第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念
一、课标导航
二、核心纲要 1．二次根式
形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号.
注:(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件.
(3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积.
2．二次根式的性质
(1) ()00≥≥a a 具有双重非负性.
(2)
()
()02
≥=a a a .
()()
()()??
???<-=>==000032a a a a a a a 或()()??
?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002
a a a a a a ． 注:(1)化简2
a 时，一般先将它化成a ，再根据绝对值的意义进行化简. (2)
()2
a 与
2a 的区别和联系.
区别：以a2中的a可以取任意实数，而(a)2中的“必须是非负数．当a＜0时，(a)2无意义，而a2＝－a．
联系：当a≥0时，(a)2=a2＝a．
3.非负数的三种常见形式
(1)绝对值：|a|≥0．
(2)偶次幂：a2n≥0（n为正整数）．
(3)二次根式：a≥0(a≥0)．
若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0
4.积、商的算术平方根的性质
(1)积的算术平方根的性质：ab＝a?b(a≥0，b≥0)
(2)商的算术平方根的性质：a
b＝
a
b
(a≥0，b＞0)．
5.确定二次根式所含字母的取值范围
若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当a≥0时，a有意义.
6.最简二次根式
(1)被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽.
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.
7.同类二次根式
如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式.
(2)被开方数相同.
本节重点讲解：两个性质，三个概念
三、全能突破
基 础 演 练
1．下列各式中，一定是二次根式的是( )．
A ．-32
B ．(-0.3)2
C ．-2 D.x
2．若式子－m ＋1
m ＋1有意义，则点(m －1，m －2)在( )．
A 第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．(1)如果(x －1)(x ＋3)＝x －1 ?x ＋3，那么( )．
A ．x ≥1
B ．x ≥-3
C ． 3≤x ≤1
D ．x 为任意实数 （2）等式
2+-a a ＝2
+-a a
成立的条件是（ ）． A ．a ≤0 B ．a ＞－2 C ．－2＜a ≤0 D ．
2
+-a a
≥0 4．（1）在下列二次根式45，
x y ，22y x -，92
+a ，3
2x 中，最简二次根式的个数是( )．
（2）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）． A ．3和8 B ．3和3
1 C ．b a 2和2
ab D ．1+a 和1-a 5．把下列各式化为最高二次根式：
（1）12＝_______ （2）24＝_______ （3）
32＝_______ （4）2
1
4＝_____ （5）2
4a ＝_______ （6）
535＝_______ （7）6
3
2＝_______ （8）4131+＝_____
6．（1）当a ＝_________时，最简二次根式a 372
1
--
与a 59-可以合并． （2）如果最简根式b a b a 4114++与b a b a 6214+++是同类二次根式，则()100
b a +＝______．
7．若m 8是非零整数，则m 的最小值是_________． 8．（1）已知2
4a ＝－2a ，化简：2
2b a ．
（2）化简：
()23-a ．
9．已知x ，y 为实数，y ＝3
1
9922-+---x x x ，求5x ＋6y 的值．
10．（1）已知：a ，b ，c 满足
04422
12=+-+++-c c c b b a ，求()a
b c -的值． （2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，△ABC 的周长是奇数，且a 和b 满足
9622+-+-b b a ＝0，试求△ABC 的边长c 的值．
能力提升
11．如果
n
m
是二次根式时，那么m 和n 应满足条件为（ ）． A ．m ≥0，n ＞0 B ．m ≥0，n ＜0 C ．mn ≥0 D ．m 、n 同号或m ＝0，n ≠0 12．下列命题中，正确的是（ ）．
A ．若a ＞0，则2a ＝a
B ．若2
a ＝a ，则a ＞0 C ．若a 为任意实数，则2
a ＝a D ．若a 为任意实数，则()2
a ＝±a
13．（1）若实数a 满足等式a -1＝1＋a ，则
()21-a ＝（ ）．
A ．1
B ．－a －1
C ．a －1
D ．1－a （2）若
()2a m -＋()2n a -＝n －m （n ≥m ）成立，则a 的取值范围是（ ）．
A ．m ≤a ≤n
B ．a ≥n 且a ≤m
C ．a ≤m
D ．a ≥n 14．把根号外面的因式移到根号内： （1）212
-＝_______ （2）()1
1
1--x x ＝_________ 15.已知a 、b 、c 为三角形的三边，则
()2
c b a -+＋
()2
a c
b --＋
()2
a c
b -+＝
__________．
16．已知0＜x ＜1，则412
+??? ??+x x －412
-??? ?
