1 数学建模入门
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1.1实验目的与要求
数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题。
1.2 基本实验
1. 椅子放平问题
依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。解答:
一、模型假设
对椅子和地面在符合日常生活的前提下，做出如下假设：
（1）椅子：四条腿长相同，并且四脚的连线呈长方形。
（2）地面：略微起伏不平的连续变化的曲面。
（3）着地：点接触，椅子在地面任意位置至少有三只脚同时着地。
上述假定表明长方形椅子是正常的，排除了地面有坎以及有剧烈升降等异常情况。
二、模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同
时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动,通常有拖动或转动椅子两种办法把椅子放稳，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
用θ表示椅子旋转后的位置
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的连续函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是
θ的连续函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，设A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
建立数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
三、模型求解
如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）。而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。定义h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数的零点定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ
；又因为f（θ0）g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。即，椅子的0）
四只脚同时着地。
2.过河问题
依照1.2.2节“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，之多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量地少。
解答：
本问题与“商人过河”问题类似，均为状态转移问题，即经过有限次的合理的转移，将初始状态（人，猫，鸡，米）在此岸，转变为最终状态（人，猫，鸡，米）在彼岸。
我们将人，猫，鸡，米在岸上的情况，依次用四维向量S表示，即S（人,猫,鸡,米），并将这些向量称为状态，则第k次渡河前的状态记为k s。
当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0。例如（1，1，1，1）表示它们都在此岸，（0，1，1，0）表示猫和鸡在此岸，人和米在彼岸。由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。安全渡河条件下的状态称为允许状态。对本问题而言，允许状态集合为：S=﹛(1,1,1,1），(1,1, 1,0），(1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,0,1,0）,（0,0,0,0），（0,0,0,1），（0,0,1,0），（0,1,0,0）,（0，1，0，1）﹜。
我们将人，猫，鸡，米在船上的情况，依次用四维向量D表示，即D（人,猫,鸡,米），并将这些向量称为决策,则第k次渡船运载的决策记为
d。
k 当一物在船上时,相应分量记为1，否则记为0。例如（1，1，0，0）表示人和狗在船上，即人带狗过河。本问题的运算向量共有四个，即允许决策集合为：
D={（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）}
过河的方式有两种，过河次数为奇数时船从此岸划向彼岸，过河次数为
偶数时船从彼岸划向此岸，所以则状态k s 随决策k d 变化的规律为
()k
d k k s k s 11-+=+， 因此设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈，按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。
从而我们得到两个可行的等优方案如下：
因此，该问题的最优方案有两种：
1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。
2、人先带鸡过河，然后人再回来，把猫带过河，然后把鸡运回河岸，人再把米带过河，最后人回来把鸡带过去。
3.购房贷款问题（续）
在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。
某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按0.6%/月计算），他们帮你提前三年还清贷款，但条件如下：
（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；
（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答：
若考虑借贷公司，按借贷公司的条件，需要预先支付贷款总额的10%即为2万元，然后分17年还完贷款，每月的还款额x=1574.7元。
若不考虑借贷公司，假设小王夫妇先将这2万元支付给银行，自己再分17年还贷给银行，带入原题导出的公式
X=[ A0r(1 + r )N]/[ (1 + r ) N- 1] > A0r
我们可计算出每月的还款额为1532元，小于按借贷公司的方案每月应还款额1574.7元，而且借贷公司还要求每半月支付，所以分析结果是小王夫妇不需要这家贷款公司帮助还款。
4.冷却定律与破案
按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0（T0< T）的环境中冷却的速度与温差T- T0成正比，用此定律建立相应的微分方程模型。
凌晨某地发生一起凶杀案，警方于早晨6时到达现场，测得尸温26O C,室温10O C。早晨8时又测得尸温18O C。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。
