高中数学复习专题讲座
函数的连续及其应用
高考要求
函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识
紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一
定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系
重难点归纳
1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念
等式lim 0
x x →f (x )=f (x 0)的涵义是
(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；
(2)lim 0
x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；
(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0
x x →f (x )=f (x 0)
函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的
2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的
其情形
(1)lim 0
x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0
x x →f (x )≠f (x 0);
(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0
x x →f (x )不存在
3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数
f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0
时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即
lim
x x →f (x )=f (x 0)
典型题例示范讲解
例1已知函数f (x )=
2
42
+-x x ,
(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0;
(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数
命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上
有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成
为一种最重要的方法
知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它
的图象
错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义
的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式
技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图
象进行解答
解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2
因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2
42
+-x x =x －2,
其图象如上图
(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2
(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2, 所以)2(lim )(lim 2
2-=-→-→x x f x x =－4
因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=??
?
??-=--≠+-2)( 4)2( 24
2x x x x
则函数f (x )在R 上是连续函数
例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于
a +b
命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数
y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象
上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 本题主要考查
这种解题方法
知识依托 解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，
另一为正
错解分析 因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而
忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用
证明 设f (x )=a sin x +b －x ,
则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0, 又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根
因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b
例3已知函数f (x )=??
?
??≤<-≤≤-+-<)
51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x
(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间
解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+
-→x f (x )=－1,所以lim 1
-→x f (x )不存在，
所以f (x )在x =－1处不连续，
但lim 1
-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1
-
-→x f (x )≠f (－1),
所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续
lim 1
-→x f (x )=3=f (1), lim 1+
→x f (x )不存在，所以lim 1
→x f (x )不存在，
所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续
又lim 0
→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续
(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，
所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5
学生巩固练习
1 若f (x )=
1
11
13
-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )
A
2
3 B
3
2 C 1
D 0
2 设f (x )=???????<<=<<2
1 11 21
10 x x x x 则f (x )的连续区间为( )
A (0，2)
B (0，1)
C (0，1)∪(1，2)
D (1，2)
3 x
x x
x arctan 4)2ln(lim
2
1
--→ =_________
4 若f (x )=??
?
??≥+<--0 0 11x bx a x x
x
处处连续，则a 的值为_________ 5 已知函数f (x )=????
???=≠+-)
0( 1)0( 121
211
x x x
x
(1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；
(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性
6 已知f (x )=??
?
??≥+<--)0()0(11x bx a x x
x
(1)求f (－x );
(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续
7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈
R ,a 0≠0)至少有一个实数根
8 求函数f (x )=?
?
?
??>-≤)1( )21
(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间 参考答案
1 解析 ]
11][
11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3
3
3
2
332-++++
+++++++-+++=
x x x x x x x x x f
2
31
1111)0(111
1)1(3
23=+++=
+++++
+=
f x x x
答案 A
2 解析 11lim )(lim 1
1
==+
+
→→x x x f
2
1)1(1)(lim ,1lim )(lim 1
1
1
=
≠===→→→--f x f x x f x x x
即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续
答案 C
3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00
x f x f x x =→,
π
=
--=
--∴→11
arctan 4)12sin(11
arctan 4)2sin(lim
2
2
1
x x x
答案
π
1
2
1,0)(lim )(lim 2
1111lim
11lim
)(lim :.40
=
∴=+==
-+
=--
=++-
-
-→→→→→a bx a x f x
x
x x f x x x x x 解析
答案
2
1
5 解 f (x )=?
??
??=≠+-)
0( 1)0(12111x x x
(1) lim 10
-→x f (x )=－1, lim 0
+
→x f (x )=1,所以lim 0
→x f (x )不存在，
故f (x )在x =0处不连续
(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点， 由(1)知f (x )在x =0处右连续，
所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数
6 解 (1)f (－x )=??
?
??≥-<-+)0( )0( 1
1x bx a x x
x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，
lim 0
-→x f (x )= lim 0
-
→x x
x --11=2
1111lim
)
11(lim
=
-+
=-+-
-
→→x
x x x
x x
lim 0
+→x f (x )=lim 0
+→x (a +bx )=a ,
因为要f (x )在x =0处连续，
只要lim 0
+→x f (x )= lim 0
+→x f (x )= lim 0
+
→x f (x )=f (0),所以a =
2
1
7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，
且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,
所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞, +∞),使f(a)·f(b)＜0,
所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根
8解不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)