泰勒斯（公元前624-前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”
25．多边形的边与角 解读课标
大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．
一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n 边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．
多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．
多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180n -??随n 的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360?的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决
例1 如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．
试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题．
例3凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570?，求n 的值．
试一试设除去的角为x ?，可建立关于x ，n 的不定方程；又0180x ?<
例4如图，四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ．证明：180BAD EAF ∠+∠=?．
试一试从四边形AECF 内角和入手． n 角星
例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠度数．
（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形()2n ≥，且12221n n B B B B + 是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠++∠+∠ 度数．
D
G
H
A
B
E
F
D
A
B
C
E
F
分析从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解（1）180? （2）540?
（3）12221n n A A A A +∠+∠++∠+∠= （21n +个三角形1121n A B B +，221A B B ，332A B B ，…，2221n n n A B B -，21212n n n A B B ++的内角总和减去多边形12221n n B B B B + 外角和的2倍）
()()21180360223180n n =+??-??=-??．
完全多边形
把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每
两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n 边形共有()
12
n n -条连线．
例6证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解借助图表示这一抽象的思想．
用点1A ，2A ，…，6A 代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．
考虑1A 与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设12A A ，13A A ，14A A 同为红色；若23A A ，34A A ，42A A 中有红边，则有红色()12,4i j A A A i j △≤≤；若23A A ，34A A ，42A A 无红边，则234A A A △为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．
数学冲浪 知识技能广场
1．如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，
若120A ∠=?，则1234∠+∠+∠+∠=_______．
图①
D
A
B E
图②
D G
H
M
N A B
E
F
I
J K L
B 2n B 2n +1
B 2
B 3B 4
B 5B 1
B 9B 8
B 7
B 6
A 2A 3A 4A 5
A 1A 2n A 9
A 8
7A 6
A 2n +1
图③
A 2
A 3
A 4
A 1
2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的度数为_______．
3．如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_____________．
4．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为___________．
5．将五边形纸片ABCDE 按如图所示的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在'E 、'D '上，已知76AFC ∠=?，则'CFD ∠等于（）．
A ．31?
B ．28?
C ．24?
D ．22?
D
A
B
C
E 1
23
4
A H G
A'
图①
图②
1
2
3
4
5
6
7
图①图②
D
A
B
C
E
F
E'
6．如图，已知正五边形ABCDE 中，12∠=∠，34∠=∠，则x =（）． A ．30? B ．45? C ．40? D ．36?
7．一个凸多边形的每一内角都等于140?，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）． A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ．6条
8．一个凸n 边形，除一个内角外，其余1n -个内角的和是2400?，则n 的值是（）． A ．15 B ．16 C ．17 D ．不能确定
9．如图，已知DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=?，求B ∠的度数．
10．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，AE 、CF 分别平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥．
思维方法天地 11．从凸n 边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n
边形对角线条数的4
9
，那么此n 边形的内角和为________．
12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060?，则原多边形是_________边形．
13．如图，设120CGE ∠=?，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________．
14．如图，A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________．
123
4x A B
E
D A
B
C
E
D
A
B
C
E G
A
B
C
E
F
α
15．如图，A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数等于（）． A ．360? B ．450?C ．540?D ．720?
16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002?，则这个多边形的边数为（）． A ．12 B ．12或13 C ．14 D ．14或15
17．有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）． A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块
18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转()0180αα??