解答：
根据Newton冷却定律，得出微分方程
dT/dt =k（T?T0）
其中k为散热系数，T0为环境温度，
则t时刻物体的温度T(t)= T0+Ce kt，C为常数
设早上6点时t=6，T(6)=26℃，早上8点时t=8，T(8)=18℃。假设死者死亡时体温正常T(t0)=37℃，
T(6)=10+C=26
T(8)=10+Ce2k=18
解得 C=16，k≈-0.35
所以尸体的温度T(t)= 10+16e-0.35t
将T(t0)=37℃代入上式，解得t0=-1.49，因此推断死亡时间约在四点三十分。
5.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）
（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
解答：
设：A(t)表示此人第一天上山时t时刻离山脚的路程；
B(t)表示此人第二天下山时t时刻离山脚的路程；
山顶到山下的总路程为S。
由条件可知： A(8)= 0，A(17)= S
B(8)= S，B(17)= 0
令：C(t)= A(t)- B(t)；
则： C(8)=-S，C(17)= S；
因为C(t)为连续函数，由零点定理推出结论：在t=[8,17]之间，至少存在一点 t 使C(t)= A(t)- B(t)=0；即A(t)= B(t),因此可以证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
（2）甲乙两站之间有汽车想通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？
解答：
根据题中描述可知，坐乙站发的车的概率为甲站的九倍。可以理解为从乙站发车经过丙站的时刻要比另一个晚9分钟（或者叫做早1分钟）。
所以经过丙站的时刻表可安排为：
甲站发来的车：5：51，6：01，6：11…
乙站发来的车：6：00，6：10，6：20…
（3）张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前
来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？
解答：
假设张先生步行的距离为S，则他妻子比往常少开了张先生所走距离的往返距离2S，所以他妻子开车行驶2S距离的时间为10分钟。妻子往常是在18:00整在火车站接张先生，今日在距离火车站S距离的地方遇到张先生，这个距离需要开车5分钟,所以妻子遇到张先生的时间为17:55分。张先生17:30下车，17:55分遇到妻子，所以张先生走了25分钟。
（4）一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？
解答：
男孩和女孩从学校到家的时间都是0.5小时，当他们到家时小狗也到家，所以小狗往返跑的时间也是0.5小时，因此小狗所跑的路程为3公里。
上学时是放学时的逆过程，所以小狗最后刚好到达学校。由于狗初始方向不确定，所以小狗最后的位置有可能是在男孩的学校，也可能是在女孩的学校。
1.3 加分实验（公平投票问题）
某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数
名专家，按照如下规则进行评比。
（1）为了公平性，评委对本单位选手不给分；
（2）每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；
（3）评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。
（4）评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？
解答：
首先设评委人数为n，根据评分规则，在一般情况下评委给出的评分分别为a1，a2，a3…a n,所以选手的平均得分为X1=（a1+a2+ a3+?+a n)/n 由于回避规则，甲的单位不得为甲评分，则甲的得分与一般选手有差别，
）/（n?1）
应为X2=（a1+a2+ a3+?+a n
?1
）/（n?1）-（a1+a2+ a3+?+a n)/n 两者之差为：X2?X1=（a1+a2+ a3+?+a n
?1
?a n(n?1)]/n(n?1)
= [a1+a2+ a3+?+a n
?1
由上述公式可知，两者之差不恒等于0，对选手甲的得分会有影响，所以选手甲的抱怨有一定道理，此规则对于选手甲确实有不公平之处。
若想做出修正来解决选手甲的抱怨，在尽可能公平的情况下制定规则，可使甲所得到的平均分应介于X1和X2之间，可以用X1和X2的几何平均值来定
义，即X=√X1*X2来做为选手的得分。
在下面的题目中选做100分的题目，给出详略得当的答案。 一.通过举例简要说明数学建模的一般过程或步骤。(15分) 答：建立数学模型的方法大致有两种，一种是实验归纳的方法，即根据测试或计算数据，按照一定的数据，按照一定的数学方法，归纳出系统的数学模型；另一种是理论分析的方法，具体步骤有五步（以人口模型 为例）： 1、明确问题，提出合理简化的假设：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息 2、建立模型：据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系。（查资料得出数学式子或算法）。 3、模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。注意要尽量采用简单的数学公具。例如：马尔萨斯模型，洛杰斯蒂克模型 4、模型检验：根据预测与这些年来人口的调查得到的数目进行对比检验 5、模型的修正和最后应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，根据预测模型，制定方针政策，以实现资源的合理利用和环境的保护。 二.把一张四条腿等长的正方形桌子放在稍微有些起伏的地面上，通常只有三只脚着地，然而 只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。(1) 请用数学模型来描述和证明这个实际问题; (2)讨论当桌子是长方形时，又该如何描述和证明？(15分) 答： 模型假设： 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。 2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。 3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。 5．挪动仅只是旋转。 我们将椅子这两对腿的交点作为坐标原点，建立坐标系，开始时AC、BD这两对腿都在坐标轴上。将AC和BD这两条腿逆时针旋转角度θ。记AC到地面的距离之和为f(θ)。记BD到 地面的距离之和为g(θ)。易得f(θ)，g(θ)至少有一个为零。
