傅里叶变换
对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。
在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。
在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。
傅里叶变换的几种可能形式
对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。
一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换
在“信号与系统”课程中，这一变换对为
⎰
∞
∞
-Ω-=
Ωdt e
t x j X t
j a a )()(
Ω
Ω=
⎰
∞
∞
-Ωd e
j X t x t
j a a )(21)(π
这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示
非周期连续信号及其频谱
t
Ω0
Ω-
在“信号与系统”课程中，如果)(t x 是一个周期为T 的连续时间信号，则)(t x 可以展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n X ，n X 是离散频率的非周期函数。)(t x 与n X 组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为
⎰
-Ω-=
22
1)(1T
T t
jn n
dt
e
t x T
X
∑
∞
-∞
=Ω=
n t
jn n e
X t x 1)(
这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是周期连续信号，频域上是离散非周期的频谱。也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波频率分量为T
π21=
Ω。
另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变换仍可以表示。对周期信号)(t x ，其傅里叶变换)(Ωj X 表示为
∑∞
-∞
=Ω-Ω=Ωn n
n X
j X )(2)(1δπ
三. 非周期序列的傅里叶变换
序列的傅里叶变换，即
n
j n j e
n x e
X ωω
-∞
-∞
=∑=
)()(
ω
π
ωω
π
π
d e
e
X n x n
j j )(21)(⎰-
=
这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是非周期离散时间信号，频域上是连续周期的频谱。
周期连续信号及其频谱
p
T π21=
Ω
序列的傅里叶变换是序列的频谱，也就是时域离散信号的频域特征。在数字滤波器的设计和信号的频谱分析中经常用到，因此是数字信号处理的重要工具之一。)(ωj e X 一般是复函数，可以写成模和辐角，或者实部和虚部的形式。
)()()()()(ωωωφωωj I j R j j j e jX e X e e X e X +== (3.2.5)
其中ωω|~)(|j e X 称为序列的幅度频谱，而ωωϕ~)(称为序列的相位频谱；ωω~)(j R e X 称为序列的实部频谱，ωω~)(j I e X 称为序列的虚部频谱。经常用ωω|~)(|j e X 和ωωϕ~)(来表示信号的频谱。
四. 周期序列的离散傅里叶级数
上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现，因为它们在时域连续或者频域连续，或者时域和频域都是连续的。如果要用数字计算机对信号进行频谱分析，也就是要计算信号的傅里叶变换，必须要求输入时域信号是离散的，而计算机得到的频谱值也应该是离散的。
由上面三种情况，不难发现以下规律：一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。所以，可以大胆推断出第四种情况，也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。示意图如图所示。表1对四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中，只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数，也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换（DFT ）的过渡形式。
非周期序列及其频谱
ω
j
表1 四种傅里叶变换形式的归纳
设)(~n x 是以N 为周期的周期序列，与连续时间信号的傅里叶级数展开类似，由于)(~n x 是周期的，必然可以进行傅里叶级数展开。离散傅里叶级数变换对：
kn
N
j
N n e
n x n x DFS k X π21
)(~)](~[)(~
--=∑
=
= ∞<<∞-k
kn
N
j N k e
k X N
k X IDFS n x π21
)(~
1)](~[)(~∑
-=== ∞<<∞-n
这里的)(~n x 和)(~
k X 都是以N 为周期的周期序列，时域和频域都是周期离散的，也是傅里叶变换的第四种形式。其有很明显的物理意义，它表示周期序列)(~n x 可以分解成N 次谐波，
第k
次谐波频率为k
N π2，1,,2,1,0-=N k ，谐波的幅度为
|)(~
|1k X N
。其中0
=k ，表示直流
分量，其幅度为
|)(
~|1|)0(~
|110
∑-=
=N n n x N X N 。 周期序列及其频谱
~
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/b619123367.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比方正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t〕是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下列图①式成立。称为积分运算f(t〕的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F〔ω〕的傅里叶逆变换。F〔ω〕叫做f(t〕的像函数，f(t〕叫做 F〔ω〕的像原函数。F〔ω〕是f(t〕的像。f(t〕是F〔ω〕原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏
变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用〔例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小〕。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字电脑快速地算出〔其算法称为快速傅里叶变换算法〔FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数
傅立叶变换，时域，频域一(2012-08-28 15:50:39) 标签： 参考文献： 信号完整性分析 "信息传输调制和噪声"P31， "傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。 目录 信号分析方法概述 时域 频域 时域与频域的互相转换？ 傅立叶变换原理 傅立叶变换分类 傅立叶级数的五个公式(周期性函数) 傅立叶积分(非周期性函数) 振幅谱和相位谱的关系 功率谱 傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质 时间-频率间的对应关系。 对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系
对应关系2，时间周期T 与频谱：呈反比关系 对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系 用脉冲宽度定义带宽 频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱 周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义 离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系 傅立叶变换与正交性 傅立叶变换的思想总结与优点 时域的物理意义 频域的物理意义？ 1，频域的物理意义 2，傅立叶变换与谐波 3，傅立叶反变换与谐波叠加 4，带宽与时钟频率、脉冲宽度 关键技术点解释 1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？ 2，什么是正交正交的条件是什么傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件？ 3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量 4, 频域中幅值与时域中的幅值有什么关系？ 5，采样
傅立叶变换的缺点 ================================= 信号分析方法概述 通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。 也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。 思考： 原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。 人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。 但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。 时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。
