八年级下册数学讲义
目录 第一节等腰三角形 (1) 第二节直角三角形 (7) 第三节线段的垂直平分线 (12) 第四节角平分线 (16) 第五节一元一次不等式 (20) 第七节一元一次不等式组 (30) 第八节一元一次不等式组的应用 (33) 第十节图形的平移与旋转 (44) 第十一讲中心对称 (49) 第十二讲本章复习 (54)
第一节等腰三角形 知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”） 例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。 例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。 例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。 图1 图2 知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。 若AD⊥BC，则，； 若BD=CD，则，； 若AD 平分∠BAC，则，； 例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E．求证：∠CBE=∠B AD． 知识点三：两边相等证等腰三角形 例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABF 是等腰三角形． 1
知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边） 例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线， 且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABC 是等腰三角形． 知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形 例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN 2
(完整word)新湘教版八年级下册数学复习资料及训练
c b a C B A P E D C B A E D C B A P F E D C B 21A 直角三角形题型训练（一） 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF ·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。 ·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。 求证：点O 在∠A 的平分线上。 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。 如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA=PB ·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。 ·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等． 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即222 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 ·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，， ∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。 ·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 O C B A O N M · · A B
浙教版八下数学各章节知识点及重难点整理
浙教版八下数学各章节知识点及重难点 第一章二次根式 知识点一：二次根式的概念 二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根， 所以 是 为二次根式的前提条件，如 ，，等是二次根式， 而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义， 是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有 意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的 算术平方根是0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即0（），这 个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 1
（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用： 若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则 等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a, 即 ； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平 方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2
人教版八年级数学下精品讲义
第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念 一、课标导航 二、核心纲要 1．二次根式 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 注:(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件. (3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积. 2．二次根式的性质 (1) ()00≥≥a a 具有双重非负性. (2) () ()02 ≥=a a a . ()() ()()?? ???<-=>==000032a a a a a a a 或()()?? ?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002 a a a a a a ． 注:(1)化简2 a 时，一般先将它化成a ，再根据绝对值的意义进行化简. (2) ()2 a 与 2a 的区别和联系.
区别：以a2中的a可以取任意实数，而(a)2中的“必须是非负数．当a＜0时，(a)2无意义，而a2＝－a． 联系：当a≥0时，(a)2=a2＝a． 3.非负数的三种常见形式 (1)绝对值：|a|≥0． (2)偶次幂：a2n≥0（n为正整数）． (3)二次根式：a≥0(a≥0)． 若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0 4.积、商的算术平方根的性质 (1)积的算术平方根的性质：ab＝a?b(a≥0，b≥0) (2)商的算术平方根的性质：a b＝ a b (a≥0，b＞0)． 5.确定二次根式所含字母的取值范围 若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当a≥0时，a有意义. 6.最简二次根式 (1)被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号． (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 7.同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式. (2)被开方数相同. 本节重点讲解：两个性质，三个概念
浙教版八年级数学下册知识点汇总精编版
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八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2+3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫 做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2 +bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次 项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两 个一元一次方程。 形如x 2 =a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫 做开平方法。 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元 二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2-4ac 叫做一元二次 方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： 2.3. 一元二次方程的应用 2.4. 一元二次方程根与系数的关系（选学） 一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理） 如果x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)的两个根，那a c x x a b x =?-=+2121;x 3. 数据分析初步 3.1. 平均数 有n 个数x 1、x 2、x 3 ...... x n ，我们把 ()n x x x x ++++.......n 1321叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记做x （读作“x 拔”） 像n n n a a a a x a x a x +++?++?+?=............x 212211这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a 1、a 2......a n 表示 各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
新浙教版八年级下册数学知识点大全
新浙教版八年级下册数学知识点汇编 第一章二次根式 1.像3-b ，s 2，5，4+?a a 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。 2.二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 3.二次根式的性质1： ()2a =a ()0≥a 二次根式的性质2： 2a =a =)0(≥a a 或a -（a <0） 4.像7，5，14，s 2，a 这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。二次根式的化简结果应为最简二次根式。 5.ab =a ×b （0≥a ， 0≥b ） 6.b a =b a （0≥a ， b>0） 7.a × b =ab （0≥a ，0≥b ） 8. b a =b a （0≥a ，b>0 ） 9.223不能写成22 11 10.二次根式运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简为最简二次根式。 11.二次根式的加减法：先把每一个二次根式化简，再把相同的二次根式像合并同类项那样合并。 12.分母有理化分两种情形：对于单个的二次根式，分子分母都乘以这个二次根式。对于含有二次根式的多项式，把它配成平方差式。
