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函数f(x)一致连续的条件及应用解读

函数f (x)一致连续的条件及应用

（数学与应用数学2003级张志华指导教师刘敏思）

内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．

关键词：一致连续拟可导函数基本初等函数二元函数

Abstract ：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables.

Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1．引言

函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的.G 康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的． 2．预备知识

2.1一致连续和非一致连续的定义

一致连续：设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<,则称函数()f x 在区间I 上一致连续.

非一致连续：存在00ε>，对任何正数δ（无论δ多么小），总存在两点 ,x x I '''∈，尽管

x x δ'''-<，但有'''0()()f x f x ε-≥.则称函数()f x 在区间I 上非一致连续.

2.2 .G 康托定理

.G 康托定理[1]：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一致连续.

这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．

但是.G 康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法． 2.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法

方法1：利用李普希茨条件

若()f x 在区间I 上满足李普希茨条件，即任给,x y I ∈，有()()f x f y kx y -<-（其中k

为常数），则()f x 在区间I 上一致连续.

方法2：有限开区间上一致连续的判别法

若()f x 在有限开区间(,)a b 上连续，且(0)f a +与(0)f b -都存在且有限?函数()f x 在

(,)a b 上一致连续.

类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法

若()f x 在区间(,]a b （或[,)a b ）上连续，且(0)f a +（或(0)f b -）存在且有限?函数()f x 在(,]a b （或[,)a b ）上一致连续.

方法3：无穷区间上一致连续的判别法

若()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x A →-∞

=及lim ()x f x B →+∞

=极限存在，则()f x 在

(,)-∞+∞上一致连续.

类似的还有：

若()f x 在[,)a +∞(或(,]b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞

(或lim ()x f x →-∞

)极限存在，则()f x 在

[,)a +∞(或(,]b -∞)上一致连续.

若()f x 在 (,)a +∞(或(,)b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞

及lim ()x a

f x +

→(或lim ()x f x →-∞

及

lim ()x b f x -

→)极限存在，则()f x 在(,)a +∞(或(,)b -∞)上一致连续.

3. 方法的归纳和应用 3.1方法的归纳及方法的应用

方法1：用连续模数来刻画一致连续性

若()f x 在区间I 上有定义,则称'''''''''

,()sup ()()x x f x x I

f x f x δ

ωδ-<∈=-为函数()f x 的连续

模数.

定理[5]

若()f x 在区间I 上有定义,则()f x 在I 上一致连续的充要条件是

0lim ()0f δωδ+

→=.

推论若()f x 在区间I 上连续,若'''''''''

,()sup ()()()x x f x x I

f x f x

g δ

ωδδ-<∈=-≤且0

lim ()0g δδ+

→=,则()f x 在I 上一致连续.

由上述定理易得到一致连续的视察法:

()f ωδ的值只与()f x 的图象最陡的地方有关.若()f x 的图象在某处无限变陡,

使得()0f ωδ→,则()f x 非一致连续;若()f x 在某处最陡,但0δ+

→时,此处的变差

'''()()0f x f x -→,则()f x 一致连续.

例1 1

()f x x =

在(0,)(0)c c >上是非一致连续的,但在[,)(0)c c +∞>上一致连续. 分析：1

()(0)f x x x

=>，在0x =处，图形无限变陡.

0,()f δωδ?>=+∞.0δ+→时()0f ωδ→/.

因此，f 在任何区间(0,)(0)c c >上都是非一致连续的.

但在区间 [,)c +∞上，1()f x x =在点c 处最陡，且11

()0(0)f c c ωδδδ

+=-

→→+. 可见，1

()f x x

在[,)c +∞上一致连续. 方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续

(1)若(),()f x g x 都在区间I 上一致连续,则()()f x g x ±也在I 上一致连续.

(2)若(),()f x g x 都在有限区间I 上一致连续,则()()f x g x 也在I 上一致连续.

若(),()f x g x 都在区间I (含无穷区间)上一致连续且有界,则()()f x g x 也在I 上一致连

续.

(3)若()f x 在区间I 上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则1

()

f x 也在I 上一致连续.

(4)若()f x 在区间I 上一致连续 ,则()f x α也在I 上一致连续(其中α为任意常数). 例2 若()f x 在有限区间I 上一致连续, ()g x 在区间I 上非一致连续.问: ()()f x g x ±在

I 上的一致连续性.

分析：假设()()f x g x +在I 上一致连续，又()f x 是有限区间I 的一致连续函数，由一致连续函数的四则运算性质知()[()()]()g x f x g x f x =+-在I 上一致连续，这与条件矛盾. 所以，()()f x g x +在I 上非一致连续．同理有()()f x g x -在I 上非一致连续.

方法3：复合函数的一致连续性

设函数()f x 在区间I 上一致连续, ()g x 在区间U 上一致连续,且()g U I ?,则复合函数

(())f g x 在区间U 上一致连续.

