点集拓扑学期末考试练习题（含答案）
一、单项选择题（每题1分）
1、已知X ={a,b,c,d,e};下列集族中；（）是X上的拓扑.
①T ={X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T ={X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}}
③ T ={X, ,{a},{ a,b}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③
2、设X ={a,b,c};下列集族中；（）是X上的拓扑.
①T ={X, ,{a},{ a,b},{ c}} ② T ={X, ,{a},{ a, b},{ a,c}}
③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：②
3、已知X二{a,b,c,d}；下列集族中；（）是X上的拓扑.
① T ={X, ,{a},{ a,b},{ a,c,d}} ② T ={X, ,{a,b,c},{ a, b, d}}
③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④ T ={X, ,{a},{ b}} 答案：①
4、设X ^{a,b, c};下列集族中；（）是X上的拓扑.
① T ={X, ,{b},{ c},{ a,b}} ② T ={X, ,{a},{ b},{ a,b},{a,c}} '
③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：②
5、已知X二{a,b,c,d}；下列集族中；（）是X上的拓扑.
① T 二{X, ,{a,b},{a,c,d}} ② T ③ T ={X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④ T ={ X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6设X ^{a,b, c};下列集族中；（）是X上的拓扑. ① T ={X, ,{a},{ b},{ b,c}} ② T ={X, ,{a,b},{ b,c}} ③ T ={X, ,{a},{ a,c}} ④ T ={X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：③ 7、已知X ={a,b,c,d}；拓扑T ={X, ,{a}}；则面=（） ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④ 8、已知X 二{a,b,c,d}；拓扑T ={X, ,{a}}；则{b,c,d}=（） ③{b}④{b,c,d} 答案：④9 、 已知X二{a,b}；拓扑T 二{X, ,{a}}；则{a}=( ③{a} ④{b} 答案：② 10、已知X= {a,b}；拓扑T ={X, ,{a}}；则{b}=( ①? ②{a} ④{b} 答案: 11、已知X={a,b,c,d}；拓扑T= {X, ,{a}}；则{a} = ①? ②{a,b} ④{b, c,d} 答案: 拓扑T= {X, ,{a}}；则{c} = ①?②X③ 13、设X ={abcd } ；拓扑 ①1②2③3 14、设X 二{abc}；拓扑 T ①1②2③3 15、设X 二{abc}；拓扑 T ①0②1③2 16 、 设X ={a,b}；拓扑T ①0②1③2 17 、 设X ={a,b}；拓扑T ①1②2③3 18、设X 二{abc}；拓扑 T ①1②2③3 12、已知X二{a,b,c,d}； 19、在实数空间中; {a,c} ④{b,c, d} 答案: 二{X, ,{a},{ b,c,d}}；则X的既开又闭的非空真子集个数 ④4 答案：② = {X, ,{a},{ b,c}}；则X的既开又闭的非空真子集的个数为 ④4 答案：② ④3 答案：① ④3 答案：③ = {X, ,{a},{ b}}；则X的既开又闭的子集的个数为( ④4 答案：④ 二{X, ,{a},{b},{a,b},{b,c}} ；X的既开又闭的非空真子集个数(④4 答案：② 有理数集Q的内部0：'是( ③R -Q ④R 答案：① 20、在实数空间中；有理数集Q的边界：：(Q)是( ) ①'②Q ③R -Q ④R 答案：④ 21、在实数空间中；整数集Z 的内部Z 】是（ ① ' ②Z ③R-Z ④R 答案：① 22、在实数空间中；整数集Z 的边界：：（Z ）是（ ） ①' ②Z ③R-Z ④R 答案：② 26、设X 是一个拓扑空间；A ； B 是X 的子集；则下列关系中错误的是（ ） ① d （A B ） =d （A ） d （B ） ② 入_.毛=入_. B ③ d(A - B) =d(A) - d(B) 27、设X 是一个拓扑空间；A ； B 是X 的子集；则下列关系中正确的是（ ） ① d （A B ） =d （A ） 一 d （B ） ② A-B =A -B ③ d （A - B ） =d （A ）- d （B ） ④ A = A 答案：① 28、设 X 是一个拓扑空间；A ； B 是X 的子集；则下列关系中正确的是（ ） ① d （A_. B ）=A _"B ② A -B =A -B 29、已知X 是一个离散拓扑空间；A 是X 的子集；贝U 下列结论中正确的是（ ） ① d(A)二 ② d(A) = X _A 30、已知X 是一个平庸拓扑空间；A 是X 的子集；则下列结论中不正确的是（ 23、 在实数空间中；区间 ① ②[0,1] 24、 在实数空间中；区间 ① ②[2,3] 25、 在实数空间中；区 [0,1）的边界是（ ） ③{0,1} ④（0,1） [2,3）的边界是（ ） ③{2,3} ④ （2,3） [0,1）的内部是（ ） 答案：③ 答案：③ 答案：④ 答案：③ ③ d(A - B) =d(A) - d(B) ④ d(d(A)) A_. d(A) 答案：④ ③ d(A) = A ④ d(A) =X 答案：① ①若 A = ?