常见的傅里叶变换对
傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学
分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐
一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）
离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一
种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。傅里叶级数是将周期
信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在
频域中的谱线。当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶
变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。因此，离散傅里叶变换与
傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）
快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一
种高效的计算方法。它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将
计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。快
速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）
短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号
的方法。与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变
换可以对非周期信号进行变换。CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。这两种变换方法都是将信号
从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周
期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）
小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。与傅
里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号
在时间域上不同尺度的局部信息。小波变换是一种时频分析方法，可
以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高
分辨率。因此，小波变换和傅里叶变换在各自的应用领域中各有优点，并且经常用于相互补充。
通过对这些常见的傅里叶变换对的了解，不仅可以更深入地理解
傅里叶变换的原理和应用，还可以帮助我们在实际的科研和工作中更
加有效地运用这些变换方法，处理复杂的实际问题。
几种常见函数的傅里叶变换及推导 傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。 1. 方波函数的傅里叶变换 方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为： f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ... 其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为： F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ... 其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。 2. 高斯函数的傅里叶变换
高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。根据高斯函数的定义，可以得到： f(t) = e^(-αt^2) 其中，α是常数。根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为： F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α)) 高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。 3. 矩形函数的傅里叶变换 矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。假设矩形函数为f(t)，其宽度为2a，傅里叶变换为F(ω)。根据矩形函数的定义，可以得到： f(t) = 1，-a≤t≤a = 0，其他
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2的频域对应 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平.当| a | 趋向无穷 时，成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交 换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质
7 8 表示和的卷积—这就是 9 [编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一化 的sinc函数 11 变换10的频域对 应。矩形函数是理 想的低通滤波器， sinc函数是这类滤 波器对反因果冲击 的响应。
12 tri 是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt 2 )的傅里叶变换 是他本身.只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 21 22 [编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数 分布.这个变换展示了狄 拉克δ函数的重要性：该 函数是常函数的傅立叶变 换
24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用 了欧拉公式: cos(at ) = (e iat + e ? iat ) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n 是一个自然数.δ(n ) (ω)是狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这 个变换是根据变换7和24 得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数； 注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应.
常用函数的傅里叶变换 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。 1. 正弦函数和余弦函数 正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下： $$ begin{aligned} mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)] mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)] end{aligned} $$ 其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频， $delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。 2. 矩形函数 矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下： $$
mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$ 其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。 3. 三角函数 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下： $$ begin{aligned} mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)] mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)] mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= - jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)- jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0) end{aligned} $$ 其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。 4. 高斯函数 高斯函数是一种常用的连续函数，它的傅里叶变换公式为： $$
常用傅里叶变换公式大全 傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。下面就是常用的傅里叶变换公式大全： 1、傅里叶变换： $$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$ 2、傅里叶反变换： $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$ 3、离散傅里叶变换： $$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$ 4、离散傅里叶反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$ 5、快速傅里叶变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$ 6、快速傅里叶反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$ 7、离散余弦变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 8、离散余弦反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 9、离散正弦变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 10、离散正弦反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
常见的傅里叶变换对 傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学 分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐 一介绍一下这些变换对。 一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS） 离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一 种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。傅里叶级数是将周期 信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在 频域中的谱线。当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶 变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。因此，离散傅里叶变换与 傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。 二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT） 快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一 种高效的计算方法。它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将 计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。快 速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。 三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT） 短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号 的方法。与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变 换可以对非周期信号进行变换。CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。这两种变换方法都是将信号 从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周 期信号的处理。 四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT） 小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。与傅 里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号
弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大，则如果 4 会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。
5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理
想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时，这是可积的。 14 15
a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到，应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +
22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27
根据变换1和31得到. uta > 0. ，且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.
