思维拓展：如图 ,ABCD是平行四边形,M,N 分别是 AB,PC的中点 .求证MN//面PAD
（你能思考出几种方法？）
P
A
M
N D
B C
D 1 C 1
B 1
【例 3】如图，已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，面对角线 AB1，A 1 F
BC1上分别有两点 E、 F，且 B1 E C1 F . 求证： EF∥平面 ABCD.
E
D C
A B
例 2、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1求证 : 平面 AB1D1// 平面 BC1D D1 C
1
A1B1
D C
A B
【例 2】如图，设平面∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，
且 A、C∈， B、D∈. 求证：MN / / .
A
C
M N
'
'
'
相交于点 O ，AO
'
'
'
变式 1、如图，直线 AA
, BB , CC A O, BO
B O , CO
C O ，
C'
求证：平面 ABC// 平面 A B C
B'
'
A'
' '
O
A
B
C
6、设 P, Q 是单位正方体 AC 1 的面 AA 1D 1D 、面 A 1 B 1C 1D 1的中心，如图
8-4 ，证明：⑴ PQ ∥平面 AA 1B 1 B ；⑵面 D 1 PQ ∥面 C 1 DB .
变式 2、如图 : 空间四边形 ABCD 中 ,E 、 F 、 G 、H 分别为 AB 、BC 、 CD 、DA 上的点，若
AC// 平
面 EFGH ， BD// 平面 EFGH,
求证 : EFGH 为平行四 边形
A
H
E
B
D G
F
C
3．判断正误
(1) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ( ) (2) 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．
(
) (3) 设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，若 l ∥α， l ∥β，则 α∥β .(
)
4．下列条件中，能判断两个平面平行的是() A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
5．已知平面α∥β，直线a? α，有下列说法：
①a与β 内的所有直线平行；
②a与β 内无数条直线平行；
③a与β 内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
【例 1】如图，在几何体ABCDE中，四边形 ABCD 是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥EC，AB＝ BE＝EC＝ 2，G，F 分别是线段BE， DC的中点．
求证： GF∥平面ADE.
如图所示，斜三棱柱ABC－ A1B1C1中，点 D，D1分别为AC， A1C1上的中点． (1) 证明： AD1∥平面 BDC1；
(2)证明： BD∥平面 AB1D1.
【例 2】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.
点G， E， F， H 分别是棱 PB， AB， CD， PC上共面
的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.
(1)证明： GH∥EF； (2) 若 EB＝2，求四边形 GEFH的
面积．
【例 3】如图所示，已知 ABCD－A1B1C1D1是棱长为 3 的正方
体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上， G 在 BB1上，且 AE＝
FC1＝B1G＝1，H 是B1C1的中点．(1) 求证：E、B、F、D1
四点共面； (2) 求证：平面 A1GH∥平面 BED1F.
4 如图，在三棱柱ABC－ A1B1C1中， E， F， G， H 分别是AB ，AC， A1B1， A1C1的中点，求证：(1)B ，C， H， G四点共面；
(2) 平面 EFA1∥平面 BCHG.
D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。 （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分 析 ： 连 EA ， 易 证 C 1EAD 是 平 行 四 是 （第1题图）
P E D C B A MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG 求证： AB 1 ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD BE //= 12 AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行 四边形的性质 【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形 【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （I ）证法一： 因为 EF 90ACB ∠=? 90,EGF ABC ∠=??. EFG ?BC FG 2 1= ABCD BC AM 2 1=FA ?GM ? A B C D E F G M
第四章立体几何--平行及位置关系 一．课标要求： 1．平面的基本性质与推论 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平 行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二．命题走向 立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行
二、概念理解——判断下列命题真假 （1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（ ） （2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（ ） （3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（ ） （4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（ ） （5）αα//,//a b b a ??； （ ） （6）b a b a ////,//?αα； （ ） （7）αα////,//a b b a ?； （ ） （8）b a b a //,//??αα； （ ） （9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α
练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE． 点P、Q，且AP DQ
解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,
∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .
高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三
课时作业7 平行关系的性质 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是() A．平行 B．相交 C．异面 D．平行和异面 解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH， ∴AB∥GH. 答案：A 2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a?α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β. 其中正确的个数为() A．1B．2 C．3 D．4 解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对． 答案：A 3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是() A．E，F，G，H一定是各边的中点 B．G，H一定是CD，DA的中点 C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GC D．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC 解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC ＝DG：GC. 答案：D 4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线
立体几何---空间平行关系 【基础知识梳理】 1、平行关系知识框图 【基础知识检测】 一、选择题 1、平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（ ） A.一定平行 B.平行或相交 C.一定相交 D.平行或相交或异面 2、过直线l 外两点，作与直线l 平行的平面，这样的平面的个数是（ ） A.有无 数个 B.不能作出 C.只能作出一个 D.以上都有可能 3、已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? 4、下列命题正确的为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 （1）平行于同一直线的两平面平行 （2）垂直于同一直线的两平面平行. （3）若α ∥β, 则平面α 内任一直线 a ，a ∥β. （4）若n ?α ，m ? α，n ∥β，m ∥β，则α∥β. 二、填空题 5、点A 是平面α 外的一点，过A 和平面α 平行的直线有 条. 6、点A 是直线l 外一点，过点A 和直线l 平行的平面有 个. 7、过两条平行线中的一条和另一条直线平行的平面有 个.