；则 d(A)=' ③ 若 A={X 1,X 2};则 d(A)二X ④若 A=X ；则 d(A) =X 答案：④ ②若 A ={x0}；贝9 d(A) = X _ A 31、 已知X 是一个平庸拓扑空间；A 是X 的子集；贝U 下列结论中正确的是（ ） ①若 A = ?；则 d （A ）「 ②若 A 二{X 。};则 d （A ）二 X ③ 若 A={X i , X 2};则 d （A ） = X - A ④ 若 A = {X i ,X 2};则 d （A ） = A 答案：① 32、 设 X ={a,b,c,d}；令 B ={{ a,b,c},{ c},{ d}}；则由 B 产生的 X 上的拓扑是（ ） ①{ X ； - ； {c} ； {d} ； {c ； d} ； {a ； b ； c}} ②{ X ； - ； {c} ； {d} ； {c ； d}} ③{ X ； ； {c} ； {a ； b ； c}} ④{ X ； ； {d} ； {b ； c} ； {b ； d} ； {b ； c ； d}} 案：① 33、设X 是至少含有两个元素的集合；9 X ;T ={G X|p ?G} 一「}是X 的拓扑；贝J （ 是T 的基. ① B ={{ p,X}| x X -{p}} ② B 二{{x}| x X} 34、设X 二{a,b,c}；则下列X 的拓扑中（ ）以S 二{X 「,{a}}为子基. R 中；下列集合是开集的是（） ② 有理数集 ④ 整数集Z 的补集z ?答案：④ ③ B 乂 p,X}| x X} ④ B 二{{x}| x X -{p}}答案：③ ；{a} ； {a ； c}} ②{ X ; ; {a}} -；{a} ； {b} ； {a ； b}} 答案：② 35、离散空间的任一子集为（） ①开集②闭集③即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、 平庸空间的任一非空真子集为（） ①开集 37、 实数空间 ①开集 38、实数空间 ②闭集③即开又闭 R 中的任一单点集是（ ②闭集③既开又闭 R 的子集A ={1 ;丄;- 2 3 ④ ） ④非开非闭 ；1 ；……}；则 4 非开非闭 答案：④ 答案：② ①? ②R 39、在实数空间 ①整数集② ③A U {0} ④A 答案：③ R 中；下列集合是闭集的是（ ） a,b ③有理数集 ④无理数集 答案：① 40、在实数空间 ①整数集Z ③无理数集 41、已知X二{1,2,3}上的拓扑T二{X, ,{1}};则点1的邻域个数是（ 答案：④ 42、已知X二{a,b}；则X上的所有可能的拓扑有（ ①1个②2个③3个④4个答案：④ 43、已知X ={a；b；c};则X上的含有4个元素的拓扑有（）个 ①3 ②5 ③7 ④9 答案：④ 44、设（X,T）为拓扑空间；贝U下列叙述正确的为（） ① X T , ■ T② X T T ③当T T时；U U T ④当T ' T时；U T 答案：③ U T ' U eT ' 45、在实数下限拓扑空间R中；区间［a,b）是（） ①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：③ 46、设X是一个拓扑空间；代B X ；且满足d（A） B A ；则B是（） ①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：② 47、设X ={1,2,3 ；T=W,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑；A={1,2}；则X 的子空间A 的拓 扑为（）① T ={ ,{2},{ 1,2}} ② T ={ ,X,{1},{2},{ 1,2}} ③ T 珂，A,{1},{2}} ④ T ={ ,X,{1},{2}} 答案：③ 48、设X ={1,2,3 ；T=0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑；A={1,3};则X 的子空间A 的拓 扑为（）① T ={ ,{1},{3},{ 1,3}} ② T ={ ,A,{1}} ③ T 珂，X,{1},{3},{ 1,3}} ④ T < ,X,{1}} 答案：② 49、设X ={1,2,3 ；T二啓,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑；A={2,3}；则X 的子空间A 的拓扑为（）① T 珂,{3},{2,3}} ② T 讯，A,{2},{3}} ③ T 讯，X,{2},{3},{2,3}} ④ T 讯，X,{3}} 答案：② 50、设X ={1,23 ；T二{?