关于函数的不动点
在数学中，函数的不动点是指一个函数的输入和输出相等的点。换句
话说，如果一个函数f在一些点x处的值等于x本身，那么x就是函数f
的不动点。在形式化的表示中，可以用f(x)=x来表示。不动点在很多数
学理论和应用中都有重要的意义，在探索函数的性质、解方程、优化问题
等方面都有广泛的应用。
首先，不动点理论是函数分析、拓扑学和离散动力系统等领域的重要
研究内容之一、在函数分析中，不动点定理是一个重要的工具，它可以帮
助我们证明函数的连续性、存在性和唯一性等性质。其中，著名的
Banach不动点定理是函数分析中的一个重要结果，它指出了完备度量空
间中的压缩映射必然存在不动点。通过不动点定理，我们可以解决一些方
程和优化问题，如求解方程f(x) = x的解、求解方程组、寻找最优解等。
其次，不动点还在离散动力系统的研究中起到重要的作用。离散动力
系统是指在离散时间点上由函数迭代产生的动力学系统。这些离散动力系
统可以通过不动点来描述。例如，一个动力系统可以用差分方程f(x)来
表示，如果在x处的函数值等于x本身，那么x就是这个动力系统的不动点。离散动力系统的稳定性、吸引子等性质可以通过不动点的性质来研究
和分析。
此外，在数值计算和优化问题中，不动点也起到关键的作用。例如，
在迭代算法中，通过迭代产生的序列可以看作是函数的不动点的逼近值。
当迭代到一些值时，如果该值与下一次迭代产生的值相差很小，那么该值
可以近似地看作函数的不动点。通过不动点的逼近，我们可以解决一些数
值计算问题，如求函数的根、求解方程组、求极值等。
除了在数学领域中的应用，不动点还在计算机科学和信息论等领域有
广泛的应用。在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序语言的语义
分析、类型推导、程序验证等方面。通过不动点理论，我们可以定义各种
语言的语义，并进行形式化的推理和验证。在信息论中，不动点也被用于
描述和分析数据压缩算法、信道编码等问题。通过不动点的性质，我们可
以找到效率更高的数据压缩算法和信道编码方案。
综上所述，函数的不动点在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。通过不动点的性质和定理，我们可以研究函数的性质、解方程、优化问题等。不动点理论不仅在数学理论上有重要意义，也在实际应用中发挥着关
键的作用。通过深入研究和应用不动点理论，我们可以更好地理解和分析
各种问题，并且提供更有效的解决方法。
用不动点法求数列的通项 定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点. 利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系 )1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列. 证明：因为 p 是)(x f 的不动点 p b ap =+∴ ap p b -=-∴由b a a a n n +?=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+?=--- 所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++= bc ad c d cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ， 初值条件)(11a f a ≠ （1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则 q a p a k q a p a n n n n --?=----11 （这里qc a pc a k --=） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则 k p a p a n n +-=--111 （这里d a c k +=2） 证明：由x x f =)(得x d cx b ax x f =++= )(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以?????=--+=--+0)(0)(2 2b q a d cq b p a d cp ???? ? ???--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p a qc a pc a qc a b qd a p c a b pd a qc a pc a qd b a q c a p d b a pc a q d ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --? --=------ ?--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc a k --= ，则q a p a k q a p a n n n n --=----1 1
奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点 一、基本知识 1. 满足f(x)=0的x 的值叫做函数f(x)的零点 2. 满足f(x)=x 的x 的值叫做函数f(x)的不动点 3. 满足f(f(x))=x 的x 的值叫做函数f(x)的稳定点 4. 若函数f(x)=ax+b( 的不动点为 ，则函数f(x)可写成f(x)=a ， , ,此定理即：若 是f(x)的不动点，则 也是 （ ）(x)的不动点 二、例题选讲 1.设{}{}R x x x f f x B R x x f x x A R c b c bx x x f ∈==∈==∈++=,))((,),(),,()(2,如果A 中只含有一个元素,则有 （ ） A A B ? B A B ? C B A = D φ=B A 2.设c bx x x f ++=2)(，若方程x x f =)(无实根，则方程x x f f =))((（ ） A.有四个相异实根 B.有两个相异实根 C.有一个实根 D.无实根 3.已知c bx ax x f ++=2)(满足c b a f >>=,0)1(。（1）求c b a b a c ,,的取值范围；（2）证明方程0)(=x f 有两个不等实根；（3）)(x f 图像与x 轴交于A 、B 两点，求AB 。 4.已知)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图像上有两个点))(,()),(,(R f R B r f r A 满足 0)1(,0)()()]()([2==+++f R f r f a R f r f a ． （1）求证：0≥b ；（2）求方程0)(=x f 的另一根的取值范围；（3）求证：)3(),3(++R f r f 中至少有一个为正数． 5.对于函数)(x f ，若x x f =)(，则称x 为)(x f 的不动点；若x x f f =))((，则称x 为)(x f 的稳定点；函数)(x f 的不动点和稳定点的集合分别是A 、B ，即 {}{}x x f f x B x x f x A ====))((,)(。 （1）求证：B A ?；（2）若1)(2-=ax x f ，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围。 6.设)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个不动点为21,x x 满足a x x 1021<<<。（1）当),0(1x x ∈时，证明：1)(x x f x <<；（2）设函数)(x f 的图像关于0x x =对称，证明：2 10x x < 7.已知)0(4)(2<++=a b x ax x f 的两个零点为21,x x ，)(x f 的两个不动点为βα,。（1）
函数迭代与不动点 ——探析“如果f(x)有且仅有两个不动点，求证f[f(x)]不可能有且仅有3个不 动点”问题 定义： 性质：若实数x 0为y=f(x)的不动点，则x 0也为y=f n (x)的不动点。 这个性质用数学归纳法是平凡的。 n=1时，结论平凡。 n=k 时，若有x 0为y=f k (x)的不动点 n=k+1时，f k+1(x 0)=f(f k (x 0))=f(x 0)= x 0 ,故x 0为y=f k+1(x)的不动点 所以性质1是成立的。而性质1，有广泛地使用，例如: f(x)=ax+b （a ≠1）,则有f n (x)= ()11k b b a x a a - +--
回到原题，用反证法，若f[f(x)]有且仅有3个不动点。 由性质，则f（x）有两个不动点，设为a、b。 F[f(x)]除了a、b的不动点设为c。 则f2（f（c））=f（f2（c））=f（c），因此f（c）为f[f(x)]的不动点。 则f(c)等于a、b、c中的一个。 若f(c)=c,则c为f（x）的不动点，这与f（x）恰有两个不动点，矛盾。 若f(c)=a或b，由对称性，不妨设f（c）=a，则f[f(c)]=f(a)=a，又f[f(x)]的不动点为c，则f[f(c)]=c，所以a=c，矛盾 命题得证。 再次回到这个性质：若实数x0为y=f(x)的不动点，则x0也为y=f n(x)的不动点。 这个性质无论是在如本题，还是高考题中都有广泛运用，因此这个结论需要熟练牢记，并巧妙运用。 参考文献 1 、中等数学 > 2003年3期 > 函数不动点在解题中的应用2 2、《中学数学教学》, 2014, 第6期(6):15-17
不动点的性质与应用 一、不动点： 对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标. 例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1 例2：求函数12)(2 -=x x g 的不动点. 解：有两个不动点12 1 、- 二、稳定点： 对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与 y x =图像交点的横坐标. 很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点. 证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点. 解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1 【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2 -=x x g 的稳定点. 解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(22 4 2 4 2 2 =+--?=--+-?=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,21 21=- =x x ?18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x 可得0)124)(12)(1(2 =-++-x x x x ?另外两解4 5 14,3±-= x ， 故函数12)(2 -=x x g 的稳定点是1、2 1 - 、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.
