常用傅里叶变换公式大全
傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。下面就是常用的傅里叶变换公式大全：
1、傅里叶变换：
$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$
2、傅里叶反变换：
$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$
3、离散傅里叶变换：
$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$
4、离散傅里叶反变换：
$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$
5、快速傅里叶变换：
$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$
6、快速傅里叶反变换：
$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$
7、离散余弦变换：
$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
8、离散余弦反变换：
$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
9、离散正弦变换：
$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
10、离散正弦反变换：
$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
常用函数的傅里叶变换 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。 1. 正弦函数和余弦函数 正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下： $$ begin{aligned} mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)] mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)] end{aligned} $$ 其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频， $delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。 2. 矩形函数 矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下： $$
mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$ 其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。 3. 三角函数 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下： $$ begin{aligned} mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)] mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)] mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= - jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)- jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0) end{aligned} $$ 其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。 4. 高斯函数 高斯函数是一种常用的连续函数，它的傅里叶变换公式为： $$
时域信号弧频率表示的 注释傅里叶变换 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2 的频域对应 如果值较大，则会收缩到原 4 点附近，而会扩散并变得 扁平.当| a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。 傅里叶变换的二元性性质。通过交换5 时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质
7 变换 6 的频域对应 9 矩形脉表冲示和归一和化的的卷sin 积c 函—数这就 8 是卷积定理 变换 10 的频域对应。矩形函数是理 10 想的低通滤波器， sinc 函数是这类滤 波器对反因果冲击的响应。 1 tri 是三角形函数 12 变换 12 的频域对应 高斯函数 exp( - αt 2) 的傅里叶变 13 换是他本身 . 只有当 Re( α) > 0 时， 这是可积的。 14 15
16 a>0 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布.这18 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23 的频域对应 20 由变换3 和24 得到. 由变换 1 和25 得到，应用了欧拉公21 式: cos( at) = ( e iat + e - iat ) / 2. 22 由变换1 和25 得到 这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是 狄拉克δ 函数分布的n 阶微分。这23 个变换是根据变换7 和24 得到的。 将此变换与 1 结合使用，我们可以变
换所有多项式。 此处sgn( ω)为符号函数；注意此变24 换与变换7 和24 是一致的. 25 变换29 的推广. 26 变换29 的频域对应. 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根27 据变换 1 和31 得到. 28 u(t)是单位阶跃函数，且 a > 0. 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.
常用傅里叶变换公式大全 傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。下面就是常用的傅里叶变换公式大全： 1、傅里叶变换： $$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$ 2、傅里叶反变换： $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$ 3、离散傅里叶变换： $$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$ 4、离散傅里叶反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$ 5、快速傅里叶变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$ 6、快速傅里叶反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$ 7、离散余弦变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 8、离散余弦反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 9、离散正弦变换： $$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$ 10、离散正弦反变换： $$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$
傅里叶变换的11个性质公式 傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。 1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有： X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]； X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。 2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。 3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则 X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。 4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。 5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成 X(aω)。 7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号 x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。 8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。 9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。 10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。 11、压缩性质：X(ω)Y(ω)=F[x(t)y(t)]，即傅里叶变换可以用来表示信号的压缩，即x(t)y(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
常见傅里叶变换对照表 一、傅里叶变换简介 1.1 什么是傅里叶变换 傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。 1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别 傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。 1.3 傅里叶变换的基本公式 傅里叶变换的基本公式如下： ∞ (t)⋅e−jωt dt F(ω)=∫f −∞ 其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。 二、时域与频域的对应关系 2.1 时域和频域的意义 时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。 2.2 原始信号与频域成分的对应关系 原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。
2.3 时域与频域之间的转换 时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。 三、常见傅里叶变换对照表 3.1 常见信号及其频域表示 下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。 信号名称时域表示频域表示 单频正弦信 号 Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0) 周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω) +B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0) 高斯脉冲信号f(t)= 1 √2πσ − t2 2σ2F(w)=e− σ2w2 2 矩形脉冲信号f(t) ={1,当− T 2 弧频次表示的 时域信号说明 傅里叶变换 1线性 2时域平移 3频域平移 ,变换 2 的频域对应 假如值较大，则会缩短 4到原点邻近，而会扩 散并变得扁平 .当 | a | 趋势 无量时，成为 Delta函数。 傅里叶变换的二元性性质。经过 5互换时域变量和频域变量获 得 . 6傅里叶变换的微分性质 7变换 6 的频域对应 表示和的卷积—这8 就是卷积定理 9矩形脉冲和归一化的 sinc 函数 变换 10 的频域对应。矩形函数是理 10想的低通滤波器， sinc 函数是这种 滤波器对反因果冲击的响应。 11tri是三角形函数 12变换 12 的频域对应 高斯函数 exp(- αt 2) 的傅里叶 13变换是他自己 .只有当 Re(α) > 0 时，这是可积的。 14 15 16a>0 17变换自己就是一个公式 δ( ω) 代表狄拉克δ函数散布 . 18这个变换展现了狄拉克δ 函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换 23 的频域对应 20由变换 3和 24获得 . 由变换 1和 25获得，应用了欧拉公21 式: cos(at ) = ( e iat + e - iat ) / 2. 22由变换 1和 25获得 这里 , n 是一个自然数 .δ ( n)(ω) 是狄拉克δ函数散布的 n 阶微分。23这个变换是依据变换7 和 24 获得的。 将此变换与 1 联合使用，我们能够变 换全部多项式。 此处 sgn( ω) 为符号函数；注意此变24 换与变换 7 和 24 是一致的 . 25 26 27 28 34变换 29 的推行 . 变换 29 的频域对应 . 此处 u( t ) 是单位阶跃函数 ;此变换依据变换 1 和 31 获得. u( t ) 是单位阶跃函数，且 a > 0. 狄拉克梳状函数——有助于解说或理解从连续到失散时间的转变 .常用傅里叶变换表
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