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑；A={1}；则X 的子空间A 的拓扑为（）①T珂，{1}} ②T珂，代{1,2}} ③ T 讯，X,{1},{3},{ 1,3}} ④ T ={ ,X,{1}} 答案：① 51、设X ={1,2,3} ；T={ ,X,{1,2},{1,3},{ 1},{2}}是X 的拓扑；A 二{2}；则X 的子空间A 的拓扑为（）① T H ,{2},{ 1,2}} ② T ={ ,A} 52、设 X 二{1,2,3} ; T={ ,X,{1,2},{1,3},{ 1},{2}}是 X 的拓扑; 扑为() ① T 斗,{2},{ 1,2}} ② T 珂,{X},{1,3}} ③ T 二{ ,X,{3}} ④ T -{ ,{3}} 答案：④ 53、 设R 是实数空间；Z 是整数集；则R 的子空间Z 的拓扑为() ①T ={ ,Z} ②T =P (Z) ③T =Z ④T ={Z} 答案：② 54、 设X=X iX X2^||xX 6是拓扑空间X i ,X 2，川，X 6的积空间? P 是X 到的投射；则R 是 ( )①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、 设X =X i X 2川X 6是拓扑空间X i ,X 2,ll(,X 6的积空间? P 2是X 到X 2的投射；贝U R 是 ( ) ①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、 设X =X i X 2川X 6是拓扑空间X i ,X 2,|l(,X 6 的积空间? F 3是X 到X 3的投射；则F 3是 ( )①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、 设X =X i X 2川X 6是拓扑空间X i ,X 2」l(,X 6的积空间? P 4是X 到X 4的投射；贝U F 4是 ( )①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 58、 设X =X i X 2川X 6是拓扑空间X i ,X 2,ll(,X 6的 积空间? F 5是X 到X 5的投射；则F 5是 ( ) ①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 59、 设X =X i X 2川X 6是拓扑空间X i ,X 2」l(,X 6的积空间? P5是X 到X 6的投射；贝U P5是 ( )①单射 ②连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、 设X i 和X 2是两个拓扑空间；X i X 2是它们的积空间；A X i ； B X 2 ;则有( ) ① A B = A B ② A B = A B ③(A B^ - A B ④；:(A B) =「(A) ：：(B)答案：② ③ T 二{ ,X,{2}} ④ T ={ ,X,{1,2}} 答案：② A 二{3};则X 的子空间A 的拓 61、有理数集Q是实数空间R的一个( ) 62、整数集Z是实数空间R的一个（） ①不连通子集②连通子集 ③开集④以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间R的一个（） ①不连通子集②连通子集 ③开集④以上都不对 答案：①64、设丫为拓扑空间X的连通子集；Z为X的子集；若Y z Y ; ①不连通子集②连通子集③闭集④开集 答案：② 65、设X i,X2是平庸空间；则积空间X i X2是（） ①离散空间②不一定是平庸空间 ③平庸空间④不连通空间 答案：③ 66、设X i,X2是离散空间；则积空间X i X2是（） ①离散空间②不一定是离散空间 ③平庸空间④连通空间 答案：① 67、设X i,X2是连通空间；则积空间X i X2是（） ①离散空间②不一定是连通空间 ③平庸空间④连通空间 答案：④ 68、实数空间R中的连通子集E为（） ①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：④ 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为 （ 区间 ) ④以上都不对 答案：③ ①开区间②闭区间③ 70 、 实数空间R中的连通子集E为（) ①开区间②闭区间③区间④区间或一点 答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（) ①不连通子集③开集②连通子集 ④以上都不对答案：① （I）单位圆周S1是连通的；(□)R -{0}是连通的 (E) R2 -{(0,0)}是连通的(W) R2和R同胚 ①1 ②2 ③ 3 ④4 答案：② 二、填空题(每题1分) 1、设X ={a,b};则X的平庸拓扑为_________________ ；___________ 答案：T ={X, } 2、 ____________________________________________ 设X ={ab};则X的离散拓扑为；答案：T ={X, ,{a},{ b}} 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫_______________ ；___________ 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中；有理数集Q的导集是______________ .