数学建模实验报告
一、实验目的 1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握 数学建模分析和解决的基本过程。 2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新 能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。 二、实验题目 （一）题目一 1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个 乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直 到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 2、问题分析 （1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的 方法，求得近似结果。 （2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。 3、模型建立 建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每 个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数 代表在该楼层下的乘客的人数。 再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。 例如： 给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为： m = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 c = 1 1 0 1 0 1 1 1 4、解决方法（MATLAB程序代码）：
n=10;r=10;d=1000; a=0; for l=1:d m=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r)); c=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:r if m(i,j)==1 c(j)=1; break; end continue; end end s=0; for x=1:n if c(x)==1 s=s+1; end continue; end a=a+s; end a/d 5、实验结果 ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。 （二）题目二 1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6 千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千 克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人 150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何 安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨 论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2、问题分析 （1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。 （2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换
《数学建模与数学实验》本科教学日历 数学建模部分 开设课程课程名称数学建模课程编号0701107 施教单位理学院 课内学时 总课时36 课程性质公共基础讲授课时28 修读要求选修实践课时8 选用教材教材名称数学建模教程出版社名称高等教育出版社 出版时间 及版次 2011年出版，第一版印刷时间2011年 其他情况 教学安排 班次授课对象及人数任教教员（指导教员）姓名及职称数学建模A 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 数学建模B 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验 1 1 （1）什么是数学建模？数学建模的一般概念 （2）几个数学建模问题 讲授 1 2 （1）数学建模的一般步骤 （2）敏感问题调查案例 讲授 1 2 3 （1）行走步长问题 （2）雨中行走淋雨量最小问题 （3）道路是越多越通畅吗? 讲授 1 4 （1）有奖销售的抽奖策略问题 （2）“非诚勿扰”女生最佳选择问题 （3）网络文章流行度预测和招聘匹配 讲授 1 3 5 （1）线性规划模型基本概念 （2）整数规划模型 （3）0-1规划模型 讲授 1 6 （1）非线性规划 （2）多目标规划 讲授 1 4 7 （1）最短路算法 （2）最小生成树算法 讲授 1 8 （1）最大流算法 （2）PageRank算法 讲授 1 5 9 规划模型上机实践实践 1
课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验10 图论模型上机实践实践 1 6 11 （1）博弈模型基本概念 （2）Nash平衡和Pareto最优 （3）博弈论案例 讲授 1 12 （1）贝叶斯纳什均衡 （2）拍卖模型 讲授 1 7 13 社会选择理论中的选举问题数学模型-阿罗不可能定理讲授 1 14 越野长袍团体赛排名规则公平性问题讲授 1 8 15 军事作战模型-Lanchester作战模型讲授 1 16 自动化车床管理模型讲授 1 9 17 （1）“边际效应”基本概念 （2）实物交换模型，最佳消费模型、报童售报问题 讲授 1 18 （1）价格弹性模型 （2）合作效益的Shapley值分配模型 讲授 1 10 19 （1）聚类分析基本概念 （2）常用聚类算法 讲授 1 20 （1）方差分析基本概念 （2）单因素方差分析 （3）双因素方差分析 讲授 1 11 21 （1）主成分分析基本概念 （2）因子分析 讲授 1 22 （1）一元回归分析 （2）多元回归分析 （3）多元回归模型的检验与优化 讲授 1 12 23 聚类分析和方差分析上机实践实践 1 24 主成分分析和多元回归分析上机实践实践 1 13 25 （1）遗传算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 26 遗传算法计算实例讲授 1 14 27 （1）模拟退火算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 28 模拟退火算法计算实例讲授 1 15 29 （1）蚁群算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 30 （1）数学建模中的计算机仿真 （2）不可召回的秘书招聘问题 （3）车灯光源优化设计 （4）生命游戏 讲授 1 16 31 遗传算法上机实践实践 1 32 模拟退火算法上机实践实践 1