关于函数的不动点 在数学中，函数的不动点是指一个函数的输入和输出相等的点。换句 话说，如果一个函数f在一些点x处的值等于x本身，那么x就是函数f 的不动点。在形式化的表示中，可以用f(x)=x来表示。不动点在很多数 学理论和应用中都有重要的意义，在探索函数的性质、解方程、优化问题 等方面都有广泛的应用。 首先，不动点理论是函数分析、拓扑学和离散动力系统等领域的重要 研究内容之一、在函数分析中，不动点定理是一个重要的工具，它可以帮 助我们证明函数的连续性、存在性和唯一性等性质。其中，著名的 Banach不动点定理是函数分析中的一个重要结果，它指出了完备度量空 间中的压缩映射必然存在不动点。通过不动点定理，我们可以解决一些方 程和优化问题，如求解方程f(x) = x的解、求解方程组、寻找最优解等。 其次，不动点还在离散动力系统的研究中起到重要的作用。离散动力 系统是指在离散时间点上由函数迭代产生的动力学系统。这些离散动力系 统可以通过不动点来描述。例如，一个动力系统可以用差分方程f(x)来 表示，如果在x处的函数值等于x本身，那么x就是这个动力系统的不动点。离散动力系统的稳定性、吸引子等性质可以通过不动点的性质来研究 和分析。 此外，在数值计算和优化问题中，不动点也起到关键的作用。例如， 在迭代算法中，通过迭代产生的序列可以看作是函数的不动点的逼近值。 当迭代到一些值时，如果该值与下一次迭代产生的值相差很小，那么该值 可以近似地看作函数的不动点。通过不动点的逼近，我们可以解决一些数 值计算问题，如求函数的根、求解方程组、求极值等。
除了在数学领域中的应用，不动点还在计算机科学和信息论等领域有 广泛的应用。在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于程序语言的语义 分析、类型推导、程序验证等方面。通过不动点理论，我们可以定义各种 语言的语义，并进行形式化的推理和验证。在信息论中，不动点也被用于 描述和分析数据压缩算法、信道编码等问题。通过不动点的性质，我们可 以找到效率更高的数据压缩算法和信道编码方案。 综上所述，函数的不动点在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。通过不动点的性质和定理，我们可以研究函数的性质、解方程、优化问题等。不动点理论不仅在数学理论上有重要意义，也在实际应用中发挥着关 键的作用。通过深入研究和应用不动点理论，我们可以更好地理解和分析 各种问题，并且提供更有效的解决方法。
高中数学中的函数“不动点” 函数不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ，使得00()f x x =，就称0x 为()f x 的一个不动点，也称为一阶不动点。对此定义，可以从代数意义和几何意义去理解。 （1） 代数意义：若方程()f x x =有实根0x ，则函数()f x 有不动点0x ； （2） 几何意义：若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ，则函数()f x 有不动点0x 。 二阶不动点：若存在0x 使得00(())f f x x =，则0x 为()f x 的二阶不动点，简称稳定点。 说明：稳定点是函数图像与它的反函数的交点的横坐标；若0x 为()f x 的不动点，则0x 为()f x 的稳定点，但稳定点不一定是函数的不动点。 注意：如果函数在定义域内单调，那么它的不动点和稳定点是完全等价的。 例题： 设函数()f x =若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，求a 的取值范围。 解析：因为(())f f b b =，[0,1]b ∈，所以函数在[0,1] 内存在二阶不动点；又因为函数()f x =[0,1]b ∈上存在()f b b =。即方程2x e x a x +-=在[0,1]内有解，即2x a e x x =+-，[0,1]x ∈，令2()([0,1])x g x e x x x =+-∈，求导'()120x g x e x =+->， 所以min max (0)1,(1)a g a g e ==== 练习： 1、 设函数()f x =sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =成 立，求a 的取值范围。（2013年四川卷与例题相同） 2、 （2013年江西）已知函数1()(12||)2f x a x =-- ，,0a R a ∈>。 （1） 证明：函数()f x 的图像关于直线12 x =对称； （2） 若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ≠，则0x 称为()f x 的二阶不动点，如果() f x 有两个二阶不动点，求实数a 的取值范围。