答案：R 5、 __________________________________________________________ X，d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有_________________________________________________ 答案：U「(A — {x}) —? 6设A是有限补空间X中的一个无限子集；则d(A)= ; 答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集；则A= ; 答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集；则d(A)= ; 答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集；则A= ; 答案：X 10、设X ={1 , 2, 3} X 的拓扑T 二{X / , { 2} , { 2；,则X 的子集A 二{1,2}的内部 为____________ ; _________ 答案：{2} 11、设X ={1 ,2,3 X的拓扑T ={X / ,{1} , { 2；则X的子集A二{1 , 3}的内部 为____________ ; _________ 答案：{1} 12、设X ={1, 2,3} X的拓扑T ={X? ,{1} ,{2,；3则X的子集A = {1, 2}的内部为答案：{1} 13、设X ={1 , 2 , 3} X 的拓扑T 二{X / , { 2} , { 2；,则X 的子集 A 二{1 , 3}的内部 为____________ ; _________ 答案： 14、设X ={a,b,c}；则X的平庸拓扑为 _________________ ; ___________ 答案：T ={X, } 15、设X ={abc};则X 的离散拓扑为_________ 答案：T ={X, ,{a},{ b},{ c},{ a,b},{ a,c},{b,c}} 16、设X 二{1, 2,3} X 的拓扑T ={X/ ,{2} ,{3} , { 2；,则X 的子集A二{1, 3}的内部 为____________ ; _________ 答案：{3} 17、设X ={1, 2,3} X 的拓扑T ={X / ,{1} ,{3} ,{1；则X 的子集A={1, 2}的内部 为____________ ; _________ 答案：{1} 18、f : X > Y是拓扑空间X到丫的一个映射；若它是一个单射；并且是从X到它的象集f(X) 的一个同胚；则称映射f是一个答案：嵌入 19、f：X > Y是拓扑空间X到丫的一个映射；如果它是一个满射；并且丫的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑；则称f是一个__________ ；答案：商映射 20、设X,Y是两个拓扑空间；f :X > Y是一个映射；若X中任何一个开集U的象集f(U)是丫 中的一个开集；则称映射f是一个____________ 答案：开映射 21、设X,Y是两个拓扑空间；f : X > Y是一个映射；若X中任何一个闭集U的象集f(U)是丫 中的一个闭集；贝U称映射f是一个__________ 答案：闭映射 22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B ；使得A' B「, A_. B二X ；则X是一 个________________ ;答案：不连通空间 23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B ；使得A ' B = ； A B = X ；则X是一 个________________ ;答案：不连通空间 24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集；则X是一个 ________ 答案：不连通空间 25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集；Z X满足丫Z Y;则Z也是X的一 个；答案：连通子集 26、拓扑空间的某种性质；如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的 象所具有；则称这个性质是一个____________________________________ ； 答案：在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质；如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有； 则称这个性质是一个_________________ ;答案：可商性质 28、若任意n _1个拓扑空间X i,X2,ll(,X n ；都具有性质P ；则积空间X i X2川X n也具有性 质P ;则性质P称为__________ ；答案：有限可积性质 29、设X是一个拓扑空间；如果X中有两个非空的隔离子集A,B ；使得A 一B二X ;则称X是 一个______________________ ;答案：不连通空间? 三?