?
+x x ＝__________．
17．若()23-x ＝x －3与()25-x ＝5－x 都成立，化简
21236x x +-＋10-x ．
18．阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a ＋2
961a a +-，其中a ＝5．”甲、乙两人的
解答不同，
甲的解答是：a ＋2
961a a +-＝a ＋()231a -＝a ＋1－3a ＝1－2a ＝－9; 乙的解答是：a ＋2961a a +-＝a ＋()231a -＝a ＋3a －1＝4a －1＝19．
（1）________的解答是错误的．
（2）错误的解答在于未能正确应用二次根式的性质：______________________． （3）仿照面解答：化简a -1＋2
1681a a +-并求值，其中a ＝2． 19.若右图所示，△ABC 的三边a ，b ，c ，且满足
()24-a ＋
6-c ＝a －4，b 是10的整
数部分，AD 是BC 边上的中线，求（1）a 的取值范围；（2）AD 的取值范围．
20．阅读材料：一个三角形的三条边长为a 、b 、c ，若满足222c b a =+，则这个三角形就
是直角三角形，长度为c 的边所对的角是直角．这是我们后面要学的勾股定理的逆定理． 根据上述知识解答下列问题：
已知实数x 、y 、a 为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个直角三角形？若能，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
21
（1）若a 是正整数，则符合条件的a 的值有几个？试写出最大值和最小值．
（2）若a 是整数，则符合条件的a 的值有几个？是否存在最大值和最小值，为什么？
22．（2011·a 的取值范围为 ．
23．（2011·四川内江）已知2
63(5)36m n m -+-=-m n -= ．
24．（2012·0a <，若2b a =-，则b 的取值范围是 ．
25．已知a 、b 满足7=，则s = ） A ．211453s -
<< B ．121453s -≤≤ C ．2114
1919
s -≤≤ D ．以上答案都不对
26
第二节 二次根式的运算
一、课标导航
二、核心纲要
1．二次根式的乘除
（1）乘法:()0,0≥≥=?b a ab b a ，即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指
数不变.
(2)除法：()0,0>≥=
b a b
a
b
a ，即两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.
(3)乘法公式的推广:①(
)
()0,0,0≥≥≥+=+c b a ac ab c b a ;
②(
)(
)
()0,0,0,0≥≥≥≥+++=++d c b a bd bc ad ac d c b
a ;
③
2
a b =+±a b =-;
()123120,0,
,0,n n n a a a a a a a a ?=???
?≥≥≥.
注:结果必须化为最简二次根式. 2.二次根式的加减
(1)二次根式的加减的实质:先化简(化为最简二次根式)，后合并(合并同类二次根式). (2)二次根式的加减步骤
①一化:将每个二次根式化为最简二次根式； ②二找:找出同类二次根式; ③三合并:合并同类二次根式. 3.二次根式的混合运算
先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算. 注:(1)原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用.
(2)进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果必须是最简二次根式.另外，与根式相乘的因数若是带分数，必须写成假分数.例如:33
7不能写成331
2.
4.分母有理化
(1)分母有理化:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
(2)有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为有理化因式. (3)常用的有理化因式 a 与a 、a a +
与a a -、b a +与b a -等互为有理化因式.
