kakutani不动点定理
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f（x0）=x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
定理表明：在二维球面上，任意映到自身的连续映射，必定至少有一个点是不变的。他把这一定理推广到高维球面。尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点。
在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。
前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧
不动点定理和Banach压缩映像定理的应用 一、引言 在数学中，不动点定理和Banach压缩映像定理是两个非常重 要的定理。不动点定理是一个基本定理，它能够帮助我们证明很多问题。而Banach压缩映像定理则是一个实用定理，它能够帮助我们求解很多实际问题。本文将重点讨论这两个定理的应用。 二、不动点定理 不动点定理（Fixed point theorem）是数学中一种基本的定理，也是一个非常重要的定理。它的实质是给定一个运算，能够保证这个运算至少有一个不变点。例如，在一维空间中，一条直线与 x 轴的交点就是一个不动点。 不动点定理的常用形式有 Banach定理，Brouwer定理和Kakutani定理等。这三种定理都是确保在一定条件下，给定一个 映射，必定存在一个不动点。其中，Banach定理是应用最广泛的一种不动点定理。
三、Banach压缩映像定理 Banach压缩映像定理（Banach contraction mapping theorem）是应用最广泛的不动点定理之一。它是一种强化的不动点定理，能够给出一个更加精确的结论。该定理的实质是，给定一个映射，如果它能够将任意两个点映射到更靠近一起的两个点，那么这个映射一定存在不动点。 具体来说，设 (X,d) 是一个非空完备度量空间，f:X → X是一个压缩映像，即存在常数0≤s<1，使得对于任意x,y∈ X，有： $d(f(x),f(y))≤s\times d(x,y)$ 则 f 存在唯一的不动点 z，即 f(z)=z。 在实际中，Banach压缩映像定理被广泛应用于求解非线性方程组的根。例如，对于一个形如 f(x)=0 的方程组，可以通过适当的转化，将它表示成 g(x)=x 的形式，然后应用Banach压缩映像定理求解。此外，Banach压缩映像定理还在优化算法、控制论等领域得到广泛应用。
探究不动点的奥秘 一．不动点引入 在研学课的课堂上老师向我们简单的介绍了在数学函数中的不动点的性质，是指“被这个函数映射到其自身一个点”。老师举了一个简单的例子：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。 通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。 纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团） 假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。 就是说： 整个纸盒对应于纸团 纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块 纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块 纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块 ………………………… 不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。 这是生活中不动点的例子。老师接下来又举了个函数的例子：定义在实数上的函数f， f(x) = x^2 - 3x + 4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。 下面老师讲了不动点在函数迭代中的应用。迭代时只有函数单调才有不动点，并
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间中的函数和 算子的性质及其相互关系。不动点定理是泛函分析中的一项基本定理，它在数学和应用领域中有着广泛的应用。本文将介绍不动点定理的概念、主要结果以及其在一些实际问题中的应用。 一、不动点定理的概念 不动点定理是指在给定的函数空间中，存在一个函数，它在函数空 间中的作用下保持不变。具体而言，设X为一个非空集合，f为从X 到X的映射，如果存在一个元素x∈X，使得f(x)=x，则称x为f的不 动点。 不动点定理的证明主要基于完备度和收敛性的概念。如果给定的空 间是完备的，并且函数的映射是连续的，那么不动点定理可以成立。 常见的不动点定理有Banach不动点定理、Brouwer不动点定理和Schwarz-Zippel不动点定理等。 二、主要的不动点定理结果 1. Banach不动点定理：设X为一个完备的度量空间，f为X上的一 个压缩映射，即存在一个常数k(0 < k < 1)，对于任意的x, y∈X，有 d(f(x), f(y)) ≤ k · d(x, y)。则f存在唯一的不动点，即存在x∈X，使得 f(x) = x。
