信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。
傅里叶变换表 傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个信号在时域中的表示转换为在频域中的表示，这样可以更好地理解信号的性质和特征。傅里叶变换表是傅里叶变换的一种形式化表示方式，它记录了一些常见信号的傅里叶变换公式和性质，是学习和应用傅里叶变换的重要参考资料。 傅里叶变换表的历史可以追溯到18世纪末，当时法国数学家约瑟夫·傅里叶研究热传导问题时，发现可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，这就是傅里叶级数展开。后来，傅里叶的学生和继承者们将傅里叶级数推广到了非周期函数和非整数周期函数，并发展出了傅里叶变换的概念和方法，使得信号处理、通信、控制等领域得到了广泛应用。 傅里叶变换表的内容包括： 1. 傅里叶变换公式 傅里叶变换公式是傅里叶变换的核心内容，它描述了一个函数在频域中的表示和在时域中的表示之间的关系。对于一个连续时间信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)可以表示为： F(ω) = ∫f(t)exp(-jωt)dt 其中，ω是角频率，j是虚数单位，exp(-jωt)是旋转复数，可以将其理解为一个在复平面上绕着原点旋转的矢量。傅里叶变换的逆变换可以表示为： f(t) = (1/2π)∫F(ω)exp(jωt)dω
这个公式表示了一个频域信号在时域中的表示，即将频域信号 F(ω)通过逆变换得到时域信号f(t)。 2. 傅里叶变换的性质 傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用傅里叶变换。其中一些常见的性质包括： （1）线性性：傅里叶变换是线性的，即对于任意常数a和b，有F(ω)[af(t)+bg(t)] = aF(ω)f(t) + bF(ω)g(t)。 （2）时移性：时域中的信号f(t)向右平移τ秒，其频域表示F(ω)也将向右平移ωτ。 （3）频移性：频域中的信号F(ω)向右平移Ω弧度/秒，其时域表示f(t)也将向右平移tΩ。 （4）对称性：当f(t)是实数函数时，其傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω) = F*(ω)。 3. 常见信号的傅里叶变换公式 在实际应用中，我们经常需要计算一些常见信号的傅里叶变换，这样可以更方便地分析和处理信号。一些常见信号的傅里叶变换公式如下： （1）矩形函数：rect(t/T)的傅里叶变换为T sinc(ωT/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x。 （2）三角函数：sin(ωt)的傅里叶变换为jπ[δ(ω-ω0)-δ(ω+ω0)]，其中ω0是正数。 （3）指数函数：exp(jω0t)的傅里叶变换为2πδ(ω-ω0)。
常用傅里叶变换表 傅里叶变换是信号处理和数学分析中常用的重要工具，可以将一个 函数表示为一系列复指数函数的加权和，从而揭示了信号的频谱特性。为了方便使用傅里叶变换，人们总结了一些常用的傅里叶变换表，以 便在实际应用中快速查找和计算傅里叶变换。 以下是一些常用傅里叶变换表的示例： 1. 时间域和频率域的关系 当我们进行傅里叶变换时，需要将信号从时间域转换到频率域。在 时间域中，信号通常用函数的自变量表示，而在频率域中，信号则以 频率为变量进行表示。傅里叶变换表中可以列出频率的取值范围以及 对应的时间域函数。这样，我们就可以根据频率的取值范围，找到对 应的时间域函数。 2. 傅里叶级数的表达 傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，适用于周期信号的分析。傅里叶级数表包含了一系列关于系数和频率的信息，用于计算周期信 号的频谱成分。 3. 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换具有许多重要的性质和定理，包括线性性、平移性、尺 度性等。常用的傅里叶变换表可以列出这些性质和定理，并给出相应 的公式和解释。
4. 常见函数的傅里叶变换表达式 常见的函数，例如矩形函数、三角函数、指数函数等，它们的傅里 叶变换具有一定的规律和特点。傅里叶变换表可以提供这些常见函数 的变换表达式，以便将它们与其他信号进行比较和分析。 5. 傅里叶变换的逆变换表达式 傅里叶变换提供了将信号从时域转换到频域的方法，而逆傅里叶变 换则将信号从频域转换回时域。逆傅里叶变换表中包含了逆变换的表 达式，可以用于将傅里叶变换后的频域信号还原为时域信号。 6. 傅里叶变换的性质推导 除了使用表格给出傅里叶变换的常用形式，也可以通过推导的方式 得到某些信号的傅里叶变换形式。这种方式在一些特殊的情况下很有 帮助，可以帮助理解和推广傅里叶变换的性质。 总结： 常用傅里叶变换表是信号处理领域必备的工具之一。通过使用傅里 叶变换表，我们可以快速计算信号的频谱成分，深入理解信号的特性，加快信号处理的速度。只要掌握了常见傅里叶变换表的使用方法和基 本要点，我们就能更好地应用傅里叶变换进行信号分析和处理工作， 提高工作效率。
《信号与系统》专业术语中英文对照表 第 1 章绪论 信号（signal）系统（system）电压（voltage）电流（current）信息（information）电路（circuit）网络（network） 确定性信号（determinate signal）随机信号（random signal）一维信号（one–dimensional signal）多维信号（multi–dimensional signal）连续时间信号（continuous time signal）离散时间信号（discrete time signal）取样信号（sampling signal）数字信号（digital signal）周期信号（periodic signal）非周期信号（nonperiodic（aperiodic） signal）能量（energy）功率（power）能量信号（energy signal）功率信号（power signal）平均功率（average power）平均能量（average energy）指数信号（exponential signal）时间常数（time