数学建模实验报告 实验一计算课本251页A矩阵的最大特征根和最大特征向量 1 实验目的 通过Wolfram Mathematica软件计算下列A矩阵的最大特征根和最大特征向量。 2 实验过程 本实验运用了Wolfram Mathematica软件计算，计算的代码如下：
3 实验结果分析 从代码的运行结果，可以得到最大特征根为5.07293，最大特征向量为 {{0.262281},{0.474395},{0.0544921},{0.0985336},{0.110298}},实验结果 与标准答案符合。
实验二求解食饵-捕食者模型方程的数值解 1实验目的 通过Wolfram Mathematica或MATLAB软件求解下列习题。 一个生物系统中有食饵和捕食者两种种群，设食饵的数量为x（t），捕食者为y（t），它们满足的方程组为x’(t)=(r-ay)x,y’(t)=-(d-bx)y,称该系统为食饵-捕食者模型。当r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02时，求满足初始条件x（0）=25，y（0）=2的方程的数值解。 2 实验过程 实验的代码如下 Wolfram Mathematica源代码： Clear[x,y] sol=NDSolve[{x'[t] (1-0.1y[t])x[t],y'[t] 0.02x[t]y[t]-0.5y[t],x[0 ] 25,y[0] 2},{x[t],y[t]},{t,0,100}] x[t_]=x[t]/.sol y[t_]=y[t]/.sol g1=Plot[x[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotRange->{0,11 0}] g2=Plot[y[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],PlotRange->{0,40 }] g3=Plot[{x[t],y[t]},{t,0,20},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0],RGBColor[ 0,1,0]},PlotRange->{0,110}] matlab源代码 function [ t,x ]=f ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45('shier',ts,x0); End function xdot=shier(t,x)
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结 第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。 第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。 第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。 第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。 第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求 P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日
基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :
数学建模与数学实验报告 指导教师__郑克龙___ 成绩____________ 组员1：班级______________ 姓名______________ 学号_____________ 组员2：班级______________ 姓名______________ 学号______________ 实验1.(1)绘制函数cos(tan())y x π=的图像，将其程序及图形粘贴在此。 >> x=-pi:0.01:pi; >> y=cos(tan(pi*x)); >> plot(x,y) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 1 （2）用surf,mesh 命令绘制曲面2 2 2z x y =+，将其程序及图形粘贴在此。（注：图形注意拖放，不要太大）（20分） >> [x,y]=meshgrid([-2:0.1:2]); >> z=2*x.^2+y.^2; >> surf(x,y,z)
-2 2 >> mesh(x,y,z) -2 2 实验2. 1、某校60名学生的一次考试成绩如下:
93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. （20分） 1） >> a=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; >> pjz=mean(a) pjz = 80.1000 >> bzhc=std(a) bzhc = 9.7106 >> jc=max(a)-min(a) jc = 44 >> bar(a)
数学建模与数学实验试卷及答案 二、本题10分(写出程序和结果) 蚌埠学院2010—2011学年第二学期 2,x在 [-5 ，5] 区间内的最小值，并作图加以验证。求函数yxe,，,3《数学建模与数学实验》补考试卷答案 f1=inline('x.^2 +exp(-x)-3') 注意事项:1、适用班级:09数学与应用数学本科1,2班 2、本试卷共1页，附答题纸1页。满分100分。 x=fmin(f1,-5,5) 3、考查时间100分钟。 y=f1(x) 4、考查方式:开卷 fplot(f1,[-5,5]) 一、填空:(每空4分，共60分) x = 0.3517，y== -2.1728 123111,，，，， ,,,,三、本题15分(写出程序和结果) 1. 已知，，则A的秩为 3 ，A的特征值为 A,612B,234,,,, ,,,,,215531,，，，，360000xx，,,12,max2.5fxx,，求解:， stxx..250000，,,1212-1.9766 4.4883 + 0.7734i 4.4883 - 0.7734i ，若令 A([1,3],:)= B([2,3],:)，则,x,150001,A(2,:)= 6 1 2 ; 解: xxx，，,22,123,model: 2. 的解为 1.25 ,0.25 0.5 ; xxx，，,521,123max=2.5*x1+x2; ,242xxx，，,123,3*x1+x2<=60000; 装订线内不要答题 2*x1+x2<=50000; 3. 将1234521 分解成质因数乘积的命令为_factor(sym(‘1234521’)),