数列与不动点 1 / 10 递推数列与不动点 班别： 姓名： . 一、 知识讲解 通过之前的学习，同学们已经对数列有了进一步的认识。大家回忆一下，我们之前学过一类由数列的递推关系式求数列的通项公式的题型.另外，在必修5的课本中谈到数列的概念的时候，特别的说到了，数列{}n a 的通项公式，可以看作定义在正整数集上函数。 本节课，我们将从函数的角度数列的递推关系的相关问题. 定义 1: 非空集合X 上的函数:f X X →，数列{}n a 满足：0a X ∈，()1n n a f a +=.我们则称数列{}n a 为函数f 的一阶递推数列，函数f 称为数列{}n a 的递推函数. 定义2：非空集合X 上的函数:f X X →，x X ∈，n N ∈，记()0f x x =， ()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，……，()()()n n f f x f f f x =个，我们称函数()n f x 为函 数()f x 的n 次迭代. 注1：根据迭代的定义，不难证明：对任意的,m n N ∈， 都有()()()()() m n n m m n f x f f x f f x +== 注2：其递推数列与函数的迭代，这两个概念是等价的，令0a x =，则对任意的n N ∈，都有()n n a f x =。 定义3： 定义在非空集合X 上的函数()f x ，0x X ∈，满足：()00f x x =.则我们称0 x x =为函数()f x 的不动点. 注：1、考察函数()f x 的n 次迭代()n f x 的不动点，也就是设0x X ∈，且满足： ()00n f x x =.则对任意的m N ∈，都有()()()()000m n m n m f x f f x f x +==，此时，()0m f x 是一 个以n 为周期迭代函数.. 2、若0x 是函数()f x 的不动点，数列{}n a 满足：()001,n n a x a f a +==，则{}n a 是一个恒等于0x 的常数列；若0x 是函数()n f x 的不动点，数列{}m a 满足：()001,m m a x a f a +==，则 {}m a 是一个以T 为周期的数列.
不动点定理在经济学中的应用 数本1301 王敏 摘要 不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。 关键词：不动点、博弈论、纳什均衡 一、不动点定理 定义1：设X 是一个拓扑空间。如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ，使得B A X ?=，则称X 是一个不连通空间；否则，称X 是一个连通空间。]1[ 引理1：设X 是一个连通空间，R X →:f 是一个连续映射，则)(f X 是R 中的一个区间。]1[ 引理2:（介值定理）设R b a f →],[：是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射，则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ，存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。]1[ 定理：（不动点定理）设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射，则存在]1,0[z ∈使得z =）（z f 。]1[ 证明：如果0)0(f =或者1)1(f =，则定理显然成立。下设0)0(f >，1)1(f <。定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。容易验证f 是一个连续映射，并且这时又0)0(
不动点定理 不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。 不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在 一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。 假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。 我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希 望找到这条直线上的一个不动点。我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。很明显，所有的实数都满足 这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。 现在我们将问题扩展到更一般的函数。假设有一个函数f(x) = x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。通过 描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与 直线y = x有交点，也就是不动点。这两个点分别是函数f(x) = x^2的两个不动点。 不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学
中的图像理论等等。 不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。 总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。不动点定理是数学中一项非常重要的定理，它在许多数学领域中都有广泛的应用。不动点定理的基本形式是，对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。 为了更好地理解不动点定理的应用，我们可以通过一些实际的例子来说明。假设我们想找到一个时间段内的平均气温变化趋势，我们可以将时间作为自变量，平均气温作为因变量，利用一组数据画出一个函数图像。如果这个函数图像上存在一个点，使得这个点的自变量和因变量相等，那么这个点就是这个函数的不动点。这个不动点对应的时间就是平均气温的趋势稳定的时间段。
