泛函分析题1_1压缩映射原理p9 1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集． 证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A?X，A是X的闭子集． 若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列． 因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x． 而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中． 因此，{x n}是子空间A中收敛列． 所以，子空间(A, ρ)是完备的． (2) 设(X, ρ)是度量空间，B?X，B是X的完备子空间． 若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X． 则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列． 由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列． 若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y． 由极限的唯一性，x∈y．故x∈B． 所以B是X中的闭子集． 1.1.2 (Newton法) 设f是定义在[a, b]上的二次连续可微的实值函数，z∈(a, b)使得 f (z) = 0，f’(z) ≠ 0．求证存在z的邻域U(z)，使得?x0∈U(z)，迭代序列 x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...) 是收敛的，并且lim n→∞x n= z． 证明：首先，由f’(z) ≠ 0，存在z的邻域V? (a, b)，使得f’在cl(V)上总不为0．设m = min {| f’(x) | x∈cl(V)}，M = max {| f’’(x) | x∈cl(V)}，则m > 0． 由f (z) = 0，存在z的邻域U= ( z -δ , z +δ ) ?V，使得 ?t∈cl(U)，| f (t) | ≤m2/( M + 1)． 设T : cl(U)→ ，T(x) = x-f (x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的． 则?x, y∈cl(U)，存在ξ∈U，使得T(x) -T(y) = T’(ξ)(x-y)． 故| T(x) -T(y) | = | T’(ξ) | · | x-y | = | f(ξ) f’’(ξ)/f’(ξ)2| · | x-y | ≤m2M/(( M + 1)m2) · | x-y | = (M/( M + 1)) · | x-y |． 特别地，?x∈cl(U)，| T(x) -T(z) | ≤ (M/( M + 1)) · | x-z | ≤ | x-z | ≤δ． 而T(z) = z-f (z)/f’(z) = z，故| T(x) -z | ≤δ，即T(x)∈cl(U)． 所以，T是cl(U)上的压缩映射． ?x0∈U，迭代序列x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...) 就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列x n +1 = T(x n)( n = 0, 1, 2, ...)． 由压缩映射原理，{x n}是收敛的，并且lim n→∞x n= z． 1.1.3 设(X, ρ)是度量空间，映射T : X→X满足ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y) (?x ≠y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的． 证明：若不然，设T有不同的不动点x, y∈X，则ρ(x, y) = ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y)，矛盾．故T的不动点是唯一的． 1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．
装订线 §3分式线性映射 ((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射)) 1、定义：由分式线性函数 az b w cz d + = + (,,, a b c d为复常数且0 ad bc -≠) ……(6.4) 构成的映射，称为分式线性映射。 注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合： w z b =+，0i w zeθ =，(0) w rz r =>, 1 w z = 因为：当0 c=时,(6.4)式变为az b a b w z d d d + ==+ ,可以看做(0) w rz r =>和w z b =+的复合. 当0 c≠时，(6.4)式变为 () az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc ad w +++-++-- ====+ 它可以看作w z b =+，(0) w rz r =>, 1 w z =参与的复合。 ((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点)) (1)平移映射：w z b =+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))
装 订线 同样将曲线C进行旋转 θ角度。 (3)相似映射：(0) w rz r => (4)反演映射： 1 w z = 当点z在单位圆外部时，此时||1 z>，故||1 w<,即w位于单位圆内部。 当点z在单位圆内部时，此时||1 z<，故||1 w>,即w位于单位圆外部。 所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。 规定：反演映射 1 w z =将0 z=映射成w=∞,将z=∞映射成0 w=。 2、分式线性映射的性质 1）保形性
第二节 分式线性变换（映射） 本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用． 一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换 形如：az b w cz d +=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =． 注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则， 0a b ad bc c d =-=，即 a b k c d = ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换． 20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下： （·）当0c ≠时，补充定义L()d c -=∞，L()a c ∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞． 则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换． 30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面． 事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b w z cz d +==+具有单值的逆变换dw b z cw a -+= -．
40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性． 50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换． （二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式） 分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =? ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z = ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d d =+， 记i a re d θ=，它又变为 ()i b w r e z d θ=+ ， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换 i e z θξ=，r ηξ= 和 b w d η=+ ， 复合而成． 当0c ≠时，分式线性变换可变形为 2 1()1()1 az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c ++++--= =?=?=+? ++++， 记 2i bc ad re c θ-=，它还可变形为 2 11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c θ-=+?=+?++． 显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换
压缩映射原理的性质和应用 摘要 本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下： 第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。 第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。 第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。 第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。 第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。 关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程