2. Brouwer不动点定理：设D是欧几里德空间中的一个非空、闭、 有界的凸集，f为D到D的连续映射，则f存在不动点，即存在x∈D，使得f(x) = x。 3. Schwarz-Zippel不动点定理：设D是n维欧几里德空间中的有界 凸集，f为D到D的连续映射，并且满足f(0) = 0。如果f是单调递增的，并且存在一个点a∈D，使得f(a) ≥ a，则f存在不动点。 三、不动点定理的应用 不动点定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、力学、 计算机科学等领域。 在经济学中，不动点定理可以用来证明一些重要的经济模型的存在性。例如，通过对需求曲线和供给曲线的分析，可以利用Banach不动 点定理证明市场均衡点的存在性。 在力学中，不动点定理可以用来证明牛顿方程的解的存在性。通过 将动力学方程转化为一个映射关系，并利用Brouwer不动点定理，可 以得到运动方程的解。 在计算机科学中，不动点定理可以应用于程序设计中。通过将程序 的执行过程视作一个函数映射，不动点定理可以用来找到程序的不动点，从而帮助优化程序的性能。 总之，泛函分析中的不动点定理是一项重要的数学工具，它在数学 和应用领域中都具有重要的价值和意义。通过不动点定理，我们可以
格林陶定理 格林陶定理，又称为格林陶不动点定理（Brouwer fixed-point theorem），是数 学分析中的一个重要定理，由荷兰数学家列奥波德·格林陶（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）于1910年提出。该定理在拓扑学中具有广泛的应用，被认为是现代数学的基石之一。 定理的表述 格林陶定理表述如下： 对于任意一个连续的、从单位闭球（也称为n维球面）到自身的映射，至少存在 一个不动点。 换句话说，无论如何将一个球面上的点映射到球面上的其他点，总能找到至少一个点保持不动。 定理的证明 格林陶定理的证明相对较为复杂，需要运用拓扑学中的一些基本概念和定理。下面简要介绍一种证明思路。 首先，我们需要定义什么是一个连续的映射。在数学中，连续映射是指在给定拓扑空间中，原空间中的每个点的邻域都能被映射到目标空间中的邻域。这种定义保证了映射的连续性，即原空间中的点在映射后仍然保持接近性。 接下来，我们引入一个重要的概念，即同伦。同伦是指在两个拓扑空间之间存在一个连续映射，这个映射可以通过连续地变形将一个空间映射到另一个空间。同伦的概念是格林陶定理证明的关键。 然后，我们使用反证法来证明格林陶定理。假设不存在不动点，即对于任意的映射，所有的点都能被映射到其他点。我们可以构造一个连续映射，将单位闭球映射到自身的边界上。根据我们的假设，这个映射是连续的，但没有不动点。 接着，我们利用同伦的概念来推导出矛盾。通过同伦，我们可以将单位闭球映射到球面上的一个点，这个点必定是球面上的一个不动点。这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，证明了格林陶定理的正确性。 定理的应用 格林陶定理在数学和物理学中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用领域： 1.经济学：格林陶定理可以用于证明经济学中的一些基本定理，如存在性定理 和均衡定理。
一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，ƒ(x)为A的一子集。若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈ƒ(x i)且y i→y0，则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。 在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m1
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space
如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间. 定义1.1.2[3] 定义在线性空间上的映射统称为算子. 定义1.1.3[3] 给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =，则 称x 是T 的不动点. 1.2 Banach 不动点定理 定理1.2.1[3] 设X 是完备的距离空间，距离为ρ.T 是由X 到其自身的映 射，且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式 01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得 x x T =. 证明 在X 中任意取定一点0x ,令 01Tx x =，12Tx x =，…，n n Tx x =+1，… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为 ()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=； ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=； ……………………… 于是 ()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+， ,3,2,1=n ()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤ ()()()0000,1,11Tx x Tx x n p n ρθ θρθθθ-≤--= .