(4)分母有理化步骤
先将二次根式化简，找分母最简有理化因式;然后将计算结果化为最简二次根式的形式. 5.比较二次根式的大小的常用方法
(1)被开方数法:当0,0≥≥b a 时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的非负因数a 与b 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较. (2)平方法:①如果a >b >O ，则b a >;②如果0 于比较无理数的大小. (3)估算法:若一个非负数a 介于另外两个非负数21,a a 之间，即210a a a <<≤时，它的算术平方根也介于21,a a 之间，即: 210a a a <<≤ . (4)倒数法:设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当 b a 1 1<时，b a >;当 b a 11=时，b a =；当b a 1 1>时, b a <”来比较a 与b 大小. (5)作差法:在对两数比较大小时，经常运用如下性质:①b a b a ≥?≥-0;② b a b a ≤?≤-0. (6)分母有理化法:通过分母有理化，利用分子的大小来比较. ☆(7)分子有理化法:通过分子有理化，利用分母的大小来比较. 本节重点讲解:一个方法，两个概念，两个运算. 三、全能突破 基础演练 1.下列计算正确的是（ ）. A. 3 23 2 --=-- B. a a 3313= C. a a =33 D. a a 333 = 2.计算( )() 3221+-等于（ ）. A ．63- B ．62232-++ C ．3 D ．62232--+ 3.计算 12-3 1 的结果是（ ）. A ．337- B ．23-33 C ．3 D ．33 5- 4.下列运算正确的是（ ）. A ．525±= B ．127-34= C ．9218=÷ D ．62 3 24=? 5.如果( ) 1 3 2,32--= +=b a ,那么a 与b 的关系为（ ）. A.互为相反数 B.互为倒数 C.互为有理化因式 D.相等 6.与6-1相乘，结果为有理数的因式为（ ）. 7.计算： ()248-45541++ ()4832 -315-31131222+ ()()3154276-485 3÷+ ()()()() 2 1-53-34-73474+ ()()()()() 3-12-1312 152013 2013 ++ () ( ) () 2 2 1233 63-29- 186-+-+ + ()46193 2732x x x x x x ?+?-? ()n m a a n m a n m -? +÷--232333822 8.比较下列二次根式的大小: ()3553-1-与 ()73622++与 () 56673--与 ()35274--与 () 1 211 325--与 9.阅读下面的解题过程，判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答. 已知m 为实数，化简:m m m 1 3- --- . 解:原式=(1m m ---- 能力提升 10. 等式3a =成立的条件是（ ）. A ．a ＞0,b ＞0 B ．a ＜0,b ＞0 C ．a ＞0,b ＜0 D ．a ＜0, b ＜0 11.(1) 计算 ??? ? ??÷b a a b a b b a 的正确结果是（ ）. A ．b a B ．a b C ．22b a D ．1 （2）若202 22 18=++x x x x ,则x 的值等于（ ）. A ．4 B ．4± C ．8 D ．8± 12.估计202 1 32+? 的运算结果应在（ ）. A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ． 8到9之间 D ．9到10之间 13.化简 2 31+，甲，乙两同学的解法如下： 甲： ( )( ) 2-32 -32 32-32 31=+= +. 乙： ( )( )2-32 32 -32 32 32-32 31= ++= += +. 对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是（ ）. A.甲，乙解法都正确 B.甲正确，乙不正确 C.甲，乙都不正确 D.乙正确，甲不正确 14.7-25的立方根是（ ）. A ．1-2 B ．2-1 C ．( ) 1-2± D ．12+ 15．若整数m 满足条件 ()112 +=+m m ，且5 2< m ，则m 的值是 ． 16．一个等腰三角形的两边长分别是32和23则这个等腰三角形的周长为 _. 17. (1)已知正数a 和b ，有下列命题: ①若2=+b a ,则1≤ab ;②若3=+b a ,则2 3 ≤ ab ;③若6=+b a ,则3≤ab ; 根据以上三个命题所提供的规律猜想: 若9=+b a ,则≤ab _. (2)计算12122--,13132--,14142--,1 51 52--,…，根据你发现的规律， 判断1 1 2--=n n P ,与()()1 11 12-+-+= n n Q ， (n 为大于1的整数)的值的大小关系为 _. 18.不等式() 3131+>-x 的最大整数解为_ . 19.已知72=+ y x ，且0 20.计算及化简: () y x x y y x x y x y y x x y y x -+- +-1 () a b b a ab +2 (3)计算： n n n n n n 10520102105132642321??++??+????++??+?? () 10 151421574--+- 21.已知,0,0< () 3 231 2 +----a b b a . 22.先观察下列等式，再回答问题: ①2111111112111122=+-+=++ ;②6111212113121122=+-+=++; ③121 11313114 13112 2=+-+=++ ; (1)根据上面三个等式，请猜想2 251 411++ 的结果(直接写出结论). (2)根据上面各等式反应的规律，试写出用含n (n 为正整数)表示一般规律的等式，并加以验证. (3)根据上述规律，解答问题: 设+++ =2221111m +++22312112241311+++…+2 220131 201211++，求不超过m 的最大整数[m]是多少? 中考链接 23. (2011·湖北孝感)下列计算正确的是（ ）. A ．22-18= B ．532=+ C ．632=? D ．428=÷ 24. (2012·上海)在下列各式中，二次根式b a -的有理化因式是（ ）. A ．b a + B ．b a + C ．b a - D ．b a - 25. (2011·上海) 计算:()2 31212730 ++ -+-- . 巅峰突破 26. 计算 ( )( ) 7-1033 -2130++的值等于（ ）. A ．76 B ．76- C ．76320+ D ．76-320 27.已知,26,622,12-=-=-=c b a 那么c b a ,,的大小关系是（ ）. A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 第三节 二次根式的化简求值 一、课标导航 二、核心纲要 1.双重二次根式 如果二次根式的被开方数(式)中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式. 