constant）正弦信号（sine signal）余弦信号（cosine signal） 振幅（amplitude）角频率（angular frequency）初相位（initial phase）周期（period）频率（frequency） 欧拉公式（Euler’s formula） 复指数信号（complex exponential signal）复频率（complex frequency）实部（real part） 虚部（imaginary part） 抽样函数 Sa(t)（sampling（Sa） function）偶函数（even function） 奇异函数（singularity function）奇异信号（singularity signal）单位斜变信号（unit ramp signal）斜率（slope） 单位阶跃信号（unit step signal）符号函数（signum function） 单位冲激信号（unit impulse signal）广义函数（generalized function）取样特性（sampling property） 冲激偶信号（impulse doublet signal）奇函数（odd function）偶分量（even component）奇分量（odd component） 正交函数（orthogonal function）正交函数集（set of orthogonal function）数学模型（mathematics model）电压源（voltage source） 基尔霍夫电压定律（Kirchhoff’s voltage law（KVL））电流源（current source） 连续时间系统（continuous time system）离散时间系统（discrete time system）微分方程（differential function）差分方程（difference function）线性系统（linear system） 非线性系统（nonlinear system）时变系统（time–varying system）时不变系统（time–invariant system）集总参数系统（lumped–parameter system）分布参数系统（distributed–parameter system）偏微分方程（partial differential function）因果系统（causal system） 非因果系统（noncausal system）因果信号（causal signal） 叠加性（superposition property）均匀性（homogeneity）积分（integral） 输入–输出描述法（input–output analysis）状态变量描述法（state variable analysis） 单输入单输出系统（single–input and single–output system）状态方程（state equation）输出方程（output equation） 多输入多输出系统（multi–input and multi–output system）时域分析法（time domain method）变换域分析法（transform domain method）卷积（convolution） 傅里叶变换（Fourier transform）拉普拉斯变换（Laplace transform）
离散傅里叶变换表 一、引言 1.1 背景 傅里叶变换是离散信号处理中一项重要的数学工具。通过将信号分解为一组基本频率分量，傅里叶变换能够帮助我们理解信号的频谱性质以及对信号进行频域处理。离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散时序信号处理中的一种形式。为了方便使用离散傅里叶变换，我们可以借助离散傅里叶变换表来进行相关计算。 1.2 目的 本文旨在深入探讨离散傅里叶变换表的相关概念、原理及使用方法，帮助读者更好地理解和应用离散傅里叶变换。 二、离散傅里叶变换表的概念 2.1 定义 离散傅里叶变换表是一种用于记录离散信号傅里叶变换结果的表格。表中的每个元素都代表了输入信号在不同频率下的幅度和相位信息。离散傅里叶变换表通过提供离散信号的频谱信息，帮助我们理解信号的频域特征。 2.2 数据结构 离散傅里叶变换表通常采用二维数组来表示。其中，行代表频率，列代表离散信号序列的元素位置。表中的每个元素都是一个复数，包含了频域幅度和相位信息。通过查找表中的元素，我们可以得到离散信号在不同频率下的频谱表示。
三、离散傅里叶变换表的原理 3.1 傅里叶变换公式 离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换演化而来的，它将连续信号的傅里叶变换拓展到了离散信号上。离散傅里叶变换公式如下： 其中，N代表离散信号长度，x[n]表示离散信号序列，X[k]表示离散信号的频域表示。 3.2 离散傅里叶变换表的生成方法 离散傅里叶变换表可以通过计算离散信号在不同频率下的傅里叶变换结果得到。常用的生成方法是使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，该算法通过有效的计算方法减少了计算复杂度，提高了计算效率。通过FFT算法，我们可以快速生成离散傅里叶变换表。 四、离散傅里叶变换表的使用方法 4.1 查找频域信息 离散傅里叶变换表中的元素代表了离散信号在不同频率下的频谱信息。通过查找表中的元素，我们可以获取信号在某一频率下的幅度和相位信息。这对于理解信号的频域特性非常重要。 4.2 频域滤波 离散傅里叶变换表可以帮助我们进行频域滤波。通过设置表中某些频率位置的值为0，我们可以实现对特定频率成分的滤波操作。这对于信号处理和噪声去除非常有用。 4.3 信号合成 离散傅里叶变换表提供了信号的频域信息，我们可以通过逆傅里叶变换将频域信号转换回时域。通过将不同频率下的幅度和相位信息组合在一起，我们可以合成出与原始信号相似的离散信号。
