点集拓扑学练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T
答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T
答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④
13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X a b c =，
拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ?? 答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（
） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（
）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（ ）
是T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.
① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈
③当T T '?时,T T U U '∈∈
④ 当T T '?时,T T U U '∈∈ 答案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=
③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=
③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②
54、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
56、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
57、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
59、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（ ）
① A B A B ?≠? ② A B A B ?=? ③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 ④ 不连通空间
答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对
答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对
答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点
答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ?-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X
10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2
T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}
11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}
12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}
13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=
16、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}
17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}
18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入
19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射
20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射
21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射
22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间
25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ??? 也具有性质
P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质
29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?； （２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；
（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；
综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ?,从而 ()d A φ=.
5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（ ）答案：√
理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然
A B φ= ，并且这时有:
()()B B X B A B B B =?=???=
从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足
,A B A B X
φ?=?=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
五．简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .
答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T
6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--
8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--
9、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
10、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
11、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者)
,2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
六、证明题（每题8分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f
B f B f A f
A f
B f B f A f A B A B φ
---------???????=???= 所
以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若
Φ
=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?. 证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =?.因此
Y A B ?? ………………………………… 3分
由于Y 是连通的，所以Y A ?或者Y B ?,如果Y A ?，由于Z Y A ??，所以Z B A B φ???=，因此 B Z B φ=?=,同理可证如果Y B ?，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠ ,则Y γγ∈Γ 是X 的一个连通子集.
证明：若Y γγ∈Γ 是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=? ………………………………………… 4分
任意选取x Y γγ∈Γ∈ ,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ? 及B φ=,矛盾，
所以Y γγ∈Γ 是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?.
证明：若B X =,则结论显然成立.
下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ?是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A B φ?≠及A 连通，所以A B A ?=，故A B ?.………… 8分
7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.
证明：若()A φ?=,由于()A A A --'?=?,从而
()()()()A A A A A A A A A A φ------
'''''=?=???=???, 故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ?≠. ……………………………………………… 8分
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 在△ABC 中，设,3,2π= -=+C A b c a 求B sin 的值。 下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路 连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分） 1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 .. 这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针 对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我） 1、在b 、c ，向量m2sinB,3， 2 B nB ，且m//n 。 cos2,2cos1 2 （I ）求锐角B 的大小；（II ）如果b2，求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解：m ∥n2sinB(2cos2 B －1)＝－3cos2B 2 2sinBcosB ＝－3cos2Btan2B ＝－3??4分 2π π ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝ 3,∴锐角B ＝ 3 ??2分 (2)由tan2B ＝－3B ＝ 5π π 或 36 π ①当B ＝ 3 时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝ acsinB ＝ 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B ＝时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 6 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)??1分 1 2 1 acsinB ＝ac ≤2－3 4 ∵△ABC的面积S△ABC＝ 2－3??1分∴△ABC的面积最大值为 .. 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和c b的值. 解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC， 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又 因此cosB 1 3 . ????6分 （II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a＝c＝6 6、在ABC中，cos 5 A， 5 cos 10 B. 10 （Ⅰ）求角C；（Ⅱ）设A B2，求ABC的面积 . cosA 5 5 ， cos B 10 10 ，得 A、B0， 2 （Ⅰ）解：由，所以 23 sinA，sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4 点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 §5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集． 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T. 1。（2013大纲）设得内角得对边分别为,、 （I ）求 (ＩI)若，求、 2．（2０13四川）在中，角得对边分别为，且、 (Ⅰ）求得值； （Ⅱ)若,,求向量在方向上得投影、 3.（２０13山东）设△得内角所对得边分别为,且,，、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）求得值、 4。（２013湖北）在 ABC ?中,角A ，B ，C 对应得边分别就是a ,b ，c 、已知 ()cos23cos 1A B C -+=、 (I)求角A 得大小； (II)若ABC ?得面积53S =，5b =,求sin sin B C 得值、 5.(２0１3新课标)△在内角得对边分别为,已知、 （Ⅰ）求; (Ⅱ）若，求△面积得最大值、 6.(201３新课标１）如图,在△ABC 中，∠ＡBC=90°,ＡB=错误!，ＢC=１,Ｐ为△A ＢC 内一点， ∠ＢPC=90° (1）若ＰB ＝错误!，求PA;（2）若∠APB=１50°,求tan ∠ＰBA [ 7.（201３江西）在△ABC 中,角A,B ，C 所对得边分别为a ，b,ｃ,已知ｃosC+（conA — sinA)cosB=０、 (１）?求角B 得大小;（2）若a+c=1，求b 得取值范围 33。（2013大纲)设得内角得对边分别为,、 （I ）求 （ＩI ）若，求、 【答案】 ?4．（2013年高考四川卷（理））在中,角得对边分别为,且、 （Ⅰ）求得值； （Ⅱ）若,，求向量在方向上得投影、 【答案】解:由,得?, 即， 则，即?由，得,?由正弦定理，有,所以,、 由题知，则,故、 根据余弦定理，有，?解得或（舍去)、?故向量在方向上得投影为 35。(2０13年普通高等学校招生统一考试山东数学（理)试题(含答案))设△得内角所对得边分别为，且,，、 (Ⅰ)求得值； （Ⅱ)求得值、 【答案】解:（Ⅰ）由余弦定理,得， 又,,，所以，解得，、 （Ⅱ）在△中,，?由正弦定理得 ，?因为，所以为锐角，所以?因此 、 36．(2０１３年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题(纯WORD 版））已知函数得最小正周期为、 (Ⅰ）求得值; (Ⅱ）讨论在区间上得单调性、 【答案】解：（Ⅰ） 2)4 2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++ =++=+?π ωωωωωωx x x x x x ?、 所以?（Ⅱ）；解得，令时，当8 242]4,4[)42(]2 ,0[π ππππππ π ==++∈+ ∈x x x x 所以 ３7.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯W ＯR Ｄ版））已知函数得周 期为,图像得一个对称中心为,将函数图像上得所有点得横坐标伸长为原来得2倍（纵坐标不 变)，在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数得图像、 (1）求函数与得解析式； 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求： 点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④ 一、选择题 1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（） A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形 2、已知中，，，则角等于 A ． B ． C ． D ． 3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（） A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，) D．() 4、，则△ABC的面积等于 A ． B ． C ．或 D ．或 5、在中，，则角C的大小为 A.300 B.450 C.600 D.1200 6、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量 ，，若，则角的大小为 （） A ． B ． C ． D ． 7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c 满足，则ab的值为（） A ． B ． C．1 D ． 8、在中,若,且,则是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则 = A ． B ． C ． D ． 10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（） A. B. C. D. 12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c 2b2）tanB=ac，则角B=（） A ． B ． C ．或 D ．或 13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则 （） A ． B ． C ． D ． 14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、0 15、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，若，则最大边c的取值范围是 ( ) （ A ． B ． C ． D ． 16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定. 17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（） A ． B ． C ． D ． 《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。 (点集拓扑学拓扑)知识点 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要点集拓扑学教学大纲
解三角形典型例题答案
解三角形经典练习题集锦
点集拓扑学考试题目及答案
正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师
解三角形的必备知识和典型例题及习题
较为全面的解三角形专题高考题附答案
点集拓扑学(1)
(完整版)解三角形三类经典题型
《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间
解三角形大题及答案
九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)
点集拓扑学练习题及答案
解三角形练习题(含答案)
《点集拓扑学》复习题
点集拓扑学拓扑知识点
相关主题
文本预览