【高中数学专题突破】
专题8 等式性质与不等式性质
题组1 用不等式（组）表示不等关系
1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40
2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ） A ．251
05
x x -??
<
B ．251x -或521x -
C ．521
05
x x -??
<
D ．25105
x x ?-?
<
4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y +=
D ．54200x y +≤
5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底
库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________.
题组2 作差法比较大小
5.设a >b >c >0，x ＝
，y ＝
，z ＝
，则x ，y ，z 的大小顺序是________.
6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ?B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ?N 的大小.
7.已知0a b +>，比较
22a b b a +与11
a b
+的大小.
题组3 不等式的性质
8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2
C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2
D.＋<
(a ≠b )
9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( )
A.a
B.a <0 C.a >0>b D.a >b >0 10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a b ，则c －2a 11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13 12.若1 02 a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8 B ．1 4 C ．1 2 D ．1 题组4 利用不等式的性质判断或证明 14.已知a >6，求证：－ < － . 15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c － . 16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2. 17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）3 3 3 ()()()24a b b c c a +++≥++． 题组5 利用性质比较大小 18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 19.若0 题组6 利用不等式的性质求范围 20．已知1122α- ≤≤，02β≤≤，则22 β α-的取值范围是________. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________． 23．若两个正实数x ，y 1x y =246x y m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 专题8 等式性质与不等式性质 题组1 用不等式（组）表示不等关系 1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T 应满足的关系为( ) A.T <40 B.T >40 C.T ≤40 D.T ≥40 【答案】C 2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】C 【解析】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片，y 盒.则即①当x ＝3时，7y ≤32， y ≤.∵y ∈N *且y ≥2，∴y 可以取2,3,4，此时有3种选购方式；②当x ＝4时，7y ≤26，y ≤，∵y ∈N * 且y ≥2，∴y 可以取2,3，此时有2种选购方式；③当x ＝5时，y ≤，∵y ∈N *且y ≥2，∴y 只能取2，此时有1种选购方式；④当x ＝6时，y ＝2，此时有1种选购方式.综上，共有7种选购方式. 3.将一根长5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m x ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（ ） A ．251 05x x -??< B ．251x -或521x - C ．521 05 x x -?? < D ．25105 x x ?-? < 【答案】D 【解析】由题意，其中一段的长度为x m 可知另一段绳子的长度为()5m x -， 因为两段细子的长度之差不小于1m ，可得()51 05 x x x ?--??< < 4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工()0x x ≥人，瓦工()0y y ≥人，则关于工资,x y 满足的不等关系是（ ） A ．54200x y +< B ．54200x y +≥ C ．54200x y += D ．54200x y +≤ 【答案】D 【解析】由题意，可得50040020000x y +≤，化简得54200x y +≤. 故答案为: D. 5.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2 100 h ；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h ；每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量x (写出不等式(组)即可)为________. 【答案】 【解析】由题意可得 题组2 作差法比较大小 5.设a >b >c >0，x ＝，y ＝ ，z ＝ ，则x ，y ，z 的大小顺序是________. 【答案】z >y >x 【解析】方法一 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x ， ∵z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0，∴z 2>y 2，即z >y ，故z >y >x . 方法二 特值代换法，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝ ，z ＝ ， 则x 6.规定AB ＝A 2＋B 2，A ?B ＝A ·B ，A ，B ∈R .若M ＝a －b ，N ＝a ＋b ，a ，b ∈R ，判断MN 与M ?N 的大小. 【答案】∵MN ＝M 2＋N 2＝(a －b )2＋(a ＋b )2＝2a 2＋2b 2， M ?N ＝M ·N ＝(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2， ∴MN －M ?N ＝2a 2＋2b 2－(a 2－b 2)＝a 2＋3b 2≥0，∴MN ≥M ?N . 7.已知0a b +>，比较 22a b b a +与11 a b +的大小. 【答案】 2211 a b b a a b +≥+ 【解析】 222211a b a b b a b a a b b a --??+-+=+ ??? 2211()a b b a ?? =-- ??? 2 22 ()()a b a b a b +-=. ∵0a b +>，2()0a b -≥， ∴222 ()()0a b a b a b +-≥，当且仅当a b =时，取等号， ∴ 2211a b b a a b +≥+. 题组3 不等式的性质 8.若a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2ab B.a ＋b ≥2 C.a 2＋b 2≥(a ＋b )2 D.＋< (a ≠b ) 【答案】D 【解析】显然有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2，又a 2＋b 2－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥(a ＋b )2，故选D. 9.已知x ∈(b ，a )且x ≠0，∈，则实数a ，b 满足的一个条件可以是( ) A.a B.a <0 C.a >0>b D.a >b >0 【答案】D 【解析】因为x ∈(b ，a )且x ≠0，∈ ，所以，a >b >0，故选D. 10.已知a ，b ，c 均为实数，有下列说法： ①若a ③若a >b ，则c －2a 【解析】①用特殊值法检验.令a ＝－2，b ＝－1，有4>1，故①错误；②当b <0时，有a >bc ，故②错误；③当a >b 时，有－2a <－2b ，从而c －2a 11.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13 【答案】C 【解析】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1x y x =-（1x >）， 所以441x x y x x +=+ -4 41x x =++-，令1t x =-，0t >， 44 455x y t t t t +=++=++， 由对勾函数4 ()f t t t =+ 在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==， 所以4x y +的最小值为9，此时33,2 x y ==． 故选：C ． 12.若1 02 a <<，则()12a a -的最大值是（ ） A ．1 8 B ．1 4 C ．1 2 D ．1 【答案】A 【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()2 212111 122122228 a a a a a a ??+--=-≤?= ???，当14a =时取“=”，所以正确选项为A 13.若非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ． 1a b < B ． +2b a a b ≥ C ． 2211ab a b < D ．22++a b a b < 【答案】ABD 【解析】对于选项A ，当2,1a b =-=-，a b <， 2 2>11a b -==-，此时1a b <不成立； 对于选项B ，当1,1a b =-=，a b <， +2b a a b =-，此时+2b a a b ≥不成立； 对于选项C ，2222221111 ,,0a b a b b a a b a a b b b a --=<∴-<，所以2211ab a b <成立； 选项D ，当22 2,1 ,+2,+0a b a b a a b b =-=-<==，，此时22++a b a b <不成立. 