导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。）
2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? + 函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 高三数学立体几何经 典例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 厦门一中 立体几何专题 一、选择题(10×5′=50′) 1.如图,设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心， 过O 的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为Q 、R 、S ，则 PS PR PQ 1 11+ + ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等 D.是一个与平面QRS 位置无关的常量 2.在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( ) A.??? ??ππ-,1n n B.??? ??ππ-,2n n C.??? ??π2,0 D.? ? ? ??π-π-n n n n 1,2 3.正三棱锥P-ABC 的底面边长为2a ,点E 、F 、G 、H 分别是PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,+∞) B.???? ??+∞,332a C.??? ? ??+∞,632a D.??? ??+∞,212a 4.已知二面角α-a -β为60°，点A 在此二面角内，且点A 到平面α、β的距离分别是AE =4，AF =2，若B ∈α,C ∈β,则△ABC 的周长的最小值是 ( ) A.43 B.27 C.47 D.23 5.如图，正四面体A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上， 使得 FD CF EB AE ==λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF 与AC 所成的角，βλ表示EF 与BD 所成的角，则 ( ) A.f (λ)在(0,+∞)单调增加 B.f (λ)在(0,+∞)单调减少 C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少 D.f (λ)在(0,+∞)为常数 6.直线a ∥平面β,直线a 到平面β的距离为1，则到直线a 的距离与平面β的距离都等于5 4 的点的集合是 ( ) A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面 7.正四棱锥底面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为 ( ) A.)(6 122Q S Q - B. )(31 22Q S Q - C. )(2 122Q S Q - D. S Q 3 1 8.已知球O 的半径为R ，A 、B 是球面上任意两点，则弦长|AB |的取值范围为 ( ) 第1题图 第5题图 应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; 高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 上海市吴淞中学2009届高三数学训练题 班级_____________姓名______________学号_____________成绩__________________ 一、 填空题 1、已知函数1 22)(1 +=+x x x f ，则()=-11 f ________ 2、设平面α与向量{}4,2,1--=→ a 垂直，平面β与向量{}1,3,2=→ b 垂直，则平面α与β位置关系是___________. 3、已知32cos 2,cos sin ,4 3sin π π x x -依次成等比数列，则x 在区间[)π2,0内的解集 为 . 4、椭圆19 252 2=+y x 上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________. 5、 若函数)24lg(x a y ?-=的定义域为}1|{≤x x ，则实数a 的取值范围是 . 6、设4 3 ,)1(112161211=?+++++= +n n n S S n n S 且 ，则n 的值为 . 7、设1F 、2F 为曲线1C ：1262 2=+y x 的焦点，P 是曲线2C ：13 22=-y x 与1C 的一个交 21的值为 . 8、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 . 9、 一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这 时报纸的厚度和面积分别为_________________。 10、 已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据： ,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;2 1 )1(===== a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取________ _____。（填上一个正确的数据序号即可） 11、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住在 第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，噪音较小，因此随楼层升 高，环境不满意程度降低，设住在第n 层楼时，环境不满意程度为n 8 ，则此人应选____楼。 12、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。在实数 轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =___________________ 二、选择题 13、已知二面角βα--l ，直线α?a ，β?b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么( ) （A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行 导数单元测试题（实验班用） 一、选择题 1．曲线3 2 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+ C .35y x =+ D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=?,[]1,2-∈x 的最大值为( )． A .14e - B . 0 C .2e D . 23e 3.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,2)- B.[]2,2- C.(,1)-? D.(1,)+? 4.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.1 (0,)2 B. (,1)-? C. (0,)+? D. (0,1) 5.若2a >，则函数3 21()13 f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点 B ．3个零点 C ．2个零点 D ．1个零点 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )． A .(3)(2) 0(2)(3) 32 f f f f -''<<< - B .(3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- C . (3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- D .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<<- 8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x <时,' ' ()()()()0f x g x f x g x +>, 高中数学题库 1. 求下列函数的值域： 解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2 ＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离 地球相距m 万千米和 m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 2 π π 和 ，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1 22 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,323 1c c c m c a m a c m =-==∴?= 代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο 30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则 )32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3 13+= -x y （1） 又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则双曲线方程为 )0(15 42 2≥=-x y x （2）。联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33 83 5=-= PA k ，故炮击的方位角北偏东?30。 说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2高三数学专题复习：导数及其应用
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