高考的学子们必须知晓的函数不动点知识
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数，
f(x) = x2 − 3x + 4，则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。
函数的不动点在函数研究与应用中(如在函数迭代研究和应用于求数列通项),占有重要地位.
下面我们以一道例题来分析：
小伙伴先自己分析该题的思路
第一问直接根据不定点的定义直接转换为一元二次方程，求解该方程根即可
第二问就转换为求一元二次方程根的情况，讨论字母的取值范围这题稍微转换一下是不是很熟悉的解题思路，在圆锥曲线中我们采用的哟，小伙伴拿去慢慢消化吧
注:函数的不动点有两方面的理解:
①代数意义:函数f(x)的不动点x0是方程f(x)=x的实数根;
②几何意义:函数f(x)的不动点x0是函数y=f(x)与直线y=x交点的横坐标.
每天进步一点点，祝各位学业有成
高考必考的数学知识点大全 一、函数与方程 函数与方程是高中数学中的重要内容，也是高考必考的数学知识点。该部分包括以下内容： 1.1 一次函数与方程 一次函数是指函数的最高次数为一的函数，其一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。一次方程是指最高次数为一的方程，如ax+b=0。一次函数与方程的求解方法包括平移法、解直线方程法等。 1.2 二次函数与方程 二次函数是指函数的最高次数为二的函数，其一般形式为 y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。二次方程是指最高次数为二的方程，如ax²+bx+c=0。二次函数与方程的求解方法包括配方法、因式分解法、求根公式法等。 1.3 指数函数与对数函数 指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数，一般形式为 y=a^x，其中a为底数。对数函数是指以指数为自变量且底数为常数的函数，一般形式为y=loga(x)，其中a为底数。指数函数与对数函数的性质及求解方法包括指数规律、对数计算法则、对数方程法等。 1.4 三角函数与三角方程
三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。三角方程是指含有三角函数的方程，求解三角方程的方法包括化简法、换元法、恒等变形法等。 二、空间与立体几何 空间与立体几何是高中数学的重要内容之一，也是高考必考的数学知识点。该部分包括以下内容： 2.1 点、直线与平面 点是空间中没有长、宽、高的概念的基本元素，直线是由无数个点按一定规律排列而成的一维图形，平面是由无数条直线按一定规律排列而成的二维图形。点、直线与平面的性质及相关定理包括共面定理、垂直平分线定理、直线交于一点等。 2.2 空间几何体的计算 空间几何体包括球、圆柱、锥、棱柱、棱锥等。计算空间几何体的体积、表面积和侧面积是高考常考的内容，求解方法包括代入法、纵横比较法、平行四边形法等。 2.3 三视图与投影 三视图是对立体图形的三个主要平面投影，包括正视图、侧视图和俯视图。投影是指立体物体在投影面上的映射，包括点投影、线投影和面投影。三视图和投影的作图及相关问题是高考常考的内容。 三、概率论与统计学 概率论与统计学是高中数学的重要内容之一，也是高考必考的数
数学高考必考知识点必背 数学是高考中的一门重要科目，也是很多学生认为最难的科目之一。在备考过程中，掌握必考知识点是非常关键的。本文将从几个主要知 识点入手，介绍数学高考中的必考知识点以及如何背诵掌握它们。 一、函数与方程 函数与方程是数学高考中的重要考点，包括一次函数、二次函数、 立方函数、反函数等等。在背诵这些知识点时，我们应该重点掌握其 定义、性质和图象特征。同时，要注意掌握不同函数类型的图象特征，如一次函数的直线特征、二次函数的抛物线特征等。通过多做例题和 习题，将这些知识点运用到实际问题中，进一步加深理解。 二、数列与数列极限 数列与数列极限也是高考中的必考知识点之一。数列的概念和性质 要背诵熟练，例如等差数列、等比数列等。同时要重点掌握极限的定义、性质和计算方法，如极限的四则运算法则、夹逼定理等。在背诵 这些知识点时，我们可以通过列举各种不同类型的数列和求极限的例题，加深对这些知识点的理解和记忆。 三、三角函数与解三角方程 三角函数与解三角方程也是高考数学中的重要考点。背诵三角函数 的定义、性质以及它们之间的关系是必不可少的。特别是要注意掌握 正弦函数、余弦函数、正切函数等的周期性和对称性。解三角方程也 是必须要掌握的技能，其中包括解一元三角方程、解二元三角方程等。
通过理论与实际问题结合的例题，可以加深对这些知识点的理解与记忆。 四、概率与统计 概率与统计是高考数学中的重点内容，也是很多学生认为比较难理解的部分。在背诵这些知识点时，我们应该掌握概率的定义、性质以及应用。对于统计学中的相关概念和方法也需要背诵熟练，如频数、频率、均值、方差等。通过多做实例，将这些知识点应用到实际问题中，加深对它们的理解和记忆。 总结起来，数学高考中的必考知识点是考生备考过程中应该重点掌握的内容。我们在背诵这些知识点时，应该注重理解和记忆的结合，通过讲解、演算以及举例等方法深入理解这些知识点的定义、性质和应用。同时，要善于总结，将常见的解题方法和技巧整理出来，形成一套属于自己的备考方法。最后，在备考过程中，要有耐心和恒心，坚持不懈地练习，相信只要努力，就一定能够掌握数学高考的必考知识点，取得好成绩。
摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.
