八年级专题复习---第二章 特殊三角形
知识点回顾
一、等腰三角形
1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、等腰三角形性质
(1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
3、等腰三角形判定
（1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
二、等边三角形
1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形
2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
3、等边三角形判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）三条边都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形
1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2、直角三角形性质：
(1) 在直角三角形中，两个锐角互余
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c b a =+
3、直角三角形判定
(1)根据定义判定
(2)两内角互余的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
四、勾股定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴
2、勾股定理的应用：
（1）已知两边（或两边关系）求第三边；
（2）已知一边求另两边关系；
（3）证明线段的平方关系；
（4）作长为n 的线段.
3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
1．先找出最大边（如c ）
2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等
若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形
若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形
五、直角三角形判定方法：ASA, AAS 、SAS 、SSS 、 HL
1、三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS ”）；
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS ”）；
3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA ”）；
4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS ”）；
5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL ”）。
一、选择题
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）
A 17
B 22
C 17或22
D 13
2、等边三角形的对称轴有 （ ）
A 1 条
B 2条
C 3条
D 4条
3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ）
A 1, 1 ,2
B 5, 8 10
C 6 ,7 ,8
D 3 ,4 ,5
4、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ）
A 中线上
B 角平分线上
C 高线上
D 不能确定
5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）
A 两个锐角对应相等
B 一条边和一个锐角对应相等
C 两条直角边对应相等
D 一条直角边和一条斜边对应相等
6、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为（ ）
（A ）100o （B ）40o （C ）70o （D ）70o或40o
7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ）
（A ）∠A=30o、∠B=60o （B ）∠A=50o、∠B=80o
（C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13
8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ）
A 等边三角形
B 等腰三角形
C 直角三角形
D 钝角三角形
9、如上图∠BCA=90，CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有（ ）个
A ．1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）
（A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个
11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为（ ）
（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）以上都有可能
12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
（A ）线段 （B ）角 （C ）等腰三角形 （D ）直角三角形
D C B A
八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 E C
二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为 7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置 三、两圆一线定等腰 例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P， 使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个 B
初二几何第2单元疑难问题集锦 一?选择题（共10小题） 1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M , 若CM=5,贝U CE+CF2等于（） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 2. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（） A. 40 B. 46 C. 48 D. 50 3. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（） 4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交 CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（
5?如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形, 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ， 6. 要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ） ① 有两条直角边对应相等； ② 有两个锐角对应相等； ③ 有斜边和一条直角边对应相等； ④ 有一条直角边和一个锐角相等； ⑤ 有斜边和一个锐角对应相等； ⑥ 有两条边相等. A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个 7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的 正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ） A .①② B .①②③ C.①②④ D . ①②③④ D . 那么（m+n ）2的值为（ 25 D .无答案
浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．(2分)三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A．中线上B．平分线上C．高上D．中垂线上 2．(2分)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（） A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD，BD与BC 3．(2分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（） A．43B．33C．23D．3 4．(2分)如图，跷跷板的支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB可以绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，那么横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（） A．40°B．30°C．20°D．10° 5．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22 +-=，则此三角形是（） ()2 a b c ab A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形 6．(2分)以下四组木棒中，可以做成一个直角三角形的是（） A．7 cm，12 cm,15 cm B．8cm，12cm，15cm C．12 cm，15 cm，17 cm D．8 cm，15 cm,17 cm 7．(2分)把等边三角形ABC一边AB延长一倍到D，则∠ADC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定 8．(2分)下列命题不正确的是（） A．在同一三角形中，等边对等角 B．在同一三角形中，等角对等边 C．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍 D．等腰三角形是等边三角形 9．(2分)连结等边三角形各边的中点所得到的三角形是（） A．等边三角形B．直角三角形C．非等边三角形D．无法确定 10．(2分)如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（） A．B．C．D． 11．(2分)如果△ABC是等腰三角形，那么∠A，∠B的度数可以是（） A．∠A=60°，∠B=50°B．∠A=70°，∠B=40° C．∠A=80°，∠B=60°D．∠A=90°，∠B=30° 12．(2分)下列说法：④如果“a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是l2、25、21,那么此三角必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a>b=c）,那么a2 :b2：c2=2：1：1．其中正确的是（） A．①②B．①③C．①④D．②④ 二、填空题 13．(2分)如图，在平面直角坐标系中，OA=10，点B的坐标为(8，0)，则点A 的坐标 为 . 14．(2分)在△ABC中,∠A=90°，∠B=60°，则∠C=_______度.
浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定： 有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。 一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定： 斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质： 在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。 三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
八年级专题复习---第二章 特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）三条边都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符 号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称 之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的 两条直角边和斜边，那么222c b a =+ 3、直角三角形判定 (1)根据定义判定 (2)两内角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 四、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴ 2、勾股定理的应用： （1）已知两边（或两边关系）求第三边； （2）已知一边求另两边关系； （3）证明线段的平方关系； （4）作长为n 的线段. 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
D B C A F E 三 角 形 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ） （A ）17 （B ）22 （C ）17或22 （D ）13 2、 等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 3, 3 ,6 B 8, 12，13 C 6 ,7 ,8 D 8, 10 ,6 4、 已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是 （ ） A 6c ㎡, B 7.5c ㎡ C 10c ㎡ D 12c ㎡ 5、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个内角为40o，则它的底角为（ ） （A ）100o （B ）40o （C ）70o （D ）70o或40o 8、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30o、∠B=60o （B ）∠A=50o、∠B=80o （C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 9、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形 10、如图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二．填空题 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A 的余角为______度. 3、 等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm ，则等边三角形的面积为_______c ㎡ 5、Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm ，则AB 边上的中线长为________ 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2cm ，则AB=_____cm 。 7、等边三角形两条高线相交所成的钝角为________度 8、若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ 。 9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线AF 、 CE 相交于点D ，且∠B=70o，则∠ADE 的度数为_________ 10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AC=4， BC=3 ，则CD= D C B A D C B A
第二章练习卷 一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为( ) (A)17 (B)22 (C)17或22 (D)13 2、 等边三角形的对称轴有 ( ) A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 ( ) A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,5 4、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 ( ) A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 6、等腰三角形的一个顶角为40o，则它的底角为( ) (A)100o (B)40o (C)70o (D)70o或40o 7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( ) (A)∠A=30o、∠B=60o (B)∠A=50o、∠B=80o (C)AB=AC=2，BC=4 (D)AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有( )个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有( ) (A)1个 (B)4个 (C)7个 (D)10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)以上都有可能 12．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) (A)线段 (B)角 (C)等腰三角形 (D)直角三角形 13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为( ) (A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm 14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是( ) (A)2个角分别相等，且有一边相等; (B)3个角对应相等; (C)2边分别相等，且第三边上的中线也相等; (D)一边相等，且这边上的高也相等 15．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于( ) (A)2a (B)3a (C)4 a (D)以上结果都不对 16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=( ) (A)55° (B)60° (C)65° (D)70° B A D C E B ' B A C A ' B A D C (4) (5) (6) 17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，?那么这个三角形是( ) (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)可能是锐角三角形 (D)以上说法都不对 18．如图5所示，在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△A ′B ′C?′≌△ABC ，? 则∠BCA ′:∠BCB ′等于( ) (A)1:2 (B)1:3 (C)2:3 (D)1:4 19．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5， 则DC 的长度是( ?) (A)85 (B)45 (C)165 (D)225 20．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任 一点，则MC 2-MB 2?等于( ) (A)9 (B)35 (C)45 (D)无法计算 21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( ) A. 0.7m B. 0.9m C. 2.4m D. 2.5m 22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° D C B A B A D C M
