点集拓扑学期末考试
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T
答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T
答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④
13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ?? 答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（ ）
是T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈
③当T T '?时,
T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '∈∈ 答案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ= ③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=
③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ） ① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②
54、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
56、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
57、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
59、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（ ） ① A B A B ?≠? ② A B A B ?=? ③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 ④ 不连通空间
答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划
期末自我鉴定100字 导读：本文期末自我鉴定100字，仅供参考，如果能帮助到您，欢迎点评和分享。 三年的初中生活你收获了多少，你是否在努力的做一个品学兼优的好学生呢，整理了“期末自我鉴定100字”仅供参考，希望能帮助到大家! 篇一：期末自我鉴定100字大二的一年很快过去了，在这一年的时间里。我自己变了太多太多了，与以往相比，我的人生观几乎完全变了。我想这主要的原因是在这一年里我形成了一个我从来没有，也将影响我一生的爱好，那就是看书，书中的知识、思想和案例，给了很大的我启示。 在思想品德上，本人有良好道德修养，并有坚定的政治方向。我热爱祖国，热爱人民，坚决拥护共产党领导和社会主义制度，遵纪守法，爱护公共财产，团结同学，乐于助人。并以务实求真的精神热心参予学校的公益宣传和爱国主义活动。 在学习上，我圆满地完成本专业课程。并具备了较强的英语听读写能力。对office办公软件和其它流行软件能熟练操作，并在因特网上开辟了自己个人空间。平时我还涉猎了大量文学、心理、营销等课外知识。相信在以后理论与实际结合当中，能有更大提高! 在生活上，我崇尚质朴的生活，并养成良好的生活习惯和正派的作风。此外，对时间观念性十分重视。由于平易近人待人友好，所以
一直以来与人相处甚是融洽。敢于拼搏刻苦耐劳将伴随我迎接未来新挑战。 在工作上，我通过加入院学通社与合唱团，不但锻炼自己的组织交际能力，还深刻地感受到团队合作的精神及凝聚力。更加认真负责对待团队的任务，并以此为荣! 作为积极乐观新时代青年，我不会因为自己的大专文凭而失去自信，反而我会更加迫切要求自己充实充实再充实。完善自我石我未来目标。且我相信:用心一定能赢得精彩! 而在大学就是一个很好的收揽人际关系的最佳平台。自己的同学都是学习相同的专业，所以在将来的工作中自己的同学是你最大的资源，既有感情又有相近的职业。大学的同学就是我人生道路上的不可或缺的后备力量。现在许多企业的老板就是靠自己同学的协助才取得成功的。 篇二：期末自我鉴定100字初一的第一个学期结束了。在这个学期里，老师为我们的学习和成长付出了许多心血，我也为自己的学习付出了努力。过去的半年，学习中我注意总结、思考，认认真真看书，及时的预习，及时的总结自己不明白的问题，日常生活中，我注意团结同学，尊敬老师，爱护公物，积极打扫卫生，积极参加各种学校举办的活动。过去的半年，我继续着为国做贡献的思想。努力学习，积极锻炼身体，为我即将开始的新学年打好知识基础，身体基矗可我需要更好的鞭策自己，参加了光荣的中国共青团以后，使我的思想基础更加牢固!。总结这个学期的学习，主要有以下几个方面。
《复变函数》教学大纲 统计学（非师范类）专业用 —、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务 本课程为统计学专业的专业限选课。 复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支， 同时，它在热力学, 流体力学和电学等方面也有很多的应用。先 修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方 程。 本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。 通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。 通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本概念、基本理论与方法，增强数学工作能力，为进一步学习其他课程并为将来从事教学、科研以及其他实际工作打好基础。 （二）课程的教学原则和方法