ABSTRACT In this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc. Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation
压缩映射原理在求极限中的应用 张烁 摘要：压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决数学极限中的优越性. 关键词：压缩映射原理极限压缩映射原理是著名的波兰数学家Stefan Banach 在1922 年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性. 这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用. 在前人的基础上，结合自己的学习体会，归纳总结了压缩映射原理在求数列极限中的应用，进一步展示其优越性. 1 压缩映射定义1 若X 是度量空间, T 是x 到x 中的映射, 如果存在一个数α，0< α <1, 使得对所有的x , y ∈ x , d( Tx , Ty ) ≤α d( x , y) , 则称T 是X 上的一个压缩映射, α称为压缩常数。 定义 2 设X 为一非空集, T ∶X → X 是一个映射, 如果有x 3∈ X 使得T x 3= x 3 , 则称x 3为映射T 的一个不动点。 定理 1 (压缩映射定理)设X 是完备的度量空间T 是X 上的压缩映射，那 么T 只有且只有一个不动点(就是说，方程Tx=x ，有且只有一个解) . 证明任取x0 ∈ X , 令x1 = Tx 0 , x2 = Tx 1 , ??, x n+1 = Tx n , ?.我们先证明{ x n } 是基本列. ρ( x2 , x1 ) = ρ( T x 1, Tx 0 ) ≤αρ( x1, x0 ) = αρ( Tx 0 , x0 ) , ρ( x3 , x2 ) = ρ ( T x 2 , Tx 1 ) ≤αρ( x2 , x1 ) = α 2ρ ( Tx 0 , x0 ) . 一般, 由归纳法可得ρ( x n+1 , x n ) ≤αnρ( Tx 0 , x0 ) ( n = 1 , 2 , ?) , 于是, 对于任意的正整 数P , 有 ρ( x n+ p , x n )≤ρ(x n+ p , x n+ p- 1 ) +ρ( x n+ p- 1 , x n+ p - 2 ) + ?,ρ( x n+1 , x n ) ≤ (αn+ p- 1 +αn+ p- 2 +?+αn )ρ( Tx 0 , x0 ) = αn ( 1 - αp ) ρ ( Tx 0, x0)/(1 - α) ≤ αn /(1 -α)ρ( Tx 0 , x0 )。 因为0 ≤α≤1 , 当n →∞,ρ( x n+ p , x n ) →0 , 即{ x n } 是基本列。由于X 是完备空间, 存在x n ∈X , 使得x n →x n。再由T 的连续性, 在( 1) 中, 令n →∞ , 就得到x n = Tx n . 再证唯一性。如y n 也是T 的一个不动点, 即y n=Ty n, 则有 ρ( x n ，y n) = ρ( Tx n, Ty n) ≤αρ( x n ，y n). 由于0≤α< 1 , 做ρ( x n , y n ) = 0 , 即x n=y n . 推论设X 是完备距离空间, TX→X 。如果存在常数α( 0 ≤α< 1)及正整n0 ,使对任何x , y∈X 都有ρ( T n0 x , T n0y) ≤αρ( x , y) , 则T 存在唯一的不动点(其中T no可以归纳定义如 下: T2 x=T(Tx)，T3 ( x) = T ( ( T2 x) , ?) . 定理 1 ′对数列{ x n},若存在常数h :0 压缩映射原理及其应用 压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ?∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。 而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。 利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。 例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。 在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。 首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即： n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞ ()314x f x x =++，()() 21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出： ()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到： 1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r ++-+-+--≤ -=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令 n →∞，得到()314A A f A A ==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞ =。 例1中设定了一个距离()()()() ()111,,,,n n n n n n a a f a f a a a r ρραρα+--=≤=，这证明 §2 分式线性变换 一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11 §2 分式线性变换 1、 分式线性变换及其分解 分式线性变换的概念 称变换 d cz b az w ++= (7.3) 为分式线性变换或M?bius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记 为 。 规定 时， ， 时， 。 线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也 是线性变换。 线性变换 可分解为以下二种类型变换的复合 (Ⅰ) 整线性变换 (当时,) (Ⅱ)反演变换 (当时,) (Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。 (Ⅱ)型变换的几何意义。 其中 具有性质: ，并且对称点 都在过单位圆心 的同一射线 上。把平面上的单位圆周映成 平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。规定圆心 与 为关于单位圆周的对称点。 线性变换的复合仍是线性变换。 几个初等函数的映射性质 1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换． (2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周． 2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加． (2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.z w 1 = 的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的． 第七讲 分式线性变换 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+ 且的分式函数,即等价于 :f → ,az b z w cz d +→= +为分式线性变换 . f 是 上的双射. 设()az b w f z cz d +== +,1()b dw z f w z cw a --=?=-,即1()dw b f w cw a --+=- . 1f -也是分式线性变换 . 特别地, 11(0)()lim (0)()lim z z b f d az b a f cz d c b f a dw b d f cw a c →∞--→∞?=??+?∞==?+??=-??-+?∞==--? 1 反演变换 形如1w z =的变换,称为反演变换(如图7.1). 2 相似变换 (1)平移变换:(),()f z z h h =+∈ (如图 7.2). (2)旋转变换:(),()i f z e z θθ=?∈ (如图7.3). (3)伸缩变换:(),(0)f z rz r =>(如图 7.4). 综上:相似变换统一写成arg ()()i k f z kz h k e z h =+=?+. 引理1 形如()(,,,0)az b f z a b c d ad bc cz d +=∈-≠+ 且的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式 线性变换. 证明:(?) case1:0()az b a b c f z z d d d +=?==+是相似变换. case2:10()bc ad a c f z c cz d c -≠?=?++,即如下复合: 111bc ad bc ad a z cz d cz d c cz d c cz d c --→+→ →?→?++++ (?) 设''()'' a z b g z c z d +=+,要证()gf z 也是分式线性变换.经过计算,得 ('')('')()('')('') aa cb z ba db gf z ac bd z bc db +++= +++ 为分式线性变换.证毕. 反演变换的性质 保圆周性 定理2 分时线性变换()az b f z cz d +=+将圆周(或直线)映为圆周(或直线). 证:(方法一) ()az b f z cz d +=+是1w z =和w kz h =+的复合而成的 ∴只需讨论1w z =或w kz h =+的形式,其中,后一情形显然.只讨论1w z =的情形. 圆周曲线的方程为 0Azz Bz Bz C +++=压缩映射原理及其应用
分式线性变换--很好很强大
第七讲 分式线性变换
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