常见傅里叶变换对照表 一、傅里叶变换简介 1.1 什么是傅里叶变换 傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。 1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别 傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。 1.3 傅里叶变换的基本公式 傅里叶变换的基本公式如下： ∞ (t)⋅e−jωt dt F(ω)=∫f −∞ 其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。 二、时域与频域的对应关系 2.1 时域和频域的意义 时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。 2.2 原始信号与频域成分的对应关系 原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。
2.3 时域与频域之间的转换 时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。 三、常见傅里叶变换对照表 3.1 常见信号及其频域表示 下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。 信号名称时域表示频域表示 单频正弦信 号 Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0) 周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω) +B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0) 高斯脉冲信号f(t)= 1 √2πσ − t2 2σ2F(w)=e− σ2w2 2 矩形脉冲信号f(t) ={1,当− T 2 常用信号的傅里叶变换 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。对于任意一个周期信号，傅里叶变换可以将其表示成一系列正弦波的叠加形式，从而更好地理解和处理信号。 在实际应用中，有很多信号都需要进行傅里叶变换。下面介绍一些常用信号的傅里叶变换。 1. 正弦信号 正弦信号是一种最基本的周期信号，其函数形式为y=sin(wt)，其中w为角频率。通过傅里叶变换，可以将正弦信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即： y(t) = A1*sin(wt) + A2*sin(2wt) + A3*sin(3wt) + … 其中，An为振幅，表示第n个正弦波的幅度。 2. 方波信号 方波信号是一种由周期为T的矩形波形组成的信号，其函数形式为： y(t) = sgn(sin(wt)) 其中，sgn表示符号函数，即当sin(wt)>0时，sgn(sin(wt))=1，否则sgn(sin(wt))=-1。通过傅里叶变换，可以将方波信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即： y(t) = (4/pi)*[sin(wt) + (1/3)*sin(3wt) + (1/5)*sin(5wt) + …] 3. 带限信号 带限信号是指信号的频率范围有限，通常是指截止频率为一定值的信号。通过傅里叶变换，可以将带限信号表示为一组频率在一定范围内的正弦波的叠加形式，即： y(t) = (1/2*pi)*Int[-w0,w0]{F(w)*e^(jwt)dw} 其中，F(w)为信号的频谱，w0为信号的截止频率，Int表示积分运算。 以上三种信号只是常用信号中的一部分，实际应用中还有很多其他类型的信号需要进行傅里叶变换。傅里叶变换不仅可以分析信号的频域特性，还可以用于信号的滤波、压缩、编码等方面，具有广泛的应用价值。 常见傅里叶变换 傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。 一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分 析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。 另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。 傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。 此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。 除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。它包括快速傅里叶变换 （Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。 快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。中心矩形法算法可以用来计算离散傅里叶变换，是一种快速无误差的变换方法。矩形变换即巴特斯变换，它可以用来解决变换中的积分和解析问题。拉普拉斯变换是拉普拉斯函数的变换，它可以用来解决一些有关微分方程的问题。 总之，傅里叶变换是数字信号处理和数学分析的有力工具，它可以帮助人们从复杂的信号中抽取特定的信息，做出更好的决策。此外，它还有助于解决许多有关数学方程的问题，从而使数学理论得以实践。因此，傅里叶变换几乎被用于各个领域，并且受到广泛的好评。 弧频次表示的 时域信号说明 傅里叶变换 1线性 2时域平移 3频域平移 ,变换 2 的频域对应 假如值较大，则会缩短 4到原点邻近，而会扩 散并变得扁平 .当 | a | 趋势 无量时，成为 Delta函数。 傅里叶变换的二元性性质。经过 5互换时域变量和频域变量获 得 . 6傅里叶变换的微分性质 7变换 6 的频域对应 表示和的卷积—这8 就是卷积定理 9矩形脉冲和归一化的 sinc 函数 变换 10 的频域对应。