判断(每题4分；判断1分；理由3分) 1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案:V 理由：设X是离散空间；丫是拓扑空间；f : X >Y是连续映射；因为对任意 A 丫；都有 f(A) X ;由于X中的任何一个子集都是开集；从而f—〔(A)是工中的开集；所以f :X > Y 是连续的?2、设T I,T2是集合X的两个拓扑；贝U T< T2不一定是集合X的拓扑()答案：X 理由：因为(1) T I,T2是X的拓扑；故X,「T i; X/ T 2 ;从而X,「T < T 2 ； (2)对任意的A,B ? T i - T2 ;则有A,B ? T i且A,B?T2;由于T i; T2是X的拓扑；故A - B 三T i 且 A B T2;从而A ?B ? T^ T 2 ; (3)对任意的T T1- T 2;则T '「,T T 2；由于T i ; T2是X的拓扑；从而U T U T i ; u「u T2;故u T，U T i - T2 ; 综上有T^ T 2也是X的拓扑. 3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射( )答案：V 理由：设f :X >Y是任一满足条件的映射；由于丫是平庸空间；它中的开集只有YJ ;易知它们在f 下的原象分别是X,打均为X中的开集；从而f:X—；Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集；则d ( )答案：V 理由：设p为X中的任何一点；因为离散空间中每个子集都是开集； 所以{ p}是X的开子集；且有dn A-C p.；i=「；即p'd A ;从而d(A) V 5、设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集；贝U d A( )答案：X 理由：设A={y};则对于任意x?X,x=y ；x有唯一的一个邻域X ;且有屮X'A-x)；从而X - (A -x)=';因此x是A的一个凝聚点；但对于y的唯一的邻域X ;有X - (A- y) = ； 所以有d A二X - A". 6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集；贝U d A二X ( )答案：V 理由：对于任意X,因为A包含多于一点；从而对于x的唯一的邻域X ;且有X?(A-x)=；因此x是A的一个凝聚点；即d(A);所以有d A i；=X. 7、设X是一个不连通空间；则X中存在两个非空的闭子集代B ；使得B二',A_. B二X ( )答案：V 理由：设X是一个不连通空间；设代B是X的两个非空的隔离子集使得 A 一B二X ;显然 Ap|B「?；并且这时有： B 二B - X = (B - A) 一(B - B) = B 从而B是X的一个闭子集；同理可证A是X的一个闭子集；这就证明了代B满足 A 1 B = , A、，B = X 8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集；则X是一个不连通空间()V 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集；令 A ;则A,B都是X中的非空闭子集；它们满足A_. B二X ;易见A,B是隔离子集；所以拓扑空间X是一个不连通空. 五?简答题(每题4分) 1、设X是一个拓扑空间；代B是X的子集；且A B .试说明d(A) d(B). 答案：对于任意d(A)；设U是x的任何一个邻域；则有U - (A—{x})：「二由于A B ;从 而U - (B -{x}) - U - (A—{x})—；因此x d(B) ；故d(A) d(B). 2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X > Y ；g:Y > Z都是连续映射；试说明gQf:X》Z也是连续映射. 答案：设W是Z的任意一个开集；由于g：Y > Z是一个连续映射；从而g-1(W)是丫的一个开集；由f : X > Y是连续映射；故f」(g'(W))是X的一开集；因此(gQ f)'(W) = f-('(W)) 是X的开集；所以g 0 f : X r Z是连续映射. 3、设X是一个拓扑空间；A X .试说明：若A是一个闭集；则A的补集A是一个开集. 答案：对于-x A ；则x A ；由于A是一个闭集；从而x有一个邻域U使得U - (A-{x})二'； 因此U 一A二為即U A ;所以对任何A ；A是x的一个邻域；这说明A是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间；A X .试说明：若A的补集A是一个开集；则A是一个闭集. 答案：设x-A ;则x A ;由于A 是一个开集；所以A ■是x的一个邻域；且满足A、A「； 因此x A ；从而A二A ;即有A二A ;这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y= x,y (-：：,1)或者x,y [1,2)或者x,y [2,二) 设在这个等价关系下得到的商集丫 ={[ 0],[1],[2]};试写出丫的商拓扑T. 答案：T 珂,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y = x, y（-打]或者x, y （1,2]或者x, y （2,：：） 设在这个等价关系下得到的商集丫二{[ 1], [2], [3]}；试写出丫的商拓扑T .