全国高考数学函数知识难点归纳 “国家的繁华强盛，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率”;“高新科技的基础是运用科学，而运用科学的基础是数学。”学好数学很重要。下面是作者为大家整理的有关数学函数必备知识点总结整合，期望对你们有帮助! 函数知识点归纳 一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有以下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx (k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过以下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k 0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k 0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b 0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k 0时，直线只通过一、三象限;当k 0时，直线只通过二、四象限。 四、肯定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请肯定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)由于在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的运用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
专题14函数不动点问题 一、单选题 1．（2020·广东海珠·高二期末）设函数()f x （a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线 y x x = 上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e [1]e -, B ．1e [ e 1]e -+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e] 2．（2021·四川·高考真题（文））设函数 （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0， 1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，e] B ．[1，1+e] C ．[e ，1+e] D ．[0，1] 3．（2021·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一 个不动点.设函数()1(x g x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足 ()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫ ∈+ -+⎨⎬⎩⎭ ，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．⎛⎫ -∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫ +∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 4．（2021·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1 ln 2 =+ -∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1 ,12 2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦e B ．e 1,ln 212⎡⎤ --⎢⎥⎣⎦ C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．（2021·重庆一中高一期中）设函数()2x f x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），若存在实数[]0,1b ∈使 ()()f f b b =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,e B ．[]1,1e + C ．[]1,2e + D ．[]0,1 6．（2021·全国·高三专题练习）设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）．
高考数学函数知识点大全 数学作为一门学科，对于高中生来说是必修科目之一，而在高中数 学中，函数是一个非常重要的知识点。函数作为数学中的一个概念， 是描述自变量和因变量之间关系的工具。在高考中，函数涉及到的知 识点非常丰富，掌握这些知识点对于学生取得优异的成绩至关重要。 下面将介绍一些高考数学函数知识点的大全，帮助学生们更好地备考。 一、基本概念 1. 函数的定义：函数是一个有输入输出的对应关系，通常用f(x)表示。 2. 函数的定义域：函数的定义域是指能够使函数有意义的变量取值 范围。 3. 函数的值域：函数的值域是指函数输出的所有可能值的集合。 4. 函数的图象：函数的图象是指函数在坐标系中的表示。 5. 函数的性质：包括奇偶性、单调性、周期性等。 6. 一次函数：一次函数又称为线性函数，是一个变量与常数相乘再 加上常数的运算。 二、基本函数 1. 幂函数：幂函数是指以自变量为底数，指数为指数的函数。 2. 指数函数：指数函数是以常数e为底数，自变量为指数的函数。
