高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高考要求
函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系
重难点归纳
1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念
等式lim 0
x x →f (x )=f (x 0)的涵义是
(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；
(2)lim 0
x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；
(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0
x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，
反映在图像上是f (x )的图像在点x =x 0处是不间断的
2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图像在点x =x 0处是间断的
其情形
(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0
x x →f (x )≠f (x 0);
(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0
x x →f (x )不存在
3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0
x x →f (x )=f (x 0)
典型题例示范讲解
例1已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图像；
(2)求f (x )的不连续点x 0;
(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数
命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映 因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像
错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式
技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答
解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2
因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)
当x ≠－2时，f (x )=2
42+-x x =x －2, 其图像如上图
(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2
(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,
所以)2(lim )(lim 2
2-=-→-→x x f x x =－4
因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=??
???-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x
则函数f (x )在R 上是连续函数
例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b
命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数y =f (x )的图像是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图像上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 本题主要考查这种解题方法
知识依托 解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正 错解分析 因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图像观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用
证明 设f (x )=a sin x +b －x ,
则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,
又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根
因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b
例3已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32
x x x x x x
(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；
(2)求f (x )的连续区间
解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1
-→x f (x )不存在， 所以f (x )在x =－1处不连续，
但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1
--→x f (x )≠f (－1), 所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续
lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1
→x f (x )不存在， 所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续
又lim 0
→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续
(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，
所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5]
学生巩固练习
1 若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )
A 23
B 32
C 1
D 0
2 设f (x )=???????<<=<<2
1 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2)
3 x
x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________
4 若f (x )=??
???≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________ 5 已知函数f (x )=???????=≠+-)
0( 1)0( 1
21211
x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；
(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性
6 已知f (x )=??
???≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );
(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续
7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根
8 求函数f (x )=??
???>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间
参考答案
1 解析 ]11][11)1()[11(]
11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f
2
311111)0(1
11
1)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A
2 解析 11lim )(lim 1
1==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 11
1=
≠===→→→--f x f x x f x x x
即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续
答案 C 3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00
x f x f x x =→,
π
=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x
答案 π
1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.40
0000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案 2
1 5 解 f (x )=?????=≠+-)
0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0
→x f (x )不存在， 故f (x )在x =0处不连续
(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，
由(1)知f (x )在x =0处右连续，
所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数
6 解 (1)f (－x )=??
???≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续， lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x
x x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0
+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，
只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0
+
→x f (x )=f (0),所以a =21 7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续， 且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,
所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,
所以f(x)的图像至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根
8 解不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)
课前后备注
高中数学:函数模型及其应用练习 1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D) 解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求． 2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝1 2(x 2－1) C．y＝log2x D．y＝log 1 2x 解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为
2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C. 4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为? ???? 12n , 由? ?? ?? 12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 解析:盈利总额为21n －9－?????? 2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图 象的对称轴方程为n ＝41 6.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
《函数的应用》教学设计 一、教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》． 函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力． 通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力． 二、教学目标设置 根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题； 2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力； 3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣． 本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题； 本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题． 三、学生学情分析 学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合． 授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意
识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验． 四、教学策略分析 本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力． 为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率． 本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果． 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 （1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用． 设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫． （2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思． 设计意图： 1. 复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤． 2. 引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动． （二）初步探究，归纳步骤
第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????
()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?
湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的应用举例二 教材： 函数的应用举例二 目的： 要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。 过程： 一、 新授： 例一、 （《教学与测试》 P69 第34课） 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3 万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函 数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数 或c b a y x +?=(a,b,c 为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万 件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。 解：设二次函数为： r qx px y ++=2 由已知得：?? ???==-=??????=++=++=++7.035.005.03.1392.1241r q p r q p r q p r q p ∴7.035.005.02 ++-=x x y 当 x = 4时，3.17.0435.0405.021=+?+?-=y 又对于函数 c b a y x +?= 由已知得：?? ????????==-=?=+=+=+4.15.08.03.12.1132c b a c ab c ab c ab ∴ 4.1)2 1(8.0+?-=x y 当 x = 4时，35.14.1)21 (8.04 2=+?-=y
由四月份的实际产量为1.37万件, |37.1|07.002.0|37.1|12-=<=-y y ∴选用函数4.1)21(8.0+?-=x y 作模拟函数较好。 例二、（《教学与测试》 P69 第34课） 已知某商品的价格每上涨x %，销售的数量就减少m x %，其中m 为 正常数。 1． 当2 1=m 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？ 2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m 的取值范围。 解：1．设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个。 由题设：当价格上涨x %时，销售总额为%)1(%)1(mx b x a y -?+= 即 ]10000)1(100[10000 2+-+-= x m mx ab y 取21=m 得：]22500)50([20000 2+--=x ab y 当 x = 50时，ab y 89max = 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。 2．∵二次函数]10000)1(100[10000 2+-+-= x m mx ab y 在 ])1(50,(m m x --上递增，在),)1(50[+∞-m m 上递减 ∴适当地涨价，即 x > 0 , 即0)1(50>-m m 就是 0 < m <1 , 能使销售总金额增加。 例三、（课本 91 例二） 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和 为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。如果 存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
函数的应用 教学目标 知识目标： 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型； 使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题； 能力目标： 培养学生数学的应用意识，提高解决实际问题的能力； 情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点和难点： 使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型，并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。 课前准备：学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程： 一、复习 提问：我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示？ y=kx+b ：当k 0≠时是一次函数；当k 0≠，b=0时是正比例函数；当k=0时是常值函数。 [说明：渗透分类的数学思想，明确函数间的关系] 二、函数的应用 1、 龟兔赛跑（动画演示） 师：兔子在醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，以每小时跑3000米的速度奋力去追，而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进，那么谁能胜利呢？ 师：你能用学过的方法直观地反映这一问题吗？ （学生讨论后回答） 若设兔子醒后追赶了t 小时，龟、兔离开兔子睡觉处的路程S （米）与时间t （小时）各是什么关系？并在同一直角坐标系内画出图象。 （学生回答） 师：（板书）兔：1S =3000t ()0≥t ； 龟：t S 50025002+= ()0≥t ； （图象实物投影） 师：图象的交点表示什么实际意义？交点左侧表示什么意义？右侧又表示什么意义呢？ （学生回答后，老师归纳） 归纳：两图象交点表示当自变量为交点横坐标时，两函数值相等，且同为交点纵坐标；反映在龟兔赛跑中，即经过相同的时间，兔子正好追上乌龟； 交点左侧部分图象对于相同的自变量，两函数值不同，其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即乌龟跑在兔子前面， [说明：对学生 脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法；通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动，使学生充分认识图象获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解
高中数学函数的应用 在整个高中数学的学习过程中函数始终贯穿其中，并且新课标数学中强调数学的应用，与老教材相比较，新教材新增加了方程的根与函数的零点及二分法求方程的近似解更突出了高中函数的应用。高中函数的应用主要有以下几个方面： 一、方程的根与函数的零点 例如：求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数 析：由0)3()2(
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点，精确到0.1的近似值都是 1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。 三、生活中实际问题与数学建模（高中函数模型） 1、一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数模型的比较与选择。 例如：某个体经营者吧开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表： 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少万元才合算。试制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润。 析：利用函数的性质（一次、二次、幂函数、指数、对数函数的性质），通过描点作图，选择函数模型，用待定系数法求解函数模型并检验。 2、三角函数模型 例如：海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐,在通常情况下,般在涨潮时驶
第3章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ?????
()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ?
第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数) (x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α =，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成 ()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 Eg ：试判断方程在区间0122 4 =-+-x x x [0,2]内是否有实数解？并说明理由。