本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敵相互结合和转化的原则。 教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。 （三）课程的主要内容学时分配 《复变函数》安排授课共54学时。 第一章复数及复变函数8学时 第二章复变函数12学时 第三章复变函数的积分10学时 第四章解析函数的幕级数表示8学时 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点8学时 第六章留数理论及其应用8学时 二、正文部分 第一章复数与复变函数 （一）教学的目的和要求 1.掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念;
高一期末自我总结 高一期末就要到来，你是不是会为了期末考试而紧张，先来看看期末总结要怎么写吧？下文是为大家的高一期末，仅供参考。 光阴似箭，转眼我的高中学习生活已有一个学期了，在这段学习生活中有过汗水，有过喜悦，也有过迷茫，但我始终坚持不懈，不畏困难，取得了进步，积累了经验，总结了教训，使自己有所成长和提高，也为今后的学习生活奠定了基础。对我在这段时间的状况，我总结了一些我的进步和不足。 进入高中，面对着繁重的学习任务，我能保持端正的态度，每天能以较好的精神面貌面对学习和生活，坚持当日事当日毕。在高中的学习中，我渐渐培养了自主学习的能力，能在老师上课前做好预习工作，上课认真听讲，积极配合老师。课后及时完成作业，做好复习工作。在班集体里，我与同学们相处融洽，尽量多的结交朋友，在学习生活中互相帮助，互相促进，并积极参加集体的活动。 但是，我也存在一些缺点和不足之处。我在学习上不够主动，遇到难题经常退缩，不积极解决，没有经常去问问题。时间安排不合理也是我的一大坏毛病，没有很好地利用时间和效率不高致使我经常"开夜车"，不但使身体疲劳，也影响次日的学习。时间的利用问题成了我学习的一个绊脚石。今后我会制定时间表，合理的规划时间，提
高对时间的利用率。而且我对平时的错题回顾做得还很欠缺，导致有时出现做过的题还不会的情况。以后要认真改错题并经常积累，反复练习。 以上是我总结出的一些我在本学期的大体情况，我要以此为明鉴，保持好的，改正不好的，不断鞭策、改进自己，力求在以后的学习和生活中都做得更好。 在今后的学习中，我要学习的新知识和高梯度的题越来越多，以后的课程也会越来越困难，但是我会吸收这次考试带给我的经验教训，以更好的精神面貌去迎接新的学习生活。 时光飞逝，斗转星移。转眼成为班级一员已半年多了。回首这半年的点点滴滴，朝朝暮暮，心中顿生了许多感触。这半年中经历的每一天，都已在我心中留下了永久的印记，因为这些印记见证我这样一个新生的成长。 在过去半年的内，通过不断地学习，我收获了很多。时间就是这么无情头也不回的向前走着，而我们却在为了不被它丢下死命的追赶着。是的，谁都不想被时间丢下。而我们也随着时间的流逝一点一点的成长。而美好的纯真随着风雨的磨灭化成了成熟。或许这正是成长的代价。回想自己还是考生的那段日子，显得是那么的遥远。
练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
期末考试后个人总结模板示例 期末考试，我的成绩很不理想，相比期中考试，退步了许多。 静下心来好好总结一下，分析一下考试失分原因，总结一下经验教训，失败乃成功之母。 先分析一下我以往的强项语文。从错题上可以看出，我的成语积累不够丰富，对词句的主旨判断不够准确。本来是描写白鹭恰到好处的身材，而我却把视线转移到了多一分上，得到了错误的答案过犹未及;再看看作文，选材不够新颖，立意缺乏时代气息，结束语没有达到升华文章主题的效果，语句尚欠通顺翻出自己以前的文章，发现自己总是存在语句不够纯熟，用词不够精练，表达主题。还有，阅读量不够大，基础功还不够扎实。 英语和科学我一直比较稳定，但如果要想保持较好的成绩，需要的是：解题时更细心、更耐心一些。有些不该答错的题，因为自己粗心而失分，很是不应该。 史社，虽说可能号卷改错了五分，但是还是出现了明显的退步，这跟自己平时太自负有关，总以为自己对这些知识掌握得不错，而一些单元的复习题，也是拖到了最后才临时抱佛脚。 期中，在班里总分第一的我，这一次退步到了五、六名。 主要原因就是期中题目出的比较难，我在做好了基础题的基础上，又答好了比较难的题目。 而这次同学们普遍反映题目出得较容易了一些，别的同学都答好了基础题，而我基础题部分反而失分较多，于是被不少同学超越了。 这跟我考试前的复习指导思想很有关系，一味认为自己基础还算扎实，忽略了最基础部分的复习，殊不知，只有在做好扎实的基础题的前提下，才能挑战更难的题目，主次不可以颠倒。 通过这次考试，我感觉到了其他同学都在努力，自己没有任何骄傲自满的资本。
数学是我功课中的相对弱项，我一定要在这门功课上多下功夫，更加刻苦一些;英语、语文自己的优势已经被别的同学超越，我要清醒的认识到，没有最好，只有更好;科学、史社平时要多单元测试题，不能搞突击复习。 虽说一次考试的成绩并不能说明什么，但是考试中反映出来的问题一定要引起足够的重视，学习要刻苦，功课要抓紧，复习要全面，考试要淡定，答题要仔细 不求与人相比，但求超越自我!相信新的学期我会更上一楼。 期末考试后个人总结模板示例
度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R
期末自我总结6篇 一个学期这么快就结束了，真有些怀念。从去年的9月份开始，我就步入了中学，开学的第一天我就认识了准备和我朝夕相处3年的同学，并且通过军训和同学产生了许多感情。我很高兴也很荣幸。但我因此也明白中学是一个充满竞争和挑战的地方，不能有放松自己的任何念头。于是为了给新的老师同学留下一个好印象，我充分发挥自己的长处，很快成为了班长。成为班长后，我就更加严格要求自己，用“班长”二字，时刻提醒自己。果然，通过努力，在开学第一次的全年级数学第一但与单元测试中，我取得了全班第一的好成绩，但我并没有骄傲，我知道以后等待我的路还很长。“十一”过后，语文又进行了一次测验，这次我排在了班级第二。当时，确实有点后怕，一想到自己在班吉班级第二，在学校就可能排在二十，那我的梦想——锦州中学就会离我越来越远。于是我更加努力的学习。从此的各种测试都基本保持在了第一、第二的位置上。期中考试时，尽管我已经很努力了，可成绩还是不理想，虽然在班级第一，可在学校却是第二十四。考试后老师找我谈了话，她说期末考试一定要进全校前十名，因为我入学考试是全校第三。于是带着老师的期望，我有继续努力，并在自己的桌布上写下自己的目标。之后不久在学校的数学大赛中我取得了一等奖的好成绩。我一直坚信“有努力，就一定会有成功!” 现在期末考试结束，成绩还没有发下来，但听老师说我考得很好，不但又是全班第一，在学校可能还是好成绩。我完成了我的目标!