3. 对数函数：对数函数是指以常数为底数，函数值为指数的函数。 4. 三角函数：包括正弦、余弦、正切、余切等。 三、函数的性质和基本变形 1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数是函数的基本性质，可以利用函 数的奇偶性简化计算。 2. 函数的单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势， 包括递增和递减。 3. 函数的周期性：周期函数是指函数在某个范围内的值具有重复性。 4. 函数的对称性：对称函数是指函数在某个轴上具有对称性。 5. 函数的函数值和自变量的关系：研究函数值和自变量之间的关系，包括最大值和最小值等。 四、函数的应用 1. 函数的综合应用：函数在实际问题中的应用，如最优化问题、最 值问题、几何问题等。 2. 函数的图象和方程的关系：通过函数的图象来求解方程及图象的 性质。 以上只是高考数学函数知识点的一个简单介绍，实际上还有很多相 关内容。在备考过程中，学生们应该熟悉相关定义和性质，掌握函数 的基本类型和应用，灵活运用函数的变形和相关知识解决问题。同时，
江苏高考数学函数知识点 随着全国高考的临近，江苏省高考也即将到来。作为高考数学 科目中的重要一部分，函数是高考数学的基础知识之一，也是考 生们备考的重点。本文将围绕江苏高考数学函数知识点展开讨论，帮助考生们更好地掌握相关内容。 一、基本概念和性质 在学习函数的过程中，首先需要掌握函数的基本概念和性质。 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都和另一个 集合中的唯一确定的元素相对应。函数有定义域、值域、图像等 重要概念，要善于利用这些概念进行问题的分析与求解。 二、常见函数类型 1. 一次函数：一次函数是最基本的函数类型之一，它的函数关 系可以用一个方程y=kx+b表示，其中k和b分别为函数的斜率和 截距。考生需要熟练掌握一次函数的性质和图像特征，并能够根 据给定条件求解相关问题。 2. 二次函数：二次函数是函数的另一种重要类型，它的函数关 系可以用一个方程y=ax²+bx+c表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
掌握二次函数的图像特征和性质，能够正确理解顶点、轴对称等概念，对解题非常有帮助。 3. 幂函数：幂函数是函数的一个常见类型，它的函数关系可以用一个方程y=x^a表示，其中a为常数。掌握幂函数的特点和性质，并能够熟练应用幂函数解决实际问题是十分重要的。 4. 指数函数：指数函数也是一种常见的函数类型，它的函数关系可以用一个方程y=a^x表示，其中a为常数且a>0且a≠1。正确理解指数函数的图像特征和性质，以及与幂函数之间的关系，能够帮助考生更好地理解指数函数的应用。 5. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它的函数关系可以用一个方程y=logₐx表示，其中a为正实数且a≠1。熟练掌握对数函数的性质和图像特征，能够有效地解决相关问题。 三、函数的应用 函数在生活中的应用非常广泛，包括经济、物理、生物等各个领域。函数的应用涉及到函数的定义、函数的图像、函数的性质
高考数学函数必考知识点总结 高考数学中，函数是必考知识点，作为数学的重要基础概念，它是高考中经常涉及的内容之一。本文将总结高考数学中函数必考知识点，希望对广大考生有所帮助。 一、函数的定义 函数是一种特殊的映射，它将一个自变量映射到一个因变量上。用数学语言来描述，如果有集合A和集合B，让A中的元素x代入函数f，就可以得到一个对应于x的唯一的B中的元素y，表示为y=f(x)。 二、常见函数类型 1. 线性函数：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。 2. 幂函数：y=x^a，其中a为实数。 3. 指数函数：y=a^x，其中a为正数。 4. 对数函数：y=log_ax，其中a为正数，且a≠1。 5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。 三、函数的性质 1. 奇偶性：如果f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果 f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
2. 单调性：如果在f(x)的定义域内，当x1
高考数学必备的函数知识点总结数学在高考中占有重要地位，而函数作为数学中重要的知识点 之一，更是考察的热点之一。在高考的数学考试中，涉及到函数 的题目居多，因此掌握函数知识点对于高考数学的成绩至关重要。下面就来总结一下高考数学必备的函数知识点。 一、函数的定义及性质 函数是一种关系，将一个数集中的每个元素都对应到另一个数 集中唯一的元素。函数可以用公式、图象、表格等形式表示出来。函数的性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。 二、初等函数及其图象 初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三 角函数及反三角函数等。初等函数的图象可以在平面直角坐标系 中绘制出来，通过函数的图象可以观察到函数的单调性、零点、 最值等性质。 三、函数的运算
函数之间可以进行加、减、乘、除等运算。加、减、乘运算的 定义很明显，而函数的除法运算需要注意被除函数的零点不能在 除函数的零点处。另外，还有复合函数运算，即将一个函数的输 出作为另一个函数的输入，进行函数的连续操作。 四、函数的极限 函数的极限是研究函数变化趋势的一个重要概念。函数的极限 可以用极限的定义式、夹逼定理等方法求得。另外，函数的导数 也是函数极限的一种形式，可以通过导数来研究函数的变化率。 五、函数的微积分 微积分是研究函数变化及变化率的重要工具。微积分包括导数、微分、积分、不定积分、定积分等知识点。其中，导数是函数变 化率的刻画，微分是导数的微小变化，积分是函数的一种变换， 不定积分与定积分是积分的两种特殊形式。 六、一元函数的极值
