σσ?max ，压板强度足够。 5.11图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为倒T 形，材料的拉伸和压缩许用应力之比 [][]4/1/=c t σσ。求水平翼板的合理宽度。 解：1)确定中性轴位置：由于梁受正的弯矩作，用，因此梁的中性轴以下部分受拉而产生拉应力，中性轴以上部分受压而产生压应力。由于：
第五章弯曲应力习题 一、单项选择题 1梁纯弯曲时，梁横截面上产生的应力为（） A、正应力 B、拉应力 C、压应力 D、切应力 二、填空题 1对于圆形截面的梁，其对圆心的极惯性矩I p= _____________ ;截面对过圆心的Z轴的 惯性矩l z= __________ ；截面的抗扭截面系数W p= _____________ ；截面的抗弯截面系数W z= ___________ 2、在梁弯曲变形时- —，式中p表示梁中性层的曲率半径，M表示梁横截面上 El z 的____________ ，l z表示梁横截面的___________ ，E Z称为梁的抗弯____________ 。3、梁纯弯曲时，梁纯弯曲时，横截面上的正应力沿高度方向呈__________ 分布，横截面上距中性轴愈远的点处应力的绝对值__________ 冲性轴上的各点应力为_________ . 4、根据梁弯曲的平面假设，梁上其间存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一层纤维 称为___________ 。该层与梁横截面的交线称为_____________ 。 三、计算题 1由50a号工字钢制成的简支梁如图所示，q=30kN/m，a=3m，50a号工字钢的抗弯截面系数W z=1860X 10-6m3,大梁材料的许用应力［o］=16OMpa，试校核梁的强度。 2、如图所示矩形截面悬臂梁，外载荷F=3kN，梁长l=300mm，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力［d=160Mpa，试按梁的弯曲强度条件设计该矩形截面梁的尺寸。 图 5.3.2
3、如图所示的简支梁，梁横截面为圆形，直径D=25mm, P=60N, m=180Nm, a=2m, 圆形截面梁材料的许用应力[d=140Mpa,试校核梁的强度。 4、如图所示悬臂梁，外伸部分长度为I，截面为b X b的矩形，自由端作用力为P。拟用图（a）和图（b）两种方式搁置，试求图（a）情形下梁横截面上的最大拉应力（o max ）和图（b）情形下梁横截面上的最大拉应力（cmax）。图中力的单位为（N）,尺寸单位为（mm ）。 5、如图一单梁吊车，其跨度I=10m，吊车大梁由45a号工字钢制成， 抗弯截面系数W z =1430 X 10-6m3，大梁材料的许用应力[O=140Mpa，电葫芦自重 G=15kN，最大起重量Q=55kN,试校核大梁的强度。 图 5.3.3 -(a) 图 5.3.4 45a号工字钢的 图 5.3.5
3、 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm 。求：梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力。 解：1. 计算梁的1－1截面上的弯矩： 3 1m 110N 1m+600N/m 1m 1300N m 2M ?? =-????=-? ?? ? 2. 确定梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力： A 点： () 33 6 3 -3-315010m 1300N m 2010m 210P a M P a () 10010m 15010m 12 z A z M y I σ--?????-? ???==?=???＝2.54 2.54拉应力 B 点： () )1.62MPa(Pa 1062.112 0.15m 0.1m m 04.020.150m m N 130063 压应力=?=???? ??-??==z z B I y M σ 4、 圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。图中尺寸单位为mm 。已知F P ＝10kN ，q ＝5kN/m ，许用应力[]σ＝140 MPa ，试校核梁的强度。 习题7－4图
习题7－8图 解：画弯矩图如图所示： ()()[]36max1max 3 -31 32306510N m 113810Pa=1138MPa<π14010m ...M W σσ???==??实＝ ()() []36 max2max 4 32 -3 322010N m 100310Pa=1003MPa<100π14010m 1140..M W σσ???= =??????-?? ??????? 空＝ 所以，梁的强度是安全的。 5、 悬臂梁AB 受力如图所示，其中F P ＝10 kN ，M ＝70 kN ·m ，a ＝3 m 。梁横截面的形状及尺寸均示于图中(单位为mm)，C 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩I z ＝1.02×108 mm 4，拉伸许用应力[]＋ σ＝40 MPa ， 压缩许用应力[]－ σ＝120 MPa 。试校核梁的强度是否 安全。 解：画弯矩图如图所示： M (kN.m)
弯曲应力 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 1010 64 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.20108.490104105.28 2 3=????=--σ （压）
MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????= --σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.38106.251099.01018 2 3=????= --σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ MPa 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： Mpa 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）
班级： 学号： 姓名： 《工程力学》弯曲应力测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。 （ √ ） 2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。 （ × ） 3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。 （ × ） 4、中性轴是中性层与横截面的交线。 （ √ ） 5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。 （ × ） 6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。 （ × ） 7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。 （ √ ） 8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。 （ × ） 9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。 （ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。 （ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。 A ．外层 B ．中性层 C ．内层 2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。 A. 中性轴上 B. 对称轴上 C. 离中性轴最远处的边缘上 3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。 A. 8 1 B. 8 C. 2 D. 21 4、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ） A. AC 段 B. CD 段 C. DB 段 D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ） A. 中性轴通过截面形心 B. 梁只产生平面弯曲；
