补集思想在解题中的应用举例
在集合中，大家都知道补集有这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用.
【例1】已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围.
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解.
解：易解得A={y|y>a 2+1或y 的范围.如图 由???≥+≤4122a a ，得???-≤≥≤3 32a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a . 即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a ,而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集.从而,易知所求范围为{} 332|<<->a a a 或. 【点评】一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”. 【例2】若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围. 分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径. 解：若三个方程均无实根，则有???? ?????<<->-<<<-??????<--=?<--=?<+--=?023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-?a .设A=? ?????-<<123a x .于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为?????? -≥-≤=123a a a A C U 或 24a 2+1a 【例3】若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222π π π +-=+-=+-=x z c z y b y x a ， 求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0. 分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路.若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立. 证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0, 又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立， ∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0. 【点评】本题实际是一种反证法，反证法从某种角度看就是“补集思想”的一个应用. 总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助. 【例4】已知函数()12)2(242 2+----=p p x p x x f ,在区间]1,1[-上至少存在一个实数c 使()0>c f ,求实数p 的取值范围. 分析：本题的正面情形复杂多样，需要讨论考虑.故先考虑其反面是捷径. 解:设所求p 的范围为A ，则 =A C R {|p 在]1,1[-上函数()()}01222422≤+----=p p x p x x f 注意到函数的图象开口向上 ?????≤++-=-≤+--=∴0 12)1(0932)1(22p p f p p f ??????≥-≤=∴233|p p p A C R 或 ∴???? ??<<-=233|p p A 【例5】m 为什么数时，方程0sin sin 2=+-m x x 无实根. 分析：此题若正面解，可判别式小于0和1sin >x 讨论出的取值范围或讨论二次函数的两种情况，列出关系式，但这需要一定的技巧.若从反面考虑取其补集，可避免讨论，迎难而解. 解：原方程变形、整理：m -=-4 1)21 (sin 2，若方程有实数解，则1sin 1≤≤-x ，49)21(sin 02≤-≤∴x ，故4 12≤≤-m .取其补集得， 当41>m 或2- 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3 高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; 高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用 函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。 函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例) 本文列举几例分类剖析： 一、方程思想 1.知三求二 等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的. 例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值. 解(1)由a10=a1+9d=30， a20=a1+19d=50， 解得a1=12， 因为n∈N*，所以n=11. 2.转化为基本量 在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得. 例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8. 解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1) 由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8. 将a1q3=―8代入(1)， 得q2=―2(舍去); 将a1q3=8代入(1)，得q=±2. 当q=2时，a1=1，S8=255; 当q=―2时，a1=―1，S8=85. 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 正难则反的“补集思想” 在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用吗？本文将通过几个例题与大家一起探讨其作用。 例1．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3个，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 分析:画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系． 解:赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A;赞成事 件B 的学生全体为集合B. 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x,则对 A 、 B 都不赞成的学生人数为 3 x ＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33-x.依题意（30-x ）＋（33-x ）＋x ＋(3x ＋1)= 50，解得x=21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人． 评注：在学习集合知识的过程中，经常利用的数形结合方法有Venn 图法、数轴法等，运用数形结合能直观、准确地理解全集、补集的含义以及进行求补集的运算。如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面。 例2．若方程①x 2-2mx+m 2-m=0；②x 2-（4m+1）x+4m 2+m=0；③4x 2-（12m+4）x+9m 2+8m+12=0中至少有一个 有实根，求m 的范围。 分析：结论中“至少有一个方程有实根”的含义为：可能有一个方程有实根；可能有两个方程有实根；可能三个方程都有实根。若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用.不妨考虑结论的反面：三个方程都无实根时的情况。 解析：设原问题的反面：三个方程都无实根的范围为A,则原问题的所求m 的范围即为C R A. 三个方程都无实根等价于 ?????<+-=++?-+=?<+=+-+=?<=--=?01121612894441201444140444223222212）（）（ ）（）（）（）（m m m m m m m m m m m m 解得41211-<<-m . 即A=(41,211--),∴C R A=),41[]211,(+∞-?--∞.∴使原结论成立的m 的范围应为21141-≤-≥m m 或. 评注：如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面.也就是正难则反的策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则C u A 便为所求. 例3、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。 分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。 