振动的测量傅里叶变换duhamel积分反应谱 振动的测量 8.1 前言 有的时候，一些微小的、不显著的振动，会与结构，或者结构的某一部分产生共振，从而将振动放大。共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz，因此次声（<20Hz）会对人体造成伤害。 所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数。想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量，这些仪器就是我们这章要了解的。 首先来看一下一些概念。在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等。 用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种： 加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。 位移计：测量位移时程（地震仪）。 速度计：测量速度。 8.2 理论 8.2.1 运动方程的建立 D’Alembe rt原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记Fi、fIi、Si分别为质点mi所受的主动力、惯性力和约束反力，则D’Alembert原理可表示为 Fi+fIi+Si=0
通常主动力Fi包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。 上图质量块m所受的主动力为 F(t)=P(t)-cut-kut 惯性力为 fI=-mut 由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力，此时的约束反力是没有的。 将上面两式代入D’Alembert原理表达式，有 mut+cut+kut=P(t) 当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。 8.2.2 Fourier变化法（频域分析法） 最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧-质点-阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示 单自由度体系运动方程为： mut+cut+kut=-mugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1) 其中： c=2mωnζ km=ωn 则（1）式可以写为： ut+2ωnζut+ωn2ut=-ugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2) 使用傅里叶变换法（之后补上介绍），正变换，把问题从时间域（自变量为t）转变到频域（自变量为ω），可得： -ω2Uω+i2ζωnωUω+ωn2Uω=ω2Gω ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)
离散信号的傅立叶变换 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大 都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很 难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍， 是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专 门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶 变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享， 希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋 友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/b619123367.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的 基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语 原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年 在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具 有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个 论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通 过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅 立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈 服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参 加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到 拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可 以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立 叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余 弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。 一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频
第三章 离散时间信号的傅里叶变换 课程：数字信号处理
目录 第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3) 教学目标 (3) 3.1引言 (3) 3.2傅里叶级数CFS (4) 3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4) 3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6) 3.3傅里叶变换CFT (7) 3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7) 3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8) 3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9) 3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9) 3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10) 3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14) 3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14) 3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18) 3.6离散傅里叶变换(DFT) (20) 3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20) 3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23) 3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25) 3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28) 3.9实验 (30) 本章小结 (32) 习题 (33) 参考文献： (36)
第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标 本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。 3.1引言 一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。 傅里叶的两个最主要的贡献： 1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和； 2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。 傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。 根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（Fourier Series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time Fourier series, CTFS），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series，DTFS）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time Fourier transform, CTFT），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）。