第二章特殊三角形综合练习卷 班级座号姓名 一、填空题 1．等腰三角形一边长为2cm，另一边长为5cm，它的周长是_____cm． 2．在△ABC中，到AB、AC距离相等的点在_______上． 3．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=3∠B+10°，则∠B=_______． 4．△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则图1中共有_____个等腰直角三角形． B A D C F B A C E B A D C (1) (2) (3) 5．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用______根． 6．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果AB=10，BC=5，?那么CE=_______，∠A=_____，∠B=______，∠DCE=______，DE=_______． 7．如图2所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC=________度，S△BCD=_______cm2． 8．如图3所示，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC=_______．9．E、F分别是Rt△ABC的斜边AB上的两点，AF=AC，BE=BC，则∠ECF=______． 10．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD=________． 二、选择: 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为（） （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）以上都有可能12．下列图形中，不是轴对称图形的是（） （A）线段（B）角（C）等腰三角形（D）直角三角形 13．已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（）
一、等腰三角形定义及其性质 【知识梳理】 1．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．【例题精讲】 例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数． 例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________ ．
例3．探究题： （1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明． ②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明． （2）拓展探究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 猜想：①∠AEB= °；②（CM、AE、BE的数量关系）． 证明：。 【巩固练习】 1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 __________ ． 2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分
考点分析 1、掌握等腰三角形的性质及判定定理 2、掌握直角三角形的性质 3、特殊三角形在全等证明中的运用 4、掌握勾股定理的计算方法 知识点概要 1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形 2、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 PS:等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 4、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余
1．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝12 ∠C ，那么∠A ＝45°． 2. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是 ． 3．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为 ． 4．在Rt △ABC 中，两边的长为3和5，则另一边的长为 ． (第5题) 5．如图，在△ABC 中，AB ＝A C ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，E 为AC 的中点，连结DE ，则△CDE 的周长为 ( ) 6．如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足(a －b )(b －c )(c －a )＝0，那么△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形 7．在等腰△ABC 中，AC ＝AB ，两腰中线交于一点O ，则AO 与BC 的关系是( ) A ．相等 B ．互相平分 C ．AO 垂直平分BC D ．以上都不对 (第8题) 8．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为( ) A. 2 B. 2 3 C. 33 ＋1 D. 3＋1 9．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( ) A ．60° B ．120° C ．60°或150° D ．60°或120° 10．已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 11．两根木棒的长度分别是5 cm 和7 cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如
八上第二章特殊三角形（三） 章末复习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( ) A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 7 （第1题图）（第2题图）（第3题图） 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC 的中点，连结DE，则△CDE的周长为( ) A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 3．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1.照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条( ) A. 7根 B. 6根 C. 5根 D. 4根 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( ) A. 6 B. 63 C. 9 D. 3 3
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，则AD等于（）A．4BD B．3BD C．2BD D．BD （第5题图）（第6题图）（第7题图） 6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE 的周长为21，则BC的长为（） A．6 B．9 C．10 D．12 7.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为() A.9 B. 11 C. 12 D. 13 8.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（） A．30°B．32°C．36°D．40° （第8题图）（第9题图） 9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
初中数学浙教版八年级上册第二章特殊三角形单元检测（基础篇） 一、单选题（共10题；共20分） 1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2.我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 无数 3.已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为（） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72°或36° 4.下列线段不能组成直角三角形的是（） A. a＝3，b＝4，c＝5 B. a＝1，b＝，c＝ C. a＝2，b＝3，c＝4 D. a＝7，b＝24，c＝25 5.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A点、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D，交AB于点E，连接BD，若，则（） A. B. C. D. 6.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7.下列定理中，没有逆定理的是（） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 同位角相等，两直线平行 8.如图，三角形ABC，∠BAC= ，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（）．
A. ∠B=∠C B. ∠BAD=∠B C. ∠C=∠BAD D. ∠DAC=∠C 9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC=6，BD=10，则EF 的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10.如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 二、填空题（共6题；共7分） 11.若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b=________. 12.已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为________cm. 13.如图，在△ABC内，三边垂直平分线交点为D，若∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为________. 14.如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为________. 15.已知命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”，用“如果…，那么…”的形式写出它的逆命题，并判断其真假．逆命题：________．这个逆命题是________ 命题（填“真”或“假”）．