如782-3+，. 2.化简双重二次根式 对于双重二次根式b a 2±，设法找到两个正数()y x y x >,，使,a y x =+b xy =，则b a 2±= ( ) y x y x ±=±2 . 3.二次根式化简求值的方法 (1)直接代入:直接将已知条件代入所求代数式即可. (2)变形代入:将条件或结论进行适当的变形，再代入求值. 4.共轭根式 形如b a + 和b a - (其中a ,b 是有理数)的两个最简二次根式称为共轭根式. 5.解无理方程 解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验. 本节重点讲解:二次根式的化简和求值. 三、全能突破 基 础 演 练 1.若,,n m y n m x +=-= 则xy 的值是（ ）. A ．m 2 B ．n 2 C ．n m + D ．n m - 2.已知若,0312=-+ -y x 则y xy x 24÷?等于（ ）. A ． 2 2 B ．22 C ．2 D ．1 3.已知,25,25-=+= b a 则722++b a 的值为（ ）. A ．3 B ． 4 C ．5 D ．6 4.代数式3222+---+a a a 的值等于_ . 5.若,4,5==+ab b a 则b a b a +-=_ . 6.先化简，再求值： ()ab ab b a ab a 4322761321333+- ,其中3,9 1 ==b a . ()()() ()(),132633322 ++----+ a a a a a 其中12-=a . () ,2844 416412112322222 2-+÷+--++--+-+-a a a a a a a a a a a a a 其中12-=a . 7.已知,2 323,2 323+-= -+=y x 求代数式 ()() 2 2 y x xy y x xy +-++值. 8. 已知,32,32-=+=y x 求下列代数式的值. ()() y x y xy x ++-212 2 9.星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说:“你现在学习了二次根式，若x 表示10的整数部分，y 代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是()y x +10元，你 猜一猜这个纸包里的钱数是多少? 10.某同学作业本上有这样一道题:“当a =■时，试求122 +-+a a a 的值”.其中■是被墨水弄污的，该同学所求的答案为2 1 ,请你判断该同学答案是否正确，说出你的进理. 11.(1)若 ,1 a y y =- 则y y 2 1+的结果为（ ）. A ．22+a B ．22-a C ．2+a D ．2-a (2)若,1a a x -= 则24x x +的值为（ ）. A ．a a 1- B ．a a -1 C ．a a 1 + D ．不能确定 12.已知(),0,002>>=+-y x y xy x 则 y xy x y xy x 4353-++-的值为（ ）. A ． 31 B ．21 C ．32 D ．4 3 13.计算 1 21217 515 313 11++-+ +++ +++ +n n 的结果是（ ）. A ． 2112-+n B ．212-n C ．2121--n D ．2 1 21++-n 14.若a 为自然数，b 为整数，且满足() ,34732 -=+b a 则a = ，b = . 15.若(),1041 <<=+ a a a 则=- a a 1 . 16.（1）已知,21=+ x x 那么 1 71222++- ++x x x x x x 的值等于 . （2）已知,73-=x 则代数式662--x x 的值为 . 17.若等式1922+--=-b a b a 成立，则b a 的值为 . 18．已知,7611=-+ -x x 则x x ---611的值为 . 19.观察下列各式及其化简过程: ()( ) 121 2112222232 22+=+=+?+=+； ()() 232232 36252 2 -=+ ?-= -. (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将21210-化简. (2)针对上述各式反映的规律，请你写出()n m n m b a >±=±2中a ，b 与m ，n 之间的关系. 20.(1)若实数c b a ,,满足22+ =b a ，且041232=++ c ab ，求a bc 的值. （2）已知b a ,满足12244++-=++b a b a ，判断b a 值的情况. 21.化简：2510962 2 +--++a a a a 22.已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a . 中考链接 23.(湖北荆州)已知a 为实数，则代数式2 482a a a -+--+的值为 . 24.(四川成都)已知xy =3，那么y x y x y +的值为 . 巅峰突破 25.已知514=-++a a ，则=-a 26 . 26.正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则 =++-+208 282n m n m . 第十六章综合测试题 （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题10分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的） 1.下列运算正确的是（） 4=1 - () 4520 =-?-= 51217 = 131313 + 2.小强的作业本上有以下四题： 2 4a =；③a a =;；⑤ 3.如果你是他的数学老师，请你找出做错的题有（）个. A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列各式中，不是最简二次根式的是（） C. 4.） C. 5.已知a＜02a可化简为（） A.-3a B.-a C.a D.3a 6.已知a＜0） A. B. - C. - D. 7.)2的结果为（） 2 B.-2 C.2 D.2 - 八年级数学讲义 第11章 三角形 一、 三角形的概念 1． 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC 中，边：AB ，BC ，AC 或 c ，a ，b ． 顶点：A ，B ，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C ．． 二、 三角形的边 1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和. 2. 三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 A C B A D 三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。 A B C D h t t t t h h h 0 0 0 0 代数复习 基础知识点 1．若二次根式5x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞－5 B ．x ＜－5 C ．