在这个学期，我拿到了三张奖状，两张社会实践报告奖励表，收获是真的不少，但也有许多地方需要加强——积极锻炼身体。相信我，通过我的努力，我一定会成功的。下个学期，我一定会以更好的精神面貌去迎接的，加油! 时光流逝，岁月似箭!大一生活结束了，回想这一年自己走过的路，实在是有太多太多的感言，期末总结自我鉴定。总之一句话：这一年我是在忙碌中度过的。我真的很庆幸 ___被 ___生活所拖垮，相反我更加坚强了!因为一直以来都有这样一个永恒不变的信念在支撑着我：知识改变命运，能力决定大校所以我一直在不停的努力，尽管饱尝了很多苦辣酸甜，但结果终究还是令人比较满意的。在今后我将会更加努力，一如既往! “低调做人你会一天比一天沉稳，高调做事你会一天比一天优秀。”这一年我一直坚持这样一个原则，并且以后更要坚持下去。从一名普通的班长做起，一步一个脚印，踏踏实实，认认真真，用强烈的责任心和求真务实的精神捍卫了我作为班长的尊严。虽然我不是最好的，但我是最努力的。虽然我的工作不算好，但我一直力求做好。当然，在这期间我还作为一名入党积极分子参加学院组织开展的党课学习，顺利毕业。这让我对党有了更深更科学的了解，也为我早日加入党组织奠定了良好的基矗与此同时，我还利用课余时间参加一系列
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
期末自我总结 关于期末自我总结锦集七篇 现在期末考试结束，成绩还没有发下来，但听老师说我考得很好，不但又是全班第一，在学校可能还是好成绩。我完成了我的目标! 在这个学期，我拿到了三张奖状，两张社会实践报告奖励表，收获是真的不少，但也有许多地方需要加强——积极锻炼身体。相信我，通过我的努力，我一定会成功的。下个学期，我一定会以更好 的精神面貌去迎接的，加油! 大二，对我来说有着非比寻常的意义。 心中百感交集，每次问自己为什么会这样，却感觉自己总是在回避什么，自己也说不清楚。 放假的时候就更是变本加厉了，根本不出门，人都萎了。两眼无神，开同学会的时候大家都在谈自己的成就，而我却发现自己已经 落后他们很多了。真是很气自己不争气，连电脑的诱惑都抵挡不了。但回家后又不自觉地坐到了电脑前。 终于，父母和我吵了一架，差点把电脑给砸了，我猛然发现，父母已是如此苍老，心中无限的愧疚。 之后，几乎所有的办法我都试了，最终用发毒誓的方法，克制住了自己。 下半学期，我几乎就没怎么玩电脑，只是选课，找资料的时候碰一下，仅此而已。 以前逃课，现在也不逃了，仿佛回到了中学时代的那个我，上进，拼搏，努力，我也更多参加集体活动，不让自己太无聊。
终于我又振作了起来，不但成绩上去了，而且有了一种全新的感受。 就好像拭去阴霾天空中的乌云一样，豁然开朗。 “低调做人你会一天比一天沉稳，高调做事你会一天比一天优秀。”这一年我一直坚持这样一个原则，并且以后更要坚持下去。 从一名普通的班长做起，一步一个脚印，踏踏实实，认认真真，用 强烈的责任心和求真务实的精神捍卫了我作为班长的尊严。虽然我 不是最好的，但我是最努力的。虽然我的工作不算好，但我一直力 求做好。当然，在这期间我还作为一名入党积极分子参加学院组织 开展的党课学习，顺利毕业。这让我对党有了更深更科学的了解， 也为我早日加入党组织奠定了良好的基础。与此同时，我还利用课 余时间参加一系列的社会实践活动，充实自己提高自己的社交能力 且积累社会经验。我还参加了大学生成长文学社团，让自己在这样 一个文学氛围浓厚的环境里得到锻炼。 高一的第一个学期，带着少许的遗憾，匆匆忙忙地逝去了。 面对突如其来的史地生和更为沉重的学习负担，我有点无所适从。还有作业的不断增多以及难度加大，使我很难兼顾各科，只能选择 性地去做。时间也总觉得不够用，做不了几道题就到十一点了。直 到下半学期，才慢慢由原来的被动挨打变成主动。这中间也有不少 同桌的功劳，在她的督促下，我的学习方法有了很大改进。要更加 努力，更加勤奋。 上学年，按贯例都会有艺术节和校运会。相比较而言，我的文艺才能远不及我的体育才能，所以我对校运会的贡献要比艺术节大那 么一点点。之所以说大一点点，因为我在校运会中报的两个个人项 目都进不了前八，不能加分。只有在4χ100米接力比赛中帮了一点 小忙，拿了第二名。至于艺术节，既无歌唱才能又无表演天赋的我，只好乖乖坐在台下当观众了。高一级的篮球级赛我也有参加，但由 于状态不佳，没能带领球队更进一步，很可惜地只拿了第三名。不过，我们还有下一次，我们有能力有希望走得更远。在罗浮山和大 夫山的活动中，我们也发挥了团结互助的精神，共同地度过了美好 的时光。
§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．
定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.
学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。 二、学习拓扑学的意义 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握