第二章一元二次方程 1.两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。 2.判断一个方程是不是一元二次方程，必须在化简后判断。 3.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 5.确定一元二次方程的各项及其系数必须在一般形式中进行。 6.解一元二次方程的步骤： ①化为右边为0的方程； ②左边因式分解； ③化为两个一元一次方程； ④得解。 7.用因式分解法求解的一元二次方程形式为：右边为0，左边是一个可以因式分解的整式。 8.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 9.对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据平方根的定义。可得x1=a，x2=-a。这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 10.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 11.配方法求解一元二次方程的步骤：
人教版初二数学下册同步精编讲义
第1讲二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数． 【典例】 【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤， 一定是二次根式的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】 本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．
【随堂练习】 1．（2018春?滨江区期末）当a=﹣3，则=____． 2．（2018春?东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____． 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【典例】 1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________． 【方法总结】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．
【随堂练习】 1．（2018春?汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___． 2．（2018春?瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____． 3．（2018春?黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____． 知识点3 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②=a（a≥0）． ③=|a|= （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=?(a≥0， b≥0)，=(a≥0，b＞0) （3）化简二次根式的步骤：
浙教版初中数学教案八年级下全集
1.1二次根式 目标： 1.理解二次根式的含义，掌握二次根式中根号内字母取值氛围的求法。2.能运用二次根式的概念解决有关问题。3.体会数学知识的不断拓广是为了工作、生活的需要，提高学好数学的自觉性。 教学重点： 二次根式的概念。 教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。 教学过程： （1）4的平方根是 ； （2）0的平方根是 ； （3）-16的平方根是 ； （4）9的算术平方根是 ； （5）面积为5的正方形的边长是 . 答案：（1）2±；（2）0；（3）没有；（4）3； （5）5. 师：（5）面积为5的正方形的边长是多少呢？ 生1：2.5。 生2：2.5的平方等于6.25，生1把2 5.2算成5.25.2?了。 师：生2分析得非常不错，那么哪个正数的平方等于5呢？ 生（部分）：找不到。 师：这就是我们今天要学的§1.1二次根式，象“5”一样找不到一个数的平方为5时，我们就用符号“”来表示。“5”的算术平方根用“5”表示。 设计目的：让学生通过填空，回忆起平方根和算术平方根的概念，（5）的主要设计意图是为符号“ ”的引入埋下伏笔（当一个数的算术平方根无法用学过的数表示时，必须引 进新的知识）。 平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 算术平方根的概念：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。用)0(≥a a 表示。 合作学习： 根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的边长是： ； 正方形的边长是： ； 即课本P 4 的填空：s 2。 师：你认为所得的各代数式的共同特点是什么? 各代数式的共同特点： （b – 3）cm2 ) (2cm s
八年级数学培优讲义下册
第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x
浙教版八年级数学下册知识点汇总
八年级（下册） 1. 二次根式 1.1. 二次根式 像3,4a 2++b 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 1.2. 二次根式的性质 ()()0a 2≥=a a ()()???<-≥==00a 2a a a a a ()0,0a ab ≥≥?=b a b ()0,0a >≥=b a b a b 像57，这样，在根号内不含字母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 1.3. 二次根式的运算 ()0,0ab a ≥≥=?b a b ()0,0a >≥=b a b b a 2. 一元二次方程 2.1. 一元二次方程 像方程x 2 +3x=4的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)。 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx+c=0的形式。 ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数和一次项系数。 2.2. 一元二次方程的解法 利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1=a ，x 2=-a ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定，因此b 2 -4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： ()()()没有实数根；有两个相等的实数根； ； 有两个不相等的实数根0004b 0004b 0004b 222222≠=++?<-≠=++?=-≠=++?>-a c bx ax ac a c bx ax ac a c bx ax ac 2.3. 一元二次方程的应用 2.4. 一元二次方程根与系数的关系（选学） 一元两次方程的根与系数有如下关系：（韦达定理） 如果x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a,b,c 为已知数，a ≠0)的两个根，那 a c x x a b x =?-=+2121;x 3. 数据分析初步 3.1. 平均数 有n 个数x 1、x 2、x 3 ...... x n ，我们把()n x x x x ++++.......n 1321叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记做x （读作“x 拔”） 像n n n a a a a x a x a x +++?++?+?= ............x 212211这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a 1、a 2......a n 表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。 3.2. 中位数和众数 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。 3.3. 方差和标准差 在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 各数据与平均数的差的平方的平均数()()()[]222......1s 212x x x x x x n n -++-+-=叫做这组数据的方差。 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 一组数据的方差的算术平方根()()()[]2 22......1s 21x x x x x x n n -++-+-=称为这组数据的标准差。
八年级数学下册培优讲义(人教版)
2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时， 才有意义． 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x
3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、 ，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 ． 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简： 的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+
新浙教版八年级下数学期末复习宝典(内部资料)
第一章 二次根式 1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a (a ≥0). 2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0. 例：2－x 有意义的条件是2－x ≥0，即x ≤2； 1 1－x 有意义的条件是1－x ≠0，即x ≠1； 2－x 1－x 有意义的条件是2－x ≥0且1－x ≠0，即x ≤2且x ≠1. x 的范围是______________________． 3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x ＝－4时，求二次根式8－2x 的值. 错误解法：（1）8－2x ＝8－2×4＝0；（2）1－2x ＝8－2×(－4)＝16＝± 4. 正确解法：8－2x ＝8－2×(－4)＝16＝4. 注意：代入负数时一定要注意符号！ 4.★★★二次根式的性质： (1)(a )2＝a (a ≥0)；(2)a 2＝| a |＝???a (a ≥0)－a (a ≤0) ； (3)ab ＝a ×b (a ≥0，b ≥0)；(4) a b ＝a b (a ≥0，b ＞0). 注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论. 例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.） 练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________． （2）(3.14－π)2＝_______________． 5.★★最简二次根式必须满足两个条件： （1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式. 例：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．7 B ． 1 2 C ．20 D ．0.01 解析：B 和D 的根号内是分数，不是最简二次根式， 1 2 ＝ 1×2 2×2 ＝2 2 ，0.01＝ 1 100 ＝1 10 ； C 的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A .