一元函数的极值包括最大值和最小值。函数的极大值和极小值点是函数曲线上的拐点，可以通过求导数的方法求得。通过求出函数的极值可以推断出函数的单调性、零点、最值等性质。 七、函数方程 函数方程是函数研究中的一个重要概念。通过分析函数的方程可以得出函数的性质。比如，一次函数的方程是y=kx+b，其中k 表示斜率，b表示截距。函数的方程可以用来表达函数的性质，如函数的图象的倾斜程度、位置等。 八、常用函数的性质 1. 正弦函数 正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。正弦函数的值域为[-1,1]，而正弦函数的奇偶性为奇函数。 2. 余弦函数
高考数学中的函数知识点 在高考数学中，函数是一个非常重要的知识点。函数概念的理解和应用不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他科学领域中也具有重要的地位。下面将就高考数学中的函数知识点进行详细的介绍和阐述。 一、函数的定义和性质 1. 函数的定义 函数是指两个集合之间的一种对应关系，它对于每一个自变量有唯一的函数值与之对应。通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为函数值，f为函数的解析式或者算法描述。 2. 函数的性质 - 定义域和值域：函数的定义域是自变量x的取值范围，值域是函数的所有可能函数值所组成的集合。 - 单调性：函数的单调性分为增函数和减函数，当自变量增大时，函数值也随之增大或减小。
- 奇偶性：若对于定义域内的任意x值，有f(-x)=-f(x)，则函数 为奇函数；若对于定义域内的任意x值，有f(-x)=f(x)，则函数为 偶函数。 - 周期性：若存在正常数T，使得对于定义域内的任意x值， 有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。 二、常见函数类型 1. 一次函数 一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表示为y=ax+b。其中，a称为斜率，决定了函数的倾斜方向和程度；b称为截距， 决定了函数与y轴的交点位置。 2. 二次函数 二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表示为 y=ax²+bx+c。二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项 系数a的正负决定。 3. 反比例函数
反比例函数是指函数的解析式可以表示为y=k/x的函数，其中 k为常数。反比例函数的特点是当自变量增大时，函数值逐渐减小。 4. 指数函数 指数函数是指函数的解析式可以表示为y=a^x的函数，其中a 为大于0且不等于1的实数。指数函数的图像呈现出递增或递减 的趋势，斜率随x的变化而变化。 5. 对数函数 对数函数是指函数的解析式可以表示为y=logₐx的函数，其中a 为大于0且不等于1的实数。对数函数的图像通常呈现出S形曲线。 三、函数的运算和复合函数 1. 函数的四则运算 - 函数的加法：给出两个函数f(x)和g(x)，定义它们的和为 (f+g)(x)=f(x)+g(x)。 - 函数的减法：给出两个函数f(x)和g(x)，定义它们的差为(f- g)(x)=f(x)-g(x)。
不动点原理在高考中的应用 1. 什么是不动点原理？ 不动点原理是数学中的一个重要概念，它指的是在某个函数下存在一个点，使 得该点经过函数变换后仍保持不变。换言之，对于函数f(x)，如果存在a使得 f(a)=a，那么a就是这个函数的不动点。不动点原理在数学、物理、计算机科学等 领域中具有广泛的应用。 2. 不动点原理在高考解题中的意义 在高考中，考察学生对数学概念的理解和运用能力。不动点原理作为数学中的 一个重要概念，能够帮助我们更深入地理解和解决一些问题。下面我们将介绍不动点原理在高考解题中的应用。 3. 不动点原理的应用举例 3.1 函数的迭代 不动点原理可以被用来解决函数的迭代问题。例如，考虑函数f(x) = x^2 - 3x + 4。我们希望找到f(x) = x的解。 首先，我们可以将f(x) = x转化为x = g(x)，其中g(x) = x^2 - 3x + 4。然后，我 们可以通过迭代的方式来逐渐逼近函数的不动点。具体步骤如下： 1.选定一个初始值x0。 2.计算x1 = g(x0)。 3.依次计算x2 = g(x1)，x3 = g(x2)，…，直到收敛到某个不动点。 这样，我们可以通过不断迭代的方式，找到函数的不动点，从而解决方程f(x) = x的问题。 3.2 高考中的应用 不动点原理在高考数学中的应用非常广泛。举个例子，在函数的性质和应用方面，常常会涉及到函数的不动点。考生可以通过不动点原理的应用来解决一些复杂的函数性质题。具体实例如下： 题目：已知函数f(x) = x^2 - 3x + 4，求函数的最小值。 解题思路： 1. 首先，求函数的导数f’(x) = 2x - 3。 2. 令f’(x) = 0，解得x = 3/2。 3. 计算f’’(x) = 2，根据二阶导数的正负确定函数的凸凹性。 4. 然后，我们可以通过不动点原理来求解函数的最小值。 5. 找到g(x) = x的不动点，即x = g(x)。代入