x ≠－5 D ．≥x －5 2．下列各式中，最简二次根式是（ ） A ．27 B ．6 C ． a 1 D ．23a 3．在平面直角坐标系中，直线y kx b =+()0, 0k b <>不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．将直线1y kx =-向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ） A ．3y kx =- B ．1y kx =+ C ．3y kx =+ D ．1y kx =- 5．已知()()1122P 3, P 2, y y -， 是一次函数21y x =+的图象上的两个点，则12, y y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．不能确定 6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值 相同，方差分别为，，，，则二月份白菜价格最稳定的市场是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于这组数据描述错误的是（ ） A ．众数是80 B ．平均数是80 C ．中位数是75 D ．极差是15 8．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果以固定流速向这个蓄水池注水，下面能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的变化关系的图象的是（ ） 9．计算：368?-=_________． 10．如图，若设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y （元）、 B y （元） ，它们的函数图象如图所示，则当上网时间 多于400钟时，选择 种方式省钱． 重点题型1 【二次根式】 例题1：（1）1 2123524 ?÷ （2） () 3482273-÷ 目录 第一节等腰三角形 (1) 第二节直角三角形 (7) 第三节线段的垂直平分线 (12) 第四节角平分线 (16) 第五节一元一次不等式 (20) 第七节一元一次不等式组 (30) 第八节一元一次不等式组的应用 (33) 第十节图形的平移与旋转 (44) 第十一讲中心对称 (49) 第十二讲本章复习 (54) 第一节等腰三角形 知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”） 例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。 例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。 例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。 图1 图2 知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。 若AD⊥BC，则，； 若BD=CD，则，； 若AD 平分∠BAC，则，； 例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E．求证：∠CBE=∠B AD． 知识点三：两边相等证等腰三角形 例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABF 是等腰三角形． 1 知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边） 例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线， 且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。 求证：△ABC 是等腰三角形． 知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形 例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN 2 八年级数学讲义 第11章三角形 一、三角形的概念 1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．． 二、三角形的边 1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形. 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和. 2.三角形的主要线段 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点. 三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 第十六章 二次根式 第一节二次根式的相关概念 一、课标导航 二、核心纲要 1．二次根式 形如()0≥a a 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. 注:(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式. (2) 0≥a 是a 为二次根式的前提条件. (3)形如()0≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积. 2．二次根式的性质 (1) ()00≥≥a a 具有双重非负性. (2) () ()02 ≥=a a a . ()() ()()?? ???<-=>==000032a a a a a a a 或()()?? ?<-≥==002a a a a a a 或()()???≤->==002 a a a a a a ． 注:(1)化简2 a 时，一般先将它化成a ，再根据绝对值的意义进行化简. (2) ()2 a 与 2a 的区别和联系. 区别：以a2中的a可以取任意实数，而(a)2中的“必须是非负数．当a＜0时，(a)2无意义，而a2＝－a． 联系：当a≥0时，(a)2=a2＝a． 3.非负数的三种常见形式 (1)绝对值：|a|≥0． (2)偶次幂：a2n≥0（n为正整数）． (3)二次根式：a≥0(a≥0)． 若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0 4.积、商的算术平方根的性质 (1)积的算术平方根的性质：ab＝a?b(a≥0，b≥0) (2)商的算术平方根的性质：a b＝ a b (a≥0，b＞0)． 5.确定二次根式所含字母的取值范围 若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当a≥0时，a有意义. 6.最简二次根式 (1)被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号． (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即开方开得尽. 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 7.