点集拓扑学练习题（第二章）
（答
练习（第二章）参考答案：
一.判断题（每小题2分）
1?集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ）2?拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ）
3?实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ）
4.T i、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.（X ）
5?平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ）
6?从（X, T i）至^（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ）
7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ）
8?设T I,T2是集合X的两个拓扑，则T< T2不一定是集合X的拓扑（X ）
9.从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ）
10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d （V ）
11.设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A二（X ）
12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A二X （V ）
二.填空题：（每空格3分）
1、X=Z+,T={Z i,Z2,…Z n-},其中
Z n={n,n+1,n+2, —},
贝y包含3的所有开集为乙上2, Z3
包含3的所有闭集为乙,z4,z5,z6,…
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1八Z3
设A={1,2,3,4,5}则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x€ X,则d ({x})=-
3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R
4、d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有
答案：U - （A_{x}）=
5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)=_- A= ;
答案：X ；X
6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A) = ______ — A=；
答案：X ；X
7、设X 二{1,2,3} , X 的拓扑T 二{X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A 二{1,2}的内部为____________ ； _______
答案：{2}
三、单项选择题（每题2分）
1、已知X二{a,b,c,d,e},下列集族中，（）是X上的拓扑.
①T -{X, ,{a},{ a,b},{ a,c, e}}
②T ={X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}}
③T 二{X, ,{a},{a,b}}
④T ={X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③
2、已知X 二{a,b,c,d}，拓扌卜T 二{X, ,{a}},则而二（）
①?②X ③{b} ④{b,c,d} 答案：④
3、已知X ={a, b,c,d}，拓扑T ={X, ,{a}},则简二（）
4、设X ={a,b,c,d},拓扑T .{X, ,{a},{ b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集的
个数为(
答案：②
5、设X 二{a,b}，拓扑T 二{X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为(
答案：③
③R-Z
④ 10、在实数空间中，区间［0,1)的边界是(
③ d(A 一 B) =d(A) - d(B)
12、已知X 是一个离散拓扑空间，
A 是X 的子集，则下列结论中正确的是
6、 在实数空间中，有理数集
Q 的内部Q ：'是(
③R -Q ④R
答案：①
7、 在实数空间中，有理数集
Q 的边界r(Q)是(
③R -Q ④
答案：④
8、 在实数空间中，整数集 Z 的内部z :
〕是(
③R-Z
④
答案：①
9、 在实数空间中，整数集 Z 的边界；：(Z)是(
答案：②
②[0,1] ③{0,1}
(0,1)
答案：③
11、设X 是一个拓扑空间, A B 是X 的子集，则下列关系中错误的是(
① d(A B) =d(A) d(B)
② A_ "B =A B
答案：③
③ d(A) =A ④ d(A) =X 答案：①
13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是
( )
①若 A =,则d(A)「②若 A 二{X。},则d(A) = X—A
③若A二{x「X2},则d(A)=X ④若A=X,则d(A)=X 答
案：④
14、设X 二{a,b,c,d}，令 B 二{{ a,b,c},{ c},{ d}},则由 B 产生的X 上的拓扑是( )
①{ X , ,{ c},{ d},{ c, d},{ a, b, c}}
②{ X, ,{ c},{ d},{ c, d}}
③{ X , ,{ c},{ a, b, c}}
④{ X, ,{ d},{ b, c},{ b, d},{ b, c, d}} 答案:
①
15、离散空间的任子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③
16、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④
17、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②
……},则A -()
18、实数空间R的子集A ={1,昇,1,
2 3 4
②R ③ A U {0} ④A 答案:
③
19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是( )