答案：T ={ ,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y：= x,y （-：：,1）或者x, y [1,2）或者x,y [2,二） 设在这个等价关系下得到的商集丫二{[ -1],[1],[2]};试写出丫的商拓扑T. 答案：T 珂,Y,{[ -1]},{[ -1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y= x,y （-：：,1）或者x,y [1,2）或者x,y [2,二） 设在这个等价关系下得到的商集丫 ={[ -2],[1],[2]}；试写出丫的商拓扑T. 答案：T ={ ,Y,{[ -2]},{[ -2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y = x, y（7 ,1]或者x, y （1,2]或者x, y （2,：：） 设在这个等价关系下得到的商集丫二{[0],[2],[3]};试写出丫的商拓扑T . 答案：T ={ ,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y = x, y（f,1]或者x, y （1,2]或者x, y （2,：：） 设在这个等价关系下得到的商集丫二{[0],[2],[4]};试写出丫的商拓扑T . 答案：T 珂,丫,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系： x~y二x,y （-：：,1]或者x, y （1,2]或者x,y （2, 设在这个等价关系下得到的商集丫二{[ -1],[2],[4]};试写出丫的商拓扑T . 答案：T ={ ,丫,{[4]},{[2],[4]}} 六、证明题(每题8分) 1、设f : X >Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是丫的一个不连通子集；则存在丫的非空隔离子集A,B使得 f(X) =A 一B ............................................................... 3 分 于是f J(A), f-1(B)是X的非空子集；并且： (f，(A) - f1(B)^. (f J(Br f1(A)) (f J(Ap f1(B)h，("(B)十(A)) =f」((A - B) (A - B))= 所以f'(A), f'(B) 是X 的非空隔离子集此外； f J( A) 十(=B)， f ( A ，)B ;这说明X不连通；矛盾.从而f (X)是丫的一 个连通子集? .................... 8分 2、设丫是拓扑空间X的一个连通子集；证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得 Y A- B ；则或者Y A ；或者丫 B. 证明：因为A,B是X的开集；从而A?Y,B Y是子空间Y的开集. 又因Y A B 中；故Y =(A - Y) 一(B Y) ........................................... 4 分 由于Y是X的连通子集；则 A - Y, B - Y中必有一个是空集.若B Y = :」；则Y A ；若 A ￥ =」；则Y B ................... 8分 3、设丫是拓扑空间X的一个连通子集；证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得 丫 A- B;则或者丫 A ;或者丫 B. 证明：因为A,B是X的闭集；从而Y,B Y是子空间Y的闭集? 又因Y A 一B中；故Y =(A?Y) (B?Y) ......................................... 4分 由于Y是X的连通子集；则 A ' Y,B ' Y中必有一个是空集.若B ' Y二:：」；则Y A ;若Y =:'；则Y B .................. 8 分 4、设丫是拓扑空间X的一个连通子集；Z X满足丫Z Y ;则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z 是X的一个不连通子集；则在X中有非空的隔离子集代B使得Z二A-B.因此 Y A B ....................................................... 3 分 由于丫是连通的；所以丫A或者丫 B ;如果丫 A ;由于Z Y A ;所以T- B A - B=； 因此 B =Z - B =?;同理可证如果丫 B ;则A=?;均与假设矛盾.故Z也是X的一个连 通子集?................................................... 8分 5、设｛Y｝二是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族?如果仃―，则U .丫是X的一个连通子集? 证明：若U Y是X的一个不连通子集?则X有非空的隔离子集代B使得 U ［丫二A一B- ......................................................... 4 分 任意选取x.Y ;不失一般性；设A;对于每一个「；由于丫连通；从而U ?