《数学建模》上机作业 信科05-3 韩亚 0511010305
实验1 线性规划模型 一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。 二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。 三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。 四、实验要求： 1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。 2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。 3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。 4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。 5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。（选做题） 6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。（选做题） 五、实验内容： 解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为： 12 11109871211109711109871211109875.232427252628252528262729) 2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-= 整理后得： 900 24255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z 由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件
matlab 试验报告 姓名 学号 班级 问题：.（插值） 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。 问题的分析和假设： 分析:本题利用插值法求出水深小于5英尺的区域，利用题中所给的数据，可以求出通过空间各点的三维曲面。随后，求出水深小于5英尺的范围。 基本假设：1表中的统计数据均真实可靠。 2矩形区域外的海域不对矩形海域造成影响。 符号规定：x ―――表示海域的横向位置 y ―――表示海域的纵向位置 z ―――表示海域的深度 建模： 1.输入插值基点数据。 2．在矩形区域（75,200）×（－50,150）作二维插值，运用三次插值法。 3．作海底曲面图。 4．作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。 x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 x y z 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9
求解的Matlab程序代码： x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9]; cx=75:0.5:200; cy=-50:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic'); meshz(cx,cy,cz),rotate3d xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') %pause figure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);grid hold on plot(x,y,'+') xlabel('X'),ylabel('Y') 计算结果与问题分析讨论： 运行结果： Figure1:海底曲面图：
P59 4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。 解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。 首先，我们先按比例分配委员席位。 A 宿舍为:A n = 365.21002 10237=? B 宿舍为:B n =323.31002 10333=? C 宿舍为:C n =311.4100210432=? 现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。 5.93613 22372 =?=A Q 7.92404 33332 =?=B Q 2.93315 44322 =?=C Q 经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。 所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
商人们怎样安全过河
由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。 解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。 如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。
P60 液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式 解：物理量之间的关系写为为()?=?,,,,,μρ?l v d p 。 各个物理量的量纲分别为 []32-=?MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。 ???? ??????-----=?0310100011110010021113173A 其中0=Ay 解得 ()T y 00012111---=， ()T y 00101102--=， ()T y 01003103--=， ()T y 10000004= 所以 l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ?=--313ρπ，?=4π 因为()0,,,,,,=??p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为： ()213,ππψρv p =?
