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浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习

八年级上册第二章《特殊三角形》复习

一、知识结构

本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：

等腰Rt

两直角三角形全等的判定

直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形

等腰三角形特殊三角形

二、重点回顾

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：

有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

3．等边三角形的性质：

等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：

有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：

直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：

有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和

等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

7．直角三角形全等的判定：

斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。

8．角平分线的性质：

在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。

三、重点解读

1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；

2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；

3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；

4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；

5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。

本章解题时用到的主要数学思想方法：

⑴分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）

⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长

⑶等面积法

四、典型例题（一）、角平分线+平行线

1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。过O 点作BC 。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF

2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ，使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABC 的周长为_________。

（二）、角平分线+垂线 3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE 。

4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE

(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线

5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.

（四）、等边三角形的几个基本图形：

6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。∠AFE=_________。

A B C

D E

M N 图1

A B C

D E

M N 图2 A B

C D M N 图3 7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。说明： △CMN 是等边三角形。

8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC?的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h?之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．

A D C

B A D

P B

F E P

（五）、等腰直角三角形的几个基本应用

9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。 (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理

由.

10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。求证：△MDE 是等腰直角三角形。

（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程

11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a

12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ 。

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

14、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。

（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）

有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。

有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

（八）作图题

如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等，并说

明你的理由．

作图题的基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所求。

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

（1）（2）（3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，?若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4）（5）

5．如图5，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，?要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离D 的距离约为_______米（精确到1米）．

6．等腰△ABC 的底边BC=8cm ，腰长AB=5cm ，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为________． 7．如图7

，在△

ABC 中，AB=AC

，∠BAD=20?°，且AE=?AD ，则∠CDE=________．

（7）（8）（9）

8．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（） A ．44° B ．68° C ．46° D ．22°

9．如图9，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，?使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2m ，L 2=6.2m ，L 3=7.8m ，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（）

A ．L 1

B ．L 2

C ．L 3

D ．L 4

10．如图10，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．?则∠A 等于（）

A ．30°

B ．36

° C ．45° D ．72°

（10）（11）

11．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，?是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，?则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（） A ．25° B ．50° C ．60° D ．130°

12、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )

A. ab=h 2

B. a 2+b 2=2h 2

a 1+

b 1=h

21a +21b =2

1h 如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任一点，则MC 2

-MB 2

等于

二、能力提升 13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长．

14．（计算型说理题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．?试判断

DB与DE之间的大小关系，并说明理由。

15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，?给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究

16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、?CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

浙教版八年级上册特殊三角形常见的题目模型

八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 E C

二、等腰三角形中的分类讨论例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为（3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为 7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个 B

特殊三角形专题练习

特殊三角形专题练习一．选择题(共9小题) 1.已知等腰三角形的周长为２4,腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x<6 C．6＜ｘ＜12 D．0＜x<12 2.若实数x,y满足﹣4０，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） 16或２０ D. 20 A．12 B．16 Ｃ . 3．如图,在△中，∠９0°,,是经过A点的一条直线,且Ｂ,C在的两侧,⊥于Ｄ，⊥于E,2,6,则的长为（）３ C. 5 D. 4 A. 2 Ｂ . 4．等腰三角形一条边的边长为３,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程ｘ2﹣１20的两个根，则k的值是（）A．27 B．3６Ｃ 2７或3６ D．１8 ．

5．如图,在△中,，平分∠交于点D,∥交的延长线于点Ｅ．若∠３5°,则∠的度数为（）Ａ．40° B. 45°Ｃ．６0° D. 70° ６．如图，△中,⊥于D,⊥于Ｅ，与相交于F，若，则∠的大小是（ ) A．4０°B．45°C．5０°Ｄ． 60° 7.如图,,若∠80°，则∠（ )

A. ８０°Ｂ 1０0°C．140° D. 160° . ) 8.已知如图,∥，⊥，⊥,，2，3，则△的面积为（ 5 D. 无法确定． 9．如图，已知△的面积为10２,为∠的角平分线,垂直于点Ｐ, ) 则△的面积为（ A. 62B．52 C. ４2Ｄ．二.填空题（共８小题) 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史,两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

专题特殊三角形-讲义

特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾 1、等腰三角形 2、等边三角形 3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．

金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形 30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理

特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60° 等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略

浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷及答案

浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（） A. 12cm≤h≤19cm B. 12cm≤h≤13cm C. 11cm≤h≤12cm D. 5cm≤h≤12cm 2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和（第1题）（第2题）（第3题） 3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED 沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（） A. 8 B. C. D. . 4.如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（） A. 30° B. 25° C. 22.5° D. 20° （第4题）（第5题）（第6题） 5.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（） A. B. C. D. 7.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（）． A. B. C. D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长

浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习

初二几何第2单元疑难问题集锦一?选择题（共10小题） 1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M , 若CM=5,贝U CE+CF2等于（） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 2. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（） A. 40 B. 46 C. 48 D. 50 3. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（） 4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交 CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（

