思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？）
【例3】如图，已知正方体中，面对角线，
上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD .
例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D
【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：.
1111ABCD A B C D -1AB 1BC 11B E C F =αβαβ//MN αA
B
C
D F
E C 1
B 1
A 1
D 1
D 1
B 1
A 1
D C B
A C 1α
β
A
B
C
D
M
N
P
C
变式1、如图，直线相交于点O ，,，
求证：平面ABC //平面
6、设是单位正方体的面、面的中心，如图
8-4，证明：⑴∥平面；⑵面∥面.
变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四边形
3．判断正误
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( )
''',,CC BB AA ,'O A AO =O B BO '=O C CO '='
''C B A ,P Q 1AC 11AA D D 1111A B C D PQ 11AA B B 1D PQ 1C DB O
A'
C'
F
A
B
C
D
E
G
H
4．下列条件中，能判断两个平面平行的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
5．已知平面α∥β，直线a?α，有下列说法：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
【例1】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，
F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；
(2)证明：BD∥平面AB1D1.
【例2】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四
点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面
积．
【例3】如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正
方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝
FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点
共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.
4如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。 （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分 析 ： 连 EA ， 易 证 C 1EAD 是 平 行 四 是 （第1题图）
P E D C B A MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG 求证： AB 1 ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD BE //= 12 AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行 四边形的性质 【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形 【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （I ）证法一： 因为 EF 90ACB ∠=? 90,EGF ABC ∠=??. EFG ?BC FG 2 1= ABCD BC AM 2 1=FA ?GM ? A B C D E F G M
立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面a内的 ____________ 都垂直，就说直线丨与平面a互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论
该直线与此平面 垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另 一条直线也垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直 线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言付号语言 判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言性质定理 两个平面垂直，则 一个平面内垂直于
交线的直线垂直于 另一个平面 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC 中，AP PC, AC BC, M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△ PMB 为正三角形。(I)求证： DM //平面 APC ； (U)求证：平面 ABC 平面APC ； (川)若BC 4，AB 20，求三棱锥 D BCM 的体积。 例2.如图，已知三棱柱 ABC A ,BQ 中，AA ,底面ABC ， AC BC 2，AA , 4， AB 22，M 占 八、、? (I)求证：CN 平面ABB iA ； (U)求证：CN // 平面 AMB ,； (川)求三棱锥的体积. 【变式1】?如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA i 平面ABC ， ABC 为等 腰直角三角形， BAC 90，且 AB AA 1， D,E,F 分别是 B 1A,CC 1,BC 的中点。 (1)求证：DE//平面ABC ; 2)求证：B 1F 平面AEF ; (3)设AB a ，求三棱锥D AEF 的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ， AB // DC ， △ PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC 2 5 . (1)求证：BD 平面PAD ; (2)求三棱锥A PCD 的体 B1 积. M N 分别是棱CC i ，AB 中 A i B A
A B C D B A 1 A F 立体几何证明平行专题训练 命题：*** 1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ； 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：FG∥面BCD ； （Ⅱ）求证：BC⊥面CDE ； 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ） C 1D∥平面B 1FM. （Ⅱ）C 1D⊥BC； （第1题图）
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 求证: //EB PAD 平面; 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE A B C D E F G M
P E D C B A 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求 证 ： AB 1ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 0 90,BAD FAB BC ∠=∠=//=12AD BE //=12AF ,G H ,FA FD //BC DHG 平面,,,C D F E 1C 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 11、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC 12、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三
立体几何平行、垂直问题【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题
一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直
线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中， ,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB
F D E C1 A1 C A 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角 三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == A B C A 1 B 1 C 1 M N
高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行
二、概念理解——判断下列命题真假 （1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（ ） （2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（ ） （3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（ ） （4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（ ） （5）αα//,//a b b a ??； （ ） （6）b a b a ////,//?αα； （ ） （7）αα////,//a b b a ?； （ ） （8）b a b a //,//??αα； （ ） （9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α
练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE． 点P、Q，且AP DQ
解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,
∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .
高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质 （3）利用对应线段成比例。（4）利用面面平行，等等。 第一类 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1， BC ＝2，CD ＝1＋ 3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， （第1题图）
D E B 1 A 1 C 1 C A B F M M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证 明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 第二类 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥ 平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 A B C D E F G M
D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M
P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?