8、过两条异面直线中的一条和另一条直线平行的平面有 个. 9、如果21//l l ，1l 平行于平面α，则2l 与平面α 10、如果两直线b a ,相交，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是—— 三、解答题 11、如图，已知Q P 、是正方体1111-D C B A ABCD 的面ABCD 和面1111D C B A 的中心， 求证：PQ //平面11A ADD 立体几何---空间平行关系答案 1-3D4C 5-7无数个8、一个9、平行或在平面内
D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M
P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
高中立体几何证明平行的专题训练 深圳市龙岗区东升学校一一罗虎胜 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法: （1）通过“平移”。 （2）利用三角形中位线的性质。 （3）利用平行四边形的性质。 （4）利用对应线段成比例。 （5）利用面面平行，等等。 ⑴通过“平移”再利用平行四边形的性质 1. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分另为棱AB、PD的中点.求证：AF //平面PCE; P 分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形 F E A （第1题 图） 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB // CD，AB 丄BC，AB = 1，BC = 2，CD = 1 + -?. 3，过A作AE丄CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ ADE沿AE折叠，使得DE 丄EC. （I）求证：BC 丄面CDE ; （H）求证：FG //面BCD ; 分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形
的中点,证明：EB//平面PAD ; 分析：：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证 ABEF 是 平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD AM //平面 EFG 。 3、已知直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点,AC 丄BE.求证： (i) C 1D 丄BC ； (n) C 1D //平面 B i FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是 MF//EA D A A 1 4、如图所示,四棱锥P ABCD 底面是直角梯形， BA AD, CD AD ,CD=2AB, E 为 PC 分析：连 MD 交GF 于H ，易证EH 是厶AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心， E 是PC C
高一数学 必修二 空间中平行与垂直关系 强化练习 1.空间中，垂直于同一直线的两条直线 A. 平行 B .相交 C .异面 A.若 m//l, n//l ，则 m//n B .若 m 〃 ，n 〃 ，则 m//n C.若m ,m ,则 D .若m , ，则m 〃 或m 3. 下列说法正确的是（） A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 B. 两个平面相交于唯一的公共点 C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4. 如图，ABCD- A i BiGD 为正方体， A. BD// 平面 CBD B. AG 丄B i C C. AC 丄平面CBD D. 直线CC 与平面CBD 所成的角为45° 5. 如图，四棱锥 V ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧 棱长为.5的等腰三角形，则二面角 V AB C 的大小 （ ） A. 30 B . 45 C . 60 D . 120 6. 下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ） A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为.2，其余各棱长都为1，则二面角 A CD B 的 余弦值为（ ) A. 1 B .1 C .-D 2 3 3 .3 2.已知互不相同的直线l,m,n 与平面 ，则下列叙述错误的是（ （） D .以上均有可能
1 思维拓展： 如图,ABCD 是平行四边形,M,N 分别是AB,PC 的中点. 求证MN//面PAD （你能思考出几种方法？） 【例3】如图，已知正方体 中，面对角线，上分别有两点E 、F ，且.求证：EF ∥平面ABCD . 例2、已知 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1求证:平面AB 1D 1//平面BC 1D 【例2】如图，设平面∥平面，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C∈，B 、D∈. 求证：. 1111 A B C D A B C D -1A B 1 B C 11B E C F =αβαβ//M N αA B C D F E C 1 B 1A 1 D 1 D 1 B 1 A 1 D C B A C 1α β A B C D M N P C
2 变式1、如图，直线相交于点O ，,， 求证：平面ABC //平面 6、设是单位正方体的面、面的中心，如图 8-4，证明：⑴∥平面；⑵面 ∥面. 变式2、如图:空间四边形ABCD 中,E 、F 、 G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH, 求证: EFGH 为平行四 边形 3．判断正误 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (3)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.( ) ' '' ,,CC BB AA ,'O A AO =O B BO ' =O C CO ' =' ' ' C B A ,P Q 1A C 11A A D D 1111A B C D P Q 11A A B B 1D P Q 1C D B
立体几何（平行关系的证明） 线面平行的证明 利用中位线 1.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F 。证明 ：∥PA 平面EDB 。 2.如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且 ACE BF 平面⊥.求证；BFD AE 平面//； 3.如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点， 'A A ⊥平面ABCD 。求证：C A '//平面BDE 。 B C
N M A B D C O A B C E F P 1 A 1 C 1 B 利用平行四边形 4.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点， N 为BC 的中点。证明：直线MN OCD 平面‖ 5.在直三棱柱111C B A ABC -中， AC=4,CB=2,AA 1=2 ο60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点。 证明：//1F C 平面ABE 。 6.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD PA 2==，CD 22=，E 、F 分别 是AB 、PD 的中点。求证：AF//平面PCE ；
利用比例 7.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NP DN ，求证：直线MN ∥平面PBC. 8.如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13， M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．求证：直线MN //平面PBC 。 9 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE A B C E N D M P D A B C F E M N
F G G A B C D E C A B D E F D E B 1A 1C 1C A B F M 高中立体几何证明平行 的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可 转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别 为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四 边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1， BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将 △ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥ ⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 E F B A C D P （第1题图） A B C D E F G M