数学浙教版八年级下册全册教案
第1章 二次根式 1.1 二次根式 【教学目标】 知识与技能 1．理解二次根式的概念。 2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。 过程与方法 1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。 2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。 3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。 情感态度与价值观 1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。 3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。 教学重难点 重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。 难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。 【教学过程】 知识回顾 求一求：（1）3的平方根是_____； （2）3的算术平方根是_____； （3 呢？ 归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________； ②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。 情景导入 根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空： 2 cm a cm 图1.1-1
直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。 学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。 探究新知 1.二次根式的概念 引导学生概括二次根式的概念：像 这样表示算术平方根的代 数式叫做二次根式。 2.深化二次根式的概念： ① 提问：9-1呢？ ② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？ 经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。 ④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？ 3.讲解例题 例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围： （1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - . 教师提问，学生回答，教师板书解题过程。 ① 被开方数需满足什么? ② 由此可得怎样的不等式？ 例2 求下列代数式中字母x 的取值范围： 可以转化为解怎样的不等式？ 交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——被开方数不小于0，当分母中有字母时，要保证分母不为0。 巩固练习二： 求下列二次根式中字母x 的取值范围。 π s b a ,3,42 -+1,211 , 1),()3(,1,14,3,5222 ---+-+-x a x y x xy a a x ，为同号;211 ) 1(x -.21 ) 3(x x --;322 ) 2(x --22)1(,21,3,1 , 4,1-----x x x x x x
浙教版初二数学下册第一章知识点总结
浙教版初二数学下册第一章知识点总结 一、二次根式 1、定义：一般地,形如radic;ā(age;0)的代数式叫做二次根式.当agt;0时,radic;a表示a的算数平方 根,radic;0=0 2、概念：式子radic;ā(age;0)叫二次根 式.radic;ā(age;0)是一个非负数. 3.二次根式radic;ā的简单性质和几何意义 二、二次根式的性质 形如radic;a(age;0)的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以age;0是radic;a为二次根式的前提条件，如radic;5，radic;(x2+1)， radic;(x-1) (xge;1)等是二次根式，而radic;(-2)，radic;(-x2-7)等都不是二次根式。 三、二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次
根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数. (2)二次根式的乘除： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式. 浙教版初二数学下册第一章知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。
浙教版八年级下数学期末试卷及答案
浙教版八年级（下）数学期末试卷班级姓名得分 一、精心选一选：(每小题3分，共30分) 1、代数式x的取值范围是（）。 A、x≥2 B、x≥1 C、x≠2 D、x≥1且x≠2 （的值为( ) 2．计算:- （A）6（B） 0 （C）6 （D）-6 3．一个多边形的内角和等于外角和的一半，那么这个多边形是（）（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 4. 用配方法将方程x2+6x-11=0变形为（） (A) （x-3）2=20 (B) （x+3）2=20 (C)（x+3）2=2 (D)（x-3）2=2 5．已知一道斜坡的坡比为1：3，坡长为24米，那么坡高为( )米。 （A）3 4（D）6 8（B）12 （C）3 6．平行四边形一边长为10 ,则它的两条对角线可以是( ) （A）6 ,8 （B）8, 12 (C) 8, 14 (D) 6, 14 7．下列图形中，不是中心对称图形的是（）． 8.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处， 如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）． （A）15°（B）30°（C）45°（D）60° 9.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE=CA，连结AE交CD?于点F，?则∠AFC的度数是（）． （A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°
第8题 第9题 10．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．?再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（? ）． 二、专心填一填： (每小题3分，共30分) 11．使13－4x 有意义的x 的值是_______________。 12. 某食品店连续两次涨价10%后价格是121元，那么原价是______ 13．已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是 ________________（?填一个你认为正确的条件）． 14．如果方程x 2＋(k －1)x －3＝0的一个根为2，那么k 的值为________。 15．将命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ____________________________.. 16．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是________________ 17．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ______________________________________________________ 18.如图:在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E?为垂足，连结DF ，则∠CDF 的度数=________ 19.在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E, AF ⊥CD 于F ,AE=4,AF=6,平行四边形 ABCD 的周长为40,则平行四边形ABCD 的面积为____________________ 20．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，纸边的宽 度一样，作成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是