信号与系统公式汇总分类 连续傅里叶变换连续拉普拉斯变换(单边) 离散Z变换(单边) ,,,,k,st,,jtF(z),f(k)zF(s),f(t)edt,,F(j),f(t)edt,0,,,,k,0 ,， j,,11st1j,tk,1f(t),F(s)edsf(t),F(j,)ed,f(k),F(z)zdz,k,0,,j,,,,,2j,,2,,2j L af(t)，bf(t),aF(s)，bF(s)af(k)，bf(k),aF(z)，bF(z)线性线性线性12121212 af(t)，bf(t),aF(j,)，bF(j,)1212 ,st,m0,j,tf(t,t),eF(s)时移时移时移 f(k,m),zF(z)0,双边, 0f(t,t),eF(j,) 0 ,st,,jk,j,000,j,tef(t),F(s,s)频移频移频移 ef(k),F(ez),尺度变换, 00ef(t),F(j(,,,)) 0 bbj,s尺度尺度尺度 z1,1skaa af(k),F()f(at，b),eF(j)f(at，b),eF() a|a|a|a|a变换变换变换 ,1 f(,t),F(,j,)f(,t),F(,s)反转反转反转 f(,k),F(z),仅限双边, 时域时域时域 f(t)*f(t),F(j,)F(j,)f(t)*f(t),F(s)F(s)f(t)*f(t),F(z)F(z)121212121212卷积卷积卷积 1,频域 1f(k,1),zF(z)，f(,1) f(t)f(t),F(j,)*F(j,)121221,,2,,f(t),sF(s),f(0)卷积 ,时域时域 f(k,2),zF(z)，zf(,1)，f(,2) 2,,,f(t),sF(s),sy(0),y(0)f(k， 1),zF(z),zf(0),,微分差分时域 (n)n,f(t)f(t),j,F(j,)(j,)F(j,) 22f(k， 2),zF(z),zf(0),zf(1)微分
傅里叶逆变换公式表 傅里叶逆变换公式是傅里叶变换的逆过程，它将频域中的信号还原为时域中的信号。在信号处理领域中，傅里叶逆变换广泛应用于信号恢复、滤波和图像处理等领域。 傅里叶逆变换公式的表达为： \[ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \cdot e^{i\omega x} \, d\omega \] 其中，\( F(\omega) \) 是信号的频谱，而 \( f(x) \) 则是信号的时域表示。 傅里叶逆变换公式的意义在于，它允许我们从频域中得到时域中的信号。通过将频谱与复指数函数相乘，并对频谱进行积分，我们可以将信号从频域转换回时域。 在实际应用中，傅里叶逆变换被广泛用于信号恢复。例如，当我们从传感器中获取到噪声污染的信号时，可以通过傅里叶逆变换将其转换回时域，从而滤除噪声并恢复原始信号。此外，傅里叶逆变换还可以用于图像处理中的去模糊和去噪等应用。 傅里叶逆变换公式的应用不仅限于连续信号，对于离散信号也同样适用。在离散傅里叶变换（DFT）中，傅里叶逆变换公式可以表示
为： \[ f[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} F[k] \cdot e^{i \frac{2\pi}{N} nk} \] 其中，\( F[k] \) 是离散信号的频谱，而 \( f[n] \) 则是离散信号的时域表示。 傅里叶逆变换公式的推导可以通过傅里叶变换的推导过程得到。傅里叶变换通过将信号分解为不同频率的正弦和余弦波来描述信号的频谱，而傅里叶逆变换则通过将这些频率成分重新组合，恢复原始信号。 傅里叶逆变换的计算可以使用数值积分的方法进行，例如使用梯形法则或辛普森法则进行数值积分。此外，还可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法来高效地计算傅里叶逆变换。 总结起来，傅里叶逆变换公式是将信号从频域转换回时域的重要工具。它在信号恢复、滤波和图像处理等领域中有着广泛的应用。通过傅里叶逆变换，我们可以将频谱分析的结果转化为对信号的描述，从而更好地理解和处理信号。同时，傅里叶逆变换也为信号处理领域提供了一种强大的工具，使得我们能够更好地理解和处理各种复杂的信号。
傅里叶变换的变换对 对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。 从连续到离散 连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号? x ( ω) 应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为1/T –––––1/L = N 即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为{ ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样：? x [k ] = ? x discrete ( ω k ) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 f[n ]e - i 2 π –––––N n k 令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。 DFT与CT 下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。Fx ( ω) = ? x ( ω) = 1 ––L ∫ L 0 x (t)e - i ω t dt 其采样为? x ( ω k ) = 1 ––L ∫ L 0 x (t)e - i ω k t dt 将这个积分以黎曼和的形式近似，有? x ( ω k ) ≈ 1 ––L N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1 ––N ? x [k ] DFT与DTFT 参见离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT 为：? x (e i ω ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ] e - i n ω 对? x (e i ω ) 在离散的频点{ ω k = k 2 π –––––N } 0 ≤ k < N 上采样? x [k ] = ? x (e i ω k ) = N - 1 Σ n = 0 x[n ]e - i 2 π –––––N k n k = 0, …,N-1 即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。? x [k ] 实际上是这个周期序列的主值序列。