函数不动点 1 什么是函数不动点 函数不动点是指对某个函数的参数进行某些给定的条件变化，使得此函数的值不变的点。举个例子，一元二次函数ax²+bx+c中,当b²-4ac=0时，这个函数只有一个不动点；如果b²-4ac<0时，函数就没有不动点。 2 函数不动点的概念 函数不动点一般涉及四个概念：（1）函数的参数发生了变化；（2）函数的值不变；（3）函数的值可以是最大值或最小值；（4）函数的值可以是某一特定值。函数的不动点分为局部不动点和全局不动点。局部不动点就是在某一函数的某一一段区间内，其函数值与参数发生变化而不变的点。而全局不动点就是指对某个函数而言，它在整个参数范围内函数值都不变的点，常叫全局极值点。 3 函数不动点的类型 主要有两种不动点，一种是极大值的不动点，另一种是极小值的不动点。极大值的不动点指的是，函数在某一点上的值比它的左右附近的值都要大，这个不动点称为极大值不动点。而函数在某一点处的值要比它的左右附近值都小，此点就叫做极小值不动点。也有一类特殊的不动点，它既是极大值又是极小值，一般被称作最大最小值不动点。
4 函数不动点的意义 函数不动点可以用来研究函数的极值，支持函数增长或者减少的 构筑和分析，也可以用来检验一些非函数的几何性质。它是数学建模 的基础，为最优化问题的求解提供帮助，在建模和优化方面尤其重要。另外，函数的不动点也被广泛地用于物理学、化学、生物学等各个领 域中。 就是这样，函数不动点可以解决许多数学问题，可以把矛盾形式 简单化，使问题看起来更容易处理。它是数学建模和处理最优化问题 的重要工具，对科学研究和科技发展也有着重要意义。
高中数学函数不动点题解题技巧 在高中数学中，函数不动点是一个重要的概念，也是一种常见的题型。函数不动点指的是一个函数的输入等于输出的点，即f(x) = x。解题时，我们需要找到函数的不动点，并求解。 一、基本概念 函数不动点是指在函数中，存在一个点x，使得f(x) = x。这意味着当我们将x 作为函数的输入时，函数的输出等于x本身。函数不动点的求解可以通过方程f(x) = x来实现。 二、解题方法 为了解决函数不动点的题目，我们可以采用以下几种方法： 1. 图像法 图像法是一种直观的方法，通过绘制函数的图像来找到函数的不动点。首先，我们可以将函数的表达式转化为图像，然后观察图像与y=x的交点。这些交点就是函数的不动点。 例如，考虑函数f(x) = 2x - 1。我们可以绘制出它的图像，并观察图像与y=x的交点。通过观察，我们可以发现函数的不动点为x=1。 2. 代数法 代数法是一种通过代数运算来求解函数不动点的方法。我们可以将方程f(x) = x转化为f(x) - x = 0的形式，然后求解这个方程。 例如，考虑函数f(x) = x^2 - 3x + 2。我们可以将方程f(x) - x = 0转化为x^2 - 4x + 2 = 0的形式，然后求解这个方程。通过解方程，我们可以得到函数的不动点为x=1和x=2。
3. 迭代法 迭代法是一种通过迭代计算来逼近函数的不动点的方法。我们可以选择一个初 始值x0，然后通过不断迭代计算来逼近函数的不动点。 例如，考虑函数f(x) = sin(x)。我们可以选择一个初始值x0，然后通过不断迭 代计算来逼近函数的不动点。具体的迭代计算公式为x(n+1) = sin(x(n))。通过不断 迭代计算，我们可以逼近函数的不动点。 三、举一反三 函数不动点题型可以通过举一反三的方法来扩展。我们可以将题目中的函数替 换为其他函数，然后采用相同的解题方法来求解。 例如，考虑函数f(x) = 2sin(x)。我们可以使用相同的解题方法来求解函数的不 动点。通过代数法，我们可以将方程f(x) - x = 0转化为2sin(x) - x = 0的形式，然 后求解这个方程。通过解方程，我们可以得到函数的不动点。 四、总结 通过本文的介绍，我们了解了高中数学函数不动点题的解题技巧。我们可以采 用图像法、代数法和迭代法来求解函数的不动点。同时，我们还可以通过举一反三的方法来扩展题目。解题时，我们需要注意转化方程、代数运算和迭代计算的技巧。 希望本文的内容能够帮助到高中学生和他们的父母，提高解决函数不动点题的 能力。通过掌握解题技巧，我们可以更好地理解函数不动点的概念，并在考试中取得好成绩。加油！
函数迭代和不动点 1 问题提出 古代有一个善于经营的商人，他每天的银子都可以翻番，但是需要交税。第一种交税方式是每天固定缴纳10两银子，第二种交税方式是每天缴纳总银两的三分之一。假设商人星期一早上有12两银子，那么到了星期五生意结束后，他按哪种交税方式合算呢？ 先来看第一种方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=2x-10. 设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=2t-10. 第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=2f(t)-10=2(2t-10)-10=4t-30. 第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=2f(f(t))-10=2(4t-30)-10=8t-70. 