同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式. (2)被开方数相同. 本节重点讲解：两个性质，三个概念 第1讲二次根式 知识点1 二次根式的概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 注意：①“”称为二次根号； ②a（a≥0）是一个非负数． 【典例】 【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤， 一定是二次根式的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】 本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可． 【随堂练习】 1．（2018春?滨江区期末）当a=﹣3，则=____． 2．（2018春?东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____． 知识点2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【典例】 1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________． 【方法总结】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零． 【随堂练习】 1．（2018春?汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___． 2．（2018春?瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____． 3．（2018春?黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____． 知识点3 二次根式的性质与化简 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②=a（a≥0）． ③=|a|= （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=?(a≥0， b≥0)，=(a≥0，b＞0) （3）化简二次根式的步骤： 第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x 八年级下册知识点归纳 第十六章 二次根式 1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。 二次根式必须满足： ①含有二次根号“”；②被开方数a 必须是非负数；③非负性 2、最简二次根式满足的条件： ①被开方数不含分母或小数； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式 （1） )0()(2≥=a a a （2）?? ???===）＜（）（）＞（0a a -0a 00a a 2a a （3）乘法公式)0,0(≥≥?=b a b a ab （4）除法公式)0,0(φb a b a b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第十七章 勾股定理 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足222c b a =+。，那么这个三角形是直角三角形。 3. 互逆命题：题设、结论正好相反的两个命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 222c b a =+. （4）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。 ① BD AD CD ?=2 ②AB AD AC ?=2③ AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 第十八章 平行四边形 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质： ⑴平行四边形的对边相等； ⑵平行四边形的对角相等； ⑶平行四边形的对角线互相平分。 2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义 第1讲 二次根式的概念及性质 考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一 个非负数时， 才有意义． 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式 记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一 个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、 ，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值 。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值 。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则 ． 【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长 为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 【例5】 化简： 的结果为（ ）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+ 第十一章三角形 11．1与三角形有关的线段 11．1.1三角形的边 1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题． 2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系． 重点：三角形的三边之间的不等关系． 难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形． 一、自学指导 自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． (3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． (4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形． 点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形． 自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟) 总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C． 点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示． 2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8. 