卷积的本质及物理意义(整理)

卷积的本质及物理意义

分三个部分来理解：

1．信号的角度

2．数学家的理解（外行）

3．与多项式的关系

卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？

卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)

使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y

(0),y

(1),y

(2) and soon;这是系统响应出来的信号。

同理，x(n)的对应时刻的序列为x

(0),x

(1),x

(2)...and so on;

其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。

假设0时刻系统的响应为y

(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y

(0)+y

(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x

(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y

(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y

(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。

再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。

当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。

http:

."html

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卷积是人为定义的一种运算，就是为了计算的方便规定的一种算法。两个函数普通乘积的积分变换（傅里叶变换与拉普拉斯变换）与这两个函数积分变换的卷积建立了关系，使我们只要会求两个函数的变换，利用卷积就可以求这两个函数乘积的变换。

卷积在数据处理中用来平滑，卷积有平滑效应和展宽效应.

谈起卷积分当然要先说说冲击函数----这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。

“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。古人曰：

“说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F 很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。

于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是“卷积”这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。

目前，傅立叶变换最重要的应用之一就是可以将卷积方程变成两个函数的乘积形式去求解。卷积分是积分方程家族的一名重要成员。

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卷积是一种积分运算，它可以用来描述线性时不变系统的输入和输出的关系：

即输出可以通过输入和一个表征系统特性的函数（冲激响应函数）进行卷积运算得到。

以下用$符号表示从负无穷大到正无穷大的积分。

一维卷积：

y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)

先把函数x(k)相对于原点反折，然后向右移动距离t，然后两个函数相乘再积分，就得到了在t处的输出。对每个t值重复上述过程，就得到了输出曲线。

二维卷积：

h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)

先将g(u,v)绕其原点旋转180度，然后平移其原点，u轴上像上平移x，v轴上像上平移y。然后两个函数相乘积分，得到一个点处的输出。

图像处理中的卷积与上面的定义稍微有一点不同。用一个模板和一幅图像进行卷积，对于图像上的一个点，让模板的原点和该点重合，然后模板上的点和图像上对应的点相乘，然后各点的积相加，就得到了该点的卷积值。对图像上的每个点都这样处理。由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。

把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++卷积的物理意义，解释的真幽默！

有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：

如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。

有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：

既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。

无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：

这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：

——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？

——费话，疼呗！

——我问的是：

会有什么表现？

——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！

县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y 轴，绘制了一条曲线：

——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？

——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=

0."5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板

（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。

——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？

——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而

异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：

t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)

[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]

数学表达为：

y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？

——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！

也可以这样理解：

T(τ)即第τ个板子，H(t-τ)就是第τ个板子引起的痛苦到t时刻的痛苦程度，所有板子加起来就是∫T(τ)H(t-τ)

http:

7."html

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卷积法的原理是根据线性定常电路的性质(齐次性、叠加性、时不变性、积分性等),借助电路的单位冲激响应h(t),求解系统响应的工具，

系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。建议你去看看定积分的内容。特别注意的是：

概念中冲击函数的幅度是由每个矩形微元的面积决定的。

总的说来卷积就是用冲击函数表示激励函数，然后根据冲击响应求解系统的零状态响应。

卷积实质上是对信号进行滤波。

卷积应该就是求和也就是积分，对于线性时不变的系统，输入可以分解成很多强度不同的冲激的和的形式（对于时域就是积分了），那么输出也就是这些冲激分别作用到系统产生的响应的和（或者积分）。所以卷积的物理意义就是表达了时域中输入，系统冲激响应，以及输出之间的关系。

卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。

从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。

在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷从数学看,卷积是一种反映两个序列或函数之间的运算方法;

从物理上看,卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染;

从信号角度来看,卷积代表了线性系统对输入信号的响应方式,其输出就等于系统冲击函数和信号输入的卷积,只有符合叠加原理的系统,才有系统冲击函数的概念,从而卷积成为系统对输入在数学上运算的必然形式,冲击函数实际上是该问题的格林函数解.点激励源作为强加激励,求解某个线性问题的解,得到的格林函数即是系统冲击响应.所以在线性系统中,系统冲击响应与卷积存在着必然的联系.但是卷积本身不过是一个数学运算方法而

已...++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

相关分为自相关和互相关，自相关代表信号本身和延迟一段时间以后的相似程度，互相关代表两个信号的相似程度。卷积是一种运算，相关运算可通过卷积求得。

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相关的实际意义是什么？它与卷积的区别有是什么？

相关就是求两个信号的相似程度，相关可以通过卷积求出来，好像g(t)*g(-t)就是g(t)和自己的相关

因为卷积时其中一个信号要翻转，那么g(t)*g(-t)就相当于求相关

我从数学的角度分析一下。

信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间，通常就是时域到频域，（还有z域，s域），信号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念），大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不变的映射）。

前面说的意思就是信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应。

那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现；那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。？？

简单来说，卷积是一种重叠关系，也就是说，所得到的结果反映了两个卷积函数的重叠部分。所以，用一个已知频段的函数卷积另一个频段很宽的函数，也就是对后者进行了滤波，后者跟前者重叠的频段才能很好地通过这个filter.