之邯 郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日 时域信号 弧频率暗示的傅里叶变换注释 1线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 4如果值较大, 则会收缩到原点邻近,而 会扩散并变得扁平. 当| a | 趋向无穷时,成为Delta函数. 5傅里叶变换的二元性性质.通过交换时域变量
和频域变量得到. 6傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应 8 暗示和 的卷积—这就是卷积定理 9矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应.矩形函数是理想的低通滤波器,sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应. 11tri是三角形函数12变换12的频域对应 13高斯函数exp( −αt2) 的傅里叶变换是他自己. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的. 14 15
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数散布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21由变换1和25得到,应用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数散布的n阶微分.这个变换是按照变换7和24得到的.将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式. 16a>0 17变换自己就是一个公式
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 26变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换按照变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. 时间：二O二一年七月二十九日
离散傅里叶变换表 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。它在信号处理、图像处理、通信等 领域得到了广泛应用。离散傅里叶变换表是一个记录了离散傅里叶变 换系数的表格，它可以帮助我们快速地进行离散傅里叶变换。 离散傅里叶变换表通常包含两个部分：正变换表和逆变换表。正变换 表记录了将时域信号转换为频域信号所需的系数，而逆变换表则记录 了将频域信号转换为时域信号所需的系数。这两个表格可以互相转换，因为离散傅里叶变换是可逆的。 正变换表的每一行都表示一个频率，从0到N-1，其中N是信号的长度。每一行的第k个系数表示信号在该频率下的振幅和相位。逆变换 表的每一行也表示一个频率，但是它的系数表示的是在该频率下的信 号的振幅和相位对应的时域信号的值。 离散傅里叶变换表的使用可以大大简化离散傅里叶变换的计算过程。 我们只需要查找表格中对应的系数，然后进行简单的乘法和加法运算 即可得到变换结果。这种方法比直接计算离散傅里叶变换的复杂度要 低得多，特别是对于大型信号的处理。
除了离散傅里叶变换表，还有一些其他的方法可以加速离散傅里叶变换的计算，例如快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。快速傅里叶变换是一种基于分治思想的算法，它可以将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。 总之，离散傅里叶变换表是离散傅里叶变换的重要工具之一，它可以帮助我们快速地进行信号处理和频域分析。在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的方法来进行离散傅里叶变换的计算，以达到最佳的效果。
信号与系统里的傅里叶变换 傅里叶变换：信号与系统的重要工具 傅里叶变换是信号与系统领域中的一项重要工具，它可以将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而更好地理解和分析信号的特性。在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于音频、图像、视频等领域，为我们提供了更加高效和精确的信号处理方法。 傅里叶变换的基本原理是将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，这些正弦和余弦函数的频率和振幅可以反映信号的特性。通过傅里叶变换，我们可以将一个信号从时域转换到频域，从而更好地理解信号的频率分布和频率特性。傅里叶变换的公式为： F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt 其中，F(ω)表示信号在频率为ω时的振幅，f(t)表示原始信号，e^(-jωt)表示复指数函数。 傅里叶变换的应用非常广泛，其中最常见的应用是在音频处理领域。通过傅里叶变换，我们可以将音频信号从时域转换到频域，从而更好地理解音频信号的频率分布和频率特性。例如，在音频压缩领域，我们可以通过傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，然后根据频域信号的特性进行压缩，从而实现更加高效的音频压缩。 除了音频处理领域，傅里叶变换还被广泛应用于图像和视频处理领
域。通过傅里叶变换，我们可以将图像和视频信号从时域转换到频域，从而更好地理解图像和视频信号的频率分布和频率特性。例如，在图像处理领域，我们可以通过傅里叶变换将图像信号转换为频域信号，然后根据频域信号的特性进行图像增强、去噪等处理，从而实现更加高效和精确的图像处理。 傅里叶变换是信号与系统领域中的一项重要工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而更好地理解和分析信号的特性。在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于音频、图像、视频等领域，为我们提供了更加高效和精确的信号处理方法。