讲义05 勾股定理 课堂练习： 1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ） A. 13 B. 13或119 C. 13或15 D. 15 2.直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3.如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 42 4.若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（ ） A. 6㎝ B. 1380㎝ C. 8㎝ D. 13 60㎝ 5.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于( ) A. 24或7 B. 7或41 C. 24 D. 7 6.△ABC 中，若ab c b a 2)(22=-+，则此三角形应是（ ） A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D.等腰三角形 7.一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为 h ，斜边长为c ，则以 c+h ，a+b ， h 为边的三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不能确定 8.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+b 1=h 1 D. 21a +21b =21h 9.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 10.如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示)，在长方体下底部的A 点有一只蚂蚁，它想吃到 上底面B 点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？ 前言 本资料的编写以新课程标准为指南，以知识与技能、过程与方法为指导思想，通过基础、提高、综合的三级训练，使学生在自主性、独立性、探究性的学习上切实得到提高。学生在老师的辅导下，复习旧知识、巩固新知识，学生对知识的掌握和灵活运用能力、综合运用能力有很大的提高。所有资料对疑难问题点拨到位，是学生正确掌握解题方法、避开思维误区，切实能够提高学生的成绩。 教学进度安排如下： 1、平行四边形 2、矩形 3、菱形 4、正方形 5、梯形 6、梯形2（辅助线） 7、数据的分析 8、二次根式及其乘除 9、二次根式的加减 10、一元二次方程 11、勾股定理 12、反比例函数 说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目的赶资料的进度。 2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们自由练习用。 A D B C E 第 一 讲 平行四边形 一、课标要求： 1、掌握平行四边形有关概念和性质。 2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等对角线互相平分的性质。 3、运用性质证明 二、知识疏理 1、温故知新： 平行四边形是有两组对边分别平行的四边形。 平行四边形有以下性质： 1.平行四边形的对边平行且相等 2.平行四边形的对角相等 3.（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 另外，由上列定义可知：平行四边行的两组对边分别平行 平行四边形的判定方法： 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5.两组分别对边平行的四边形是平行四边形 2、教材解读： 1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130 o ，则∠D 的度数是 . 2． ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____. 3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 . 4．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°， AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度． （第4题） 5．平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ） A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4 6．（08厦门）在平行四边形ABCD 中，60B ∠=o ，那么下列各式中，不能．． 成立的是（ ） 第十六章分式 测试1从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝______时，分式1 12--x x 的值为0． 8．分式y x ，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 二、选择题 9．使得分式1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠－1D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32=/ x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab -有意义 C ．当2 1-=x 时，分式x x 412+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x ||的值为（ ） A ．1B ．－1C ．±1D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) 此文档下载后即可编辑 第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形 式，如果除式B 中______，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时， 轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式 13-x x 没有意义． 7．当x ＝______时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式y x ，当字母x 、y 满足______时，值为 1；当字母x ， y 满足______时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当3 2 =/x 时，分式 2 31 -+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式 2 2b a ab -有意义 C ．