对于时域可以使用乘法器来实现乘法运算，但是频域的乘法就可以通过时域的卷积操作来完成。

卷积是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域面积。可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。

卷积我觉得就象一把锉刀，它主要是把一些非光滑的函数或算子光滑化。

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卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。

利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

卷积本身是一种运算，但是应用到信号上，当某个信号通过一个线性系统时，输出信号就是输入信号与系统冲击响应的卷积。

卷积是一种线性运算,在信号与线性系统的基础上出现的。

自相关是指信号在1个时刻的瞬时值与另1个时刻的瞬时值之间的依赖关系,是对1个随机信号的时域描述

卷积的理解——外行（数学家）

俺写了那么“精彩”的数学科普没人看，却让不是搞数学的人写的数学占了上风，杯具啊，实在是杯具。是俺的数学水平太高还是你们的数学欣赏水平太低？亦或俺写的太专业？这回来点不专业的。

唐老师用输液过程解释卷积的确有点意思，比较容易让人接受，老邪的方法更简明易懂，不过老邪的方法可以解释怎么定义卷积，却不能说明为什么要定义卷积。

如果我没有记错，卷积最早来自于信号系统理论，后来被数学家们发扬光大了，而且其威力已经远远超出了发明者的初衷。

先来看信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为

Y(t)=h(t)x(t)，

然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（

y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，

离散情况下就是级数了。

我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了

Y(u)=X(u)H(u)

其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积。

信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用，说起来就话长了，容后再表。卷积与多项式

信号处理中的一个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形,

两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du

当然，证明卷积的一些性质并不困难，比如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚，

对于两个序列f[n],g[n],一般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k]

卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算,

比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)

一般计算顺序是这样,

(x*x+3*x+2)(2*x+5)

= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5

= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10

然后合并同类项的系数,

2 x*x*x

3*2+1*5 x*x

2*2+3*5 x

2*5

----------

2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

实际上,从线性代数可以知道,多项式构成一个向量空间,其基底可选为

{1,x,x*x,x*x*x,...}

如此,则任何多项式均可与无穷维空间中的一个坐标向量相对应,

如,(x*x+3*x+2)对应于

(1 3 2),

(2*x+5)对应于

(2,5).

线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,而只有加法,数乘两种运算,而实际上,多项式的乘法,就无法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了.

但如果按照我们上面对向量卷积的定义来处理坐标向量,

(1 3 2)*(2 5)

则有

2 3 1

_ _ 2 5

--------22 3 1

_ 2 5

-----

6+5=11

2 3 1

2 5

-----

4+15 =19

_ 2 3 1

2 5

-------

10

或者说,

(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)

回到多项式的表示上来,

(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

似乎很神奇,结果跟我们用传统办法得到的是完全一样的.

换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积.

其实,琢磨一下,道理也很简单,

卷积运算实际上是分别求x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在一起做了。(传统的办法是先做乘法，然后在合并同类项的时候才作加法)

以x*x的系数为例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是2 3 1

_ 2 5

-----

6+5=11

其实,这正是向量的内积.如此则,卷积运算,可以看作是一串内积运算.既然是一串内积运算，则我们可以试图用矩阵表示上述过程。

[ 2 3 1 0 0 0]

[ 0 2 3 1 0 0]==A

[ 0 0 2 3 1 0]

[ 0 0 0 2 3 1]

[0 0 2 5 0 0]' == x

b= Ax=[ 2 11 19 10]'

采用行的观点看Ax,则b的每行都是一个内积。

A的每一行都是序列[2 3 1]的一个移动位置。

---------

显然,在这个特定的背景下,我们知道,卷积满足交换,结合等定律,因为,众所周知的,多项式的乘法满足交换律,结合律.在一般情形下,其实也成立.

在这里,我们发现多项式,除了构成特定的线性空间外,基与基之间还存在某种特殊的联系,正是这种联系,给予多项式空间以特殊的性质.

在学向量的时候，一般都会举这个例子，甲有三个苹果，5个橘子，乙有5个苹果，三个橘子，则共有几个苹果，橘子。老师反复告诫，橘子就是橘子，苹果就是苹果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和苹果无论怎么加，都不会出什么问题的，但是，如果考虑橘子乘橘子，或者橘子乘苹果，这问题就不大容易说清了。

又如复数,如果仅仅定义复数为数对（a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。实际上，只要加上一条(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

则情况马上改观，复变函数的内容多么丰富多彩，是众所周知的。

另外，回想信号处理里面的一条基本定理,频率域的乘积,相当于时域或空域信号的卷积.恰好跟这里的情形完全对等.这后面存在什么样的隐态联系,需要继续参详.