同理第四天结束时的银两为f(f(f(f(t))))=2f(f(f(t)))-10=2(8t-70)-10=16t-150. 第五天结束时的银两为f(f(f(f(f(t)))))=2f(f(f(f(t))))-10=2(16t-150)-10=32t-310. 已知t=12，所以按照第一种缴税方式第五天结束后商人还剩银两为32x12-310=74，缴纳的税为50两. 再看第二种缴税方式，设每天开始时商人有银两x，那么当天结束时的银两为f(x)=4x/3. 设第一天开始时银两为t, 那么结束时银两为f(t)=4t/3. 第二天开始时银两为f(t),结束时的银两为f(f(t))=4f(t)/3=16t/9 第三天开始时银两为f(f(t)),结束时的银两为f(f(f(t)))=4f(f(t))/3=64t/27 第四天开始时银两为f(f(f(t))),结束时的银两为f(f(f(f(t))))=4f(f(f(t)))/3=256t/81 第五天结束时的银两为 f(f(f(f(f(t)))))=4f(f(f(f(t))))/3=1024t/243.
不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如： a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令x=2/(x+1),解得不动点为：x=1和x=-2【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2)【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列
∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1) 解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2 ◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项. 【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】 ∵a[n]=2-1/a[n-1] ∴采用不动点法,令：x=2-1/x 即：x^2-2x+1=0 ∴x=1【重合不动点】 ∵a[n]=2-1/a[n-1] ∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1【使用不动点】 a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1] 两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1) 即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1 ∵a[1]=3 ∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列 即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2 ∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1) 例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项. 【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】 ∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1) ∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n
函数的二阶不动点——稳定点，高考压轴题中常考，你值得拥 有！ 昵称为”heartbeats'的读者朋友问到了函数的不动点问题. 对于函数y=f(x)，方程f(x)=x的根称为函 数f(x)的一阶不动点.方程f(f(x))=x的根成为函 数f(x)的二阶不动点.依此类推，可以定义函数 的n阶不动点. 一阶不动点就称为不动点，二阶不动点也 称为稳定点. 看栗子. 1.求函数f(x)=2x-1的不动点和稳定点. 求不动点.令2x-1=1，解答x=1.所以函数f(x)的不动点是1. 求稳定点.令2（2x-1)-1=1，解得x=1.所以函数f(x)的稳定点是1. 2.求函数f(x)=-x的不动点和稳定点. 求不动点.令-x=x，解得x=0.所以函数f(x)的不动点是0. 求稳定点.令-(-x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意实数. 3.求函数f(x)=-1/x的不动点和稳定点. 求不动点.令-1/x=x，方程无解.所以函数f(x)没有不动点. 求稳定点.令-1/(-1/x)=x，方程恒成立.所以函数f(x)的稳定点是任意不为零的实数. 咦，怎么有时不动点和稳定点一样，有时又不同呢？ 为回答这个疑惑，我们讲两个小结论. 1 不动点一点是稳定点，稳定点不一定是不动点 先证明前半句话. 再证明后半句话.举个反例即可. 比如2是函数f(x)=-x的稳定点，但不是函数f(x)=-x的不动点.