高中数学：函数模型及其应用 1．三种函数模型的性质的比较 2．几种常见的函数模型 题组一常识题 1．[教材改编] 函数模型：①y＝1.002x，②y＝0.25x，③y＝log2x＋1.随着x的增大，增长速度的大小关系是____________． 2．[教材改编] 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月 的销售量的关系满足一次函数，已知销售量为1000件时，收入为3000元，销售量为2000件时，收入为5000元，则营销人员没有销售量时的收入是________元．3．[教材改编] 某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元． 题组二常错题 ◆索引：实际问题中函数的定义域． 4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________． 5．等腰三角形的周长为20，腰长为x，则其底边长y＝f(x)＝________________． 题组三常考题 6．[2014·湖南卷改编] 某市职工收入连续两年持续增加，第一年的增长率为a，第二年的增长率为b，则该市这两年职工收入的年平均增长率为______________．7．[2015·四川卷改编] 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是240小时，在22 ℃的保鲜时间是60小时，则该食品在11℃的保鲜时间是________小时．
2.11 函数模型及其应用 一、填空题 1.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1 x 2(0＜x ＜240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本 时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台． 解析 设利润为f (x )(万元)， 则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 150 2．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x 件 (x ∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________． 解析 f(x)＝??? 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}， 4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}， 4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15} 这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论． 答案 f(x)＝??? 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}， 4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}， 4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15} 3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________． 解析 所倒次数1次，则y ＝19；所倒次数2次，则y ＝19×1920 ……所倒次数x 次，则y ＝19? ????1920x －1＝20? ?? ??1920x . 答案 y ＝20? ?? ??1920x 4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，
学科教师辅导讲义
(1)若征税额为f (x)，试用分段函数表示1～3级纳税额f (x)的计算公式； (2)某人2006年3月份工资总收人为3 000元，试计算他3月份应缴纳个人所得税多少元？ 14、某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用是4a 元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为2 a 元．经过讨论有两种方案：(1)利用旧墙一段x 米(x<14)为矩形厂房一面墙的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14.问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？(1)(2)两种方案哪个更好？
15、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示： (1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =； (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/2 10 kg ，时间单位：天） 16、某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 2m 的十字形地域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元／2m ，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元／2m ， 再在四个空角上铺草坪，造价为80元／2m ． (1)设总造价为S 元，AD 的长为x(m)，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区； (3)如果要使小区内正方形MNPQ 花坛的面积不少于252m ，则至少还要增加投入多少元？
函数的应用练习题 1、函数零点的求法： ① （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ② （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点． 2、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 } ④二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α =，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 — 3、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b < 4、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b < ②在区间(),a b 上单调。 5、函数的模型：根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2 ()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ . 指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠） 利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型 6、二次函数的表达式 () a b x a b ac a b a c b a c bx ax y 244,20,,22-=??? ? ??--≠++=对称轴：定点坐标为常数，一般式： ()()0,,,2 ≠+-=a k h a k h x a y 为常数顶点式： ()()()0,,,2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数两根式：
必修1 第三章函数的应用