19．如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知A B C D E F ∠+∠+∠=∠+∠+∠成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．
20．已知凸四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=?．
（1）如图①，若DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明； （2）如图②，若BF 、DE 分别平分ABC ∠、ADC ∠的邻补角，判断DE 与BF 的位置关系并证明．
应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；
G
H
A B C F
I
K
D
G
M
N A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
F 图①
F E C
B
A
D
图②
（2）如图②，在55?的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；
（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？ 22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，则有B BOD ∠=∠，又因为BOD ∠是POD △的外角，故BOD BPD D ∠=∠+∠，得B P D B D ∠=∠-∠．将点P 移到AB ，CD 内部，如图②，以上结论是
否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD ∠，B ∠，D ∠之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）如图②中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图③，则BPD ∠，B ∠，D ∠，BQD ∠之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论，求图④中A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． 微探究 平面镶嵌
平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．
我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．
镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360?，镶嵌图案有下列多种方式：
1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌； 2．用同一种正多边形进行镶嵌； 3．用几种正多边形组合镶嵌． 对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：
图①
图②图③
D
O
P
A B
C
图①D
P
A
B
C
图②
D
P
Q A
B C
图③
D
A
B
C
E
F
图④
例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边
数为x 、y 、z ，则111
x y z
++的值为________．
试一试从建立x 、y 、z 的等式入手．
例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）． A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种
试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m 个正三角形，n 个正方形，则
6090360m n +=，即2312m n +=，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式． 例3 问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
O
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
()82180903608
x y -?+
?=，整理得：238x y +=， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为1
2x y =??=?．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后
例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．
解设可以拼成凸n 边形，n 边形的内角只可能是60?，90?，120?，150?．并设其个数分别为x ，y ，z ，w （x ，y ，z ，w 为大于等于零的整数）． 则()60901201502180x y z w n x y z w n +++=???
+++=-???
①
② 由②得2345612x y z w n +++=-③ ①6?-③得43212x y z w +++=④
43212n x y z w x y z w =++++++=∴≤．
由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．
（1）当2n =时，由12
43212x y z w x y z w +++=??+++=?
，得320x y z ++=，
()(),,,0,0,0,12x y z w =∴．
这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150?，如图①． （2），当11n =时，由11
43212x y z w x y z w +++=??+++=?
，得321x y z ++=，
()(),,,0,0,1,10x y z w =∴．
这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120?，其余各内角均为150?，如图②． （3）当10n =时，由10
43212x y z w x y z w +++=??+++=?
，得322x y z ++=，
()(),,,0,0,2,8x y z w =∴．
这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120?，有8个内角为150?，如图③． （4）当9n =时，由9
43212x y z w x y z w +++=??+++=?
，得323x y z ++=，
()(),,,0,0,3,6x y z w =∴．
这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120?，有6个内角为150?，如图④． 同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．
练一练
1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．
2．花团锦簇
有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n 圈，则共需砖_______块．
图①十二边形(
)
图②十一边形(
)
图③十边形(
)
图④九边形(
)
图⑤八边形(
)
图⑥七边形(
)
图⑦六边形(
)
图⑧五边形(
)
A
3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用
同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）．
A ．4种
B ．3种
C ．2种
D ．1种
4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n 边形地板砖铺满，则n 等于（）． A ．4 B ．6C ．8 D ．10
5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360?）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究
三角形三边关系
三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．
例1 不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．
试一试设ABC △的面积为S 、第三条高的长为h ，则ABC △三边都可用S 的代数式表示，由三边关系建立关于h 的不等式组．
例2 已知三角形的三边a 、b
、
c 的长都是整数，
且a b c <
≤，如果7
b =，则这样的三角形共有（）．
…
A ．21个
B ．8个
C ．9个
D ．4个
试一试a 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c 的取值范围，列表枚举出所有的可能性．
例3 如图，已知P 为ABC △内任一点．
（1）AB BC CA ++与()2PA PB PC ++哪个大？证明你的结论； （2）AB BC CA ++与PA PB PC ++哪个大？证明你的结论．
试一试对于（2），解题的关键是先证明：
BP PC AB AC +<+，PA PC AB BC +<+，PA PB AC BC +<+． 例4 现有长为150cm 的铁丝，要截成()2n n >小段，每段的长为不小于1cm 的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段？
试一试因n 段之和为定值150cm ，故欲n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形
例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记(),,a b c 为三边分别为a ，b ，c 且a b c ≤≤的一个三角形．
（1）试尽可能多地写出满足题意的(),,a b c ； （2）你能否提出一些进一步的问题？
分析与解（1）由题意可知24a b c ++=，且a b c
a b c +>???