初二几何第2单元疑难问题集锦 一．选择题（共10小题） 1．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（） A．75 B．100 C．120 D．125 2．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（） A．40 B．46 C．48 D．50 3．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（） A．3 B．6 C．3 D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）
A．B．C．D． 5．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（） A．23 B．24 C．25 D．无答案 6．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（） A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷 学校：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题 1．(2分)下列说法中，错误的是（ ） A ．等边三角形是特殊的等腰三角形 B ．等腰三角形底边上的中线是等腰三角形的对称铀 C ． 有一个角为 45°的直角三角形是等腰直角三角形 D ．等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角 2．(2分)若直角三角形的一条直角边长为 5，斜边上的中线长为 6.5，则另一条直角边长等于（ ） A ． 3 B ．12 C ． 7 D ． 4 3．(2分)下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A ．线段 B ．角 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 4．(2分)已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ） A ．30 B ．60 C ．78 D ．不能确定 5．(2分)如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点，有以下判断：（1）DE=AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB=30°；（4）∠EAF=∠ADE ，其中不正确结论的个数有（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．以上选项均错误 6．(2分)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，点D 是AB 的中点，BC=14 cm ，则AD 的长是（ ） A ．6 cm B ．7 cm C ．8 cm D ．9 cm
7．(2分)下列命题不正确的是（） A．在同一三角形中，等边对等角 B．在同一三角形中，等角对等边 C．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍 D．等腰三角形是等边三角形 8．(2分)下列四个图形中，轴对称图形的个数是（） ①等腰三角形, ②等边三角形, ③直角三角形, ④等腰直角三角形 A． 1个B．2个C．3个D．4个 9．(2分)△ABC和△DEF都是等边三角形，若△ABC的周长为24 cm ，△DEF的边长比△ABC的边长长3 cm，则△DEF的周长为（） A．27 cm B．30 cm C．33 cm D．无法确定 10．(2分)我们知道，等腰三角形是轴对称图形，下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C．等腰三角形底边上的高线所在的直线是它的对称轴 D．以上都对 评卷人得分 二、填空题 11．(2分)若一个边三角形的边长为 6，则它的面积为 . 12．(2分) 现有两根长度分别为 8cm和 l5cm的木棒，要钉成一个直角三角形木架，则所需要第三根木棒的长度为 . 13．(2分)如图，是一长方形公园，如果要从景点A走到景点C，那么至少要走 m． 14．(2分)在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，BC=4，那么AB= ． 15．(2分)如图，在△ABC中，AB=AC=BC,若AD⊥BC，BD=5 cm，则AB= cm．
C. a=1, b= 2 , c= D. a : b : c=5: 12： 13 《特殊三角形》测试题 、选择题（每小题 3分，共30 分） 1.下列能判断△ ABC 是等腰三角形的是 5. 如图（3）,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积积之和等 于较大的半圆面积，则这个三角形为 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角 形 6. 在厶ABC 中，/ A 的相邻外角是 110,要使△ ABC 为等腰三角形，则底角Z B 的度数是 （ ） A. 70° B.55° C.70° 或 55° D.60° 7. 根据下列条件判断，以a,b,c 为边的三角形不是.直角三角形的是 （） A. a=3 2 ,b=4 - 2 ,c=5 ■- 2 B. a=30, b=40, c=45 学号 姓名 成绩 A. / A=30° , / B=60° B. / A=50 / B=80° C. AB=AC=2, BC=4 D. AB=3,BC=6,周长为 12 2 .如图⑴，以知等腰厶ABC 中，顶角平分线 AD 交底边BC 于D,则以下结论中错误的是 （ 3. A . Z B=Z C B . BD=CD C . A D 丄 BC D.AD=BC 五根火材棒（不折断）首尾顺次相连，能搭成 A .等边三角形 B.等腰三角形 C ?直角三角形 D .以上都不能 4. 如图（2）将两快直角三角尺的直角顶点重合，若Z AOD=110 ，则Z BOC 等于 （ A. 45 ° B.55 C.60° D.70° A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C B D (3
浙教版八年级上册专题复习-- 特殊三角形． 八年级专题复习---第二章特殊三角形 知识点回顾 一、等腰三角形
1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定 （1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。（2）三条边都相等的三角形是等边三角形°的等腰三角形是等边三60）有一个角等于3（． 角形。 三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，
那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c?ab?、直角三角形判定3 (1)根据定义判定. 两内角互余的三角形是直角三角形(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平(3) 方，那么这个三角形是直角三角形． 四、勾股定理、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等1. 于斜边的平方
特殊三角形测试题 （满分100分，考试时间90分钟） 姓名 得分 一、填空题（共12题，每题3分，共36分） 1.如果等腰三角形的周长为12，那么它的腰长的取值范围为 . 2.已知一个等腰三角形中有一个角是80?，则这个三角形一腰上的高与底边夹角的度数是 . 3.在等腰直角三角形中，直角边的长是10cm ，则斜边长为 ；若斜边长为10cm ，则它的直角边长为 . 4.如果直角三角形的边长分别为6，8，x ，则x = . 5.若a ，b ，c 为ABC ?的三边，则()()()222a b c b c a c a b -++--+--= . 6.如图，D 、E 为ABC ?两边AB 、AC 的中点，将ABC ?沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若55B ∠=?，则BDF ∠= 度． 7.如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF AC =，则ABC ∠= 度． （第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） 8.如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，BE=CF ，AD+EC=AB ．若50A ∠=?，则DEF ∠= 度. 9.有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 ． 10.等边ABC ?中，边长为1，P 是AB 边上一点，作PQ BC ⊥于Q ，QR AC ⊥于R ， RS AB ⊥于S ，若14 PS =，则AP 的长为 . 11.已知等腰三角形一腰上的高的长度等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于 度. 12.在ABC ?中，C Rt ∠=∠，AD 为角平分线，32BC =，:9:7BD DC =，则点D 到AB 的距离为 . 二、选择题（共6题，每题3分，共18分） 13.下列判断正确的是（ ）. A. 顶角相等的两个等腰三角形全等