傅里叶变换 摘要 本文旨在分析傅里叶变换的起源、分类及应用。本文从四个角度 来分析傅里叶变化，分别是时域连续非周期、时域连续周期、时域离 散非周期和时域离散周期。由连续时间信号进行理想抽样抽样的离散 周期序列，引入DFT进行处理实现了计算机处理信号得出信号的频 谱。 关键字：傅里叶变换、DFT 、理想抽样 Abstract This article aims to analyze the origin, classification and application of Fourier transform. From the perspective of four Fourier transform,Are non-periodic continuous time domain, time domain successive cycles, discrete non-periodic time-domain and time-domain discrete cycles. Ideal sampling discrete periodic sequence by sampling a continuous time signal, DFT processing is introduced and a computer processing the signal spectrum of the signal derived. Keywords: Fourier transform, DFT, over a sample
一、引言 傅立叶是一位法国数学家和物理学家，原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而傅里叶变换是一种将时间转化为频率的变化。 二、傅里叶变换的分类 根据原信号的类型，我们可以将傅里叶变换分为四种类型： 2.1 非周期连续信号傅里叶变换（Fourier Transform） 2.2周期连续信号傅里叶级数（Fourier Series） 2.3非周期离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform） 2.4周期离散信号离散傅里叶变化（Discrete Fourier Transform） 三、连续时间信号的傅里叶的变换 3.1周期连续信号 当函数满足绝对可积时，利用傅里叶级数对周期信号的频谱进行 分析。 3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数： 直流分量： 3.1.2指数形式的傅里叶级数
一、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 二、傅立叶变换分类 根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 1 非周期性连续信号 傅立叶变换（Fourier Transform） 2 周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series) 3 非周期性离散信号
基于快速傅里叶变换的四种相位解包裹算法 王华英;于梦杰;刘飞飞;刘佐强 【期刊名称】《强激光与粒子束》 【年(卷),期】2013(025)005 【摘要】In order to recover the noisy wrapped phase map rapidly and accurately, four typical algorithms based on fast Fourier transform, i.e. the algorithms respectively based on four fast Fourier transforms (4-FFT algorithm), two fast Fourier transforms (2-FFT algorithm), four discrete cosine transforms (4-DCT algorithm) and combination of lateral shearing and Fourier transform (LS-FFT algorithm), are compared through theoretical analysis, computer simulation and experimental verification. The results show that, the 2-FFT algorithm is the fastest, followed by the 4-FFT algorithm, and the LS-FFT algorithm is the slowest. For the strong noisy and slightly under-sampled wrapped phase map obtained by digital holographic experiments, the 4-FFT algorithm performs the best, while the LS-FFT algorithm does the worst.%为了快速准确地对含有噪声的包裹相位图进行相位展开,采用理论分析与计算机模拟及实验验证相结合的方法,对基于快速傅里叶变换(FFT)的四种典型算法——四次FFT算法(4-FFT)、二次FFT算法(2-FFT)、四次离散余弦变换算法(4 DCT)及横向剪切干涉与FFT相结合的算法(LS-FFT)作了对比研究.结果表明:2-FFT算法运行速度最快,4-FFT算法次之,LS-FFT算法速度最慢；4-FFT算法对含有较强噪声和轻微欠采样的实验数据的处理效果是最好的；LS-FFT算法对强噪声数据的处理效果最差.
一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发. 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807 年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 三、傅立叶变换分类
8 振动的测量 8。1 前言 有的时候，一些微小的、不显著的振动,会与结构，或者结构的某一部分产生共振,从而将振动放大.共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz,因此次声（〈20Hz）会对人体造成伤害。 所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么,想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数.想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量,这些仪器就是我们这章要了解的。 首先来看一下一些概念.在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等. 用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种： 加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。 位移计：测量位移时程(地震仪）。 速度计：测量速度. 8。2 理论 8.2。1 运动方程的建立 D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记所受的主动力、惯性力和约束反力，则D'Alembert原理可表示为 通常主动力包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。 上图质量块m所受的主动力为 惯性力为 由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力,此时的约束
反力是没有的。 将上面两式代入D'Alembert原理表达式，有 当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton 原理和Lagrange方程,这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。 8。2。2 Fourier变化法（频域分析法) 最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧—质点—阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示 单自由度体系运动方程为: 其中： 则（1）式可以写为： 使用傅里叶变换法(之后补上介绍)，正变换，把问题从时间域(自变量为t)转变到频域（自变量为)，可得：
8 振动的测量 8.1 前言 有的时候，一些微小的、不显著的振动，会与结构，或者结构的某一部分产生共振，从而将振动放大。共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz，因此次声（<20Hz）会对人体造成伤害。 所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数。想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量，这些仪器就是我们这章要了解的。 首先来看一下一些概念。在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等。 用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种： 加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。 位移计：测量位移时程（地震仪）。 速度计：测量速度。 8.2 理论 8.2.1 运动方程的建立 D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记、、分别为质点所受的主动力、惯性力和约束反力，则D’Alembert原理可表示为 通常主动力包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。