方法4[1]

：利用两区间之并

设()f x 定义在[,]a c 上，若()f x 在[,]a b 和[,]b c 上都连续，则()f x 在[,]a c 上一致连续. 上述结论可进一步推广为：

设区间1I 的右端点为1c I ∈,区间2I 的左端点也为2c I ∈(12,I I 可为有限或无限区间).若

()f x 在1I 和2I 上都一致连续,则()f x 在12I I I = 上一致连续.

例3 讨论()f x =

[0,)+∞上的一致连续性.

分析：()f x 在[0,)+∞上连续，设0a >，

当0x a ≤≤时，设12120,0,x a x a x x δ≤≤≤≤-<，则

≤<

121212,[0,]

0()sup

()()x x f x x a f x f x δ

ωδ-<∈≤=-≤且

lim 0δ+

→=，所以

()f x =[0,]a 上一致连续.

当x a >时，

≤

且0

lim 0δ+

→=.

所以

()f x =

[,)a +∞上一致连续.

综上所述，()f x =[0,)+∞上一致连续.

方法5：利用数列

(1)函数 ()f x 在I 上一致连续?对区间I 上任意两个数列{},{}n n x y ,当lim 0

n n n x y →∞

-=时,有lim ()()0n n n f x f y →∞

-=.

函数()f x 在I 上非一致连续?区间I 上存在两个数列{},{}n n x y ,当lim 0n n n x y →∞

-=时,

但lim ()()0n n n f x f y →∞

-≠.

例4 2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.

分析：可取'

''n n x x =

='''0()n n x x n -→→∞.而

'''()()2n n f x f x -=，故2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.

(2)[5]

函数()f x 在有界实数集E 上一致连续?函数()f x 将E 中的柯西列变成1

R 中的柯西

列.

方法6：利用渐近线

设()f x 在[,)a +∞上连续,且lim [()()]0x f x cx d →+∞

-+=(,c d 为常数).即x →+∞时,

()f x 有渐近线y cx d =+，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.

上述结论可进一步推广为[6]

设()f x 在[,)a +∞上连续,()g x 在[,)a +∞上一致连续,即x →+∞时,且

lim [()()]x f x g x A →+∞

-=，则 ()f x 在[,)a +∞上一致连续.

例5 1()ln()f x x e x

=+在[1,)+∞上一致连续.

分析：由于1

ln()

11lim

1,lim[ln()]x x x e x k b x e x x x e

→∞→∞+===+-=，故1()ln()f x x e x =+在该区间有渐近线1

y x e

，所以 ()f x 在[1,)+∞上一致连续. 方法7：利用导数

若()f x 在区间I 上存在有界导函数,即0,M x I ?>?∈,有()f x M '≤，则()f x 在I 上一致连续.

下面还有一个应用得更加广泛的结论[6]

若()f x 在[,)a +∞上连续,在(,)a +∞内处处可导,且lim ()x f x A →+∞

'=存在，则()f x 在

[,)a +∞上一致连续.

例6

()f x =

(,)-∞+∞上一致连续.

分析：由于'

'()()1f x f x =≤

，故()f x =在(,)-∞+∞上一致连续.

方法8：利用积分

设函数()f x 在区间[,)a +∞上局部可积，且()f x 在区间 [,)a +∞上有界,则

()()d x a

F x f s s =?

在[,)a +∞上一致连续.

方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性

定义1(凸函数)[4]

设函数()f x 在区间I 上有定义,若,y ,01x I λ?∈≤≤,有

[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≤+-(或[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≥+-),

则称()f x 为定义在区间I 上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数.

注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4].

定义2(拟可导函数) 若函数()f x 在00()U x 有定义,且极限

000()()

22lim

h h h f x f x h

→+--存在, 则称函数()f x 在0x 拟可导,记为0000()()

22()lim

h h h f x f x Df x h

→+--=. 引理1 凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理2 若()f x 在区间I 上连续，且对12,x x I ?∈，有

1212()()()22

f x f x x x

f ++≥，

则函数()f x 为下凸函数.

定理若()f x 在开区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在，有界，则()f x 在I 上一致连续.

推论1 若()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则()f x 在

I 上一致连续.

推论2 若()f x 在开区间I （有限或无穷）上满足条件： ①12,x x I ?∈，有

1212()()()22

f x f x x x

f ++≥；

②x I ?∈，()f x -和()f x +都存在； ③在I 上处处拟可导，且拟导数有界，则()f x 在I 上一致连续. 3.2几个重要应用

应用之一：周期函数的一致连续性

[2][6]

设()f x 是(,)-∞+∞上以T 为周期的函数，则()f x 在(,)-∞+∞上连续?()f x 在

(,)-∞+∞上一致连续.

应用之二：基本初等函数的一致连续性

(1)（幂函数）()f x x α

=在[0,)+∞上，当01α<≤时一致连续，当1α>时不一致连续.

(2)（指数函数）()x

f x e =在R 上非一致连续.

(3)（对数函数）()ln f x x =在(0,1]上非一致连续，在[1,)+∞上一致连续.

(4)（三角函数）sin y x =和cos y x =均在R 上一致连续,tan y x =和cot y x =均在其定义域上非一致连续.