故选：ABD. 题组4 利用不等式的性质判断或证明 14.已知a >6，求证：－<－. 【答案】方法一 要证－<－ ， 只需证＋ <＋ ， 只需证 < ， 只需证2a －9＋2<2a －9＋2， 只需证 <，只需证(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，只需证18<20，因为18<20显然成立，所以不等式－ <－ 成立. 方法二 要证 －< － ，只需证 < ， 因为a >6，所以a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0， 又因为a －3>a －5，所以>， 同样有> ，则＋ > ＋ ， 所以 －< － . 15.已知a ，b 为正实数，且2c >a ＋b ，求证：c － . 【答案】证明 要证c － ，只需证－ ，即证|a －c |< ，两 边平方得a 2－2ac ＋c 2 16.已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2. 【答案】证明 (a 5＋b 5)－(a 2b 3＋a 3b 2)＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )· (a －b )2(a 2＋ab ＋b 2). ∵a ，b 都是正数，∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0. 又∵a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)>0， ∴a 5＋b 5>a 2b 3＋a 3b 2. 17.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1） 222111 a b c a b c ++≤++； （2）3 3 3 ()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1） 1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ?? ∴++=++?=++ ??? ()()()() 2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++ 当且仅当a b c ==时取等号 ( ) 22211122a b c a b c ?? ∴++≥++ ??? ，即：222111a b c a b c ++++≥ （2） ()()() ()()()333 3a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号 又a b +≥，b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立） ()()()333 3a b b c c a ∴+++++≥?=又1abc = ()()()3 3 3 24a b b c c a ∴+++++≥ 题组5 利用性质比较大小 18.a ∈R ，且a 2＋a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A.a 2>－a 3>－a B. －a >a 2>－a 3 C. －a 3>a 2>－a D.a 2>－a >－a 3 【答案】B 【解析】因为a2＋a<0，所以a(a＋1)<0，所以－1 19.若0 A.a1b1＋a2b2 B.a1a2＋b1b2 C.a1b2＋a2b1 D. 【答案】A 【解析】方法一特殊值法 令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝， 则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝， a1b2＋a2b1＝＝， ∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2. 方法二作差法 ∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0 ∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，∴0 又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1， a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－－， a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1， ∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝＋－2a1b1＝(a1－b1)2≥0， ∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2. ∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1 ＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)＝4>0， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. ∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1) ＝2>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2. 题组6 利用不等式的性质求范围 20．已知1122α- ≤≤，02β≤≤，则22 β α-的取值范围是________. 【答案】[]2,1- 【解析】由11 22α-≤≤，则121α-≤≤，又由02β≤≤，得102 β-≤-≤， 则2212 β α-≤- ≤. 故答案为：[]2,1-. 21．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 【答案】[] 1,7 【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++- 则31s t s t +=?? -=-?, 12 s t =?∴?=?, 又11x y -≤+≤① 13x y ≤-≤, 22()6x y ∴≤-≤?② ∴①+②得137x y ≤-≤. 故答案为[1,7] 22．已知实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－1) 【解析】 若a<0，则b 2<10，则b 2>1>b ，解得b ∈(－∞，－1)． 23．若两个正实数x ，y 1 =26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(2,8)-. 【解析】解： 1x y += 44 ??= +=++ 816≥+= 当且仅当16x y =，即4y =且64x =时取等号. 246x m m +>-恒成立，则2166m m >-解得28m -<<即()2,8m ∈- 故答案为：()2,8- (完整word版)七年级下册不等式及其基本性质讲义 亲爱的读者： 本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。下面是本文详细内容。 最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~ 环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥ 2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。 （1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7 （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空： （1）（2） a-5 b-5 （3）- a - b （4）6a 6b （5）-（6）-a -b 参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜ 例5.试比较下列两个代数式值的大小： （1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数，负数或零，∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能： ①当a＞0时，5a+2＞4a+2 ②当a=0时，5a+2=4a+2 ③当a＜0时，5a+2＜4a+2。 （2）（x3+3x2-7）-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D． （3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证： 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 专题15 不等式性质，线性规划及基本不等式 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中 的不等关系,了解不等式 (组)的实际背景 理解 2017山 东,7; 2016北 京,5; 2013陕 西,10 选择题★★☆ 分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题. 考点内容解读要求高考示例常考题 型 预测热 度 1.平面区 域 问题①会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组; ②了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山 东,4; 2015课标Ⅰ,15;2014 课标Ⅰ,9 选择题 填空题 ★★★ 2.线性规 划 问题会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5; 2017课标全国Ⅰ,14; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,13 选择题 填空题 ★★★ 分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查及平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题. 分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分. 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 1 专题2.1 等式性质与不等式性质 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示( ) A ．