P59
4?学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。 23710 A 宿舍为:n A =
=2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =
3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =
4.311
1002
现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
Q
A
2372
2 3
= 9361.5 Q B
3332
3 4 = 9240.7 Q C
4322 4 5
=9331.2
商人们怎样安全过河
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模型求解 -穷举法?编程上机 ■图解法
S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;
X =3? J =0,1,2,3； X =?*=1,2}
J
规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy￥）~ 16个格点 允许状态?U ）个。点 , 允许决策?移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案
评注和思考
［廿
rfn
片
十i
,rfl
1
2 3x
mm
賤縣臓
由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐
的船。
如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9
液体在水平等直径的管内流动， 设两点的压强差△ P 与下列变量 有关：管径d, p ,v,l,卩,管壁粗糙度△，试求△ P 的表达式
解：物理量之间的关系写为为 p= d,「,v,l,~u 。
各个物理量的量纲分别为
l -p I - L 2MT
Ap = Pv 呼(兀」2}
- 1 -3 1 1 -1 2
01
A 3 >7 = 0 1
0 0
11 11 0
0 0 -1 0
-1 -3 0_
其中 Ay 二 0解得
G 1
?
1
-2 1 0 0 0)T
=(0 -i
-1 0
1 0 0T
=(0 -1
-3 0
0 1 0$
=(0 0 0 0 0 0 1
T
所以
昭1 = :d'PWi
兀2
—
兀3 y 2 y 3 y 4 y i 因为 f d,「,v,l, d ：p =0与 F ,，二
△是- -个无量纲量。
P 」v 」A p 兀4 =△
P60
U-L "M , v^LT’ , ^-L -L J MT J ,
4 = 0是等价的，所以△ P 的表达式为:
P77
1. 在一块边长为6m的正方形空地上建造一个容积为50m3，深5m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？
设:建立优化模型。v表示为水池容积，h表示为水池深度，C1表示水池池底每平方米造价,
C2表示水池池壁每平方米造价，Z表示总造价，x表示池底长度，y表示池底宽度。
解:建立模型：Z = V G?C22h (x y)，其中x _5，x岂6。
h 3
代入数值，可化简为:Z =1370 1000 x 10000，(- < 6)
x 3
模型求解：使用matlab编程求解可得：
fun ctio n f=fun(x)
f=1370+1000*x+10000/x;
end
x=5/3:0.1:6;
fplot('fu n',[5/3,6])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',5/3,6)
A=vpa(fval,6)
其中a的结果为A = (sym) 7694.56
所以水池的最低总造价为7694.56元
2. 对边长为2m的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，剪使水槽的容积最大？
设:建立优化模型。v表示体积，I表示正方体的边长, 解:建
立模型：v =(l -2X)2 .X，其中x 0，x ::： 1。
代入数值，可化简为：v = 4x‘ _8x2? 4x。其中(0 ：：： x :: 1)。
模型求解：使用matlab编程求解可得
fun ctio n f=fun(x) f=-(4*x A3-8*x A2+4*x); end x=0:0.01:1;
fplot('fu n',[0:1])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',0:1) a=vpa(x,6)
b=vpa(fval,6)
所以水槽的容积最大0.592593立方米。则该如何
X表示剪去的正方体的边长。
其中a与b的值分别为 a =0.333320，b =-0.592593
3. 生产某种电子原件，如果生产一件合格品，可获利200元，如果生产一件次品则损失100 元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是p= 3 x
4 x + 37 (x N )。
(1) 、将该产品的日盈利额t (元)表示为日产量x的函数
(2) 、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？
设:建立优化模型。x表示日生产量。C i表示为生产一件合格品的获利金额。C2表示为生
产一件次品损失的金额。t表示为日盈利额。
解:建立模型：t =6x(1 — p) C2xp。代入数值，可化简为t=200x-300?
3x 2。
4x + 37
模型求解：使用matlab编程求解可得：
fun cti on f=fun(x)
f=-(200*x-900*x A2/(4*x+37));
end
x=0:100;
fplot('fu n',[0,100])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',0,100)
其中的结果为：x =18.5000,fval =-925.0000;
所以为获最大利润，该厂的日产量应定为19件.