勾股定理
一、知识归纳 1、勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC ?中，90C ∠=?
，则c
，b
，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 4、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； 二、题型
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ?中，90C ∠=?⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：
例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1E
D
C
B
A
A
B
C
D E
例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
B
C
D
8cm
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ? ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =
，1b =，23
c = 解：
例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：
D C
B
A
一、想好了再填
1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是
2．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的母线L 是________
3．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为________．
4. 已知等腰三角形的腰长是6cm ，底边长是8cm ，那么这个等腰三角形的面积是 .
5．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A 的面积是10，B 的面积是11，C 的面积是13，则D 的面积之为_______. 6．如图，C 、D 分别是一个湖的南、北两端A 和B 正东方向的两个村庄，CD = 6 km ，且D 位于C 的北偏东30°方向上，则AB ＝______km ． 7. 如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行___________米.
8．如图，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A 、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD
l
(第2题)
8
6
第13题
北
东
A B C
D
第6题 第9题
3
12
的面积是 .
9. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为__________。
10．某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30o
，90BCA ∠=o
，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）
11．有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；
在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。（结果用带π和根号的式子表示）
12．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方
形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为
23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______________
二、看准了再选
13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是5”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）
Ａ．代入法 Ｂ．换元法 Ｃ．数形结合的思想方法 Ｄ．分类讨论的思想方法
14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是
（ ） A ．7,24,25a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c === C ．25
,2,34
a b c === D ．15,8,17a b c ===
15．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正东方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝正南方挖，每分钟挖6cm ，10分
钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A. 50cm
B. 100cm
C. 140cm
D. 80cm
16．如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容下的最长的木棒为（ ）
A. 20cm
B. 50cm
C. 40cm
D. 45cm
30o
Ｂ
（第10题图）
A
1 A 1 B
Q
P 第
11
题图
A
B
C D
E
F G
H
I
J
2
5
24cm 32cm
第17题
12-3
-210-13
A 17．若等边△ABC 的边长为4cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．A ．23cm 2
B ．43cm 2
C ．63cm 2
D ．8cm 2
18．如图（2），在直角坐标系中，△OBC 的顶点O （0，0），B （-6，0），且∠OCB=90°，?OC=B 则点C 关于
y 轴对称的点的坐标是( ) A ．（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（32，32） 19．如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）
A ．5+1
B ．-5+1
C ．5-1
D ．5
20．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）．
A ．96
B ．49
C ．24
D ．48
21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB =3米,BC =4米,CD =12米,DA =13米,且AB ⊥BC ,这块草坪的面积是( )
A ．24米2. B.36米2. C.48米2. D.72米2.
22．在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（ ）
Ａ．一定不会 Ｂ．可能会 Ｃ．一定会 Ｄ．以上答案都不对 23．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA =3，AB =1，则点A 1的
坐标是（ ）。
A 、(2323，)
B 、(323，)
C 、(2323，)
D 、(23
21，)
三、想好了再规范的写
24、已知：在四边形ABCD 中，AB=3cm, BC=5cm ，CD=32
,AD=2cm,AC ⊥AB
求四边形ABCD 的面积
25、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
y A 1 A B C O x
第23题
D
C A
DC = 3.52 cm
AD = 2.03 cm
BC = 5.08 cm CA = 4.11 cm
AB = 3.00 cm
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（） A．24 B．30 C．40 D．48 8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)() A．3 B．5 C．4.2D．4 9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A．北偏西15?B．南偏西75° C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15? 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 12 5 二、填空题 11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）． 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练] 全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/bd10416055.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 全国中考信息资源门户网站 https://www.doczj.com/doc/bd10416055.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（） A．5 B．35C．332 D．213 2．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （） A．5 B．8 C．13 D．4．8 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( ) A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（） A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm 6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( ) A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米 B ．15平方千米 C ．75平方千米 D ．750平方千米 10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角 x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理 由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2 ） 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2 +b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 二、经典例题精讲: 题型一：直接考查勾股定理: 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：利用勾股定理测量长度: 例题1 如梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸 边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 题型四：关于翻折问题： 例1、 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上 的点G 处，求BE 的长. 勾股定理练习（随堂练） 一．填空题： 1. 在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5，b=12，则c=________________________； （2）b=8，c=17，则S △ ABC =________。 2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为____________________。 4.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所 行的最短路线的长是_______________________。 二．选择题： 5．观察下列几组数据 :(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ） A. 6 B.４ C. 64 D. 8 7.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ ） Ａ．１３ Ｂ．119 Ｃ．１３或119 Ｄ． 不能确定 8.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2 ∶b 2 ∶c 2 =2∶1∶1。其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 9.三角形的三边长为（a+b ）2 =c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. A B 第8题图 A 10 6 集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020 辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含 7 勾股定理全章知识点及典型题归类 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即： a 22＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一， 其主要应用： 叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的 证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c 2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 b c 2 a 2 ， a c 2 b 2 ） （ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长： a 、b 、 c ，则有关系 a 22＝c 2，那么这个三角形是直角三 角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通 过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ； （2）验证 c 2与 a 22是否具有相等关系，若 c 2＝ a 22，则△是以∠C 为直角的直角 三角形 （若 c 2>a 22，则△是以∠C 为钝角的钝角三角形； 若 c 2
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