解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用
摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。
关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同
引言
随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。
一、矩阵的三种关系
1）矩阵的等价关系
定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：
（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；
（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。 性质：
（1）反身性：即A ≌A ；
（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；
（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ；
2）矩阵的合同关系
定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：
（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。
性质：
（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同。
（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同。
（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同。
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得，合同矩阵的秩相等。
3）矩阵的相似关系
定义：设A ，B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1，则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）。
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似必须同时具备两个条件：
（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1。
性质：
（1）反身性：A AE E T =；
（2）对称性：由AC C B T =即得()11--=BC C A T ；
（3）传递性：111AC C A T =和222AC C A T =即得()()21212C C A C C A T
=。 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。
（4）()P A P k P A P k P A k A k P 21211122111---+=+（其中错误！未找到引用源。，2k 是任意常数)；
（5）()()()P A P P A P P A A P 2111211---=；
（6）若A 与B 相似，则m A 错误！未找到引用源。与m B 相似（m 为正整数）；
（7）相似矩阵有相同的秩，而且如果错误！未找到引用源。B AP P =-1为满秩矩阵，那么()P A P AP P B 11111-----==。
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。
（8）相似的矩阵有相同的行列式。
（9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似。
设B AP P =-1，若B 可逆，则()P A P AP P B 11111-----==，从而A 可逆，且1-B 与1-A 相似，若B 不可逆，则()
AP P 1-不可逆，即A 也不可逆。
除了他们各自定义所决定的性质外，这三种关系还具备着各自特定的性质，以及三种关系彼此间的联系。
二、相关定理
由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系。
定理1 若A 为m ×n 矩阵，且r (A )=r ，则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q
（n 阶)， 使得B I PAQ n
m r =???? ??=?000，其中错误！未找到引用源。为r 阶单位矩阵。
推论1 设A ，B 是两m ×n 矩阵，则A ≌B 当且仅当r (A )=r (B ）。
定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同。
定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
2232221r y y y y f ++++=
定理4 相似矩阵的特征值相同。
推论2 相似矩阵有相同的迹。
以上为三种关系各自的特点，以下是阐述三种关系彼此间的联系的定理。
定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵。
定理6 对于n 阶方阵A ，B ，若存在n 阶可逆矩阵P ，Q ，使PAQ =B (即A 与B 等价)，且PQ =E (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似。
定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵。
定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。
但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系，另外，在一定条件下，两者是等价的，若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的，对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理：
定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A 与B 既相似又合同。
定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同。
定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有错误！未找到
引用源。与???
? ??D B 00既相似又合同。
通过以上的介绍，对于矩阵的三种关系有了一定的了解，一下再将这三种关系做对比，从而进一步了解矩阵最重要的这三种关系。
三、矩阵的等价、相似、合同之间的联系与差别
1、矩阵等价
A 、同型矩阵而言；
B 、一般与初等变换有关；
C 、秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等。
2、矩阵相似
A 、针对方阵而言；
B 、秩相等是必要条件；
C 、本质是二者有相等的不变因子。
3、矩阵合同
A 、针对方阵而言，一般是对称矩阵；
B 、秩相等是必需条件；
C 、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。
通过上述的横向对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的。合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。
具体的差别就体现在相似与合同之间，相似矩阵用的比较多的性质是相似矩阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等。合同矩阵用的比较多的性质是合同矩阵有相同的秩，与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵，与实对称矩阵合同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等。具体点儿说就是：
（1）秩是矩阵等价的不变量；不变因子是相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量；正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量。
（2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数（秩等于非零特征值的数目，正惯性指数等于正特征值的数目）是合同的不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。
但是一般情况下，相似不一定合同，合同也不一定相似，两者不能互推。
（3）A ,B 相似不一定A ，B 都与对角阵相似，因此A 不能与对角阵相似时，并不意味着A 不能与某一矩阵B 相似。
（4）等价是经过有限次初等变换A 可变为B ，相似矩阵可看作同一线性变化在不同基下的矩阵；合同可通过二次型的非退化线性替换来理解。只是通过文字描述并不能很好的体现它们之间的关系，下面用几个例子来说明下：
例1 设?????