≤≤，由此得811c ≤≤，
即8c =，9，10，11，故满足题意的(),,a b c 共有如下12组：
():2,11,11A ；():3,10,11B ；():4,9,11C ；():5,8,11D ；():6,7,11E ；():4,10,10F ；():5,9,10G ；():6,8,10H ；():7,7,10I ；():6,9,9J ；():7,8,9K ；():8,8,8L ．
（2）以下问题供参考：
①将长度为()7n n ≥的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围； ②将长度为()4n n ≥的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？
练一练
1．现有3cm 、4cm 、7cm 、9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是________________．
2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧，A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，7m AB =，一个行人P 在马路MN 上行走．问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于_______米．
4．将长度为25cm 的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a 、b 、c ，且满足a b c ≤≤，则(),,a b c 有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．
P
C
B
A
P N
B
A
5．三角形的三边长为3，4，1x -，那么x 的取值范围是（）． A ．08x << B ．28x << C ．06x << D ．26x <<
6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）． A ．55种 B ．45种 C ．40种 D ．30种
7．7条长度均为整数的线段1a ，2a ，…，7a 满足177a a a <<< ，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若11a =，721a =，则6a =（）． A ．18 B ．13 C ．8 D ．5
8．已知ABC △的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．在平面内，分别用3根，5根，6根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．
10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？ 11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
25．多边形的边与角 问题解决
例1 连BC ，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=四边形EFBC 的内角和360=?．
例2 C 设凸多边形的边数为n ，n 个内角中恰有三个是锐角，则其余3n -个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即33n -≤，解得6n ≤．
例3 设除去的角为x ?，则()21802570n x -?=+，得2570360
180
x n ++=，130x =，17n =．
例4 180EAF C ∠+∠=?，又C BAD ∠=∠，故180BAD EAF ∠+∠=?． 数学冲浪
1．30 2．60? 3．540?
4．6得到的正多边形的一个内角为3602120120?-??=?． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．40B ∠=?
10．180DAB DCB ∠+∠=?，90EAB FCB ∠+∠=?，又90FCB CFB ∠+∠=?，得E A B C F B ∠=∠，故A E C F ∥． 11．720? 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13．240? 14．1080?连KF 15．C 16．D 设这个多边形为n 边形（n 为正整数），由()200221802002360n ?<-??
13159090
n <<，14n =或15． 17．C 18．D 19．可以证明CD AF ∥ 20．（1）DE BF ⊥；（2）DE BF ∥（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．
22．（1）不成立，结论是BPD B D ∠=∠+∠． （2）结论：BPD BQD B D ∠=∠+∠+∠． （3）360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=?． 平面镶嵌（微探究）
例1 依题意有：222180180180360x y z x y z ---?+?+?=，化简得1111
2
x y z ++=． 例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种． 例3 问题再现：3
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60120360a b +=．
整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =??=?和4
1a b =??=?．
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三
角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到唯一一
组适合方程的正整数解为121m n c =??
=??=?
．
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练
1．铺满n 组时，所用瓷砖总数为()()1616261131n n n +?+?++-=+- ．当26n =时，
()131********n n +-=<，当27n =时，()131********n n +->=，故最多能完整地铺满26组，还剩
2005195154-=（块）瓷砖．
2．660；600；266n n + 3． B
4． C 由
()2180135n n
-?=，得8n =．
5．（1）108?；120?；
()2180n n
-??
（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．
假定在接合处一共有k 块正n 边形地砖．由于正n 边形的所有内角都相等，则()2180360n k n
-??=，即
24
222
n k n n =
=+--，因k 为整数，故2|4n -，21n -=，2，4，得3n =，4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．
（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程90135360m n ??+??=?的整数解，即238m n +=的整数解．
∵
这个方程的整数解只有1
2m n =??=?