当2 1-=x 时，分式x x 412+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时，x x ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ． x x 1 2+ B ． 1 1 2--x x C ．1 1+-x x D ． 1 1 2+-x x 三、解答题 14．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ?----++++-π 1 ;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 15．x 取什么值时，2 )3)(2(---x x x 的值为0？ 综合、运用、诊断 一、填空题 16．当x =______时，分式6 32-x x 无意义． 17.使分式 2 )3(2+x x 有意义的条件为______． 18.分式2 )1(522+++x x 有意义的条件为______． 19．当______时，分式4 4||--x x 的值为零． 20．若分式x --76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题 浙教版八年级数学下册各章期末复习讲义 第一章《二次根式》复习 1、下列各式中不是二次根式的是（ ） A.12+x B.4- C.0 D.()2b a - 2、下列各式是二次根式的是（ ） 3、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A B D 4、下列各式中，是二次根式是（ ）. 5、若01=++ -y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A.0 B.1 C. -1 D. 2 6、判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴ 2 1， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ， ⑸222++a a ，⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。 答：_____________________ 7、已知1y = ，则 y x = 。 8、若x 、y 都为实数，且152******** +-+-=x x y ，则y x +2=________。 1、x （ ） （A ）x ＞ 45 （B ）x ＜54 （C ）x ≥54- （D ） x ≤54- 2、如果x -- 35 是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜3 －1 1 2 3、使代数式 3x -有意义的x 取值围是（ ） A ．2x ≠- B ．32x x <≠-且， C ．32x x ≠且，≤ D ．32x x ≠-且，≤ 4、求下列二次根式中字母x 的取值围： ⑴ 12-x ⑵ 32+x ⑶ 5 2 -x ⑷ x x --+22 ⑸ 11-+x x ⑹ x x -22 (7)x x --+315 (8)22)-(x 5、使代数式8a a -+ 有意义的a 的围是（ ） A.0>a B.0 第十六章分式 1、分式的概念 【样例1】当x取什么值时，下列分式有意义？ （１）；（２）． 【样例2】分式的值等于0，求x的取值． 〖人教版课本，P3.例1, P9练习题13〗 ２、分式的运算 【样例1】化简求值：，其中． 〖人教版课本，P11.例2, P17.例7,P23练习题6,8〗 ３、分式方程 【样例1】解下列分式方程. （１）；（２） 【样例2】（2007XXXX课改，3分）甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（） Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天 【样例3】（2007XX课改，2分）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（） A．B． C．D． 〖人教版课本，P30.例4, P37练习题10〗 第十七章反比例函数 1、反比例函数概念 【样例1】下列函数中，是的反比例函数为（） A．B．C．D． 【样例2】（2007XXXX课改）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为． 【样例3】已知反比例函数的图象经过点A（－2，3），则这个反比例函数的解析式为． 〖人教版课本，P44.例4, P46～P47.练习题3，7，8，9〗 2、实际问题与反比例函数 【样例5】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地. (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(千米/时)与时间t(小时)之间的函数关系式； (2)如果该司机匀速返回时，用了48小时，求返回时的速度. 〖人教版课本，P52.例3, P46～P47.练习题1，3，5〗 3、反比例函数综合运用 【样例5】（2007XXXX课改）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过 作轴的平行线，交函数的图象于，交函数的图象于，过作轴的平行线交的延长线于． （1）如果点的坐标为，求线段与线段的长度之比．（3分） 第18章 勾股定理 一：勾股定理 （1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论： ①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证 a b c a b c a b c a b c a b a b a b b a 例题： 例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。 （2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2 -，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2 + （3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A.222a b c += B. 222a c b += C. 222 c b a += D.以上都有可能 （4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。人教版八年级数学上册讲义(全册)
人教版数学八年级下册代数部分综合复习讲义
八年级下册数学讲义
人教八年级上册数学讲义
人教版八年级数学下精品讲义
人教版初二数学下册同步精编讲义
八年级数学培优讲义下册
最新人教版数学八年级下册：全册知识点归纳资料
八年级数学下册培优讲义(人教版)
八年级数学上册全套讲义-带答案
精品 八年级数学下册 勾股定理讲义
八年级下册数学数学全册资料
八年级数学培优讲义(下册)
八年级数学培优讲义(下册)(完整资料).doc
浙教版八年级数学下册各章期末复习讲义全
人教版八年级数学下册总复习资料(经典)
沪科版八年级下册数学辅导讲义
相关主题
文本预览