3.1 .1 函数的根与方程的零点 1.课本先描述了几个一元二次方程与对应二次函数的图像：分别是 （一元二次方程：只有一个未知数，未知数最高次不超过2的方程；） A.一元二次方程03-x 2-x 2=与二次函数y=3-x 2-x 2； B.一元二次方程01x 2-x 2=+与二次函数y=1x 2-x 2+； C.一元二次方程03x 2-x 2=+与二次函数y=3x 2-x 2+； A B C 2.A ：方程03-x 2-x 2=，为21-x ）（=4，有两个根x1=3，x2=-1，看图像我们就 知道实际就是二次函数y=3-x 2-x 2与x 轴的两交点的横坐标； B ：方程01x 2-x 2=+，为21-x ）（=0只有一个根（也可理解为2个相等的 根)x1=1；实际就是函数的图像与x 轴只有一个交点； C ：方程3x 2-x 2+=0，为21-x ）（+2=0，无解（找不到这样的实数x 使21-x ）（+2 会等于0，因为一个数的平方式大于等于0的，那么21-x ）（+2肯定是≥2的，所 以肯定找不到）；实际看图像就是对应着函数在x 轴上方与x 轴无交点；且函数的图像显示最小值在2以上； ------Victory belongs to the most persevering.
3.通过上面的例子我们知道了一元二次方程0c bx ax 2=++成立（方程有解）；那么对应的二次函数y=c bx ax 2++与x 轴有交点；通过研究我们得到以下： 设ac 4-b 2=△为判别式： A:当ac 4-b 2=△>0时表示方程0c bx ax 2=++有2个不相等的实数根；二次函数y=c bx ax 2++，与x 轴有2交点； B.当ac 4-b 2=△=0时表示方程0c bx ax 2=++有2个相同的实数根；二次函数y=c bx ax 2++，与x 轴有1个交点；且这个交点为顶点，要么是最大值（a>0开口向上时），要么是最小值（a<0开口向下）； C.:当ac 4-b 2=△<0时表示方程0c bx ax 2=++没有实数根；二次函数 y=c bx ax 2++，与x 轴无交点；（自己可以用1.的例子算一下△的值判断一下） ??????????????重点知识??????????????? 4.A.如果函数y=f （x ）=0有解，也就是函数图像与x 轴有交点，如果此时交点为（m ，0），那么我们就把（m ，0）叫做函数的零点；（理解：其实就是某一个x=m （m 为常数），能够使得f （x ）的解析式为0）； B.得到以下结论：方程f （x ）=0有实数根?函数y=f （x ）的图像与x 轴有交点?函数y=f （x ）有零点； C.怎么判断零点的范围：①二次函数的判断可以用判别式法②非二次函数我们可以得到以下结论：如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图像时连续不断地曲线，并且有f （a ）×f （b ）<0，那么，函数y=f （x ）在区间(a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，x=c 也是f （x ）=0的根； 例如：二次函数y=3-x 2-x 2，我们可以得到这个函数的图像 ------Action speak louder than words
浅谈如何理解高中数学函数的应用 在高中阶段，函数是在实际中应用最多的内容之一，它是反映现实生活和其它学科规律的基本的数学模型。能在情境中识别函数是很重要的本领，识别函数除了数学概念清晰之外，主要依赖对实际问题的领悟，对其它学科的认识。识别数学模型、发现内在规律是一个基本的数学能力。我们曾做过这样的调查，在地质学方面的论文中，会出现大量的数学的公式、概念等等，地质学并不是用数学多的学科。 数学应用进入中学，有几个重要作用。通过应用使学生对数学有一个比较全面的认识和感受。中小学阶段的感受是很重要的，对绝大部分学生，将来在工作和生活中仅仅是用数学，直接使用的数学公式和结果并不多，使用的主要是数学中蕴含的思想。例如：在讨论问题时，有较好数学素养的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本一致，这样会使讨论的效率提高。这样的思维是数学特有的，我们总是要从很多实际问题中发现规律，例如：“数量”和“空间形式”方面的规律，形成确定的定义和大家都认可的“公理”，给出证明的结论又会成为探索新结果的前提，这是数学中最基本的思维方法，也是最有用的思想。 以上是数学应用的一个层面，还有一些比较具体的应用思想，例如：函数思想是其中极为重要的一个。变量刻画了一种事物的变化，两个变量反映两种事物的变化，它们之间是否有关系？这是实际中关心的问题。我们会经常遇到这样的情况，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，前一个变量称为自变量，后一个称为因变量，例如：在物体运动的过程中，时间是一个量，物体离开初始位置的距离是一个量，随着时间的变化，物体的距离也在变化，也可以说，物体的距离是随时间变化而变化，当时间为t秒时，物体的距离一定是唯一的值s米，物体的距离是时间的函数。函数建立起了时间和距离之间的一座“桥”。不难看出，函数抽象定义的“要点”都可以从这样实例中体现，例如：研究物体的运动总在一定的时间范围里，如，从0秒到60秒，这就是定义域，距离也在一定的范围中，即值域；对每一个时间，一定只有唯一的距离与之对应，否则就不是一个物体的运动了。从这个例子还可以了解，识别和承认一个函数存在与把这个函数用某种形式表示出来，这两件事还是有一些区别的，识别函数不一定就能很好地表示它，“存在”和“求出”在数学上是非常不同的。极限存在与求出极限，导数存在与求出导数，存在隐函数与表示出这个函数，等等，它们是不同的。举这些例子的目的是希望重视识别函数的能力，这是函数应用的重要组成部分，在今后的工作和学习中是很有用，也是很重要的。 在教学中，教师应该能设置一些情景，或者请学生到某些情境中，例如：邮电局，火车站，飞机场，加油站，商店，等等；也可以在其它学科中，例如：物理，化学，生物，地理，甚至历史，社会，语文，等等；发现和识别一些函数关系，并利用它们讨论一些问题。这些实践和应用能帮助学生理解函数是建立两类事物数量变化联系的基本工具，学会或有意识用学习过的函数近似地刻画问题。
第四节 函数性质的综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] (2)函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1) 第6讲 函数的综合应用 一、知识梳理 二、方法归纳 1. 函数综合应用的重点 函数的综合应用重点解决好四个问题： ①准确深刻地理解函数的有关概念； ②揭示函数与其他数学知识的内在联系； ③把握数形结合的思想和方法； ④认识函数思想的实质，强化应用意识．准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终．数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数． 揭示函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容．所谓函数观 点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑．在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式． 把握数形结合的思想和方法 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法．因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一． 认识函数思想的实质，强化应用意识 函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决．函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题． 2.函数的应用 （1）函数图象、性质与最值的综合应用； （2）函数与方程、不等式的综合应用； （3）函数模型的综合实际应用． 三、典型例题精讲 【例1】已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，)1,0(≠>a a ， 若a g =)2(，则=)2(f （ ） A ． 2 B ．415 C ．4 17 D ．2a 又例：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)(x f +|)(x g |是偶函数 B ．)(x f -|)(x g |是奇函数 C ．|)(x f | +)(x g 是偶函数 D ．|)(x f |- )(x g 是奇函数 【例2】已知函数?????<-≥=2 ,)1(2, 2 )(3 x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的 取值范围是________. 又例：已知函数?? ?≤+>=0 ,10, 2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3高中数学专题学习：函数的综合应用
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