一组，∴符合条件的图形只有一种．
三角形三边关系（微探究）
例1 设长度为4和12的高分别是边a 、b 上的，边c 上的高为h ，ABC △的面积为S ，则24S a =
，212
S
b =，2S
c h
=
，由22222412412S S S S S
h -<<+，得36h <<，又h 为整数且ABC △为不等边三角形，故5h =．
a b c +>，列表如下：
例3 （1） +AB PA PB <，BC PB PC <+，AC PC PA <+，相加得：()2AB BC CA PA PB PC ++<++． （2）如图，延长BP 交AC 于D ．
在ABD △中，AB AD BD BP PD +>=+①， 在PDC △中，PD DC PC +>②，
①+②，得AB AD PD DC BP PD PC +++>++
即AB AC PB PC +>+，同理AB BC PA PC +>+，AC BC PA PB +>+．
相加得:()()22AB AC BC PA PB PC ++>++，故AB AC BC PA PB PC ++>++．
例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1123455143150+++++=< ，112345589232150++++++=> ．故n 的最大值为10，共有以下7种方式：
()1,1,2,3,5,8,13,21,34,62；()1,1,2,3,5,8,13,21,35,61；
()1,1,2,3,5,8,13,21,36,60；()1,1,2,3,5,8,13,21,37,59；
()1,1,2,3,5,8,13,22,35,60；()1,1,2,3,5,8,13,22,36,59；
()1,1,
2,3,5,8,14,22,36,58． 练一练
1．2 2．等腰
3．7PA PB AB -≤，当A 、B 、P 在一条直线上时，等号成立．
4．2等腰最长边介于周长的13
和1
2之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，
则最长边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有1111325++=，771125++=． 5．B 6．D
7．B 只有当22a =，3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，64513a a a =+=时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．
8．B 设第三条高线的长为h ，可得20
43
h <<．
9．（1）不能搭成三角形
（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．
P
D
C
B
A
11．不妨设a b c <<，则由30a b c
a b c +=-??+>?
得1015c <<．因c 为整数，故11c =，12，13，14．当11
c =时，10b =，9a =；当12c =时，11b =，7a =或10b =，8a =；当13c =时，12b =，5a =或11b =，6a =或10b =，7a =或9b =，8a =；当14c =时，13b =，3a =或12b =，4a =或11b =，5a =或10b =， 6a =或9b =，7a =．
第5关 多边形与平行四边形（讲义部分） 知识点1 多边形的概念和性质 多边形：在平面内，若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形. 正多边形：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 定理1：n 边形的内角和等于2180n -?（）（n 为不小于3的整数）.外角和等于360（n 为不小于3的整数）. 题型1 多边形内角和 【例1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720?，那么原多边形的边数为( ) A ．5 B ．5或6 C ．5或7 D ．5或6或7 【解答】解：如图， 剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720?的多边形的边数是n ，则(2)180720n -=， 解得：6n =． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180?，求这个多边形的边数和内角和． 【解答】解：设这个多边形的边数为n ， 根据题意，得(2)1803360180n -??=??-?， 解得7n =． 所以这个多边形的内角和为：(72)180900-?=?． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360?，与边数无关． 【例3】已知一个正多边形相邻的内角比外角大140?． （1）求这个正多边形的内角与外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 【解答】解：（1）设正多边形的外角为x ?，则内角为(180)x -?，由题意，得 180140x x --=．解得20x =． ∴正多边形的内角为160?，外角为20?． （2）这个正多边形的边数为：3602018?÷?=． 【点评】本题考查多边形的内角和，解题的关键是熟练运用多边形的内角和公式，本题属于基础 题型．
多边形与平行四边形 一.选择题 1．（2015·湖北省孝感市，第2题3分）已知一个正多边形的每个外角等于 60，则这个正多边形是 A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形 考点：多边形内角与外角．. 分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解． 解答：解：设所求正n边形边数为n， 则60°?n=360°， 解得n=6． 故正多边形的边数是6． 故选B． 点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 2．(2015?江苏南昌,第5题3分)如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( ). A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度变大 C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变 第5题 D A B C
答案：解析：选C. ∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形,底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选C. 3．(2015?江苏无锡,第8题2分)八边形的内角和为（） A．180°B． 360°C． 1080°D． 1440° 考点：多边形内角与外角． 分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°进行计算即可得解． 解答：解：（8﹣2）?180°=6×180°=1080°． 故选：C． 点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键． 4．（2015?广东广州,第8题3分）下列命题中，真命题的个数有（） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． A．3个B．2个C．1个D．0个 考点：命题与定理；平行四边形的判定． 分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可． 解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符
