数形结合思想在小学数学教学中的应用
学 生：李育丝
指导教师：鲜其光
摘 要：数字与数字相结合的思想作为最重要的数学基础思想之一，在《义务教育新课程标准（2011年版）》中有着明确的要求，在小学数学教材中占有明显的地位.本文以北师大版小学数学教材为基础，以数学基本思想为依托，结合笔者在初中小学的实践经验，详细认真地说明了数学基本思想在小学数学中蕴含的价值，而数形结合思想最为重要.本文主要从以下几个方面阐述：（1）数形结合在小学数学中的地位、意义和应用价值；（2）探讨现代信息媒体技术中数形相结合的思想.(3)通过具体的范例研究和对比，强化运用这一思想的妙处.希望本文研究的结论能对小学数学教育起到一些理论和指导的作用.
关键词：数学基本思想 数形结合 小学数学 范例教学
目录
1 绪论 4
2 数形结合思想方法概述 4
2.1 “数”与“形” 4
2.2 “数形结合” 5
3 现代信息媒体技术下的“数形结合” 5
3.1 从新课程标准（2011年版）中“四基”的要求看 5
3.2 从小学数学教材布局看（新课程教学内容的特点） 6
3.3 从对学生要求越来越灵活的思维能力看 6
3.4 从教与学的具体手段看 6
4 小学数学数形结合思想范例教学研究 7
4.1 数形结合 7
4.1.1 案例1?平均数（四下） 7
4.2 数形结合 8
4.2.1 案例2 《尝试与探测》(五年级上册鸡兔同笼问题) 8
4.3 数形结合 10
4.3.1 案例1 正负数（北师大版四上） 10
5 教材中隐藏的数形结合思想和教师如何去应用 10
6 教师要运用这一思想所必须具备的前提 11
7 研究结论 11
参考文献 12
致 谢 13
绪论
数学思想方法是我们要学习与掌握，并且能够熟练地将其运用到各种概念、定理、论证和解题过程中的精髓，要求得统筹兼顾，不能管中窥豹.《义务教育数学课程标准（2011年版）》以“获取未来社会生活和进一步发展所需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验），以及基本的数学思维方法和必要的应用技能”为基本目标[1] .为了帮助学生更好地紧跟时代的步伐，拥有多方位的辩证思维能力，用“举一反三”的思想去看待数学和其他学科，在数学课堂上讲解、穿插、渗透数学思想方法就变得尤其重要.
《义务教育数学课程标准（2017年版）》说：在数学课程中，要注意培养学生的数量感、符号意识、空间概念、几何直观、数据分析概念、操作能力、推理能力和模型思维.而这些要着重发展的领域都与“数”、“形”这两个基本要素有关.但是结合我在初中小学阶段实习和在外面辅导机构了解到的情况来看，许多老师不把这些基本的数学思想融入课堂教学，没有教学
目标地去照本宣科，甚至课后评价与反思基本没有进行，从而导致了学生对数学这一门学科的“习得性无助”.
虽然数形结合思想在中国数学界广为流传，但是人们对小学数形结合思想的整体研究还不够系统，不够完备.汪渭芳说过:在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个小学学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，数形结合思想是小学数学教学中常用的、有效的教学策略[2] .因此，如果教师能够把握学生认知中数学思想和困惑的焦点，努力挖掘课本中隐藏的数学思想，就可以真正触及儿童的内在需求，为他们提供有利于儿童建设的学习材料.本文用经典的例子来说明数学中把数字和形状结合起来的思想，为了提高教师在课堂教学中渗透数形结合思想的意识，从而更加认真、深入地去挖掘和研究这一思想，带领更多教育领域的人去正视它，以及了解它在教学中的地位，这便是本文力求达到的最高目标.
数形结合思想方法概述
“数”与“形”
在数学领域，“数”和“形”是两个基本概念.它们是对立但统一的关系.“数”一般包括数字、算术、代数、数学分析、数学等，“形”包括图形、图形、几何、空间形式、客观世界等，“数”与“形”密切关[3] .数”和“形”简明地概括了小学数学课程标准中提到的四个学习领域.数学内容可以表达一定的数学形式，数学形式也可以在一定程度上反映数学内容.“数形结合”的实质是将抽象的数学语言与直观的图像相结合.关键是代数问题和图形之间的相互转换.它可以使代数问题成为几何和几何问题的代数.并且在小学生的直观形象思维中，恰当地将“数”“形”结合起来，利用“以形助数”和“以数辅形”这两种手段，可以充分促进大脑由形象思维过渡到抽象思维、逆向思维和几何空间想象能力.皮亚杰的认知发展阶段理论指出，认知发展是一种图式同化-适应平衡.不断从低级向高级发展的过程，也就是先建构学生的直观表面形象形成一个适应性的认知结构，再一点点的将外界的新的刺激条件纳入其中，逐渐形成由具体的“形”——客观的“数”——“数形结合”，从而达到一个“数”“形”均衡的目的.