(5)（反三角函数）sin y arc x =和cos y arc x =均在[1,1]-上一致连续,arctan y x =和

cot y arc x =均在(,)-∞+∞上一致连续.

(6)（有理函数）1011

01...()()()...n n n

m m m

x x p x R x q x x x αααβββ--+++==+++，其中,n m 为非负整数，01,,...n ααα，01,,...,m βββ均为常数，且00α≠，00β≠.当1n m ≤+时，()R x 在[,)a +∞上一

致连续；当1n m >+时，()R x 在[,)a +∞上非一致连续.（其中max{;()0}a x q x >=）. 4. 二元函数的一致连续性

前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去.

定理1 若函数()f P 在有界闭区域D 上连续，则()f P 在D 上一致连续. 定理2 函数()f P 在有界开区域D 上一致连续?()f P 在D 上连续，且

00,lim ()P P P D

P D f P →∈?∈?存在.（记D ?为D 的边界）

定理3 函数(,)f x y 在2

R 上连续，且lim (,)r f x y →+∞

存在，

其中r =

则(,)f x y 在

2R 上一致连续.

定理4 函数(,)f x y 在区域D 上满足：(,)(1,2)i i x y D i ?∈=，都有

1122111222(,)(,)f x y f x y k x y k x y -≤-+-（12,k k 为正常数）

，则(,)f x y 在D 上一致连续.

定理5 函数(,)f x y 在凸区域D 内存在有界偏导数，则(,)f x y 在D 上一致连续. 定理6 函数()f P 在区域D 上一致连续?对{},{}n n P Q D ?∈，

lim (,)0n n n P Q ρ→+∞

=，恒有lim ()()0n n n f P f Q →+∞

-=.

定理7 函数(,)f x y 在有界区域E 上一致连续函数(,)f x y 将E 中的柯西列变成1

R 中的柯西列.

总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域． 5. 结束语

文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．

参考文献：

[1]华东师范大学数学系．数学分析(第三版)上册[M]．北京：高等教育数出版社, 2001：79~82，171~172．

[2]徐森林，薛春华．数学分析(第一册) [M]．北京：清华大学出版社, 2005：140~145． [3]刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义(上册) [M]．北京：高等教育出版社, 2003

[4]邱德华，李水田. 函数一致连续的几个充分条件[J]．大学数学，2006, 22(3)：136~138． [5]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育数出版社，2001：93~103,106~108．

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[8]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis(Third Edition). China Machine Press, 2004：90~93．

Excel中常用函数应用举例

Excel中常用函数应用举例 1.求和函数SUM 求和 SUM（number1，number2，...）。使用求和函数SUM，操作步骤如下：（1）打开“员工业绩表”工作簿，选择D10单元格，如图所示。（2）单击“插入函数”按钮，在弹出的“插入函数”对话框中选择SUM函数，单击“确定”按钮，如图所示。

（3）在打开的“函数参数”对话框中，“Number1”文本框中默认引用D3:D9单元格区域，单击“确定”按钮，如图所示。（4）求出的和值即可显示在D10单元格中，如图所示。

2.平均值函数A VERAGE 平均值函数的原理是将所选单元格区域中的数据相加，然后除以单元格个数，返回作为结果的算术平均值，其语法结构为：A VERAGE（number1，number2，...）。使用平均值函数A VERAGE，操作步骤如下：（1）打开“员工业绩表”工作簿，选择D11单元格，如图所示。

（2）单击“插入函数”按钮，在弹出的“插入函数”对话框中选择A VERAGE函数，单击“确定”按钮，如图所示。（3）在打开的“函数参数”对话框中，在“Number1”文本框中输入D3:D9，设定计算平均值的单元格区域，单击“确定”按钮，如图所示。

（4）求出的平均值即显示在D11单元格中，如图所示。 3.条件函数IF 条件函数可以实现真假值的判断，它根据逻辑计算的真假值返回两种结果。该函数的语法结构为：IF（logical_test，value_if_true，value_if_false）。其中，logical_test表示计算结果为true或false的任意值或表达式；value_if_true表示当logical_test为true时返回的值；value_if_false表示当logical_test为false时返回的值。

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

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函数一致连续性的判定及应用论文

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浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

基本函数求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式

求抽象函数解析式的几种方法及适用范围

求抽象函数解析式的几种方法及适用范围 Last revised by LE LE in 2021

求函数的解析式的几种方法一：方法名称：配凑法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有 g(x)的形式 2再把g(x)用h(x)代替例：的解析式。已知求的解析式。已知f(x+1)=x-3,求f(x)的解析式。已知，求的解析式。二：方法名称：换元法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围） 2在用一个只含有t的式子把x表示出来 3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t 4再把t用h(x)代替。例题：已知求的解析式。已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。三方法名称：待定系数法适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）

方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b） 2把解析式的左端用这个函数模型表示出来 4求出函数模型的系数例：四方法名称：方程组法适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。等号右边也含有变量x。方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式例: 设f(x)满足关系式,求函数的解析式. 五：方法名称：赋值法适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足” 方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。例：

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。