个性化教学辅导方案 教学 内容 多边形 教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念． 2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 重点难点重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．难点：多边形内角和的推导。 教学过程知识梳理 一、多边形基础 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗 1．定义：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 2．多边形的边、顶点、内角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．每相邻的两条线的交点叫作多边形的顶点。 总结：对于一个n边形，（n≥3）它有个顶点，个内角。 3．多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 你能推导出n边形的对角线的条数公式吗 例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 4．凸多边形与凹多边形 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． 5、由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 例1：画出下图中的六边形ABCDEF的所有对角线．
《多边形的外角和》教学设计 一、教材分析 本节内容是在学生学习了“多边形的内角和”之后，推出的“多边形的外角和”，学生已经基本掌握了多边形内角和公式的探索过程和方法。本节课介绍的是三角形和多边形的外角和有关概念以及多边形外角和的定理的探究，为今后进一步学习各种各样的多边形打好基础。 二、教学目标 1、知识与技能：探索并掌握多边形的外角和定理。 2、过程与方法：经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。 3、情感与态度：学生通过探索和合作过程，体验成功的快乐。 三、教学重、难点 1、教学重点：多边形的外角和等于3600。 2、教学难点：如何引导学生通过自主学习, 探索多边形外角和为什么都正好是3600。 四、教学方法 教师引导、学生自主探究法。游戏方式复习，采用微视频引出新知，通过师生、生生合作与交流，解决数学中和生活中的问题。 五、教学思路 问题导入---探究新知---典例分析---知识应用---总结拓展 六、教学过程 （一）创设情境 游戏导入：教师提出任意多边形的外角和，学生站起来做答，如遇不会的就可以坐下，看看是谁能坚持到最后，直至引出n边形的内角和定理。 师：你是如何计算n边形的内角和的？n边形的内角和等于多少？多边形的外角和是否也能总结出一个公式呢？ 生：回答问题并进行思考。
（设计意图：通过游戏的方式，既复习了n边形的内角和定理，又很好的引入了新知，激发了学生学习的欲望和兴趣。） （二）探究新知 1、剪拼法 微视频：首先，在一张白纸上任意画出一个△ABC，然后，在三个顶点处分别画一个外角，依次表示为∠1、∠2、∠3，再将∠1、∠2、∠3剪下来，最后，将三个角的顶点重合，拼摆在一起。 师、生：共同观看微视频 师：通过观看视频，你有哪些新的发现？ 生：思考并回答 师：如何定义三角形的外角和？ 生：三角形的外角和是指在三个顶点出分别取一个外角，然后求其和。 师：三角形的外角和为多少？视频中是通过什么方法得到的？ 生：剪拼法 师：运用剪拼法还可以得到哪些多边形的外角和？请尝试完成。 生：分小组合作尝试完成，并进行小组汇报，完成板书。 师：参与活动，随时展示小组成果。 师：强化板书结论，提醒学生感知剪拼法的局限性。 2、几何画板直观演示法 教学视频：用几何画板直观演示验证三角形、四边形、五边形外角和的过程。 师：播放课件 生：观看课件，体会运用另一种方式验证多边形的外角和。 师：利用这个教学软件，我能否得到并验证n边形的外角和呢？显然办不到，原来它也有局限性。 3、理论推导法 师：我们有没有一种方法既能够弥补以上两个方法的不足，又能体现科学性和严谨性呢？ 生：有，那就是理论推导法。 师：首先让我们从最简单的多边形——三角形入手吧！
初二数学春季班（学生版）
多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180 n-??． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 多边形及平行四边形的性质内容分析 知识结构 模块一：多边形 知识精讲
例题解析 【例1】（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】四边形的内角和为（） A．90°B．180°C．360°D．720° 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的度数是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
多边形与平行四边形 【教学目标】 1、知识与技能 通过对平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形的定义、性质、判定方法。 2、过程与方法 正确理解平行四边形起的承上启下的作用，它与等腰三角形、等边三角形以及勾股定理之间的联系以及它与特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系。 3、情感、态度与价值观 引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 教学重点：平行四边形的性质与判定的定理的理解与应用。 教学难点：平行四边形的性质与判定的应用判定的综合运用。 教学方法：指导—自主教学，教学手段是使信息技术与数学学科深度整合，打造高效的课堂 教学模式：以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----合作练习，提高效率。 教具准备：三角板、多媒体、自制课件、自制教具。 教学过程：一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题 同学们，今天我们一起来复习《平行四边形性质与判定》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道的基础练习，请看大屏幕。 基础练习1、在平行四边形ABCD中，AD=3，AB=2，平行四边形的周长是（） A.10 B.6 C.5 D.4 2.如图: 在 ABCD中,∠B = 110° 延长AD至F，延长CD至E，连结 E F，则∠ E ＋∠ F＝（） A、110° B、30° C、50° D、70° D F E A B C
3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，AC=10,BD=8，则 AD 的取值范围是( ) （A ）ＡＤ＞１ （B ）ＡＤ＜９ （C ）１＜ＡＤ＜９ （D ）ＡＤ＞０ 4.下例不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A 、AB=CD AD=BC B 、AB=CD AB ∥CD C 、AB=C D AD ∥BC D 、AB ∥CD AD ∥BC 5.如图DE 是 ?ABC 的中位线，若BC 的长为3cm,则 ＤＥ的长（ ） （A ）2ｃｍ （B ）1.5 ｃｍ （C ）1.2ｃｍ （D ）1ｃｍ 【例1】 如图所示，已知 ABCD 的周长为30cm ，AE ⊥BC 于E 点， AF ⊥CD 于F 点，且AE=2cm,AF=3cm ，，求S ABCD . 变式：如图所示，已知 ABCD 的周长为30cm ，AE ⊥BC 于E 点，AF ⊥CD 于F 点，且AE= AF=2:3 ，∠C=120°,求S A B E C D B C D A