高考函数知识点迷题 高考数学中，函数是一个非常重要的知识点，也是考生们最容易迷惑的部分之一。在高考中，函数知识点的考察形式多种多样，掌握并理解函数知识点成为考生成绩优劣的关键之一。以下将详细介绍高考中常见的函数知识点迷题，帮助考生们更好地应对。 1. 函数的概念和性质 函数是数学中的重要概念，考生在理解函数的定义和性质上常常存在疑惑。函数将一个数集的每个元素 $x$ 都唯一地对应到另一个数集的元素 $y$ 上。在解决函数迷题时，考生需要注意以下几点：（1）函数的定义域和值域：考生需要明确函数的定义域和值域，并注意相关限制条件。在解题过程中，对于函数的定义域和值域的合理判断能够帮助答案更加精准。 （2）函数的奇偶性：在判断函数的奇偶性时，考生需要注意函数的定义域。注意考察函数的奇偶性时，应该将函数代入对称轴两侧来进行判断。 2.函数的图像与性质 函数的图像与性质由函数的定义及其相关性质决定。在解该类迷题时，考生需要注意以下几点：
（1）函数的图像特征：不同类型的函数有着不同的图像特征，如 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。考生需要熟悉这些特征，并能够利用函数图像特征进行解题。 （2）函数的最值：考生需要学会通过函数图像判断函数的最值。 对不同类型的函数，从图像中找出最大值或最小值，是解决迷题的重 要方法。 3. 函数的运算与综合应用 函数的运算是高考中常见的题型之一，考生需要掌握函数的加、减、乘、除等基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。 （1）函数的复合：在解决函数的复合问题时，考生需要特别注意 运算次序。要根据问题中所给的条件，合理使用复合的定义来解答问题。 （2）函数的求导：函数的求导也是高考中常见的题型。考生需要 掌握导数的基本概念和求导的方法，能够在解决问题时灵活运用导数 的性质。 （3）函数在实际问题中的应用：高考经常考察函数在实际问题中 的应用。考生需要将所学的函数知识与实际问题相结合，掌握应用函 数解决实际问题的方法。 总结： 高考函数知识点迷题主要包括函数的概念和性质、函数的图像与性 质以及函数的运算与综合应用。考生在备考高考数学时，应该重点掌
数学高考知识点几何函数 数学高考是许多学生心中的一块巨大石头，特别是几何函数这一部分。它常常被认为是数学中最难的部分之一，但只要我们能够理解其中的知识点，掌握其应用方法，就能轻松应对高考数学考试。 一、直线与平面的交点 在几何函数中，了解直线与平面的交点是非常重要的。交点是指直线与平面相交的点，而这个点的坐标可以通过解方程组来求解。在考试中，通常会给出一个直线的参数方程和一个平面的一般方程，我们需要根据这些信息来计算交点的坐标。 例如：已知直线的参数方程为： x = t + 1 y = 2t - 2 z = -t + 3 平面的一般方程为：
2x - y + z = 4 通过将直线的参数方程代入平面的一般方程，得到： 2(t + 1) - (2t - 2) + (-t + 3) = 4 化简后，可得到 t 的值。将 t 的值代入直线的参数方程，即可求得交点坐标。 二、直线的倾斜角 直线的倾斜角是几何函数中的另一个重要知识点。倾斜角指的是直线与 x 轴正半轴的夹角。在求直线的倾斜角时，我们可以根据直线的斜率进行计算。 斜率可以通过直线的两点坐标来计算，公式为： k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。通过计算斜率，我们可以得到直线与 x 轴正半轴的夹角。
三、三角函数与几何函数的关系 在几何函数中，三角函数与几何函数有着密切的关系。我们经常会用到三角函数来求解几何函数的问题。 例如：已知一个直线的方程为 y = 2x + 1，我们想要求直线与 x 轴的交点坐标。 首先，我们可以令 y = 0，得到： 0 = 2x + 1 解这个方程，可以得到 x 的值。将 x 的值代入直线的方程，即可求得交点坐标。 在这个过程中，我们使用了三角函数中的反函数。反函数可以将一个函数的结果转化为其自变量，帮助我们求解几何函数中的问题。 四、图形的平移与旋转
高考函数知识点总结 函数知识点这块的内容不容无视，帮助学子理理换乱的思路，对提高数学成绩会有很大的帮助。以下是的高考函数知识点总结，希望能够帮助到大家！ （一）、映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。 2、对于函数的概念，应注意如下几点： （1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。 （2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。 （3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g 的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。 3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤： （1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域; （2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）; （3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。 注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。 ②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以防止求反函数的过程，从而简化运算。 （二）、函数的解析式与定义域