之勘 阻及广创作时间：二O二一年七月二十九日 时域信号 弧频率暗示的 傅里叶变换 注释 1线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 4如果值较年 夜,则会收缩到原点附近, 而 会扩散并变得扁平. 当| a | 趋向无穷时,成为Delta函数. 5傅里叶变换的二元性性质.通过交换时域变量
和频域变量获得. 6傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应 8 暗示和 的卷积—这就是卷积定理 9矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应.矩形函数是理想的低通滤波器,sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应. 11tri 是三角形函数12变换12的频域对应 13高斯函数exp( − αt2) 的傅里叶变换是他自己. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的. 14 15
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19变换23的频域对应20由变换3和24获得. 21由变换1和25获得,应用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2. 22由变换1和25获得 23这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分.这个变换是根据变换7和24获得的.将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式. 16a>0 17变换自己就是一个公式
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 26变换29的频域对应. 27此处u(t)是单元阶跃函数; 此变换根据变换1和31获得. 28u(t)是单元阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. 时间：二O二一年七月二十九日
信号与系统公式大全 1.傅里叶变换公式： F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt f(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω 2.傅里叶级数公式： f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dt b_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt 3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系： F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)] a_n=f(nT)/T b_n=0 4.系统均方根误差公式： E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt) 5.窄带系统的频率响应公式： H(ω)=，H(0)，*e^(jφ) φ=∠H(ω)-∠H(0) 6.线性时不变系统的冲激响应公式： h(t)=L^{-1}[H(ω)]
7.卷积公式： y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ 8.卷积定理： F_y(ω)=H(ω)F_x(ω) 9.线性时不变系统的输入-输出关系公式： y(t)=x(t)*h(t) 10.系统频率响应的幅度与相位关系： H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω)) 11.奇谐信号的频谱： F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)] C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt 12.偶谐信号的频谱： F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)] C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt 13.系统频率响应的单位脉冲响应关系： H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt 以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2的频域对应 4 如果值较大，那么会收 缩到原点附近，而会 扩散并变得扁平.当| a |趋向无 穷时，成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质
7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是 卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一化的sinc函数 11 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( − αt2)的傅里叶变 换是他本身.只 有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推广形 式; T n(t)是第一类切比雪夫多项式。 22 U n(t)是第二类切比雪夫多项式。 [编辑]分布 时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应
25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( −αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15
18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 16 a>0 17 变换本身就是一个公式