“数形结合”
高敏说过：在小学课堂教学中，数形结合是教师的指挥棒，是学生的引路人，它有助于教师解释抽象的数学概念和复杂的数量关系，引导学生借助数形结合来理解数学思想、数学规律和数学法则[4] .由此可见，数形结合这一基本思想在学术界具有不可替代的地位.许多数学大家都已深入研究并且已经给出了一些说法，关于“数形结合”的具体释义，下面
是几种常见的界定：
(1)陈玉娟从解题的角度解读“数与数的结合”：“数学结合是一种重要的数学思想，是一种常用的数学方法.数形结合的思想是把定量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为定量关系的研究，这是解决问题的过程中把数形相互转化的研究策略[5] .
(2)丁杭缨从教学方面理解为：“数形结合既是教师教学中的一种重要手段，也是学生数学学习的目的.在具体的教学中，数与形的结合只是一种思维[6] .
(3)罗增儒从信息处理的角度认为，“一种具有丰富数学特征的信息转换，总是用数字的抽象性来解释图像事实，同时用图形的性质来解释数字的事实.”[7]
(4)任章辉从迁移的角度解释道：“数（或形式）的组合包括数（或形式）结构本身的变化、变形的迁移以及彼此的整体或局部迁移[8] .”
现代信息媒体技术下的“数形结合”
从新课程标准（2011年版）中“四基”的要求看
“四基”是指学生掌握适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.这四个方面相互渗透、渗透、紧密结合.杜威倡导的新三中心“学生在活动中获得经验”，无疑与“新课标”不谋而合，都是注重将基本思想渗透在客观世界的教学活动中，从而获取大量的经验和拓宽视野.数学的基本思想是总结，然后得出“数与数相结合”的思想.
新课程标准也提到：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等.学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想.”
我们可以发现，新的课程标准把数形相结合的思想作为小学数学教学的一个重要思想.这无疑要求教师具备更高的教学水准和更加敏锐的创造性思维，需要花费更多的精力去挖掘这一思想以及如何将它巧妙地运用到教学工作中去.
从小学数学教材布局看（新课程教学内容的特点）
数学教学内容与现实的客观世界密切相关.它来自生活，反映生活.每一个学段都反映了学生的认知发展规律.两个学段都有“综合与实践”，大部分需要课内外相结合，这是拓展思维的必经之路.而第一学段(1-3年级)主要以“数与代数”和“图形与几何”为重点，注重从现实情境中抽象出数和图形，着重掌握运用数去表示日常生活中的事物和发展学生的空间观念.第二节（4-6年级）仍然以“数与代数”和“图形与几何”为主，但它增加了更多的“统计与概率”知识，并注重数据的经验、收集、描述和
分析过程.这是因为后期学生的抽象逻辑思维较之前期更加明显和灵活，但是如果前期没有很好地将数形结合思想穿插到教学中，对后期的学习无疑是杯水车薪.因此，如果教师不能很好地将现代信息媒体下的抽象数学知识转化为直观的图形表达，不会用直观表象去开拓学生的形象思维，会使学生产生厌烦的情绪，导致习得性无助.
从对学生要求越来越灵活的思维能力看
随着时代的快速更新和发展，老师和家长对于孩子要赢在起跑线上耗费了巨大的心血，但是许多事实让我们清晰地认识到不足，仅仅只是“事倍功半”的效果.然而，数字和形状的结合可以达到“画龙点睛”的神奇功能，它有效地帮助学生树立先进的现代思维意识：首先，数形结合为抽象思维和形象思维建造了一座宏伟而坚固的桥墩，通过学生的直观思维，结合这种思维方式，我们可以不费吹灰之力地达到另一端的抽象思维.这不但有利于促进学生这两种思维的同步发展，对于学生今后发散思维的形成和发展也颇有裨益，提前将辩证思维拿上了日程.例如：认识分数的教学.之前小朋友学的都是整数，如今来了一个更抽象的分数.如果仅凭学生手中的具体实物去描述，那在数量很多的情况下，就不可行了.但是，若通过图形的面积法去定义一个分数，这不仅能够将上一章的知识进行再复习巩固，而且有利于学生将一个图形面积整体看作1去解决分数的问题.