1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法那么的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型： （1）有时一个函数于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑; （2）一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如： ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。 应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。 （3）一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。 f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足 a≤g（x）≤b的x的取值范围，而f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 （1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入适宜的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。
专题30 函数不动点与稳定点模型 不动点: 已知函数 (),y f x x I =∈, 若存在 0x I ∈, 使得 ()00f x x =，则称0x 为函数 ()y f x = 的 不动点。 不动点实际上是方程组 ()y f x y x ⎧=⎨ =⎩ 的解 ()00,x y 的横坐标， 或两者图象的交点的横坐标。 当然, 这个方程组根据函数 ()y f x = 的不同，可能有多解。 例如 1: 21 y x y x =-⎧⎨ =⎩ 的解只有一个 ()1,1，故函数 21y x =- 有一个不动点 01x = 例如 2: 221 y x y x ⎧=-⎨=⎩ 的解为 ()11,,1,122⎛⎫- ⎪ ⎝⎭ ，故函数 2 21y x =- 有两个不动点 1,12- 稳定点: 已知函数 (),y f x x I =∈, 若存在 0x I ∈，使得 ()()0 f f x x =，则称0x 为函数 ()y f x = 的稳定点。 很显然, 若0x 为函数 ()y f x =的不动点，则0x 必为函数 ()y f x = 的稳定点。 证明是非常简单的！因为 ()00f x x =, 所以 ()()()0 f f x f x x ==, 即 ()()0 f f x x =, 故0x 也是 函数 ()y f x = 的稳定点。 反之，有没有不是不动点的稳定点呢? 答案是肯定的！ 例如 3: 设 ()21f x x =-, 令 ()2211x x --=, 解得 1x = 故函数 21y x =- 有一个稳定点 01x = 例如 4: ()2 21f x x =-, 令 () 2 2 221 1x x --=, 因为不动点必为稳定点, 所以该方程一定有两解 1 ,12 x =-，由此因式分解，可得 ()()()21214210x x x x -++-=
高考培优 数学讲义 数列专题：基本通项求法 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 数列中有两类比较特殊的求通项方法：特征根法和不动点法。这在上海高考中并不做要求，但学生若能掌握，对许多数列题会有更深刻的认识，求通项的手段也更加多样化。值得注意的是，特征根解法能用考纲范围内的方法来替代，这会在本讲中体现出来，学生可针对不同的题目按照最适合自己的解法来解题。 1、特征根法 对于形如21n n n a pa qa ++=+的关系式，有如下的通项求法： 该关系式对应于一元二次方程2 2 0x px q x px q =+⇔--=。若该方程有两个根 ,αβ，则数列{}n a 的通项可表示为： （I ）若αβ≠，则12n n n a c c αβ=⋅+⋅，其中12,c c 为待定常数 （II ）若αβ=，则()12n n a c c n α=+⋅，其中12,c c 为待定常数 2、不动点法 对于形如()10n n n pa q a r ra s ++= ≠+的关系式，有如下的通项求法： 该关系式对应于分式方程()0px q x r rx s += ≠+，化简为一元二次方程20x px q ++=。若该方程有两个根,αβ，则数列{}n a 的通项可表示为：
（I ）若αβ≠，则n n a a αβ⎧⎫-⎨ ⎬-⎩⎭ 为等比数列，将1n n n pa q a ra s ++= +代入11n n a a α β++--即可化简为 11n n n n a a k a a αα ββ++--=--的形式，其中k 即为数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭ 的公比。 （II ）若αβ=，则1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 为等差数列，将1n n n pa q a ra s ++= +代入11 n a α+-即可化简为 111 n n d a a αα+=+--的形式，其中d 即为数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 的公差。 【试题来源】 【题目】已知数列{}n a 的首项*1122 ,,31 n n n a a a n N a +==∈+ (I)求数列{}n a 的通项公式； (II)求数列n n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和n S . 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 已知数列{}n a 中，()121212 1,2,333 n n n a a a a a n --===+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【难度系数】2