25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28 u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
信号与系统公式性质一览表 1连续傅里叶变换 ⎰ ⎰ ∞ ∞ -∞ ∞--= =ω ωπ ωωωd e j F t f dt e t f j F t j t j )(21)()()( 2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞ +∞-∞ -= =-j j st st ds e s F j t f dt e t f s F σσπ)(21 )()()(0 3离散Z 变换(单边) ⎰∑≥= =-∞ =-L k k k k dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(1 0π 4离散傅里叶变换 ⎰∑= =∞ -∞ =-πθθ θθ θ π 2 )(21 )()()(d e e F k f e k f e F k j j k k j j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+ 线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+ 线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+ 线性 )()()()(2121θ θj j e bF e aF k bf k af +↔+ 时移 )()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移 )()(00s F e t t f st ±↔± 时移 )()(z F z m k f m ±↔±（双边） 时移 )()(θθj m j e F e m k f ±↔± 频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔± 频移 )()(00s s F t f e t s ↔± 频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换） 频移 )()()(00θθθ j jk e F k f e ↔± 尺度 变换 )(||1)(a j F e a b at f a b j ω ω↔+ 尺度 变换 )(||1)(a s F e a b at f s a b ↔+ 尺度 变换 )()(a z F k f a k ↔ 尺度 变换 )(0 ) /()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧= 反转 )()(ωj F t f -↔- 反转 )()(s F t f -↔- 反转 )()(1-↔-z F k f （仅限双边） 反转 ) ()(θj e F k f -↔- 时域 卷积 )()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔ 时域 卷积 )()()(*)(2121s F s F t f t f ↔ 时域 卷积 )()()(*)(2121z F z F t f t f ↔ 时域 卷积 )()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔ 频域 卷积 )(*)(21 )()(2121ωωπ j F j F t f t f ↔ 时域 微分 ) 0()0()()() 0()()(2---'--↔''-↔'y sy s F s t f f s sF t f 时域 差分 ) 1()0()()2() 0()()1() 2()1()()2() 1()()1(2 2 1 21zf f z z F z k f zf z zF k f f f z z F z k f f z F z k f --↔+-↔+-+-+↔--+↔---- 频域 卷积 ψπ θψπψ d e F e F k f k f j j )()(21 )()()(22121-⎰↔ 时域 微分 )()()()()() (ωωωωj F j j F j t f t f n n ↔' 时域 差分 )()1()1()(θθj j e F e k f k f -↔-- 频域 微分 n n n d j F d d j dF j t f jt t tf ωωω ω)()()()()(↔- S 域 微分 n n n ds s F d s F t f t t tf )() ()()()('-↔- Z 域 微分 dz z dF z k kf )()(-↔ 频域 微分 θ θd e dF j k kf j ) ()(↔ 时域 积分 )()0() (0)(,)(ωδπω ωF j j F f dx x f t +↔=-∞⎰∞ - 时域 积分 s f s s F dx x f t ) 0()()()1(--∞ -+ ↔⎰ 部分 求和 1)()(*)(-↔ =∑ -∞ =z z i f k k f k i ε 时域 累加 ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =-+-↔k j j j k k e F e e F k f )2() (1) ()(0 πθδπθ θ 频域 积分 0)(,)() () ()0(=-∞↔-+ ⎰∞ -F d j F jt t f t f ω ττπ S 域 积分 ⎰ ∞↔s d F t t f η η)() ( Z 域 积分 ηηηd F z m k k f z m m ⎰∞ +↔+1) () ( )(lim )0(z F f z →∞ =,)]0()([lim )1(zf z zF f z -=→∞ 对称 )(2)(ωπ-↔f jt F 初值 )(),(lim )0(s F s sF f s →∞ +=为真分式 初值 )(lim )(z F z M f M z ∞ →=（右边信号）,)()([lim )1(1M zf z F z M f M z -=++∞ → 帕斯 瓦尔 ⎰⎰ ∞ ∞ -∞ ∞-= =ωωπ d j F dt t f E 2 2 |)(|21 |)(| 终值 0),(lim )(0 ==∞→s s sF f s 在收敛域内 终值 )()1(lim )(1 z F z f z -=∞→（右边信号） 帕斯 瓦尔 ⎰∑∞ -∞ ==πθθπ222|)(|21 |)(|d e F k f j k