第7讲 解三角形应用举例
A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为
( ). A .1 B .2sin 10°
C .2cos 10°
D .cos 20° 解析 如图,∠ABC =20°,AB =1,∠ADC =10°,∴
∠ABD =160°.
在△ABD 中,由正弦定理得 AD sin 160°=AB sin 10°, ∴AD =AB ·sin 160°sin 10°=sin 20°sin 10°=2cos 10°.
答案 C
2.某人向正东方向走x km 后,向右转150°,然后朝新方向走3 km ,结果他离出发点恰好是 3 km ,那么x 的值为
( ). A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .3
解析 如图所示,设此人从A 出发,则AB =x ,BC =3,
AC =3,∠ABC =30°,由余弦定理得(3)2=x 2+32-
2x ·3·cos 30°,整理得x 2-33x +6=0,解得x =3或2 3.
答案 C
3.一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B ,C 两点间的距离是 ( ).
A.102海里B.103海里
C.203海里D.202海里
解析如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得
BC
sin 30°=
AB
sin 45°,解得BC=102(海里).
答案 A
4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图,两座相距
60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m,
BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物
CD的张角为().
A.30°B.45°C.60°D.75°
解析依题意可得AD=2010(m),AC=305(m),又CD=50(m),所以在△
ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2-CD2
2AC·AD=
(305)2+(2010)2-502 2×305×2010=
6 000
6 0002
=
2
2,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=
45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2011·上海)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为________千米.
解析由已知条件∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=45°.结合正弦定理
得
AB
sin∠ACB
=
AC
sin∠CBA
,即
2
sin 45°=
AC
sin 60°,解得AC=6(千米).
答案 6
6.(2013·潍坊模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S
在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析设航速为v n mile/h,
在△ABS中,AB=1
2
v,BS=8 2 n mile,
∠BSA=45°,
由正弦定理得:82
sin 30°=
1
2
v
sin 45°,∴v=32 n mile/h.
答案32
三、解答题(共25分)
7.(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠
D.求AB的长度.
解在△ABC中,由余弦定理得
cos C=AC2+BC2-AB2
2AC·BC=
82+52-AB2
2×8×5
,
在△ABD中,由余弦定理得
cos D=AD2+BD2-AB2
2AD·BD=
72+72-AB2
2×7×7
.
由∠C=∠D,得cos∠C=cos∠D,
解得AB=7,所以AB长度为7米.
8.(13分)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B 处救援,求cos θ的值.
解如题图所示,在△ABC中,AB=40
海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余
弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
120°=2 800,故BC=207(海里).
由正弦定理得AB
sin∠ACB =
BC
sin∠BAC
,
所以sin∠ACB=AB
BC sin∠BAC=
21
7.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=27 7.
易知θ=∠ACB+30°,故cos θ=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°
=
21
14.
B级能力突破(时间:30分钟满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是().A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
解析设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=3h,根据余弦定理得,(3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
答案 A
2.(2013·榆林模拟)如图,在湖面上高为10 m处测得天空中
一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则
云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ().
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析在△ACE中,
tan 30°=CE
AE=
CM-10
AE.∴AE=
CM-10
tan 30°(m).
在△AED中,tan 45°=DE
AE=
CM+10
AE,
∴AE=CM+10
tan 45°(m),∴
CM-10
tan 30°=
CM+10
tan 45°,
∴CM=10(3+1)
3-1
=10(2+3)≈37.3(m).
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪
式.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B 的距离为106米,则旗杆的高度为________米.
解析由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得
AN
sin 45°=
106
sin 30°,
解得AN=203(米),在Rt△AMN中,MN=20 3 sin 60°=30(米).故旗杆的高度为30米.
答案30
4.(2013·合肥一检)如图,一船在海上自西向东航行,
在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角,前进
m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角,
已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现
该船继续东行,当α与β满足条件________时,该
船没有触礁危险.
解析由题可知,在△ABM中,根据正弦定理得
BM
sin(90°-α)
=
m
sin(α-β)
,解
得BM=
m cos α
sin(α-β)
,要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°-β)=
m cos αcos β
sin(α-β)
>n,所以当α与β的关系满足m cos αcos β>n sin(α-β)时,该船没有触礁危险.
答案m cos αcos β>n sin(α-β)
三、解答题(共25分)
5.(12分)(2012·肇庆二模)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;
找到一个点D ,从D 点可以观察到点A ,C ;找
到一个点E ,从E 点可以观察到点B ,C ;并测
量得到数据:∠ACD =90°,∠ADC =60°,∠ACB
=15°,∠BCE =105°,∠CEB =45°,DC =CE =
1百米.
(1)求△CDE 的面积;
(2)求A ,B 之间的距离.
解 (1)在△CDE 中,∠DCE =360°-90°-15°-105°=150°,S △CDE =12DC ·CE ·sin 150°=12×sin 30°=12×12=14(平方百米).
(2)连接AB ,依题意知,在Rt △ACD 中,
AC =DC ·tan ∠ADC =1×tan 60°=3(百米),
在△BCE 中,∠CBE =180°-∠BCE -∠CEB =180°-105°-45°=30°,
由正弦定理BC sin ∠CEB =CE sin ∠CBE
,得 BC =CE sin ∠CBE
·sin ∠CEB =1sin 30°×sin 45°=2(百米). ∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
=12×22+32×22=6+24,
在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB ,
可得AB 2=(3)2+(2)2-23×2×
6+24=2-3,
∴AB =2-3百米.
6.(13分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则
S =900t 2+400-2·30t ·20·cos (90°-30°) =900t 2-600t +400= 900? ??
??t -132+300. 故当t =13时,S min =103(海里),
此时v =10313
=303(海里/时).
即小艇以303海里/时的速度航行,相遇时小
艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B 处相遇,则v 2t 2=400+
900t 2-2·20·30t ·cos(90°-30°),
故v 2=900-600t +400t 2,∵0<v ≤30,
∴900-600t +400t 2≤900,即2t 2-3t ≤0,解得t ≥23.
又t =23时,v =30海里/时.
故v =30海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于23.
此时,在△OAB 中,有OA =OB =AB =20海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°