《数学史》教学大纲 课程编号：学分：总学时：54 适用专业：数学与应用数学开课学期： 先修专业：无后续课程：无 一、课程的性质、目的和要求 （一）课程的性质：选修课程。 （二）课程教学目的：能够以数学的、历史的眼光分析数学发展的内在原因，运用辩证唯物主义的哲学方法剖析数学发展史。 （三）课程基本要求：全面了解数学历史的发展过程，了解各个时期主要数学家的生平事迹和对数学发展的贡献，掌握重要的数学事件，理解主要的数学理论的形成过程以及历史文化背景。 二、本课程主要教学内容及时间安排 第一章：综述（８学时） 1、教学基本要求：分三阶段综合叙述数学历史发展过程，掌握各阶段的框架和脉络，理解中外各主要数学中心发展、转移、变化的过程。 2、教学重点：在教学上要求把握一个整体、三个阶段的特点（古典数学、近代数学和现代数学）。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（5学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（3学时），作业量：1。 第二章：东、西方初等数学的代表作（4学时） 1、教学基本要求：通过全面了解东、西方初等数学的代表作，即中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》的内容、背景和特点，把握两者的深刻的思想内涵和学术文化特征。 2、教学重点：把握《九章算术》和《几何原本》深刻的思想内涵和学术文化特征。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（2学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（2学时），作业量：1。 第三章：作图工具与计算工具（2学时） 1、教学基本要求：通过中、西方古代作图工具、计算工具的形成、发展过程的介绍，重点把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 2、教学重点：把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 3、教学难点：尺规作图法。 4、本章知识点：⒈尺规作图法及算筹的具体情况和历史背景。（2学时），作业量：1。 第四章：初等几何（2学时） 1、教学基本要求：沿着数的起源、发展的历史轨迹，重点了解记数的方法、数的运算以及数系扩充的历史发展过程，突出中国十进位制的历史地位和功绩，理解在数的扩充过程中，人类所表现出的困惑、好奇和对未知世界执着探索的精神状态。 2、教学重点：数系扩充的历史发展过程。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数系扩充的历史发展过程。（2学时），作业量：1。 第五章：算术（2学时） 1、教学基本要求：了解自然数是基数与序数的统一，把握正负数的定义及分数的运算法则，
点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④
《点集拓扑学》教学大纲 一、课程名称： 《点集拓扑学》 二、课程性质： 数学与应用数学专业限选课 先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程 三、课程的地位及教学目的 “点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。 四、课程教学原则与教学方法 本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。 采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。 五、总学时 68课时（含复习考试） 六、课程教学内容要点及建议学时分配 第一篇集合论初步（6课时）
一、教学目的 在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下： 1．集合的基本概念(自学) 2．集合的基本运算(自学) 3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学) 7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。 第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时） 一、教学目的 本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时) 2*．拓扑空间与连续映射(4学时) 3*．邻域与邻域系(2学时) 4*．导集、闭集、闭包(4学时) 5*．内部、边界(2学时) 6*．基与子基(4学时)
《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.
本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容