pde解的存在性不动点定理 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。 不动点定理（fixed-point theorem）： 对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有： (1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f： A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数 f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。 该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。 (2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从 A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。 不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献。这个定理表明：在二维闭圆盘上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的。他把这一定理推广
112Nash定理及证明 定理1设博弈G={S1, …,Sn; u1, …, un},这里n为有限正整数,每个Si 为有限集,则博弈G至少存在一个Nash均衡. 注:该均衡既可以是纯策略均衡,也可能是混合策略均衡. 证明: (0) 对任意的Si =( si1 , ⋯, siKi),记其概率空间为Δi =ΔKi- 1 = { pi ∈rKi: pi1 , ⋯, piKi≥0 , pi1 + ⋯+ piKi=1}, 每当pi∈Δi为第i个参与人的一个混合策略,显然Δi是一个前面讲过的Ki- 1维标准单纯形.对以下单纯形的笛卡尔积,引进简便记法:Δ=Δ1 ×…×Δn,Δ- i =Δ1 ×…×Δi- 1 ×Δi+1 ×…×Δn. (1) 记第i个参与人的最佳反应对应为:f i:Δ- i→P(Δi) ,这里P(Δi) 表示Δi的所有非空紧致凸子集的集合,对任意p- i∈Δ- i,fi(p- i) 显然是Δi的非空闭子集,所以是Δi的非空紧致子集.因为期望支付是纯策略支付函数的线性组合(事实上还是凸组合) ,所以f (p- i) 是的凸子集1可见,对任意p- i∈Δ- i,fi(p- i) 是Δi的非空紧致凸子集, 这时qi ∈fi(p- i) 表示除第i个参与人之外的其余n- 1个参与人采用策略p- i时,第i个参与人的一个最佳混合策略. 定义总的反应对应映射为F:Δ→2Δ, F(p) =(f1(p- 1) , …,fn(p- n)) ,这里2Δ表示Δ的所有子集的集合. (2) 首先由于Δi都是Ki- 1维标准单纯形,因而是非空紧致凸的,这样Δ=Δ1 ×…×Δn 很显然就是非空紧致凸集1对于任意p ∈Δ,因为各Δi是非空紧致集,所以各fi(p- i) 非空紧致,以F(p) = (f1(p- 1) ,…,fn(p- n)) 也是非空紧致集1如果p′,p″∈F(p) , 那么对每个i ,vi(p′i,p′- i) = vi(p″i,p″- i) =max已 经达到最大1设λp+(1- λ) p″是p′和p″的任意凸 组合,那么vi(λp′+(1- λ) p″) =λvi(p′i,p′- i) + (1- λ) vi(p″i,p″- i) =max也达到这个最大,可见λp′+(1- λ) p″∈F(p) ,由此可见, F(p) 是凸集. 设pm →p0 , qm∈F( pm )且qm→q0,我们来证明qm→q0.由于qm∈F( pm ) ,也就是qmi∈ fi( pmi) , i= 1 ,2 , ⋯, n,即对所有p′i∈Δi, i= 1 ,2 ⋯, n ,有vi ( qmi, pm- i) ≥vi ( p′i, pm- i).由 于vi 因而是连续的,当m→∞时,上述不等关系保持不变, 即有对所有p′i∈Δi, i= 1 ,2 , ⋯, n , vi ( q0i , p0- i) E vi( p′i, p0- i)也即,q0 ∈f i( p- i) , i= 1 ,2 , ⋯, n.则说明q0 ∈F( p0 ).故F:Δ→P(Δ) 的图像{(p,q) ∈Δ×Δ: p ∈Δ,q ∈F(p)}是闭集.所以F上半连续1由Kakutani不动点定理即得存在Nash均衡.
纳什均衡点 纳什均衡名称来源及简介： 纳什均衡（Nash equilibrium）又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。约翰·纳什1948年作为年轻数学博士生进入普林斯顿大学。其研究成果见于题为《非合作博弈》（1950）的博士论文。该博士论文导致了《n人博弈中的均衡点》（1950）和题为《非合作博弈》（1951）两篇论文的发表。纳什在上述论文中，介绍了合作博弈与非合作博弈的区别。他对非合作博弈的最重要贡献是阐明了包含任意人数局中人和任意偏好的一种通用解概念，也就是不限于两人零和博弈。该解概念后来被称为纳什均衡。 纳什均衡定义： 假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile）。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。 纳什均衡点 纳什均衡点（港译：纳殊均衡点），又称为非合作博弈均衡点，是博弈论的一个重要概念，以约翰·纳什命名。 如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益，则此策略组合被称为纳什均衡点[1]。 经典的例子就是囚徒困境，囚徒困境是一个非零和博弈学术争议和批评