解：易解得A={y|y>a 2+1或y 一、《高中数学解题的思维策略》 第七节解三角形应用举例 高频考点考点一测量距离问题 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． [例1](1)(2011·上海高考)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米． (2)(2013·江苏高考) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山 路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝ 12 13，cos C＝ 3 5. ①求索道AB的长； ②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ ③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ [自主解答](1)如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理 AC sin B＝ AB sin C，得AC＝AB· sin B sin C＝2× 3 2 2 2 ＝ 6 千米． (2)①在△ABC中，因为cos A＝ 12 13，cos C＝ 3 5，所以sin A＝ 5 13，sin C＝ 4 5. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝ 5 13× 3 5＋ 12 13× 4 5＝ 63 65. 由正弦定理 AB sin C＝ AC sin B，得AB＝ AC sin B×sin C＝ 1 260 63 65 × 4 5＝1 040 m. 所以索道AB的长为1 040 m. ②假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 “补集思想”在解题中的应用 在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？ 本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。 例1、 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}， 若A ∩B ≠φ，求实数a 的 取值范围。 分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补 集，同样也可以求解。 解：易解得A={y|y>a 2 +1或y 转化思想在中学数学解题中的应用 摘要 数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁。在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一。本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”。在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性。 关键词：中学数学；转化思想；数学问题 目录 1．引言 (2) 2．文献综述 (2) 2.1国内外研究现状 (2) 2.2国内外研究现状的评价 (2) 2.3提出问题 (3) 3．转化思想的概述 (3) 3.1转化思想的概念 (3) 3.2转化思想在应用上应遵循的基本原则 (3) 4．转化思想的应用 (4) 4.1已知与未知之间的转化 (4) 4.2不同与相同之间的转化 (5) 4.3复杂与简单之间的转化 (6) 4.4正面与反面之间的转化 (7) 5. 结论 (8) 5.1主要发现 (8) 5.2启示 (8) 5.3局限性 (8) 5.4努力方向 (8) 参考文献 (9) 1．引言 在数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多。一方面，数学思想方法是学习数学的“工具”，为我们解决数学问题提供清晰的思路，另一方面在实际工作中也能为我们指明正确的工作方向。特别是在将来的实际工作中，《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养。在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法。转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去。能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响。本文首先对转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作出了明确分析；其次归纳总结了转化思想在中学数学解题中的应用。中学数学中转化思想无处不在无时不在，贯穿于代数、几何问题中，在方程、不等式、函数等问题的解决过程中经常用到。 2．文献综述 2.1 国内外研究现状 国内外许多中学数学文献对转化思想问题进行了研究。现查阅到的国内外参考文献[1]-[17]中，欧阳维诚、肖果能、吴炯忻、林培榕、陈振宣、王书、郑隆炘、毛鄂涴等在文献[1]-[5]中用不同的方式、从不同的方面阐述了数学转化思想的概念、转化模型以及转化思想的分类；胡炯涛、朱慕菊、囡杨梦、董晓珍、高中伟在文献[6]-[10]中探讨了如何恰当的使用转化这种数学思想方法以及转化思想方法的研究价值；田隆岗、徐建华、刘俊、付本路、姚玉平、薛金星、张嘉谨、史承灼等在文献[11]-[17]中以中学数学典型例题从不同的方面阐述了转化思想方法的应用。 2.2 国内外研究现状的评价 在所查阅到的国内外参考文献中，对转化思想的概述以及应用方面只是作了简单、零散的介绍，他们所研究的只是转化思想的一个方面且没有深入探讨，也未通过实例加以说明。 1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 必修Ⅳ—08 平面向量的数量积与应用举例 １．已知两个非零向量a b 与，我们把数量 叫做a b 与的数量积（或内积），记作a b ?，即规定 a b ?= ，其中θ是a b 与的 ，cos b θ叫做向量b a 在方向上的 .零向量与任一向量的数量积为 . ２．设a b 与都是非零向量，由数量积的定义可得：a b ⊥? ，a b 与同向时， a b ?= ，a b 与反向时，a b ?= ，a a ?= ，即a = （此结论可以求出量的模）.a b ?的几何意义：数量积a b ?等于a 的长度 与b a 在方向上的投影 的乘积. ３．向量数量积的运算律有：a b ?= （交换律）；()a b λ?= （结合律） ()a b c +?= （分配律）. ４．若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ?= .若表示向量a 的有向线段AB 的起点11(,)A x y 和终点 22(,)B x y ，则a = （这是平面内两点间的距离公式）. 若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ⊥? .,a b 的夹角为θ，则cos θ= . ５．向量在几何中的应用：平面几何图形的许多性质，如平移，全等，相似，长度，夹角等都可以 由 .向量方法解决平面几何问题“三步曲”（１）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；（２）通过 研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；（３）把运算结果 成几何关系. 6．向量在物理中的应用：由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的方法来解决. 例１．（２00５，北京）若1,2,()0a b a a b ==?+=则a b 与的夹角为（ ） 高考数学解题思想：极限思想解题步骤 高考数学复习是有规律有内部联系的复习过程，在所有题型中一直串联着数学思想在里面，而不是单独的进行题海战术，做会一道题，完全掌握解题思维好于单独做100道题。数学网高考频道整理高考数学蕴含的六大数学思想，大题无外乎就这几类，吃透规律事半功倍。 高考数学解题思想：极限思想 极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学 思想。极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极 限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。例8 已知点A(0,■),B(0,-■),C(4+■,0)其中n为正整数，设Sn 表示△ABC外接圆的面积，则■Sn= 。 分析：本题的一般解题方法为求出△ABC的外接圆Sn的表达式，再根据数列极限的计算法则得出结果。这一方法有一定的运算量，如果我们能根据图形看出当n→∞时△ABC的极限位置是一条线段，其端点坐标为M(0,0)，N(4,0),故它的外接圆有极限位置是以为MN直径的圆。 解：■Sn=4π。 例9 将直线l1:nx+y-n=0、l2:x+ny-n=0(n∈N?鄢)、x轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则■Sn= 。 分析：将直线l1,l2的方程化为l1:y=-n(x-1)，l2:y=-■x+1,当 n→∞时，它们的极限位置分别为直线x=1和直线y=1，于是它们与x,y轴围成的图形是边长为1的正方形。 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗? 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。解：■Sn=1。 数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第高中数学知识点以及解题方法大全
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很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道【创新方案】高考数学(理)一轮突破热点题型：第3章 第7节 解3角形应用举例
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