（就是上面第2个函数的例子） 2 若函数f(x)单调递增，则它的不动点和稳定点等价 下面做等价条件的证明. 3 高考题实战 2013年四川高考理科数学卷第10题. 本题是选择压轴题，考察了函数的稳定点问题. 经过简单分析发现，函数f(x)为单增函数，所以我们可以把稳定点问题转化为不动点问题.
函数二阶不动点的几何意义及其个数探究函数二阶不动点的几何意义早在十六世纪曾被研究，但一直未能取得充分的认识，直到现代数学家通过复杂的数学证明才明确了它的几何意义，及其在实际应用中的重要作用。本文分析该问题，介绍函数二阶不动点的几何意义及其个数，以期让读者更好地理解函数二阶不动点在应用中的重要性。 一、什么是函数二阶不动点 函数二阶不动点（second order fixed point）是一种特殊的函数。它满足以下函数关系式：f(f(x)) = f(x)。它表明函数二阶不动点是一个特殊的函数f，即使在多次应用函数f后，其输出x仍为它自身，即f(f(x)) = f(x)。这就是函数二阶不动点的函数关系式。 二、函数二阶不动点的几何意义 函数二阶不动点的几何意义是指，函数二阶不动点可以在某些函数的变换中，保持其自身的几何形状不变。一般情况下，如果函数f 的某个输入值x的输出值为f(x)，则函数f(f(x))的输出值为f(f(x))。但如果存在函数二阶不动点，即f(f(x))=f(x)，则可以说函数f与 任何其他函数f′(x)构成一种函数关系，即函数f与f′(x)构成了 函数二阶不动点关系。它具有特殊的几何特性，即可以使函数的图形在变换中保持原有的形状。 三、函数二阶不动点的个数 函数二阶不动点的个数引起了大量的研究。理论上，函数二阶不动点的个数应该是无限多，每一个函数二阶不动点都有一个特定的函
数关系式，即f(f(x)) = f(x)。实际应用中，常常涉及到对这一函 数关系式的解析和数量计算。不同函数二阶不动点之间的数量关系也是个复杂的问题，研究中经常出现不同的结论。但大致上可以推断，函数二阶不动点的个数和求解的难度成正相关，即难以求解的函数二阶不动点的个数较多。 四、函数二阶不动点的实际应用 函数二阶不动点在实际应用中发挥着重要作用，其在不同领域得到了广泛应用，如控制理论、最优化理论、人工智能等。在控制理论中，可以使用函数二阶不动点方法来研究汽车的行驶路线，即其行驶方向会随着时间的推移而变化，而不会随着路书的改变而发生变化，这样便可以实现汽车跟给定的行驶方向的自动控制。在最优化理论中，函数二阶不动点方法可以用来检测和解决某种约束条件下优化问题，从而求出最优解。在人工智能领域，函数二阶不动点方法可以用来实现机器学习，即使机器学习的速度受到外界干扰也可以坚持运行，从而减轻外界影响。 总之，函数二阶不动点的几何意义及其个数具有重要的理论意义，其实际应用也受到了广泛的关注。本文介绍了函数二阶不动点的几何意义及其个数，并简要介绍了它在实际应用中的重要性。未来，研究者将深入探究函数二阶不动点的特殊几何意义和实际应用，以期发现更多有趣的结果。
利用不动点法解特殊方程 任何一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点间题．因为，任一方程总可以写成()0g x =的形式，这里()g x 是x 的函数，将()0g x =变为等式()g x x x +=，记()()f x g x x =+，就能得到与()0g x =的同解方程()f x x =，从而将求 ()0g x =的解变成求函数()f x 不动点的问题了． 在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况，如果方程根本就无解，那么研究它的解法是没有意义的．另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解，甚至并不需要对方程进行具体求解，而只要知道方程的解是否存在．举一个颇有影响的例子：公元1799年德国数学家高斯（Gauss ）证明了“在复数范围 内，n 次代数方程：12 12100n n n n n x a x a x a x a ----+⋅++⋅⋅⋅++=至少有一个根”．即著 名代数基本定理．利用不动点理论，我们可以把方程 ()1212100n n n n n g x x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++=的求根问题化为求函数 ()()f x g x x =+的不动点问题，由于方程()0g x =的根不可能超越复平面的某个半 径很大的圆域，且函数()g x 显然是连续的．因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔（Brouwer ）不动点理论，知道至少存在一个0x ，使()00f x x =，即 ()000g x x x +=，也就是说方程()0g x =至少有一个根．可是，当时证明这个定理 是艰辛的． 也许上述这个例子较抽象．我们不妨来看方程 ()16 2 x x x sin cos ππ += （*） 要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的．事实上，判定方程（*）是否有解，就是判定()()16 2 x x f x sin cos ππ +=是否存在不动点． 显然()f x 在[]01x ∈，时有意义，且[]01x ∈，时， ()101016 2 x x sin cos ππ +<<≤≤，．故()01f x ≤≤，又因为当[]01x ∈，时正、余弦