多边形与平行四边形 一、选择题 1. （2014?福建泉州，第4题3分）七边形外角和为（） A．A C=BD B．A C⊥BD C．A B=CD D．A B=BC 考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可． 解答：解：A、AC≠BD，故此选项错误； B、AC不垂直BD，故此选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确； D、AB≠BC，故此选项错误； 故选：C． 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键． 5.（2014?毕节地区，第9题3分）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）
．． ． B．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行四边形； C．上、下这一组对边平行，可能为梯形； D．上、下这一组对边平行，可能为梯形； 故选B．
点评：本题考查了平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法，掌握这些特殊的四边形的判定方法是解答本题的关键． 7.（2014·云南昆明，第7题3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能 ．．判定四边形ABCD为平行四边形的是 A. AB∥CD，AD∥BC ．． C．D． 分析：分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断．
解：A选项延长AC、BE交于S，∵∠CAE=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE． 同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS， 即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS； B选项延长AF、BH交于S1，作FK∥GH， ∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB， ∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=67°=∠GHB，∴FG∥KH， ∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH， ∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK， ∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB， 同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB，又∵AS+BS＜AS2+BS2，故选D． 点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等． 8. （2014?湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）
《多边形的外角和》教学设计 一 .教学目标 【知识与技能】经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题； 【过程与方法】培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力． 【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造． 二．教学重难点 【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用． 【教学难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透． 三. 教学过程设计 第一环节创设情境，引入新课 问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。思考下列问题： （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？ （学生小组讨论，完成） 设计意图：利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间。 第二环节问题解决 对于上述的问题，如果学生能给出一些合理的解释和解答（例如利用内角和），可以按照学生的思路走下去。然后再给出“小亮的做法”或以“小亮做法”为提示，鼓励学生思考。如果学生对于这个问题无法突破，教师可以给出“小亮的做法”，或引导学生按“小亮的做法”这样的思路去思考，以便解决这个问题。 小亮是这样思考的：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5． 这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° 问题引申： 1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？ 2．如果广场的形状是八边形呢？ 设计意图： 通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫。 第三环节多边形的外角与外角和
多边形与平行四边形教案 一、教学内容分析 【地位及其作用】 多边形与平行四边形是初中阶段几何学习的基础核心内容之一，是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识，且具备初步的观察、操作等能力的基础上出现的，与后边的特殊平行四边形有着密切的联系.通过本节的学习使学生清楚地理解多边形与平行四边形的概念、基本的计算公式，并掌握它们的性质与判断，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力，促进学生基本数学思想和素养的形成有较好的促进作用. 【教学设计理念】 运用现代信息技术，使用微视频、几何画板、平板等多媒体，结合初三中考数学第一轮复习的教学要求，更好体现发展学生数学核心素养的理念，本节课采用了对多边形与平行四边形的知识点、考点的进行归纳形成思维导图，在教学过程中放手让学生在数学活动中经历、感受、归纳，使知识点结合考点形成清晰的导图．通过变式训练，分类讨论等促进学生思维方法及数学素养的多维化提升。 【复习目标】 1.知识与技能： ①通过微课学习，梳理多边形与平行四边形的知识结构框架； ②了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和公式与外角和，并会进行有关的计算与证明； ③掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明． 2．过程与方法： ①通过预习与画思维导图等环节，让学生感悟归纳整理知识点的方法与重要性． ②通过变式训练，进一步体会“数形结合”、“分类讨论”． 3．情感与态度：在学习过程中体验数的数学思想，在数学活动中让学生学会独立思考、与人合作，培养学生学数学的兴趣与自信心．在问题解决中培养学生深入探究的意识． 【教学重点】多边形的有关概念及平行四边形的性质和判定． 【教学难点】平行四边形的性质和判定的灵活运用．
多边形重要知识点总结 导读：一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）
初二数学春季班（教师版）