立体几何中的平行问题 （1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行 支持定理 ①////a b b a a ααα???????? ； ②////a a αββα?????； 配图助记 （2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行. 支持定理 ①////a a a b b αβαβ??????=?；②//a a b b αα⊥???⊥?；③////a a b b αβαγβγ??=???=? ；④//////a b c b a c ???? 配图助记 （3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点； II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直. 支持定理 ①,////,//a b a b o a b αααβββ????=???? ；②//a a ααββ⊥???⊥?；③//////αβαγγβ???? 配图助记 αb βa a b α b γβ α a a β α b O β a α β α γ α β a a α b β α a
一、线面平行 1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥立体中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； 2、在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥， 4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； 3、如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠?，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点 （1）证明：//''MN AACC 平面； P D C B A
1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）
2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M
专题：平行问题 主要考点：线面平行 面面平行 线面平行的判定定理：如果一个平面内的一条直线和另平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行。定理模式：,,////a b a b a ααα??? 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα?? ? ??? =??? ??? 1、如右图所示，已知P 、Q 是正方体的面11A B BA 和面ABCD 的中心． 证明：PQ ∥平面11C B BC 2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ． 3、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、 F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 证明：直线EE 1//平面FCC 1； 4、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D _ P
5、已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP 6、在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//AF 平面PCE 3、如图所示，ABC ?为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//BD CE ，且2C E C A B D ==，F 、M 是CE 、EA 的中点。求证： （1）//DM 平面ABC ； （2）面//FDM 面ABC . 10．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。 （1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ； （2）S △A′B′C′∶S △ABC 的值。 P A B C D E O P B C D A E F B C A M D F E
高中数学总复习- 第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系 【知识结构图】 第3课空间中的平行关系 【考点导读】 1 ?掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2 ?明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交
2 ?给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行?②垂直于同一平面的两个平面互相平 行. ③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行. ④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是_4 _______ 个。 3?对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。: 4. 已知a、b、c是三条不重合的直线， a、B、r是三个不重合的平面，下面 六个命题： ①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ; ④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a. 其中正确的命题是①④________ 【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形. 求证：AB//平面EFG 证明：?面EFGH是截面. ???点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上. ??? EH 面ABC GF 面ABD 由已知,EH// GF. ? EH// 面ABD 又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB ?EH// AB. ?AB// 面EFG 例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. D C
立体几何中的平行与垂直问题作业 1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：BB1⊥AC. 2.(2019·苏锡一模)如图29-7，正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D 是棱CC1上靠近C的三等分点． 求证：(1)B1M∥平面A1BN； (2)AD⊥平面A1BN.
立体几何中的平行与垂直问题作业答案 1.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：BB1⊥AC. （1）证明：因为在三棱柱ABC－A1B1C1中， 所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行 四边形， 又因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对 角线的交点， 所以E，F分别是AB1，CB1的中点， 所以EF∥AC，又因为EF?平面ABC，AC?平面ABC， 所以EF∥平面ABC; （2）证明：因为四边形AA1B1B为矩形， 所以BB1⊥AB， 又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1?平面AA1B1B，平面AA1B1B
∩平面ABC＝AB， 所以BB1⊥平面ABC， 因为AC?平面ABC所以BB1⊥AC. 2.(2019·苏锡一模)如图29-7，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1， AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点． 求证：(1) B1M∥平面A1BN； (2)AD⊥平面A1BN. （1）证明：连接MN，正三棱柱ABC-A1B1C1 中，四边形AA1C1C是平行四边形，AA1∥CC1 且AA1＝CC1，因为点M，N分别是棱A1C1， AC的中点，所以MN∥AA1且MN＝AA1， 又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1， 所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M∥BN，又B1M 平面A1BN，BN?平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN. （2）证明：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1， 在正△ABC中，N是AC的中点，所以BN⊥AC，又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A， 所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN， 由题意得，AA1＝6，AC＝2，AN＝1，CD＝ 6 3 ，所以 AA1 AC＝ AN CD ＝ 3 2 ， 又∠A1AN＝∠ACD＝ π 2 ，所以△A1AN∽△ACD，则∠AA1N＝∠CAD，