第一，纳什（Nash）的关于非合作（non-cooperative）博弈论的平衡不动点解（equilibrium/fixpoint）学术证明是非构造性的（non-constructive），就是说纳什用角谷静夫不动点定理（Kakutani fixed point theorem）证明了平衡不动点解是存在的，但却不能指出以什么构造算法如何去达到这个平衡不动点解。这种非构造性的发现对现实生活里的博弈的作用是有限的，即使知道平衡不动点解存在，在很多情况下达不到并不能解决问题。[来源请求]在数学意义上，纳什并没有超越角谷静夫不动点定理。 经过《美丽心灵》的Sylvia Nasar（书作者）和Ron Howard（电影作者）这样的主流媒体的介入，角谷静夫（Kakutani）在这些人的作品里被完全忽略。有人认为，“纳什平衡”（Nash equilibrium）的更合适的名字应该叫作“角谷静夫—纳什博弈论不动点”（Kakutani-Nash game-theoretic fixed point）或“角谷静夫—纳什平衡”（Kak utani-Nash equilibrium），没有角谷静夫不动点定理，纳什的证明没有多大学术意义。《美丽心灵》完全忽视角谷静夫之关键贡献的作法有待商榷。 第二，纳什的非合作（non-cooperative）博弈论模型仅仅是突破了博弈论中的一个局限。一个更大的局限是，博弈论面对的往往是由几十亿节点的庞大对象构成的社会、经济等复杂行为，但冯·诺伊曼（Von Neumann）和纳什的研究是针对两三个节点的小规模博弈论（有人称之为tiny-scale toy case）。 这个假设的不完善处，可能比假设大家都是合作的（cooperative）更严重。因为在经济学里，一个庞大社会里的人极不可能全部都是合作的，非合作的情况通常在庞大对象的情形中更普遍，而在两三个节点的小规模经济中倒反而影响较小。既然改了合作前提为非合作前提，却仍然停留在两三个节点的小规模博弈论中，这是一个不可忽视的缺陷。最近香港城市大学和北京清华大学的学者群邓小铁、姚期智在基于复杂度理论的大规模博弈论上有所进展，这和纳什小规模博弈论的本质以及《美丽心灵》的广告效果是不可同日而语的。
brower定理证明 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。 ●定理表述 不动点定理（fixed-point theorem）： 对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有： (1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。 该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。 (2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。 不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。数学定义 设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。其次，对A的任一元素x0，由递推关系： 定义的级数(xn)必收敛于a。 这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。利用所谓逐次逼近法，不动点定理是证明隐式方程、常微分方程和积分方程解的存在唯一性定理的基础。 ●定理启示 建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献。这个定理表明：在二维闭圆盘上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的。他把这一定理推广到高维球面。尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点。在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的。1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性。在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数。实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用。例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它
纳什均衡存在性定理中的相关解释 教材（《经济博弈与应用》）p33，图2.1表明不动点是曲线()⋅f 与45o 线的交点。当函数()x f 定义在[]1,0∈x 区间上且因变量()x f y =的值域也为[]1,0区间时，如果()x f 是连续的，则必然存在不动点。 图2.1 [0,1]区间上的自变换函数的不动点 直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理不是Brouwer 角谷静夫(Kakutani)不动点定理。 定义1 S 是凸的(Convex)当且仅当对任意的M M R y R x ∈∈,及满足1 0≤≤λ的λ，只要S x ∈和S y ∈，则有()S y x ∈-+λλ1 定义2 S 是闭的(Closed)当且仅当对每个收敛的序列() }{ ∞=1 j j x ，如果对每个j 都有()S j x ∈，则有()S j x j ∈∞ →lim 定义3 R M 中的子集S 是开的(open)当且仅当它的补集R M /S 是闭的。 定义4 S 是有界的(bounded)当且仅当存在某个正数K 使得对S 中的每个元 素x 都有∑∈≤M m m K x 定义5 当函数()x f 满足下述性质时，我们称其为凹的： ()()()()()[]n R x x x f x f x x f ∈∈-+≥-+212121, 1,0,11λλλλλ 如果当()1,0∈λ时上面的不等式严格成立，则称()x f 为严格凹的。一个函数 ()x f 是凸的当且仅当函数-()x f 是凹的；()x f 为严格凸函数当且仅当-()x f 为严格凹函数。 x 第一季第二季第三季第四季)(x f x 1
拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下： 定义6 函数()x f 定义在R n 中的子集D 上，当且仅当()x f 满足如下性质时， ()x f 是拟凹的： ()()()()()2121,min 1x f x f x x f ≥-+λλ ∈λ[0,1] 显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。在下图中，函数()x f 是拟凹的，但不是凹的。 图 不是凹函数的拟凹函数 x 1 y x 2 x () x f
纳什均衡的存在性与多重性 对于数学家来说，一个数学概念的存在性与唯一性是特别需要加以关注的。这是因为，从形式逻辑角度看，如果某个事物并不存在，那么关于这个杜撰中的事物所给出的任何陈述或判断都可认为是正确的或错误的，因为对于不存在的事物来说，任何关于它的陈述或判断都不可能加以证伪。所以，倘若某个概念所对应的事物并不存在。那么，关于这个概念所给出的研究结论都必然不存在被证伪的可能。因而根据波普尔的证伪主义观点，这样的研究不具备科学上的意义。所以，我们在对任何新提出来的数学概念加以系统研究之前，首先需要弄清楚所研究的对象事物是否存在。 有许多被称为伪科学的东西，它们之所以被人们认为是“伪科学”的原因就是它们大肆谈论的东西并不存在或并未被证实其存在性。譬如，所谓的特异功能或“超灵学”并未得到证实，而UFO研究迷们至今也未能拿出一件存在球外生命的证据，所以，特异功能学或“超灵学”或“不明飞行物学”实际上都可被归入伪科学。除了存在性之外，概念事物的唯一性也是数学家们所关心的问题。从纯理论的兴趣上看，数学家们更多地是从审美的角度上看待概念的唯一性，但从波普尔的证伪主义哲学看，模型均衡解的唯一性关系到模型的预测功能，从而是科学理论应基本具有的特征。我们在第二章中曾指出，理论的预测功能是判别理论的科学性的准绳，而在第三章中，我们提出用纳什均衡作为模型的预测结果。按照这样的逻辑，一个自然的推论就是：模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的唯一性。因为倘若纳什均衡不是唯一的，那么就难以根据模型对即将出现的结果加以预测，这种不确定性对于科学理论来说是不存在的。再加上前面谈到的存在性问题，我们可以这样说，模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的存在性和唯一性，因为这正是科学理论所具有的基本性质。 博弈论目前发展的情况是这样的：已经证明在非常一般的情况下，纳什均衡是存在的，这是一个好的结果；但是，在许多情形，模型的纳什均衡解不是唯一的，这被称为纳什均衡的多重性问题。 纳什在1950年代证明了纳什均衡的存在性定理，为非合作博弈打下了重要基础。纳什的工作不仅解决了存在性问题，而且还为其后的博弈论研究提供了一整套方法论工具，即运用不动点定理(fixed point theorem)这一强有力的数学工具进行博弈论数学分析，这对后来的博弈论甚至数理经济学的发展产生了很大的影响。纳什均衡的多重性问题至今仍是困扰博弈论学者的一个主要问题。为了攻克这一问题，博弈论专家已经做出了许多贡献，如聚点均衡、相关均衡，子博弈精炼纳什均衡，颤抖手均衡，序贯均衡等概念的提出。但不幸的是，这类努力还未使得多重均衡问题完全得到解决，许多博弈论专家正在这一领域进行着不懈的工作。 本章将给出纳什均衡的存在性定理和讨论存在多重均衡情况下的均衡选择问题。
Banach空间上的不动点理论及其应用 Banach空间是数学中的一个重要概念，它在函数分析领域具有广泛 的应用。不动点理论是研究映射在自身上是否存在不动点的数学理论。本文将介绍Banach空间上的不动点理论，探讨其应用领域和意义。 一、Banach空间的定义和性质 Banach空间是一个完备的向量空间，具有一个范数，使得该空间中 的任意Cauchy序列收敛于该空间中的某一元素。Banach空间的一个重 要性质是完备性，即任意柯西序列在该空间内收敛。Banach空间的完 备性对于不动点理论的推导和证明至关重要。 二、不动点理论的基本概念 在Banach空间上，给定一个映射F，若存在一个元素x使得F(x) = x，则称x为F的不动点。不动点理论研究的是映射在自身上是否存在 不动点，并通过各种方法寻找和证明不动点的存在性和唯一性。 三、不动点理论的证明方法 1. 压缩映射原理：若存在一个常数k (0 3. Brouwer不动点定理：对于n维球面上的连续映射，存在至少一个不动点。 4. Kakutani不动点定理：对于凸紧合集上的凸映射，存在至少一个不动点。 等等。 四、应用领域 不动点理论在许多领域具有广泛的应用，包括： 1. 微分方程：通过不动点理论，可以证明微分方程存在解，且解的存在是稳定的。 2. 经济学：不动点理论在经济学中的应用较为常见，特别是涉及到均衡分析和最优化问题。 3. 优化问题：通过将优化问题转化为不动点问题，可以使用不动点理论来解决各种优化问题。 4. 图像处理：不动点理论在图像处理中的应用，如图像恢复、压缩感知等方面具有重要意义。 5. 动力学系统：不动点理论在动力学系统中的应用广泛，通过不动点理论可以研究动力学系统的稳定性和渐进行为。 等等。 总结起来，Banach空间上的不动点理论是数学中的重要理论之一，它具有广泛的应用领域和重要的理论意义。通过掌握不动点理论的基
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