数学建模课程实验报告 专题实验7 班级数财系1班学号2011040123 丛文 实验题目常微分方程数值解 实验目的 1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。 实验容 (包括分 析过程、 方法、和 代码，结 果) 1. 用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值 解，画出解的图形，对结果进行分析比较 解；M文件 function f=f(x,y) f=y+2*x; 程序； clc;clear; a=0;b=1; %求解区间 [x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值 解； %% 以下利用Euler方法求解 y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N; x=a:h:b;
for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end figure(1) plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图 title('数值解与真解图'); legend('RK4','Euler','真解'); xlabel('x');ylabel('y'); figure(2)
plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差 title('龙格库塔方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error'); figure(3) plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差 title('Euler方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error');
10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数学建模方法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C 语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1线性规划（掌握线性规划的模型、算法以及Matlab 实现）。整数线性规划（掌握整数线性规划形式和解法）。 2微分方程建模（掌握根据规律建立微分方程模型及解法；微分方程模型的Matlab 实现）。 3最短路问题（掌握最短路问题及算法，了解利用最短路问题解决实际问题）。 行遍性问题（了解行遍性问题，掌握其TSP算法）。 4回归分析（掌握一元线性回归和多元线性回归，掌握回归的Matlab实现）。 5计算机模拟（掌握Monte-carlo方法、了解随机数的产生；能够用Monte-carlo 解决实际问题）。 6插值与拟合（了解数据拟合基本原理，掌握用利用Matlab工具箱解决曲线拟合问题）。 三、设计时间 2012—2013学年第1学期：第16周共计一周 目录 一、10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 (1) 二、饭店餐桌的布局问题 (3) 摘要 (3)
问题重述 (3) 模型假设 (3) 模型分析 (4) 模型的建立和求解 (4) 模型推广 (9) 参考文献 (9) 三、白酒配比销售问题 (10) 摘要 (10) 问题重述 (11) 问题分析 (12) 模型假设 (12) 符号及变量说明 (12) 模型的建立与求解 (13) 模型的检验 (18) 模型的评价与推广 (19) 附录 (21) 饭店餐桌的布局问题 摘要 饭店餐桌的布局对于一个饭店有着很重要的作用。本文讨论的就是饭店餐桌的布局问题，根据实际需求及规定建立模型，同时考虑餐桌的类型及规格，尤其是餐桌的摆放技巧，保证使饭店能容纳的人数达到最大。根据所需餐桌的数量
数学建模与数学实验 实验报告 班级: 数学师范153 姓名：付爽 学号：1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限
基础实验 基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读 一、实验目的 从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验使用软件 Mathematic 5.0 三．实验的基本理论即方法 1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 “割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 以n S 表示单位圆的圆内接正1 23-?n 多边形面积，则其极限 为圆周率π。用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况： m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正1 23-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23-?n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图)
成都信息工程大学 《数学建模与数学实验》上机实验报告 专业信息与计算科学班级姓名学号 实验日期成绩等级教师评阅日期 [问题描述] 下表给出了某一海域以码为单位的直角坐标Oxy 上一点（x，y）（水面一点）以英尺为单位的水深z，水深数据是在低潮时测得的，船的吃水深为5英尺，问在矩形区域（75，200）x （-50，150）里那些地方船要避免进入。 [模型] 设水面一点的坐标为（x,y,z），用基点和插值函数在矩形区域（75，200）*（-50，150）内做二维插值、三次插值，然后在作出等高线图。