丫A 及B =：；?;矛盾； 所以U Y是连通的 .... ................................. 8分 6设A是拓扑空间X的一个连通子集；B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A' B「； 则A B. 证明：若B - X ;则结论显然成立. 下设B = X ;由于B是X的一个既开又闭的集合；从而A' B是X的子空间A的一个既开又闭的子集............................. 4分 由于A - B = '及A连通；所以A'B=A ;故A二B. ........................ 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集?证明:A的边界：：(A)=. 证明：若J A)=：=由于：：(A)二A-'A'；从而 =^' A~ - (A_ A 一厂(A _? A) =(A—- A ) _? (A「A _); 故A , A ?是X的隔离子集................................ 4分 因为A是X的非空真子集；所以A和A均非空；于是X不连通；与题设矛盾.所以 "A) = . ........................................................................... 8 分 下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题；解答是本人自己写的；可能有错误或者不足；希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分；共25分；正确的说明理由；错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：X = a b, c；规定拓扑?二'X, , a』；则当A =心餐时；b和c都是A的聚点。因为b和c勺领域只有X 一个；它包含a ；a不是A的聚点；因为 A a =。 2、欧式直线E1是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对E1而言；有开覆盖■' - ' - n,n |n?Z ；而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间X 丫道路连通；则X和丫都是道路连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有P i X 丫 = X ；卩 2 X 丫 = 丫；由投射是连续的；又知X 丫是道路连通；从而像也是道路连通空间；所以X和丫都是道路连通空间。 1 4、单位闭区间I与S不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明；反设I与S同胚；则 f |2号卜：？《* L S1卡f身律也是同胚映射；I *1?不连通；贝U S1 V ?不连通； 1 故矛盾；所以单位闭区间I与S不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的 反例：0,1 ]紧致但0,1不紧致。 三、证明题(每题10分；共50分) [r 1?X, X < 0 1、规定f : E 0,1 )T E为f(x)=」；证明f是连续映射；但不是同 X-1 XK1 胚映射。 证明：由于f限制在- ：：，0与1,= 上连续；由粘接引理；f连续。但f 一1不连续； _1 如？-处,0 是E1 0,1 的闭集；但f 1- ，0 二f Ml q ,0 = - ，0不是E1的闭集；所以f不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。 证明：设X是Hausdorff空间；丫是X的任一子空间；需证Y是Hausdorff空 间。- x, y ?丫；由X是Hausdorff空间；所以存在x, y在X的开邻域U、V使得U V =；U ' 丫是x在丫中开邻域；V ' 丫是y在丫中开邻域； U 丫 V 丫' U V 丫八；故丫是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。 证明：要证明f * : 丫 ' X连续；只需证f是闭映射；设A是X的闭子集紧致；所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致；所以f A是丫的紧致子集；又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集；所以f A是丫的闭集。 4、设X o是X的既开又闭的子集；A是X的连通子集；则或者A X^ 或者 A X0。 证明：A X。是A的既开又闭的子集；由于A连通；则或者A X。二或者 A X0 = A 即A X0。 5、证明：道路连通性具有可乘性质。证明：设x°,y°是x1,y1是X 丫中两点；X和丫都是道路连通；则有X中道路a ；以X o，X i为起始点；又有丫中道路b ；以y°,力为起始点；作X Y中道路c 为： ct = at,bt ；-1 I；则c连接x°,y°和为，力；所以道路连通性具有可乘性质。
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