? ??--=121211A ，???? ??=43001B ，???? ??=10211C 。不难验证：B AC C T =即矩阵A ，B 合同，但A 的特征值为21和23；B 的特征值为 1和4
3。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系。两者都具有反身性、对称性和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。另外，在一定条件下，两者是等价的。若矩阵A ，B 正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。
本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。
例2 已知????? ??=400040004A ，????? ??=400140014A ，????
? ??=200022022A 。试判断A ，B ，C 中
哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？
解 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有
讨论B ， C 了；A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同，又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同。
所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同。
这个例子阐述了三种关系的判别方法，以及它们之间的差别。对于矩阵的三种关系，在实际生产中也得到了广泛的应用，下面仅举一例来说明下：
例3 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率60%，能否预测n 年后该产品市场占有状况？
解：设第i 年购买该公司产品的客户为i x ，不购买该公司产品的客户为i y ，则有
i i i y x x 25,06.01+=+，写成矩阵的形式：???? ?????? ?
?=???? ??++i i i i y x y x 75.04.025.06.011，其中，
???? ??=???? ??4.06.000y x ，令???
? ??=i i i y x U ，???? ??=75.04.025.06.0P ，则有01PU U =，022U P U =，……，0U P U n n =，由()()35.01--=-λλλP E 得P 的特征值1λ=1，2λ=0.35，分别解()=-x P E λ0，i =1,2，得到相应的特征向量为()T 8,51=α，()T 1,12-=α，令
???? ??-=1815T ，则???? ??-=-58111311T ，于是???? ??=-35.00011PT T ，则135.0001-???
? ??=T T P ，???
? ?????? ??-???? ?????? ??-=4.06.0581135.00011815131n n U ，当n =5时，计算5U ≈???? ??641.0385.0。 这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率。
四、结论
矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别。相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，秩是矩阵等价的不变量，不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量。
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矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对 称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。 此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系 列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵
从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵 所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质 证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？ 引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。 等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价； 对称性若A与B等价，则B与A等价 传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。 2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程 最常见的方程有以下两类： （1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B 原理：AX＝B时 （2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。 解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1 要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。 因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T 所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。 定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。 向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有 定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A 和B是相似的，记为A～B。
当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。 同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质： （1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。 事实上，有矩阵等式 （2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。 事实上，有 （3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。 事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ） 定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。 定理5.2.2n阶方阵A与对角阵P-1AP =相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似. 定义5.3.4 如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。 定义5.3.5 若是 R n中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组） 定理5.3.1 正交向量组必线性无关。 必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组) 定义5.3.5 如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。 定义5.4.1 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。定理5.4.3 （对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩 阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A 的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。 定理5.4.4 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵 定义6.1.3 设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。
矩阵相似的性质与应用的研究 1引言 矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。 由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。 2矩阵相似的定义与基本性质 2.1矩阵相似的定义 令I二I为非奇异矩阵，考察矩阵 1^1的线性变换 令线性变换的特征值为，对应的特征向量为R，即 将式——1代入上式，即有 -------------- 1或 ---------- 1 令一或—：，则式------------------ 1 可以写作 比较― 和亠两式可知，矩阵A和一1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即二刃。由于 矩阵和—I的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这
两个矩阵“相似”。于是: 设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使______ I ，则称是的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算—称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。 2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：。 对称性：三则二。 传递性：3及丄可得：二11 如果阶矩阵，相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性： 1＞相似矩阵有相同的秩。 2＞相似矩阵的行列式相等。 3＞相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。 4＞y 贝y 亠，亠、?亠I 、亠I ＜若，均可逆）、 」从而，有相同的特征值。 3相似对角矩阵的有关性质 3.1矩阵可相似对角化的引入与定义 设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又―I 与______ 是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即 我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基__________________ ，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ= ，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ ）是向量组（12,,,n λλλ ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ ）?（12,,,m βββ ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =?? r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析 在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C A C =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理： 因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下 让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图 而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义 下面我们再来看看“合同”概念。《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C A C =。而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容： 双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。为了研究着这种特殊的映射在空间下的性质，我们有引进了双线性函数的“度量矩阵”，并以此矩阵来研究双线性函数的有关性质。于是双线性函数与空间的一组基、一个n 阶矩阵也建立起了一种一一对应的关系，如图 1'n A n T T AT T AT -=对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使得 → 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上线性变换空间的一组基一个矩阵线性变换→ 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上双线性函数空间的一组基一个矩阵双线性函数
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
矩阵等价相似合同的关系 等价指的是两个矩阵的秩一样。 合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。 相似是指两个矩阵特征值一样。 相似必等价，合同必等价。 1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。 2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。 原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE| 所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP 3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。可通过X=CY变换，即把X=CY带入， 于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。 首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。 而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。 相似必合同，合同必等价。 等价就是矩阵拥有相同的r。 矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同。
相似矩阵的性质及应用毕业论文 一.相似矩阵的定义 定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~. 二.相似矩阵的重要性质 性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系. 证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似. 2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似. 3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似. 〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式. 证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜. 从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理 引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是 秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.