[求解方法] 使用matlab求解： M文件：water.m x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9]; cx = 75:0.5:200; cy = -50:0.5:150; [cx,cy]=meshgrid(cx,cy); 作出曲面图： 代码如下： >> water >> cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'cubic'); >> meshz(cx,cy,cz) >> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') >> 作出等高线图： 代码如下： >> water >> cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'cubic'); >> figure(2) >> contour(cx,cy,cz,[-5,-5],'r') >> hold on >> plot(x,y,'*') >> xlabel('X'),ylabel('Y') [结果]
数学建模实验六 一、上机用Lindo 软件解决货机装运问题。 某架货机有三个货仓：前仓、中仓、后仓。三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积都有限，如表所示，并且，为了保持飞机的平衡，货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成正比例 三个货舱装载货物的最大容许重量和体积 四类装运货物的信息 应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大？ 解答过程： 模型建立： 决策变量：用x ij 表示第i 种货物装入第j 个货舱的重量（吨），货舱j=1、2、3分别表示前仓、中仓、后仓。 决策目标是最大化总利润，即Max Z=3100（x11+x12+x13）+3800（x21+x22+x23）+3500（x31+x32+x33）+2850（x41+x42+x43） 约束条件为： 1） 共装载的四种货物的总重量约束，即 x11+x12+x13<=18 x21+x22+x23<=15 x31+x32+x33<=23 x41+x42+x43<=12 2)三个货舱的重量限制，即 x11+x21+x31+x41<=10 x12+x22+x32+x42<=16 x13+x23+x33+x43<=8 3）三个货舱的空间限制，即 480x11+650x21+580x31+390x41<=6800 480x12+650x22+580x32+390x42<=8700 480x13+650x23+580x33+390x43<=5300 4）三个货舱装入重量的平衡约束，即 8 43 33231316423222121041312111x x x x x x x x x x x x +++=+++=+++ 模型求解
内江师范学院 中学数学建模 实验报告册 编制数学建模组审定牟廉明 专业: 班级:级班 学号: 姓名: 数学与信息科学学院 2016年3月 说明 1.学生在做实验之前必须要准备实验,主要包括预习与本次实验相关的理论知识,熟练与本次实验相关的软件操作,收集整理相关的实验参考资料,要求学生在做实验时能带上充足的参考资料;若准备不充分,则学生不得参加本次实验,不得书写实验报告; 2.要求学生要认真做实验,主要就是指不得迟到、早退与旷课,在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度,认真完成实验内容,极积主动地向实验教师提问等;若学生无故旷课,则本次实验成绩不合格; 3.学生要认真工整地书写实验报告,实验报告的内容要紧扣实验的要求与目的,不得抄袭她人的实验报告; 4.实验成绩评定分为优秀、合格、不合格,实验只就是对学生的动手能力进
行考核,跟据所做的的情况酌情给分。根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。
实验名称:数学规划模型(实验一)指导教师: 实验时数: 4 实验设备:安装了VC++、mathematica、matlab的计算机 实验日期:年月日实验地点: 实验目的: 掌握优化问题的建模思想与方法,熟悉优化问题的软件实现。 实验准备: 1.在开始本实验之前,请回顾教科书的相关内容; 2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统与装有数学软件的计算机。 实验内容及要求 原料钢管每根17米,客户需求4米50根,6米20根,8米15根,如何下料最节省？若客户增加需求:5米10根,由于采用不同切割模式太多,会增加生产与管理成本,规定切割模式不能超过3种,如何下料最节省？ 实验过程: 摘要:生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题,将原材料加工成所需大小的过程,称为原料下料问题。按工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大就是典型的优化问题。以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型、对模型进行了合理的理论证明与推导,然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11、0对题目所提供的数据进行计算从而得出最优解。 关键词:钢管下料、线性规划、最优解 问题一 一、问题分析: (1)我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少; (2)我们要去确定应该怎样去切割才就是比较合理的,我们切割时要保证使用原料的较少 的前提下又能保证浪费得比较少; (3)由题意我们易得一根长为17米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一): 表一:切割模式表 模式 4m钢管根数 6m钢管根数8m钢管根数余料/m 1 4 0 0 1 2 1 2 0 1 3 2 0 1 1 4 2 1 0 3 5 0 1 1 3 6 0 0 2 1
数学建模与数学实验教学大纲 （总学分：4总上课时数：48上机时数：16） 东南大学数学系 一、课程的性质与目的 本课程是面向理工科学生开设的一门选修课。本课程的教学目的，是让学生增加一些用数学的感性认识，初步掌握一些基本的建模方法、建模原理和数学软件的应用。学生通过这门课的学习，在数学知识的综合运用，将实际问题转化为数学问题的能力方面、创新能力、自学能力方面、发散性思维能力方面都能得到一定培养。 二、课程内容的教学要求 1．数学建模与数学实验概述：介绍数学建模与数学实验的基本概念，熟悉建模步骤。 2．初等模型：掌握用初等函数对实际问题的变化关系作简单的定量分析；熟悉用图示法对实际问题作定性分析。 3．量纲分析建模：掌握量纲分析原理，学会用量纲分析原理对一些物理问题作一些分析；了解数学中的无量纲化方法；掌握非线性方程求根的常用方法。 4．代数学模型：介绍矩阵在解决实际问题中的应用，熟悉层次分析法的建模步骤，学会用矩阵思想分析实际问题；掌握线性方程组的数值揭解法和矩阵特征值与特征向量的近似求法。 5．静态优化模型：了解微积分在解决实际问题中应用，掌握静态优化建模的基本步骤；熟悉微分、积分的数值方法。 6．数值分析法建模：掌握曲线拟合、插值的基本方法，学会用插值、拟合作数据处理，了解插值、拟合建模的大致过程。 7．常微分方程模型：熟悉微分方程建模的基本步骤，掌握线性微分方程建模基本方法，了解非线性微分方程模型的一些特殊性质；熟悉微分方程的数值解法。 8．差分方程模型：了解差分法的基本思想，学会建立实际问题的离散模型，掌握递推、迭代法的求解过程。 9．变分法模型：了解变分法的基本思想，熟悉变分法建模思路，能建立和求解一些简单的变分法模型。 10．优化模型：了解最优化思想，熟悉优化建模思路，能建立和求解一些简单的优化模型；会在适当的数学软件上实现优化模型。 三、上机实习要求 学会Matlab的基本操作、学会非线性方程求根，能在该软件平台上进行较大规模的数据处理及求解微分方程及优化问题。能根据具体实际问题在软件上实现小规模编程运算。
数学建模实验项目一梯子问题 一、实验目的与意义： 1、进一步熟悉数学建模步骤； 2、练习Matlab优化工具箱函数； 3、进一步熟悉最优化模型的求解过程。 二、实验要求： 1、较能熟练应用Matlab工具箱去求解常规的最优化模型； 2、注重问题分析与模型建立，熟悉建模小论文的写作过程； 3、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 2学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房建有一个温室，温室高10英尺，延伸进花园7英尺。 清洁工要打扫温室上方的楼房的窗户。他只有借助于梯子，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，攀援上去进行工作。他只有一架20米长的梯子，你认为他能否成功？能满足要求的梯子的最小长度是多少？步骤： 1．先进行问题分析，明确问题； 2．建立模型，并运用Matlab函数求解； 3．对结果进行分析说明； 4．设计程序画出图形，对问题进行直观的分析和了解（主要用画线函数plot，line）5．写一篇建模小论文。 数学建模实验项目二养老基金问题 一、实验目的与意义： 1、练习初等问题的建模过程； 2、练习Matlab基本编程命令； 二、实验要求： 3、较能熟练应用Matlab基本命令和函数； 4、注重问题分析与模型建立，了解建模小论文的写作过程； 5、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 1学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 某大学青年教师从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄10000元也一次性地存入，已知月利率为0.001（以复利计），每月存入700元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的基金将用完？ 微分方程实验项目一狐狸与野兔问题
湖南城市学院 数学与计算科学学院《数学建模》实验报告 专业： 学号： 姓名： 指导教师： 成绩： 年月日
实验一 初等模型 实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。 实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。 A 题 飞机的降落曲线 在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。 （1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。 y 0x 一、 确定飞机降落曲线的方程
如图所示，我们假设飞机降落的曲线的方程为I d cx bx ax x f +++=23)( 由题设有 h x f f ==)(,0)0(0。 由于曲线是光滑的，所以f(x)还要满足0)(,0)0(0='='x f f ，代入f(x) 可以得到 ?? ? ? ?? ?=++='=+++==='==0 23)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x f h d cx bx ax x f c f d f 得 ,0,0,3,22 3 ===- =d c x h b x h a 飞机的降落曲线为 )32()(2 30 2 0x x x x h x f --= 二、 找出最佳着陆点 飞机的垂直速度是关于时间t 的导数，所以 dt dx x x x x h dt dy )66(20 20--= 其中 dt dx 是飞机的水平速度， ,u dt dx = 因此 )(60 2 20x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为 )12(6)12(6020 20202 2--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0 2 02-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2 26)(max x hu x a = []0,0x x ∈ 设计要求 1062 2g x hu ≤ ，所以g h u x 600?≥ （允许的最小值）