多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180 n-??． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 多边形及平行四边形的性质内容分析 知识结构 模块一：多边形 知识精讲
【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【难度】★ 【答案】（1）2；（2）20． 【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条． （2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式 ()32 n n -，可知这个多边形共有 ()883202 ?-=条对角线． 【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式． 【例2】 四边形的内角和为（ ） A ．90° B ．180° C ．360° D ．720° 【难度】★ 【答案】C 【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理． 【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【难度】★ 【答案】C 【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用． 例题解析
多边形（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】 知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2 n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)． 要点诠释： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ； 知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【典型例题】 类型一、多边形的概念 1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形 【答案与解析】 解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF. 【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个． 举一反三： 【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。 类型二、多边形内角和定理 2.证明： n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明． 【答案与解析】 已知：n边形A1A2……A n，
4.4多边形与平行四边形 易错清单 1.平行四边形的性质. 【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是(). A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2 【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意; B. 当BE=FD, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; C. 当BF=ED, ∴BE=DF. ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; D. 当∠1=∠2, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误; 【答案】 A 【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分. 2.平行四边形的判定. 【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD. (1)求证四边形MNCD是平行四边形; (2)求证BD=MN. 【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论; (2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案. 【答案】(1)∵ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵M,N分别是AD,BC的中点, ∴MD=NC,MD∥NC. ∴四边形MNCD是平行四边形. (2)如图,连接ND, ∵四边形MNCD是平行四边形, ∴MN=DC. ∵N是BC的中点,
个性化教学辅导方案 教学 容 多边形 教学目标1．使学生了解多边形的角、外角等概念． 2．能通过不同方法探索多边形的角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 重点难点重点：（1）多边形的角和公式．（2）多边形的外角和公式．难点：多边形角和的推导。 教学过程知识梳理 一、多边形基础 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？ 1．定义：在平面，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 2．多边形的边、顶点、角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．每相邻的两条线的交点叫作多边形的顶点。 总结：对于一个n边形，（n≥3）它有个顶点，个角。 3．多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 你能推导出n边形的对角线的条数公式吗？ 例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 4．凸多边形与凹多边形
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． 5、由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 例1：画出下图中的六边形ABCDEF的所有对角线． 例2：如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 二、多边形角和 以五边形为例，求其角和。
多边形与平行四边形 考点扫描 1、多边形与正多边形的概念、内角和、外角和、性质。 2、平面图形的镶嵌及镶嵌设计。 3、平行四边形的概念与性质，平行四边形判定。 一、选择题 1、下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有 （ ） ①正六边形；②正方形；③正五边形；④正三角形； A 1种 B 2种 C 3种 D 4种 2、小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是 （ ） A 矩形 B 正方形 C 等腰梯形 D 无法确定 3、若四边形四角度数之比为1：2：2：3，则此四边形为 （ ） A ． 梯形 B 正方形 C 直角梯形 D 平行四边形 4、（2007乐山）如图，在平面四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =o ∠，则BCE =∠（ ）B Ａ．55o Ｂ．35o Ｃ．25o Ｄ．30o 5、（2005年天津市）如图，在ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．11个 6、（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ）C A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 7、（2007山东日照）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，O E ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）D (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 8、（2005年山东省）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F?是对角线AC 上的两点，A E B C D 4题图 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 第6题 5题图 A B C D O E 7题图 8题图 9题图