现在来分别证明这两个不等式. 设A=??????? ??nm n n m m a a a a a a a a a 2 1 22221 11211，B=?? ? ? ? ? ? ??ms m m s s b b b b b b b b b 21222 21112 11 令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj m k ik b a ∑=1 ，因 而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）. 即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）. 同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知 i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）. 这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超 过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕> 引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由 A=1-P B, 又由 秩（A ）≤秩（B ）, 所以
矩阵的合同变换 摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。 关键词：矩阵 秩 合同 对角化 定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。 以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似 因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q =。 此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积 若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。 定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩 证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵 所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式 定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
相似矩阵的性质及应用论文 相似矩阵的性质及应用 学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义 -1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A 和B相似，记为A~B 。 211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,, 211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,, 100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,, 所以A~B 二矩阵的相似关系具有的性质 -11 自反性 A~A 因为A=EAE 2对称性如果A~B，则B~A -1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P, -1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A 3传递性如果A~B，B~C,则A~C -1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN, -1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质 1.若A~B，则A与B的行列式相等 2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆 3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似 4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似
5. 若A~B，则r(A)= r(B) TT 例:证明若A~B，则A~B -1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CAC T-1TT 其中P= C ,于是A~B 四求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解故A的特征值为1(三重) 对于特征值1 由 T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量. (2); 解 故A的特征值为10 21 39 对于特征值10 由
相似，合同与等价 1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。当A为方阵时候 PAQ=B 秩相等 2正交就是说里面的行（列）全部正交 3相似说明AB 等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同 实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量（其他矩阵只能推出线性无关）一定有对角矩阵与其对应。 A行列式=0 说明有秩为0 4A合同B （等秩）就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样， 0 非负非正。 也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。求秩，求二次型系数 5正定（等秩）说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ，主子式也大于0 ，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正 6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。 考察合同关键看正负惯性指数。所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。 7矩阵的三种关系： 1等价：s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ. 2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。(若P正交，则为正交相似矩阵) 4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。 b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。 c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。 d，相似与合同矩阵之等价TH: 1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既 相似又合同。（实对称矩阵可以正交对角化） 2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。 3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则（A O/OC）与(BO/OD) 既相似又合同。
矩阵等价、相似与合同的区别与联系 等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険. 1）定义及相互之间的关系 设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称￡与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示* 2）性质 （1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即 A - At At A a A （反身性）； 若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）； 若』卷R, 若A", K?C则貝?C；若, B^C则/ = C（传递性）? （2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S?若rank 4 = F *则（￡A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形 O O ⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“ 注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4 与必的特征值相同不能筆知』?J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.
（3）用正交相似变换可将/化简成 Q J AQ=Q-l AQ^ 对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点?总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.
本科生毕业论文 矩阵相似的若干判别法及应用 学号： 2011562010 姓名：邵坷 年级： 2011级本科班 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师：由金玲 完成日期： 2015 年4月30日
承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期：年月日
目录 摘要 ..................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II 前言 (1) 第一章基本概念 (2) 1.1 矩阵 (2) 1.1.1 矩阵的概念 (2) 1.1.2 矩阵的性质 (2) 1.2 矩阵相似 (3) 1.2.1矩阵相似的概念 (3) 1.2.2 矩阵相似的性质 (4) 第二章矩阵相似的判别 (5) 2.1 特征值与特征向量法判定 (5) 2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 .................................. 错误！未定义书签。 2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5) 2.2用初等变法换判定 (8) 2.3 应用分块矩阵相似判定 (10) 第三章矩阵相似的应用 (13) 3.1 利用相似变换把方阵对角化 (13) 3.2 矩阵相似性质的简单应用 (13) 3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
目录 摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6)
摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩 阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =