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函数f(x)一致连续的条件及应用

函数f(x)一致连续的条件及应用内容摘要：比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．关键词：一致连续拟可导函数基本初等函数二元函数Abstract：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental

primary functions functions of two variables 1．引言函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的．2．预备知识一致连续和非一致连续的定义一致连续：设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任给的??0，存在???(?)?0，使得对任何x?,x???I，只要x??x????，就有f(x?)?f(x??)??,则称函数f(x)在区间I上

一致连续. 1 非一致连续：存在?0?0，对任何正数?，总存在两点x?,x???I，尽管x??x????，但有f(x’)?f(x’’)??0.则称函数f(x)在区间I上非一致连续. G.康托定理G.康托定理[1]：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续. 这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．但是G.康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法．几种常见的判断函数一致连续性的方法方法1：利用李普希茨条件若f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即任给x,y?I，有f(x)?f(y)kx?y?为常数），则f(x)在区间I上一致连续. 方法2：有限开区间上一致连续的判别法若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)都存在且有限?函数f(x)在上连续，且f(a?0)存在且有限?函数f(x)在

(a,b]上一致连续. 方法3：无穷区间上一致连续的判别法若f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A及limf(x)?B 极限存在，则f(x)在x???x???(??,??)上一致连续. 类似的还有：若f(x)在[a,??)(或(??,b])上连续，且limf(x)(或limf(x))极限存在，则f(x)在x???x???[a,??)(或(??,b])上一致连续. f(x)(或limf(x)及若f(x)在(a,??)(或(??,b))上连续，且limf(x)及lim?x???x?ax??? 2 x?b?limf(x))极限存在，则f(x)在(a,??)(或(??,b))上一致连续. 3. 方法的归纳和应用方法的归纳及方法的应用方法1：用连续模数来刻画一致连续性若f(x)在区间I上有定义,则称?f(?)?supf(x)?f(x)为函数f(x)的连续x’,x’’?Ix’?x’’??’’’模数. 定理若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是[5]??0?lim?f(?)?0. ??0’’’g(?)?0,则推论若f(x)在区间I上连续,若?f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且

lim?x’,x’’?Ix’?x’’??f(x)在I上一致连续. 上述定理易得到一致连续的视察法: ?f(?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡, 使得?f(?)?0,则f(x)非一致连续;若f(x)在某处最陡,但??0时,此处的变差?f(x’)?f(x’’)?0,则f(x)一致连续. 1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的,但在[c,??)(c?0)上一致连续. x1分析：f(x)?(x?0)，在x?0处，图形无限变陡. x例1 f(x)????0,?f(?)???.??0?时?f(?)??0. 因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的. 但在区间[c,??)上，f(x)?可见，f(x)?111?0(??0?). 在点c处最陡，且?f(?)??xcc??1在[c,??)上一致连续. x方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若f(x),g(x)都在区间I上一致连续,则f(x)?g(x)也在I上一致连续. 3 (2)若f(x),g(x)都在有限区间I上一致连续,则f(x)g(x)也在I 上一致连续. 若f(x),g(x)都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界,则

f(x)g(x)也在I上一致连续. (3)若f(x)在区间I上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则致连续. (4)若f(x)在区间I上一致连续,则?f(x)也在I上一致连续(其中?为任意常数). 例2 若f(x)在有限区间I上一致连续, g(x)在区间I上非一致连续.问: f(x)?g(x)在1也在I上一f(x)I上的一致连续性. 分析：假设f(x)?g(x)在I上一致连续，又f(x)是有限区间I的一致连续函数，一致连续函数的四则运算性质知g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)在I上一致连续，这与条件矛盾. 所以，f(x)?g(x)在I上非一致连续．同理有f(x)?g(x)在I上非一致连续. 方法3：复合函数的一致连续性设函数f(x)在区间I上一致连续, g(x)在区间U上一致连续,且g(U)?I,则复合函数f(g(x))在区间U上一致连续. 方法4：利用两区间之并设f(x)定义在[a,c]上，若f(x)在[a,b]和[b,c]上都连续，则f(x)在[a,c]上一致连续. 上述结论可进一步推广为：设区间I1的右端点

为c?I1,区间I2的左端点也为c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若[1]f(x)在I1和I2上都一致连续,则f(x)在I?I1?I2上一致连续. 例 3 讨论f(x)?x在[0,??)上的一致连续性. 分析：f(x)在[0,??)上连续，设a?0，当0?x?a 时，设0?x1?a,0?x2?a,x1?x2??，则4 x1?x2?x1?x2??, 0??f(?)?supx1,x2?[0,a]x1?x2??f(x1)?f(x2) ?? ??0，所以f(x)?且lim???0x在[0,a]上一致连续. 当x?a时，x1?x2?所以f(x)?x1?x2x1?x2??2a,且lim???0?2a?0. x在[a,??)上一致连续. x在[0,??)上一致连续. 综上所述，f(x)?方法5：利用数列(1)函数f(x)在I上一致连续?对区间I上任意两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0n??时,有limf(xn)?f(yn)?0. n??函数f(x)在I上非一致连续?区间I上存在两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0时,n??但limf(xn)?f(yn)?0. n??例4 f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续. ’分析：可取

xn?2n???2,xn’’?2n???2，则xn’?xn’’?0(n??).而f(xn’)?f(xn’’)?2，故f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续.

(2)函数f(x)在有界实数集E上一致连续?函数f(x)将E中的柯西列变成R中的柯西[5]1列. 方法6：利用渐近线设f(x)在[a,??)上连续,且lim[f(x)?(cx?d)]?0(c,d为常数).即x???时, x???f(x)有渐近线y?cx?d，则f(x)在[a,??)上一致连续. 上述结论可进一步推广为: [6] 5

设f(x)在[a,??)上连续,g(x)在[a,??)上一致连续,即x???时,且x???lim[f(x)?g(x)]?A，则f(x)在[a,??)上一致连续. 例5 f(x)?xln(e?)在[1,??)上一致连续. 1x1xln(e?)x?1,b?lim[xln(e?1)?x]?1，故f(x)?xln(e?1)在该分析：于k?limx??x??xxxe区间有渐近线y?x?1，所以f(x)在[1,??)上一致连续. e方法7：利用导数若f(x)在区间I上存在有

界导函数,即?M?0,?x?I,有f?(x)?M，则f(x)在I上一致连续. 下面还有一个应用得更加广泛的结论: 若f(x)在[a,??)上连续,在(a,??)内处处可导,且limf?(x)?A存在，则f(x)在x???[6] [a,??)上一致连续. 例6 f(x)?’x2?2在(??,??)上一致连续. xx2?2,f’(x)?1，故f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续. 分析：于f(x)?方法8：利用积分设函数f(x)在区间[a,??)上局部可积，且f(x)在区间[a,??)上有界,则F(x)??xaf(s)ds在[a,??)上一致连续. 方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性定义1(凸函数) 设函数f(x)在区间I上有定义,若?x,y? I,0???1,有[4] f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)(或f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)), 则称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数. 注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4]. 定义2(拟可导函数) 若函数f(x)在U0(x0)有定义,且极限 6

hhf(x0?)?f(x0?)22存在, limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22. 则称函数f(x)在x0拟可导,记为Df(x0)?limh?0h引理1 凸函数在任意开区间I上连续. 引理 2 若f(x)在区间I上连续，且对?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)，22则函数f(x)为下凸函数. 定理若f(x)在开区间I上单调，且Df(x)在I内处处存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论1 若f(x)是开区间I上的凸函数，且拟导数存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论2 若f(x)在开区间I 上满足条件：①?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)；22②?x?I，f?(x)和f?(x)都存在；③在I上处处拟可导，且拟导数有界，则f(x)在I上一致连续. 几个重要应用应用之一：周期函数的一致连续性[2][6] 设f(x)是(??,??)上以T为周期的函数，则f(x)在(??,??)上连续?f(x)在(??,??)上一致连续. 应用之二：基本初等函数的一致连续性?(1)f(x)?x在[0,??)上，当

0???1时一致连续，当??1时不一致连续.

(2)f(x)?e在R上非一致连续. x 7

(3)f(x)?lnx在(0,1]上非一致连续，在[1,??)上一致连续. (4)y?sinx和y?cosx均在R上一致连续,y?tanx和y?cotx均在其定义域上非一致连续. (5)y?arcsinx 和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续,y?arctanx和y?arccotx均在(??,??)上一致连续. p(x)?0xn??1xn?1?...??n(6)R(x)?，其中n,m 为非负整数，?mm?1q(x)?0x??1x?...??m?0,?1,...?n ，?0,?1,...,?m均为常数，且?0?0，?0?0.当n?m?1时，R(x)在[a,??)上一致连续；当n?m?1时，R(x)在[a,??)上非一致连续.. 4. 二元函数的一致连续性前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去. 定理 1 若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上一致连续. 定理2 函数f(P)在有界开区域D

上一致连续?f(P)在D上连续，且?P0??D,limf(P)存在. P?P0P?D2定理3 函数f(x,y)在R上连续，且limf(x,y)存在，其中r?r???x2?y2，则f(x,y)在R2上一致连续. 定理 4 函数f(x,y)在区域D上满足：?(xi,yi)?D(i?1,2)，都有，f(x1,y1)?f(x2,y2)?k1x1?y1?k2x2?y2

则f(x,y)在D上一致连续. 定理5 函数f(x,y)在凸区域D内存在有界偏导数，则f(x,y)在D上一致连续. 定理6 函数f(P)在区域D上一致连续?对?{Pn},{Qn}?D，n???lim?(Pn,Qn)?0，恒有limf(Pn)?f(Qn)?0. n??? 8 定理7 函数f(x,y)在有界区域E上一致连续?函数f(x,y)将E中的柯西列变成R中的柯西列. 总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域．5. 结束语文章比较全面的总结了各种判断函数的一致

连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是函数所满足的条件及所定义的范围决定的，还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

函数连续性、导数及其应用

§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00 x f x f x x =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件 (1) 在x =x 0有定义； (2) 存在；(3))(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x =→

例1. 2sin 21 ,0(),0ax x e x f x x a x ?+-≠?=??=? 在(-∞，+ ∞)上连续，求的值 a 解：

定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数?(x)在开区间(a , b)内连续; 定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数?(x) 在闭区间[a , b]内连续. 一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。

二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义； (2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. )(lim 0 x f x x →)(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x ≠→

x 1 A 2A 0 x 0 x 1 A 2A 0 x A x 1 A 2A 0 x 1 A 0 x

间断点? ? ???? ???????振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用

高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念等式lim 0 x x →f (x )=f (x 0)的涵义是 (1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在； (2)lim 0 x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，反映在图像上是f (x )的图像在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图像在点x =x 0处是间断的其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0 x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0 x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图像； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数命题意图函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法知识依托本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像错解分析第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式技巧与方法对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2, 其图像如上图

第三章可测函数的知识要点与复习自测

第三章可测函数的知识要点与复习自测一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤

浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

高考数学难点突破难点33 函数的连续及其应用

116 难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 (★★★★)已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32 x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究［例1］已知函数f (x )=2 42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数. 命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象. 错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2, 其图象如上图 (2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2. (3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 2 2-=-→-→x x f x x =－4. 因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=?? ???-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数. ［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b . 命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用 .

特征函数的概念及意义

特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。二．常用分布的特征函数。三．特征函数的应用。四．绪论。一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =?

2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！，k=0,1，，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=,

1.5 可测集与可测函数(讲义)

1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ，则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数；当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。证设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

函数一致连续性及其应用

1 函数一致连续性[1] 设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续. 1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是 ()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()2 21ε < -x f x f ,故可得出()()2 21,0 2121ε δ≤ -<-∈x f x f SUP x x I x x . 因为当00δδ<<时，有 ()()()()εε δδ <≤ -≤-<-<-∈∈2 21,21,0 21212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x I x x I x x . 故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. ②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ,所以0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2只要 021δ<-x x ，就有 ()()εδ<-<-∈21,0 2121x f x f SUP x x I x x . 故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到 ()()()()()()εδδ <-≤-≤-<-<-∈∈21,21,210 21212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x I x x I x x , 所以()x f 在区间I 上一致连续. 定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞ →n n n x x ，就有()()0lim =''-'∞ →n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>?>?δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .

根式函数的性质及其应用

根式函数b ax y += 2的性质及其应用摘要：关键词： 1、引言高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、性质归纳性质1（定义域） R 性质2（值域） ),[+∞b 性质3（单调性）在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增性质4（奇偶性）偶函数性质5（对称性）关于y 轴对称将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、典例分析例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)

)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广：若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率，即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.

第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。