【例题1】 (2010浙江大学) 设{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈ (1) 求证：N M ⊆ (2) ()f x 单调递增时，是否有N M =？证明你的结论 解析：(1)任取0x M ∈，则00()f x x = 所以 000[()]()f f x f x x ==，因此0x N ∈，命题得证。 (3) 由(1)知，只需要证明M N ⊆ 任取0x N ∈，则00[()]f f x x = 若00()x f x >，因为()f x 单调递增，所以000()[()]f x f f x x >=， 这与假设矛盾，因此00()x f x ≤；同理可得00()x f x ≥；故00()f x x =，所以0x M ∈，命题得证。 由此我们可以看出：()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，但是反之不真（例如：设()(,0)(0,)f x x x =-∈-∞⋃+∞，则易见定义域中的每个值都是[()]f f x 的不动点，但是()f x 没有不动点）。 由于()f x x =的零点一定是[()]f f x x =的零点，故当()f x 是多项式函数时，[()]f f x x -中一定含有()f x x -项。特别地，如果2()f x ax bx c =++，则222[()]()()f f x x a ax bx c b ax bx c c x -=++++++- 22222()()a ax bx c ax ax b ax bx c c x =++-+++++- 2222()()(1)(1)(1)a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b =++-++++++-++ 222(1)(1)(1)(1)a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 222(1)(1)1ax b x c a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤=+-++++++⎣⎦⎣⎦ [()][()1]f x x af x ax b =-+++ 以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目： 题目1 设2 ()f x x px q =++，{|(),}M x f x x x R ==∈，{|[()],}N x f f x x x R ==∈，如果{1,3}M =-，求N
专题14函数不动点问题 一、单选题 1．（2020·广东海珠·高二期末）设函数()f x （a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线 y x x = 上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e [1]e -, B ．1e [ e 1]e -+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e] 2．（2021·四川·高考真题（文））设函数 （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在b ∈[0， 1]使f （f （b ））=b 成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，e] B ．[1，1+e] C ．[e ，1+e] D ．[0，1] 3．（2021·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一 个不动点.设函数()1(x g x e x a =+-(a R ∈，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数()f x 满足 ()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫ ∈+ -+⎨⎬⎩⎭ ，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．⎛⎫ -∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．⎡⎫ +∞⎪⎢⎪⎣⎭ C ．⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ D ．⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 4．（2021·四川自贡·高二期末（文））设函数()()1 ln 2 =+ -∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()f f b b =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1 ,12 2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦e B ．e 1,ln 212⎡⎤ --⎢⎥⎣⎦ C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．（2021·重庆一中高一期中）设函数()2x f x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），若存在实数[]0,1b ∈使 ()()f f b b =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]0,e B ．[]1,1e + C ．[]1,2e + D ．[]0,1 6．（2021·全国·高三专题练习）设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）．