v ≤120(km/h)或d ≥10 (m) B.?? ?≥≤) (10) /(120m d h km v C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m) 【答案】B 【解析】最大限速与车距是同时的，故选B. 2．已知0N C ．M ＝N D ．M ≥N 不等式的基本性质知识点 1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b ⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。 ⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。 ⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 ⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式 一、知识结构思维导图 二、学法指导与考点梳理 知识点1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax>b 的解的情况： （1）当a>0时，a b x > ； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。 知识点2 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 x y O x 1 x 2 x y O x 0 x y O 知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 1、表中a ac b b x 2421---=，a ac b b x 2422-+-= 2、)0(02 ≠>++a c bx ax 恒成立???<-=?>?0 40 2 ac b a )0(02 ≠<++a c bx ax 恒成立???<-=?0时， ①a x a a x a x <<-??>2 2 ||或x>a 2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 |()|()f x g x ≥?()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤?()()()g x f x g x -≤≤． 知识点5 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 ab b a ≥+2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+； (2)若R b a ∈,,则22 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）． (3)若00a ,b >>,则 ab b a ≥+2 ； (4)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）； (5)若00a ,b >>,则2 2? ? ? ??+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． (6)若0x >,则12x x + ≥（当且仅当1x =时取“=”） ；若0x <,则1 2x x +≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或1 2x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 专题05 等式与不等式的性质 知识梳理 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b 2 －4ac 称为一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{2a ，2a }； (2)当Δ＝0时，方程的解集为??? ? ?? －b 2a ； (3)当Δ<0时，方程的解集为?． 2．一元二次方程根与系数的关系 若x 1，x 2是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ． 一、不等式的性质： （1）;a b b a （2） （3）;c b c a b a +>+?> （4）;,d b c a d c b a +>+?>> （5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （6）;0,0bd ac d c b a >?>>>> （7）;0n n b a b a >?>>、 （8）;0n n b a b a >? >> （9）;11,0,b a b a ab b a ≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤- 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； ;,c a c b b a >?>> 第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a （3）可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论：同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >?>>0,，,0a b c >>>>?ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n * ∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 第4讲 基本不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式: ,a b R ∈,则222a b ab +≥; 0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值: 当ab 为定值时,22 ,a b a b ++有最小值; 当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时 ,2 112a b a b +≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足 281x y +=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y +=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+=+++,0,0x y >>,∴280,0y x x y >> 1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y =时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y +=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正 不等式的基本性质 1、不等式的基本性质1：如果a>b，那么 a+c____b+c， a－c____b－c． 不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc． 不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc． 2、设a 1、已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x< 2 1-a，则1－a是____数． 2、已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是 A．3b 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >?>>>=<?->?< 这个性质等式中也存在，即a b b a =?=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>?>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >?+>+ 如：x x +>?>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>?+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>?>->-?->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>?>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>?>>>>?>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>?>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>?>∈≥02(,) 九年级一元一次不等式（组）复习 一、知识点回顾及典型例题 (一)、不等式的定义： （二）、不等式的基本性质： 1.（2012广州市）已知a ＞b,c 为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ） A. a+c ＜b+c B. a －c ＞b －c C. ac ＜bc D. ac ＞bc 2.①若3＜x ，则x 3； ②若-2＜x ，则0 x +2； ③若－2a ≥8，则a 4； ④若x ＞y ，则m 2 x m 2 y 。 （三）、不等式的解和不等式的解集的定义： ⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。 ⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 1.（2014衢州）不等式2x －1＞1 2 x 的解集是 . 2：不等式53-x ＜x +3的正整数解有( ) 3. （2014攀枝花）下列说法中，错误．． 的是（ ） A. 不等式2 ⑵解一元一次不等式的一般步骤： 例：13 132 1≤---x x 解不等式： 4 12 33523+>-- x x ； 3252132x x x -≤-- （五）、一元一次不等式组： ⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。 ⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。 可以利用数轴来找。 例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．23112.2x x x -
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