从教与学的具体手段看
教学活动是师生积极参与、互动、共同发展的过程.教师作为学生活动的组织者、指导者和合作者，应采取不同的教学方法，使学生在课堂上获得充分的感官体验，提高教学活动的有效性和针对性.在北师大版小学数学教材中涉及到的数学思想方法大致有以下几类：数形结合、转化、化曲为直、归纳类比、概率统计等等.教师根据不同年龄段学生的身心发展特点和教材所涉及的基本数学思想，选择适当的教学方法.小学生的有意注意时间很短，必须要通过生动的图表吸引他们的注意力，转化为持续有效的课堂学习.在查阅分析了诸多优秀数学工作者的期刊、文献、论文等，发现教师的教学方法对学生有着极大的影响.故事导入、游戏导入、谜语导入部分有效教学手段均是在直观形象的基础上去开展抽象的数字语言的教学，穿插一些个人展示和小组讨论，适当地给予肯定和表扬的课堂组织形式，利用数字和数字的结合，很容易揭示数学概念定理的起源和发展，学生容易理解和接受.例如:在一年级下册的观察物体中，利用猜谜语的方式进入课题，接着出示班上一同学的背影图，由于站立的角度不同，看到的地方也不一样
.通过具体的人和事物表象的直观，就让孩子们切身体会不同角度看到的形状不一样这一重要知识点，体味数学来源于生活，服务于生活.
小学数学数形结合思想范例教学研究
在数学发展过程中，人们分别提取了定量关系和空间形式进行研究，形成了“代数”和“几何”.但是后来逐渐发现“代数”与“几何”虽然相互独立但也相互穿插，而且结合之后，它们互相渗透，彼此互助，让数学教学发展得更加迅猛，这就潜移默化地强调了数学中的“数形结合”思想方法的重要性.从北师大版小学数学教材的目录观察到，低段都是加减乘除的基础教学，高段在此基础上加深，并且加入了更加抽象的几何，所以越是基础的知识越要重视课堂的有效性.
数形结合
在结合范例进行教学的研究之前，我不得不提到与小学生的发展有着紧密关联的皮亚杰的著名的认知发展理论：①感知运动阶段(幼稚园)；②前运算阶段(小学前期)；③具体运算阶段(小学后期)；④形式运算阶段(青春期)低段教学要根据学生自身的认知水平和已有的知识经验去挖掘潜在的数形结合思想方法，主要就是要根据数学问题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，再利用几何图形的直观表象性去解决问题.在小学低段运用以形助数的意义在于：⑴以图式和环境(直观形象思维)相互作用产生认知需要为动力，将抽象晦涩的数字语言用几何直观来表现，更加利于理解和掌握；（2）通过学生的动手操作，了解生活中数学无处不在，增加学生的兴趣，提高学生分析和解决问题的能力.
案例1 平均数（四上）
图4—1
我们要求淘气5次的平均数，可以通过计算的方式进行解决.那只能用这种固定的方式去生搬硬套吗？能不能巧妙地将数形结合思想方法渗透进去呢？于是，笔者联想到用画图表的形式去展现，更为直接.如下图所示：
图4—2
以最小的数为基准，将多余的数字相加再除以次数得到的数加上最小的数就是要求的平均数，听着有点复杂拗口，但是通过这个图表可以增强学生的数感，发展他们的发散思维能力.通过将书上的方法与之作对比，可以发现以形辅数在无形中增加了趣味性和学生的思辨能力.当然，这个仅仅适用于现阶段的小学数学教学，为今后更高层次的数学教育做铺垫.
数形结合
案例2?《尝试与探测》(五年级上册鸡兔同笼问题)
图4—3
由上面这幅图片，我们知道要求鸡兔各有几只？这就是一道经典的以形助数的题目.小朋友们开动脑筋，可以想到方法①：逐一列表法(如图)
图4—4
理所当然地会想到方法②：跳跃列表法(如图)
图4—5
（很显然，这两种方法也能够解决问题