函数基础知识大全 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致，则称这两个函数相等. 3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 求函数解析式的常用方法： 1、换元法（ 注意新元的取值范围） 2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 3、整体代换（配凑法） 4.赋值法： 3.映射的定义： 一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B. 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集. 4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解 14 用“不动点法”求数列的通项公式 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理 1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即 0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 【典型题型1】已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 【解析】解：作方程.2 3,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+ =≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是
高考函数总复习知识点总结大全(学生用) 1.映射的概念 如果对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确 定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A→B，f表示对应法则。其中，A中元素必须 都有象且唯一，B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2.函数的概念 如果对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值 范围A叫做y=f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x) x∈A称为函数y=f(x)的值域。函数的 三要素为定义域、值域和对应法则。 3.函数的三种表示法 函数的三种表示法分别为图象法、列表法和解析法。图象 法是用函数图象表示两个变量之间的关系；列表法是列出表格
来表示两个变量的函数关系；解析法则是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 5.函数性质 函数的性质包括奇偶性、对数的性质、单调性、周期性等。其中，奇偶性是指函数的对称性，对数的性质包括对数的定义、对数的换底公式等，单调性是指函数的增减性，周期性是指函数在一定范围内重复出现的规律性。 6.反函数 互为反函数的函数是指两个函数之间存在一一对应的关系，即一个函数的自变量和另一个函数的函数值相等，反之亦然。对数函数和指数函数是互为反函数的函数。 7.函数图像关系
函数图像关系包括平移、伸缩、翻折等变换，可以通过这些变换得到不同函数图像之间的关系。 8.对数函数 对数函数是指以常数为底数的对数函数，常用的对数包括常用对数和自然对数。对数函数的图像和性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。 9.一元二次函数 一元二次函数是指最高次项为二次的函数，其图像为开口向上或向下的抛物线。一元二次函数的性质包括对称轴、顶点、零点等。 10.一元二次不等式 一元二次不等式是指最高次项为二次的不等式，其解法包括配方法、求根公式、判别式等。 11.指数函数
不动点与函数 一、一次函数的不动点 设()f x 是一个关于x 的代数函数（即函数解析式为代数式），称方程()f x x =的根 0x 为()f x 的不动点，如果把自变量的值x 用数轴上的点（记为()f x ）来表示，其对应的函数值()f x 也用数轴上的点（记为()f x ）来表示（如图）．这样，我们可以把函数看成是给了数轴上的点的一个移动，即把x 移动至()f x 处．在这个意义下，()00x f x =就表示0x 没有被移动，这个点0x 就称为不动点． 我们知道，一个函数()f x 有自己的定义域和值域，若函数()f x 有不动点0x ，那么这个点既在()f x 的定义域内，又在其值域内，即定义域和值域有公共点．所以，一个函数有不动点的必要条件之一是它的定义域和值域有公共点．如果函数的值域完全包含在定义域内，也就具备了这种必要条件． 定理1：一次函数()()1f x ax b a =+≠的不动点为01b x a = -，且()()00f x a x x x =-+． 定理2：一次函数()()1f x ax b a =+≠±的不动点0x 也是()f x 的n 次迭代函数 [[()() () ]]n f n f f f f x f x ⎡⎤=⎣⎦个的不动点，且 ()()()()002n n f x a x x x n n N =-+≥∈，． 证明： （1）当2n =时，()()2 f f x af x b a x ab b ⎡⎤=+=++⎣⎦ ． 由定理1可知，不动点0211ab b b x a a += =--， 且()()22 00f x a x x x =-+（）， 所以结论成立．