D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜https://www.doczj.com/doc/bb5992283.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB （第1题图）
M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是 平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证： AM ∥平面EFG 。 分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG 6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M
高中立体几何证明平行的专题训练 深圳市龙岗区东升学校一一罗虎胜 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法: （1）通过“平移”。 （2）利用三角形中位线的性质。 （3）利用平行四边形的性质。 （4）利用对应线段成比例。 （5）利用面面平行，等等。 ⑴通过“平移”再利用平行四边形的性质 1. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分另为棱AB、PD的中点.求证：AF //平面PCE; P 分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形 F E A （第1题 图） 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB // CD，AB 丄BC，AB = 1，BC = 2，CD = 1 + -?. 3，过A作AE丄CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ ADE沿AE折叠，使得DE 丄EC. （I）求证：BC 丄面CDE ; （H）求证：FG //面BCD ; 分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形
的中点,证明：EB//平面PAD ; 分析：：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证 ABEF 是 平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD AM //平面 EFG 。 3、已知直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点,AC 丄BE.求证： (i) C 1D 丄BC ； (n) C 1D //平面 B i FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是 MF//EA D A A 1 4、如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形， BA AD, CD AD ,CD=2AB, E 为 PC 分析：连 MD 交GF 于H ，易证EH 是厶AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心， E 是PC C
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
1 思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？） 【例3】如图，已知正方体 中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD . 例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D 【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：. 1111 A B C D A B C D -1A B 1 B C 11B E C F =αβαβ//M N αA B C D F E C 1 B 1A 1 D 1 D 1 B 1 A 1 D C B A C 1α β A B C D M N P C
2 变式1、如图，直线相交于点O ，,， 求证：平面ABC //平面 6、设是单位正方体的面、面的中心，如图 8-4，证明：⑴∥平面；⑵面 ∥面. 变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四 边形 3．判断正误 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( ) ' '' ,,CC BB AA ,'O A AO =O B BO ' =O C CO ' =' ' ' C B A ,P Q 1A C 11A A D D 1111A B C D P Q 11A A B B 1D P Q 1C D B
重点高中立体几何证明平行的专题
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3 F G G A B C D E C A B D E F D E B 1 A 1 C 1C A B F M 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1 ＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA E F B A C D P （第1
4 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
F G G A B C D E C A B D E F D E B 1A 1C 1C A B F M 高中立体几何证明平行 的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可 转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别 为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四 边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1， BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将 △ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥ ⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 E F B A C D P （第1题图） A B C D E F G M
__________________________________________________ 立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 平行转化：线线平行 线面平行 面面平行； 类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法） （1） 方法一：中位线法 以锥体为载体 例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， 点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ； 变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ； 变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。 变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM _ B _ C S P A B C D E
__________________________________________________ (2)以柱体为载体 例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D 变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ； 方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE 变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD 变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB 例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, F E S A B C D E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
立体几何中的平行问题 （1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行 支持定理 ①////a b b a a ααα???????? ； ②////a a αββα?????； 配图助记 （2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行. 支持定理 ①////a a a b b αβαβ??????=?；②//a a b b αα⊥???⊥?；③////a a b b αβαγβγ??=???=? ；④//////a b c b a c ???? 配图助记 （3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点； II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直. 支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ????=???? ；②//a a ααββ⊥???⊥?；③//////αβαγγβ???? 配图助记 αb βa a b α b γβ α a a β α b O β a α β α γ α β a a α b β α a
一、线面平行 1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥立体中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； 2、在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥， 4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； 3、如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠?，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点 （1）证明：//''MN AACC 平面； P D C B A
1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）
2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
专题：平行问题 主要考点：线面平行 面面平行 线面平行的判定定理：如果一个平面内的一条直线和另平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行。定理模式：,,////a b a b a ααα??? 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα?? ? ??? =??? ??? 1、如右图所示，已知P 、Q 是正方体的面11A B BA 和面ABCD 的中心． 证明：PQ ∥平面11C B BC 2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ． 3、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、 F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 证明：直线EE 1//平面FCC 1； 4、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D _ P
5、已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP 6、在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//AF 平面PCE 3、如图所示，ABC ?为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//BD CE ，且2C E C A B D ==，F 、M 是CE 、EA 的中点。求证： （1）//DM 平面ABC ； （2）面//FDM 面ABC . 10．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。 （1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ； （2）S △A′B′C′∶S △ABC 的值。 P A B C D E O P B C D A E F B C A M D F E