矩阵的等价、相似与合同
1、相似和合同都可以得到等价
2、对正交矩阵而言，合同与相似等价。
3、
相似矩阵的秩也是相等的，
相似矩阵的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵p
使p-1ap====b就说a,b相似
相互合同的矩阵的秩也相同。
矩阵间合同的定义就是：存在一个n阶可逆矩阵c
使：cTac==b就主a,b合同
相似和合同都可以得到等价
14、1. 矩阵的等价：经过六个初等变换的矩阵之间具有等价关系，主要是指型和秩相同。
1 Q% B u!^8?#x
% B4 M^*x$v4 c D c1 c#X
2。矩阵的相似：主要指存在可逆矩阵，能够变换它为对角矩阵。7 b T*k D E0Y1Q+S#6Q
15、相似，等价，合同均为矩阵与矩阵之间关系。
设有矩阵A和B y5A9L3V6K B%z x96F'
如果说A与B等价则仅须A,B形状相同，秩相等。Z4a R
A,B相似则指存在可逆阵c，使得A=CBC(-1)，如智轩老师所暗含得，相似关系主要应用于给定一个（相似于对角）矩阵，让你求辅助矩阵使其对角化。6 @# ^6~%E c z
e T6_6D&
A,B合同指存在可逆阵p，使得A=p'Bp
# V e2e h0A%+7
细心得学生可以看出，等价是合同或者相似得必要条件。d W^e.g
注意：凡是出现“关系”字眼得地方，均要涉及2或者2个以上得对象，而关系自然就是这些对象之间的联系。相似关系，等价关系，合同关系都是矩阵之间的基本联系。所以，一定要弄清2矩阵间有这样的关系，需要符合什么样的条件。事实上，正是一步步检验这些条件的过程被命制成为5花8门的题型。
16、
4、
chen8281
矩阵等价、对应矩阵列相两组等价、矩阵相似、矩阵合同（都对应于n阶方阵）
1.矩阵A、B等价存在可逆矩阵P、Q，存在A=PBQ，秩相同。
2.对应矩阵A、B列向量两组等价存在可逆矩阵P，使AP=B，秩相同。
3.矩阵A.B相似，存在可逆矩阵P，使B=P`（-1）AP ，A、B秩相同，有相同的特征值，还有之间的特征向量关系。
4.矩阵AB合同，存在可逆Q，B=Q`AQ，A、B秩相同。
可以得出1.2.3.4 之间都存在秩相同的关系，但是大家可以考虑他们之间的相互关系是否
是等价。
1.2之间、
2.3之间的相互推导，是否同。本人认为是不等价的。
3.4之间的常常看到用正交对角化（施密特正交法）联系一起。
里面还有很多关系，我们都可以细细体会。
以后都为个人体会，如感觉有意见的可以指
出，原受指教。由于上面都是方阵考虑，大家可以适当的扩大范围考虑。
本人只是感觉之间有类似的感觉，正好可以总结下本身之间的关系，感觉越到这个时候总结自成体系必不可少，两个月之前没这个感觉，最近这个想法越来越强，当然我也希望大家能一起探讨，分析数学之间的相互关系，有益于我们各自的进步。
如果可以，大家可以分章总结大家对于一章知识点的把握和串联，然后是整个数学之间的联系，这个是必不可少了。
5、相似矩阵并且是对称矩阵,则合同
6、
7、
合同的冲要条件：同型的两个对称方阵，正负惯性指数相等，也就是特征值里边正负个数一样
相似的冲要条件哪本书上也没有，超纲了，不要求的，因为本身就比较复杂，书上只有必要条件，有那么六七个
等价的冲要条件：同型矩阵之间，秩相等，也就是通过一系列行列初等变换，两个能互相变化得到
合同和相似都可以===》等价；相似+对称方阵===》合同；合同+特征值的具体数值相等===》相似。这三个总体上相似要求最高，合同次之，等价最低。但合同要求对称是相似不要求的，其他合同有的特点相似都有。
（好像某处有些错误）
8、两个矩阵如果可以用初等变换互相转化，等就称他们等价。矩阵等价的充要条件是它们类型相同，并且秩相等
9、实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同的正负惯性指数
矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。 向量是一个数组。如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。 所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！ 矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。 向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。 矩阵等价与向量组等价有如下关系： 1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例） 2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数） 在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？ 1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为 （α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），
此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。 2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。 3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注） 在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？ 1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B 作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价） 2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。
第六讲初等变换与初等矩阵 一、考试内容与考试要求 考试内容 矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价． 考试要求 （1）掌握矩阵的初等变换及用途； （2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． 二、知识要点 引入由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容． 1．初等变换与初等矩阵 线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：①交换两个方程的上下位置．②用一个非0的常数乘某个方程．③把某个方程的倍数加到另一个方程上． 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换． （1）初等变换 矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置； ②用一个非0的常数乘某一行的各元素； ③把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ． 类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）． 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0． 注：表示初等变换：r ：表示初等行变换； c ：表示初等列变换； i j r r ? ：将第i行 与第j行进行对换， j i r kr + 将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等． （2）矩阵的等价 矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
§1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写 字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常 用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数， 他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或 表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素 都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元 素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是 一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角 矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合， 而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具 有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和 对应元素的和，即：。
给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们 可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：； （ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍 为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的 元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。
玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授
数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑 体，小四.
Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
矩阵等价与向量组等价的关系 向量组等价 12 ,,, n ααα ???和 12 ,,, n βββ ???可以相互线性表示. 记作：()() 1212 ,,,,,, n n αααβββ ???=??? % 矩阵等价（必须含有相同的行数m，相同的列数n，即必为同型矩阵） 矩阵的等价与向量组的等价没有任何必然的联系！ 如果两个n维向量组等价(说明矩阵有相同的行数),则以它们为列向量组成的矩阵A,B的秩相等,但是不一定等价, 因为这两个矩阵的列数可能不同.比如,一个3行1列的矩阵与一个 3行2列的矩阵根本谈不上等价与不等价.（如果A,B 的列数相同,则它们等价）例如向量组I： 1 ?? ? ? ? ?? 与向量组II： 21 0,0 00 ???? ? ? ? ? ? ? ???? 等价，但变为矩阵就不等价。 两向量组等价是指两向量组可以互相线性表示，应注意两向量组等价他们所含向量个数可以不一样的！！！ 但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数！！！ 如果矩阵A,B等价,则它们的行向量组与列向量组也未必等价.比如,4阶单位矩阵从中间划一竖线分成两个矩阵A,B,这两个矩阵是等价的,但是它们的列向量组不是等价的.
看一个具体的例子： 3131100100101010010010000100101A r r B c c C ?????? ? ? ?=+=+= ? ? ? ? ? ??????? u u u u u r u u u u u u r 矩阵A 经初等行变换化为矩阵B ，矩阵,A B 行等价，,A B 的行向量组等价，但列向量组不等价！ 矩阵B 经初等列变换化为矩阵C ，矩阵,B C 列等价，,B C 的列向量组等价，但行向量组不等价！ 矩阵A 经初等变换（包含行变换和列变换）化为矩阵C ，矩阵A,C 等价，但他们的行、列向量组均不等价！ 所以，矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！ 显然，两矩阵,A B 等价，不能推出他们的行向量组一定等价或者列向量组一定等价。 在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？ 若矩阵A 经初等列变换成为矩阵B ，即存在可逆矩阵Q ，使AQ =B ，也可以写为 （α1，α2，…，αn ）Q =（β1，β2，…，βn ），此时可知B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，因为Q 为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ =B 两边右乘Q -1，有A =BQ -1 ，故A 的列向量组可以由B 的列向量组线性表示。此时可得A 的列向量组与B 的列向量组等价。 同理可知：若矩阵A 经初等行变换成为矩阵B ，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？ 若m 维向量组A 与向量组B 均有n 个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A 与B 等价！（因向量组A 与向量组B 等价，所以它们有相同的秩，则以它们为列（行）向量组成的矩阵A,B 的秩相等，因向量组A 与B 作成的矩阵A 与B 有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A 与B 等价），要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n 个向量的两个m 维向量组A 与B ，才有可能讨论其对应的矩阵A 与B 是否等价。
上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵等价标准型定理的探讨 作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:
关于矩阵等价标准型定理的探讨 姓名： 学号： 摘要： 矩阵的等价标准形在我们的学习中很重要，能帮助我们解决许多问题．本文首先阐述并论证矩阵的等价标准型定理，其次本文就本定理的各方面的应用进行了逐个具体举例验证。 关键词：矩阵 等价标准型定理 应用 正文： 引言 本文主要讲述了矩阵的等价标准型定理，也就是矩阵的相抵标准型定理。接下来的就简单介绍了等价标准型定理的基本性质，最后分类具体介绍了等价标准型定理在线性代数中的各方面应用。 章节一：等价标准型的概念 定义1、设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆 阵Q ，使 I 00 0r PAQ ??= ???， 则我们把I 00 0r ?? ?? ? 称为 A 的等价标准型，也称相抵标准型定理。 定义2、对于任意m*n 的矩阵A ，则A 一定可以通过一系列初等行变换 和一系列初等变换化成形式为I 000 r ??? ? ??m*n （r 为矩阵A 的等价标准型. 章节二：等价标准型的性质 两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形． 当矩阵A 是可逆矩阵时，矩阵A 的秩（即r （A ））是唯一的。下面给出相应的证明： （反证法）假设 r 不唯一, 不妨设 r < s , 存在 m 阶可逆矩 阵 P, M 和 n 阶可逆矩阵 Q, N ,使得 P AQ = 000Ir ?????? ，M AN =s 000I ?????? 所以A = P ?1 000Ir ?????? Q ?1 = M ?1s 00 0I ?????? N ?1 ? M P ? 1000Ir ???? ? ?Q ?1N =s 000I ????? ? ，将 M P ?1 和 Q ?1N 进 行 相 容 的 分 块,记M P ?1= 123 4P P P P ?????? ，Q ?1N =Q 1Q 2Q 3Q 4?? ??? ? ， 其中P 1 和Q 1 是r 阶方阵.则 1 234P P P P ??????000Ir ??????Q 1Q 2Q 3Q 4??????=P1Q 1 P1Q 2P3Q 1 P3Q 2?? ? ??? =s 000I ????? ? =Ir 000Is-r 00 0?? ???????? 比较相应位置的分块矩阵, 得 P 1Q 1 = I r , P 1Q 2 = 0r ×(n ?r ), P 3 Q 1 = 0(m ?r )×r , P 3Q 2 =00 0Ir ?????? （m-r ）×（n-r ） 则P 1 Q 2 = 0 ? Q 2 = 0, P 3Q 1 = 0 ? P 3 = 0，所以P 3Q 2 =0， 第3讲 矩阵的等价标准形的应用 设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 00 0r E PAQ ??= ??? ， 我们把000r E ?? ??? 称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题． 例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2 C C =）． 证 设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r E A P Q ?? = ??? ．记B PQ =， 100 0r E C Q Q -??= ??? ，显然B 是个可逆阵，2 C C =是个幂等阵，并且A BC =． 例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1 P AP -的后n r -行全是零． 证 存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??= ???，从而1 1 000r E P AP Q P --??= ??? 的后n r -行全是零． 例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==． 证 由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1 21B E A A -=-，显然0B ≠，且 ()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=． 例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =． 