第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲 一、纯弯曲和横力弯曲 1. 纯弯曲BC 段：Q ＝0，M ＝常数。 特点：弯曲后的轴线为圆弧线。 2、横力弯曲AB 、CD ：Q ≠0，M ≠0。 特点：弯曲后的轴线为非圆弧线。 F s 二、弯曲变形假设 1. 平面假设: 变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。 2. 纵向纤维间无正应力。 三、中性层和中性轴 1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。 2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
5.2 纯弯曲时的正应力 一、变形几何关系 ()ρ θ ρθ ρθρεy d d d y = -＋＝ 二、 物理关系 当应力小于比例极限，由胡克定律： ρ εσy E E ＝＝ 任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。 三、静力关系 横截面上的微力dA σ组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为 ?=A dA N σ， ?=A y dA z M σ， ?=A z dA y M σ 根据纯弯曲时梁的横截面内只有对z 轴的弯矩M ，而0=N 、0=y M ，即
0＝?=A dA N σ 0＝?=A y dA z M σ ?=A z M dA y M ＝σ 由0＝?=A dA N σ可知中性轴必须通过截面形心。 由0==??A A y dA zy E dA z M ρ σ＝可知y 和z 轴至少有一根是对称轴。 由M dA y E dA M A A z ==??ρ σ2 y ＝可得? A dA y M E 2＝ ρ 令?=A z I dA y 2--对z 轴的惯性矩 y I M y E E z ＝ ＝＝ρ εσ 5.3 横力弯曲时的正应力 一、正应力近似计算公式 y I M z ＝ σ （误差不大，满足工程所需精度） 二、惯性矩计算 1. ? = A dA y 2Z I 若横截面是高为h,宽为b 的矩形，12 I 3 Z bh =； 若横截面是直径为D 的圆形，64 I 4 Z D π= 2. 平行移轴公式 A 2ZC Z b I I += 例题 1. 如图a 所示简支梁由56a 号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图b, F=150KN 。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处a 点的正应力。
弯曲应力习题
( )( )( )( ) 02. 为了提高梁的承载能力，对同一梁、相同的均布载荷q，下列哪一种支承条件下，梁的强度 最好： 正确答案是___________ 。 () ()() () 03．梁在弯曲时，横截面上正应力是按分布的； 中性轴上的正应力为；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按分布的。 2
3 04． 矩形截面梁若max Q 、m ax M 和截面宽度b 不变，而 将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。 05．一倍，其则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。 06． 下图中所示的梁跨中面上A 、B 两点的应力=A σ ； =A τ ；=B τ 。 07．图示 T 字形截面梁。若已知A A -截面上、下表面处沿x 方向的线应变分别是0004.0'-=ε，0002.0''=ε，则此截面中性轴位置=c y (C 为形心)。 A-A
4 GPa E 200= 09．正方形截面简支梁，受有均布载荷作用如图，若][6][τσ=，证明：当梁内最 大正应力和剪应力为同时达到许用应力时，6/=a l 。 10．铸铁制梁的尺寸甩所受载荷如图所示，试求最大拉应力和最大压应力。 单位 ( ) 11．图示矩形截面简支梁 P 、a 、d 、h 已知，试计算D 左截面上K 点的正力 及剪应力。 h /2 h /2b/2 b/2 如图，许用压应力MPa c 60][=σ。试校核结构的强度。
5 13．集中力P 直接作用简支梁AB 的中点时，梁内最大应力超过许用值 %30，为 了消除此过载现象，配置了辅助梁CD 如图所示，试求CD 梁的跨度a 。 14．图示梁为两个工字钢组成，一个工字钢的 3 1049mm W z ?=， mm S I z z 9.85/* =，mm d 5.4=，MPa 120][=σ，试校核梁的强度并计算 m ax τ。 15．图示梁由三块等厚木板胶合而成，已知 MPa 5][=τ，试校核胶缝的剪切强度。 2P 作 压应力
一、判断题（正确打“√”，错误打“X ”，本题满分为10分） 1、拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件内的应力，它随时间作周期性变化，而作用在构件上的载荷可能是动载荷，也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关，只与载荷的最终值有关。（ ） 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ ） 8、动载荷作用下，构件内的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力，是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体，该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题（每个2分，本题满分16分） 1．应用拉压正应力公式A F N =σ的条件是（ ）。 A 、应力小于比例极限； B 、外力的合力沿杆轴线； C 、应力小于弹性极限； D 、应力小于屈服极限。 2．梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 （ ）。 A 、1/4； B 、1/16； C 、1/64； D 3 A B C 、有应力不一定有应变，有应变一定有应力； D 、有应力一定有应变，有应变一定有应力。 4、火车运动时，其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法，正确的是 。 A ：脉动循环应力： B ：非对称的循环应力； C ：不变的弯曲应力；D ：对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F 作用，其合理的截面形状应为图（ ） 6、对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了20%，若安全因数不 (a (b