上图质量块m所受的主动力为 惯性力为 由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力，此时的约束反力是没有的。 将上面两式代入D’Alembert原理表达式，有 当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。 8.2.2 Fourier变化法（频域分析法） 最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧-质点-阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示 单自由度体系运动方程为：
错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了（一）图片：TMAB2003 / CC BY-ND 若是看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧 Heinrich，生娃学工打折腿 这篇文章的核心思想确实是： 要让读者在不看任何数学公式的情形下明白得傅里叶分析。 傅里叶分析不单单是一个数学工具，更是一种能够完全颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，因此很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么成心思的东西竟然成了大学里的杀手课程，不能不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）因此我一直想写一个成心思的文章来讲明傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。因此，不管读到那个地址的您从事何种工作，我保证您都能看懂，而且必然将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于关于已经有必然基础的朋友，也希望不要看到会的地址就急忙往后翻，认真读必然会有新的发觉。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题： 抱歉，仍是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大伙儿学习起来加倍轻松，充满乐趣。可是万万！万万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，内心想着：以后有时刻再看。如此的例子太多了，或许几年后你都没有再打开那个页面。不管如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读讲义要轻松、高兴得多…… 一、嘛叫频域 从咱们诞生，咱们看到的世界都以时刻贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时刻发生改变。这种以时刻作为参照来观看动态世界的方式咱们称其为时域分析。而咱们也
想固然的以为，世间万物都在随着时刻不断的改变，而且永久可不能静止下来。但如果是我告知你，用另一种方式来观看世界的话，你会发觉世界是永久不变的，你会可不能感觉我疯了？我没有疯，那个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很适当，但意义上再贴切只是的例子： 在你的明白得中，一段音乐是什么呢？ 这是咱们对音乐最普遍的明白得，一个随着时刻转变的震动。但我相信关于乐器小能手们来讲，音乐更直观的明白得是如此的： 好的！下课，同窗们再会。 是的，其实这一段写到那个地址已经能够终止了。上图是音乐在时域的样子，而以下图那么是音乐在频域的样子。因此频域这一概念对大伙儿都从不陌生，只是从来没意识到罢了。 此刻咱们能够回过头来从头看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永久的。 将以上两图简化： 时域： 频域：
傅立叶变换-时域-频域LT
频域 频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。 正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。 （2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。 （3）正弦波有精确的数学定义。 （4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。 使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。 而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。一般情况下，就会得到一个类似正弦波的波形。而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如下图2.2 所示： 图2.2 理想RLC电路相互作用的时域行为 频域的图如下?\\
时域与频域的互相转换 时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。 时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。 按照傅里叶变换理论：任何时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。 1、正弦波时域信号是单一频率信号； 2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号； 3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到； 解释1： 初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。 正确的解释是：一个信号有两种表示方法，时域和频域。在时域，信号只有周期，正是因为有了傅立叶变换，人们才能理解到信号频域的概念。（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅 度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!） 注：大家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法，可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。 无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。 时间比较好理解，就是：时间周期1发送符号1，时间周期2发送符号2.。，时域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位。在载波传输中，载波信号由振荡器产生，它的时钟频率是固定的，倒数就是时间周期。 频域比较难理解，按傅立叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形（称为谐波，基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域波形的时钟频率相同）。 因为载波一般都是正弦波，所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率（以Hz为单位)，即1Hz。时间周期T=1/f。 载波的功能参见调制解调部分内容。这里可以先不理解何为载波，关键是时域与频域的对应关系。 以这个时域波形为例 设时域波形（图中的合成波）的时间周期=T（如2秒），其时钟频率则为f0=1/2 Hz。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。
适用标准文案 重新到尾完全理解傅里叶变换算法、上 序言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式失散傅立叶变换（Real DFT ） 重新到尾完全理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式失散傅立叶变换 /************************************************************************************* **************/ 这一片的傅里叶变换算法，解说透辟，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July 、dznlong ）的精心编写。 /************************************************************************************* *************/ 序言： “对于傅立叶变换，不论是书籍还是在网上能够很简单找到对于傅立叶变换的描绘，可是大
都是些弄虚作假的文章，太甚抽象，尽是一些让人看了就望而却步的公式的排列，让人很难能够从感性上获得理解” ---dznlong， 那么，究竟什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所波及到的公式详细有多复杂列? 傅里叶变换（ Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想第一由法国学者 傅里叶系统地提出，因此以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换本来就是一种变换而已，不过这类变换是从时间变换为频次的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频次的变化或其相 互转变。 ok ，我们再来整体认识下傅里叶变换，让各位对其有个整体大体的印象，也趁便看看傅里 叶变换所波及到的公式，终究有多复杂： 以下就是傅里叶变换的 4 种变体（摘自，维基百科） 连续傅里叶变换 一般状况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限制语，则指的是“连续傅里叶变换”。连 续傅里叶变换将平方可积的函数 f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。