证 存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r E PAQ ?? = ??? ，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知 1 1 00 0r E PAQ Q B P Q B --???== ??? ， 11 000r E E Q BP --??=? ??? ， 由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111 E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =． 例5 设n 阶幂等阵A （即2 A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使 矩阵的三种等价关系 摘要 本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。 关键字 矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系 A matrix of three equivalence relations Abstract This paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge. Key words matrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix. 矩阵等价相似合同的关系 等价指的是两个矩阵的秩一样。 合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。 相似是指两个矩阵特征值一样。 相似必等价，合同必等价。 1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。 2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。 原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE| 所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP 3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。可通过X=CY变换，即把X=CY带入， 于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。 首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。 而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。 相似必合同，合同必等价。 等价就是矩阵拥有相同的r。 矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同。 什么是矩阵 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵” 的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数 的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。 事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的 范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一 代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知 的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中 发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本 质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质： ~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ= ，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ ）是向量组（12,,,n λλλ ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，前者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ ）?（12,,,m βββ ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =?? r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质： ~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 矩阵的等价标准型定理 王耀伟 学号 摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用 引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。 一、等价标准型定理及其证明 对任意m ×n 矩阵A ，用一系列的m 阶初等方阵P 1，P 2，…，P s 左乘A ，以及一系列初等方阵Q 1， Q 2…Q s 右乘A ，将A 化成()??? ? ??000r I ，其中r=rank A.存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q 使PAQ 具有上述形式。 证明：先证明定理“任意的m ?n 矩阵A 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为()??? ? ??000r I ” 。如果A=O ，则A 已经是所需的形状。设A=（a ij )m ×n ≠O.其中必有某个元a ij ≠0,当k ≠1时将A 的第一行与第k 行互换，可以将非零元a kl 换到第一行；如果l ≠1；再将第一列和第l 列互换，将非零元换到第（1,1）位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（a ij )m ×n 化为B=（b ij )m ×n ,使b 11≠0.对2≤i ≤m,2≤j ≤n,将B=（b ij )m ×n 的第一行的-b i1b -111倍加到第i 行，第一列的-b 1j b -111倍加到第j 列，可以将B 中第二至m 行的第一列元化为0，第二 至n 列的第一行元化为0.再将第一行乘b -111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B 化成了如下形 式的矩阵C=??? ? ??11 A 。其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。如果A1=0，则C 已经是所需形状。 设A1≠0，重复以上步骤，对A1作初等行变换和初等咧变换可以将A1化为???? ??21 A 的形状。其中A2是（m-2)×(n-2）矩阵。这也就是对C 的第二至m 行作初等行变换，对C 的第二至第n 列作初等列变换，将C 进一步化为???? ? ??211A 重复这个过程，最后可以得到形如()???? ??000r I 目录 摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6) 摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩 阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =矩阵的等价标准形应用
矩阵的三种等价关系
矩阵等价相似合同的关系
矩阵的认识
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的等价标准型定理
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
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