5?如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形, 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ， 6. 要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ① 有两条直角边对应相等； ② 有两个锐角对应相等； ③ 有斜边和一条直角边对应相等； ④ 有一条直角边和一个锐角相等； ⑤ 有斜边和一个锐角对应相等； ⑥ 有两条边相等. A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个 7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的是（） A .①② B .①②③ C.①②④ D . ①②③④ D . 那么（m+n ）2的值为（ 25 D .无答案

金老师教育-中考数学总复习：28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；

浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元复习试题精选 (32)

浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．(2分)三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A．中线上B．平分线上C．高上D．中垂线上 2．(2分)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有（） A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD，BD与BC 3．(2分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（） A．43B．33C．23D．3 4．(2分)如图，跷跷板的支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB可以绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，那么横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（） A．40°B．30°C．20°D．10° 5．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22 +-=，则此三角形是（） ()2 a b c ab A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形 6．(2分)以下四组木棒中，可以做成一个直角三角形的是（） A．7 cm，12 cm,15 cm B．8cm，12cm，15cm C．12 cm，15 cm，17 cm D．8 cm，15 cm,17 cm 7．(2分)把等边三角形ABC一边AB延长一倍到D，则∠ADC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定 8．(2分)下列命题不正确的是（） A．在同一三角形中，等边对等角 B．在同一三角形中，等角对等边 C．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍 D．等腰三角形是等边三角形 9．(2分)连结等边三角形各边的中点所得到的三角形是（） A．等边三角形B．直角三角形C．非等边三角形D．无法确定 10．(2分)如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（） A．B．C．D． 11．(2分)如果△ABC是等腰三角形，那么∠A，∠B的度数可以是（） A．∠A=60°，∠B=50°B．∠A=70°，∠B=40° C．∠A=80°，∠B=60°D．∠A=90°，∠B=30° 12．(2分)下列说法：④如果“a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是l2、25、21,那么此三角必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a>b=c）,那么a2 :b2：c2=2：1：1．其中正确的是（） A．①②B．①③C．①④D．②④ 二、填空题 13．(2分)如图，在平面直角坐标系中，OA=10，点B的坐标为(8，0)，则点A 的坐标为 . 14．(2分)在△ABC中,∠A=90°，∠B=60°，则∠C=_______度.

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习

浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾 1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定：斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质：在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”； 3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便； 4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5； 5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.

特殊三角形专题练习(精.选)

特殊三角形专题练习一．选择题（共9小题） 1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（） A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12 2．若实数x，y满足﹣40，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A．12 B．16 C．16或20 D．20 3．如图，在△中，∠90°，，是经过A点的一条直线，且B，C 在的两侧，⊥于D，⊥于E，2，6，则的长为（） A．2B．3C．5D．4 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣120的两个根，则k的值是（）A．27 B．36 C．27或36 D．18 5．如图，在△中，，平分∠交于点D，∥交的延长线于点E．若∠35°，则∠的度数为（）

A．40°B．45°C．60°D．70° 6．如图，△中，⊥于D，⊥于E，与相交于F，若，则∠的大小是（） A．40°B．45°C．50°D．60° 7．如图，，若∠80°，则∠（） A．80°B．100°C．140°D．160° 8．已知如图，∥，⊥，⊥，，2，3，则△的面积为（） A．1B．2C．5D．无法确定

9．如图，已知△的面积为102，为∠的角平分线，垂直于点P，则△的面积为（） A．62B．52C．42D．32 二．填空题（共8小题） 10．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形的顶点E、F、G、H分别在正方形的边、、、上．若正方形的面积=16，1；则正方形的面积= ． 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每个直角三角形的

初中数学竞赛专题分类解析第三讲：特殊三角形

初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形一、基础知识： 1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。 2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；…… 3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆； 4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。二、例题分析例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2， BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.

例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。

浙教版八年级上册专题复习--特殊三角形

八年级专题复习---第二章特殊三角形知识点回顾一、等腰三角形 1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2、等腰三角形性质 (1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形判定（1）定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形二、等边三角形 1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 3、等边三角形判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。（2）三条边都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。三、直角三角形 1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2、直角三角形性质： (1) 在直角三角形中，两个锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c b a =+ 3、直角三角形判定 (1)根据定义判定 (2)两内角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形四、勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴ 2、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n 的线段. 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

特殊三角形常见的题目型.docx

八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1如图，在正方形 ABCD 中，AB=9,点E 在CD 边上，且 DE=2CE 点P 是对角线AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是( ) A 3 — B 、10 一 C 、9 D 、9 — 【变式训练】 1、如图，在矩形 ABCD 中，AD=4,∠ DAC=30 ,点 P 、E 分别在 AC AD 上，则 PE+PD 的最小值是( ) 2、如图，∠ AOB=30，P 是∠ AOB 内一定点，P0=1Q G D 分别是 OA OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小值为 ______________ 3、如图，∠ AOB=30，C, D 分别在 OA OB 上，且0C=2 0D=6点C, D 分别是 AO BO 上的动点，贝U CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD, DEl BD 连结 AC, CE (1) 已知AB=3, DE=Z BD=12设CD=X 用含X 的代数式表示 AC+CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； (3) 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和10cm,则它的周长为 ________________ (2) 已知等腰三角形的两边长分别为 ____________ 8cm 和10cm,则它的腰长为 (3) 已知等腰三角形的周长为 _________________ 28cm 和8cm,则它的底边为【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和7cm,则周长为 __________________ 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4倍，则它的各个内角的度数为 _________________ 3、已知等腰三角形的一个外角等于 150°,则它的各个内角的度数为 _______________________ 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°,则它的各个内角的度数 __________________ 第1题 D 、4 M D B

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)

专题05 动点与特殊三角形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、等腰三角形存在性问题例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．题型二、直角三角形存在性问题例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0

培优专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形测试题

D B C A F E 三角形一、选择题 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）（A ）17 （B ）22 （C ）17或22 （D ）13 2、等边三角形的对称轴有（） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条 3、以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是（） A 3, 3 ,6 B 8, 12，13 C 6 ,7 ,8 D 8, 10 ,6 4、已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是（） A 6c ㎡, B 7.5c ㎡ C 10c ㎡ D 12c ㎡ 5、三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（） A 中线上 B 角平分线上 C 高线上 D 不能确定 6、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A 两个锐角对应相等 B 一条边和一个锐角对应相等 C 两条直角边对应相等 D 一条直角边和一条斜边对应相等 7、等腰三角形的一个内角为40o，则它的底角为（）（A ）100o （B ）40o （C ）70o （D ）70o或40o 8、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（）（A ）∠A=30o、∠B=60o （B ）∠A=50o、∠B=80o （C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 9、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（）（A ）等边三角形（B ）等腰三角形（C ）直角三角形（D ）钝角三角形 10、如图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（） A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个二．填空题 1、一个等腰三角形底上的高、________和顶角的________互相重合。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠B=25度,则∠A 的余角为______度. 3、等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______. 4、已知等边三角形的周长为24cm ，则等边三角形的面积为_______c ㎡ 5、Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm ，则AB 边上的中线长为________ 6、在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2cm ，则AB=_____cm 。 7、等边三角形两条高线相交所成的钝角为________度 8、若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ 。 9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 与∠ACB 的平分线AF 、 CE 相交于点D ，且∠B=70o，则∠ADE 的度数为_________ 10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是AB 边上的高，若AC=4， BC=3 ，则CD= D C B A D C B A

数学中考总复习：特殊三角形--巩固练习(基础)

中考总复习：全等三角形—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（） A．B．C．或 D．或 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个 C．3个 D．2个 3．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 4．下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) (1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 已知：△ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（） A. B. C. D. 6.（2012?佳木斯）△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（） A． 20 B．12 C．14 D．13 二、填空题 7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_____________度．

8．如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为_________. 9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若 AB=10，则△BDE的周长等于____________. 10．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于_________. 11.已知等腰三角形的腰长是6cm，底边长是8cm，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是 _______cm. 12.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为．三、解答题 13. 如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？ 14. 如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600．（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？（3）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？（4）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？

三角形培优解析

有同学问我：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，没有兴趣学，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。知识点透析：一.三角形的有关概念 1.三角形的概念包涵三层含义：（1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾顺次相连. 2.平时所说的三角形的角是指三角形的内角。 3.在表示三角形时，三个字母没有先后顺序，只要三个字母相同就表示同一个三角形。二．三角形的分类 1.三角形的两种分类方法是各自独立的，但是同一个三角形可以同属于两种不同类别，例如，等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 3.在等腰三角形中，若没有指明腰和底边或顶角和底角，则解题时要分类讨论。三.三角形的高 1.三角形的高是一条线段，即顶点到对边的垂直线段。 2.任意三角形都有三条高。四．三角形的中线 1.三角形的中线是一条线段，即顶点到其对边中点之间的线段。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。五.三角形的角平分线 1.三角形的角平分线是线段，不是直线，不是射线。 2.一个三角形有三条角平分线，他们在三角形的内部，且交于一点。六．三角形的稳定性三角形的稳定性说明三角形三条边的长度确定后，其形状和大小也随之确定。七．三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理适用于任意三角形。 2.在三角形中，已知任意两个角，可以求出第三个角。 3.已知三角形中三个内角的关系，可以求出各个内角的度数，通常利用方程的知识来解决。 4.直角三角形的两锐角互余。八．三角形的外角 1.在三角形的每个顶点处都有两个外角，这个两个外角相等。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，特别注意“不相邻”。 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的每一个内角。九．多边形 1.多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形，多边形的边数大于等于3，有几条边就是几边形。 2.用大写字母表示多边形时，字母必须按顺/逆时针的顺序排列。 3.正多边形必须具备的两个条件：（1）边相等（2）角相等。二者缺一不可。

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