矩形函数是理 10想的低通滤波器， sinc 函数是这种 滤波器对反因果冲击的响应。 11tri是三角形函数 12变换 12 的频域对应 高斯函数 exp(- αt 2) 的傅里叶 13变换是他自己 .只有当 Re(α) > 0 时，这是可积的。 14 15 16a>0 17变换自己就是一个公式 δ( ω) 代表狄拉克δ函数散布 . 18这个变换展现了狄拉克δ 函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换 23 的频域对应 20由变换 3和 24获得 . 由变换 1和 25获得，应用了欧拉公21 式: cos(at ) = ( e iat + e - iat ) / 2. 22由变换 1和 25获得 这里 , n 是一个自然数 .δ ( n)(ω) 是狄拉克δ函数散布的 n 阶微分。23这个变换是依据变换7 和 24 获得的。 将此变换与 1 联合使用，我们能够变 换全部多项式。 此处 sgn( ω) 为符号函数；注意此变24 换与变换 7 和 24 是一致的 . 25 26 27 28 34变换 29 的推行 . 变换 29 的频域对应 . 此处 u( t ) 是单位阶跃函数 ;此变换依据变换 1 和 31 获得. u( t ) 是单位阶跃函数，且 a > 0. 狄拉克梳状函数——有助于解说或理解从连续到失散时间的转变 . 时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2的频域对应 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会 扩散并变得扁平.当| a | 趋向无 穷时，成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就 是卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一化的sinc函数 11 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数e*p( − αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推广形式; T n(t)是第一类切比雪夫多项式。 22 U n (t)是第二类切比雪夫多项式。 [编辑]分布 时域信号角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到. 时域 信号 角频率 表示的 傅里叶 变换 弧频率 表示的 傅里叶 变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2的频域对应 4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变 得扁平.当|?a?|?趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 傅里叶变 换傅里叶变 换 10 矩形脉冲和归一化的sinc函数 11 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 12 tri?是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是0阶第一类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是第一类切比雪夫多项式。 22 U n?(t)是第二类切比雪夫多项式。 [编辑]分布 时域信号角频率 表示的 傅里叶 变换 弧频率 表示的 傅里叶 变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到. 33 u(t)是单位阶跃函数，且a?> 0. 34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. 常用函数的fourier变换 傅里叶变换是以傅里叶级数为基础的，是一种对函数进行频域处理的技术。它将函数在时域中的表示转换为在复平面上的表示，使得函数能够被分解成一些简单的正弦和余弦波。在数学、物理学、工程学等领域，傅里叶变换被广泛应用于信号分析、图像处理、通信等方面。 常用函数是大量傅里叶变换的基础，下面将带领你分布说明常用函数的fourier变换。 1. 对于所有实数t，f(t)=1的傅里叶变换为 F(ω)=2πδ(ω) 其中，δ(ω)为狄拉克函数的傅里叶变换。δ(ω)在原点处为1，在其它位置为0，在频域中作为单位冲击项。 2. 对于所有实数t，f(t)=2πδ(t)的傅里叶变换为 F(ω)=1 单位冲击项在时域中作为常数项，在频域中作为单位冲击项。 3. 对于所有实数t，f(t)=cos(ω0t)的傅里叶变换为 F(ω)=π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)] cos(ω0t)在时域中作为周期为2π/ω0的函数，在频域中分解成两个单位冲击项，频率分别为±ω0。 4. 对于所有实数t，f(t)=sin(ω0t)的傅里叶变换为 F(ω)=jπ[δ(ω-ω0)-δ(ω+ω0)] sin(ω0t)在时域中作为周期为2π/ω0的函数，在频域中分解成两个单位冲击项，频率分别为±ω0，其中一个带有负号。 5. 对于所有实数t，f(t)=e^jω0t的傅里叶变换为 F(ω)=2πδ(ω-ω0) e^jω0t在时域中作为旋转相位的函数，在频域中作为单位冲击项。 6. 对于所有实数t，f(t)=u(t-a)的傅里叶变换为 F(ω)=1/jωe^-jωa u(t-a)在时域中作为比a大时为1，否则为0的函数，在频域中作为1/jωe^-jωa函数。 以上就是常见函数的fourier变换，通过这些例子，我们可以更好地理解傅里叶变换，以及在信号处理和图像处理等方面的应用。常用信号的傅里叶变换
常见傅里叶变换
常用傅里叶变换表
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常用函数的fourier变换
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