中考数学常考易错点多边形与平行四边形专题练习试题合集（含答案解析） 易错清单 1.平行四边形的性质. 【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是(). A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意; B.当BE=FD, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; C.当BF=ED, ∴BE=DF. ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误; D.当∠1=∠2, ∵平行四边形ABCD, ∴AB=CD,∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误; 【答案】 A 【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分. 2.平行四边形的判定. 【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD. (1)求证:四边形MNCD是平行四边形; (2)求证:BD=MN. 【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论; (2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案. 【答案】(1)∵ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵M,N分别是AD,BC的中点, ∴MD=NC,MD∥NC. ∴四边形MNCD是平行四边形. (2)如图,连接ND, ∵四边形MNCD是平行四边形, ∴MN=DC. ∵N是BC的中点, ∴BN=CN. ∵BC=2CD,∠C=60°, ∴△NCD是等边三角形. ∴ND=NC,∠DNC=60°.
多边形的内角和与外角和 ?基础巩固题 一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是________. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数.
15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数. ? 强化提高题 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的 23 , 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. E F D B C A
多边形的内角和与平行四边形的性质 1．多边形及其内角和与外角和 (1)多边形的概念 ①定义:在同一平面内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形． ②多边形的边:所相连的线段叫做多边形的边． ③多边形的角:①内角-------多边形相邻两边所组成的角叫多边形内角；②多边形的外角------多边形的一边与相邻边延长线组成的角叫做多边形的外角. ④多边形的对角线:多边形不相邻的两个点的连线组成的线段叫做多边形的对角线． n 边形从一个顶点可以引 条对角线.把n 边形分成 个三角形.n 边形对角线条数为 . (2)多边形的内角和与外角和 ①多边形的内角和:多边形的内角和为 ． ②多边形外角和:多边形的外角和为 ． (3)正多边形: ①正多边形:各边相等,每个内角相等的多边形叫做正多边形． ②正n 边形的每个内角度数为 ，每个外角的度数为 ． 2．平行四边形 (1)平行四边的概念 ①定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． ②平行四边形对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念． ③平行四边形的表示 (2)性质： ①边：对边 ；对边 ． ②角：对角 ；邻角 ；四个角之和 ． 推论：夹在两条平行线间的平行线段 ． ③对角线：平行四边形的对角线 ． (3)两条平行线的距离 (1)平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离；平行线间的距离处处 ． (2)平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的． (3)平行四边形的面积：等于它的底和高的积，即ABCD S ＝a·h ．（其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高）． 3．平面镶嵌 (1)用地板铺地,用瓷砖贴墙.都要求砖与砖严丝合缝,不应空隙,把地面或墙面全部覆盖,从数学角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题． (2)平面镶嵌的条件 ①用同一种正多边形镶嵌平面的条件是:当正多边形的一个内角的正整数倍是360时.这种正多边形可以覆盖平面. 只有正三角形,正方形,正六边形能镶嵌成一个平面图形． ②用两种边长相等的正多边形镶嵌平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为α，β，当mα+nβ=360中的mn 有正整数解时，这两种正多边形可以覆盖平面． 正三角形和正方形或正三角形和正六边形或正三角形和正六边形能覆盖平面． ③在一般的多边形中,只有三角形和四边形可以覆盖平面． 方法与技能 【例1】(1)已知一个多边形的每个内角都相等,且一个内角等于它相邻外角的9倍.求这个多边形的边数. (2)一个多边形有14条对角线,求它的内角和与边数 (3)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,求这个多边形的内角和.
多边形知识点总结 按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。 由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。 组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点;多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角;连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。 多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形 上面的此定理只适用于凸多边形，即平面多边形，空间多边形不适用。 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的
边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。