从这里看,高等的卷积运算其实不过是一种初等的运算的抽象而已.中学学过的数学里面，其实还蕴涵着许多高深的内容（比如交换代数）。温故而知新,斯言不谬.

其实这道理一点也不复杂，人类繁衍了多少万年了，但过去n多年，人们只知道男女媾精，乃能繁衍后代。精子，卵子的发现，生殖机制的研究，也就是最近多少年的事情。

孔子说，道在人伦日用中，看来我们应该多用审视的眼光看待周围，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。

浅析卷积

“卷积”是什么？ 卷积的实质是加权平均，卷积的重要性在于它是频域上的乘积！连续空间的卷积定义是f(x)与g(x)的卷积是f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的. 实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t 就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.实际上为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色（Filter），另一个则扮演被平均的角色（图像）。 把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是 图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷 积核做一个矩阵的形状.（以下两个是动态图，文档没有显示出来效果，详见下面网址） https://www.doczj.com/doc/9a11469116.html,/s/blog_6819cb9b0100m3rz.html

首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为 w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。 此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。 这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是 ......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......， 另一个序列是 .....,x_1,x_2,x_3,...... 将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。 但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier 变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！ 形象的小例子来解释一下卷积： 比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！ 如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程

方程的意义,解方程

数学(人新):方程的意义;解方程 【本讲教育信息】 一、教学内容: 1、方程的意义 2、解方程 二、教学重点与难点: 1、方程的意义 教学重点:方程的概念。 教学难点:方程与等式之间的关系。 2、解方程 教学重点:初步了解方程的意义,初步理解等式的基本性质。 教学难点:能用等式的性质解简易方程。 简要知识介绍: 关于方程与解方程的知识,在初等代数中占有重要的地位。中小学生在学习代数的整个过程中,几乎都要接触这方面的知识。所以,方程概念的建立还就是非常重要的。在本节学习的内容比较多,这些内容之间的逻辑联系如下面的图: 概念:方程→方程的解→解方程 原理:等式的基本性质 解方程的知识基础首先就是方程概念与等式性质概念的建立,在这二者的基础上根据等式的性质正确地对方程进行求解。 知识教学: (一)建立方程的概念。 1、建立等式与方程的概念 问:天平就是干什么用的？猜想天平称物体的时候会出现什么情况？ 追问:不平衡说明什么？天平平衡说明什么？ 在数学上可以用什么进行表示？(等号) 2、用算式表示下面的测量过程。 左右20克、30克 50克 20＋30＝50 30克、10克 50克 30＋10＜50 2个50克 100克 50×2＝100 50克x克 100克 我知道现在天平就是平衡的,您能表示现在的关系不？50＋x＝100 3、把我们研究的几个算式进行分类。 20＋30＝50 30＋10＜50 50×2＝100 50＋x＝100 第一类:20＋30＝50 50×2＝100 50＋x＝100 第二类:30＋10＜50 小结:表示左右两边相等的式子就就是等式。

说明:今天我们的问题就就是在等式的范围里进行的。 再次把等式进行分类。 第一类:20＋30＝50 50×2＝100 第二类:50＋x＝100(含有未知数) 小结:含有字母的等式叫方程。 追问:判断方程要具备什么条件？(等式、未知数) 4、方程与等式的关系 小结:方程就是特殊的等式。 5、认识解方程与方程的解的概念。 50＋x＝100(x＝50) 小结:使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 这个求解的过程就就是解方程。 (二)学习等式的性质。 1、建立等式性质的概念。

卷积的物理意义

卷积的物理意义 卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢? 卷积表示为y(n) = x(n)*h(n) 使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。 同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on; 其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。 假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。 再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的?“残留影响”有关。 当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。 对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算

伯努利方程的讨论

对伯努利方程的一些讨论 〔摘要〕伯努利方程是能量方程,推导过程有多种途径,本文从动力学角度根据功能原理推导伯努利方程,只研究理想流体在作定常流动时伯努利方程的推导过程,并讨论在不同条件下方程中各项的物理意义,然后讨论了伯努利方程中“动压强”的意义以及“动压强”和“静压强”的关系。最后列举了伯努利方程在生产生活中的应用. 〔关键词〕动力学;功能原理;伯努利方程，动压强 一、引言 流体力学是探索自然规律的基本学科,是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系,以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响.而伯努利方程是研究流体最基本最常用的基本规律之一,为灵活掌握并更好的运用,需了解它的推导过程及相关项的物理意义. 二、伯努利方程的历史由来 1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根，由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。1716～1717年在巴塞尔大学学医；1718～1719年在海德堡大学学习哲学；1719～1720年又在斯特拉斯堡大学学习伦理学，此后专攻数学；1721年他获得了医学大学学位；1725～1732年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院工作，并担任数学教师；1733～1750年他担任了巴塞尔大学的解剖学、植物学教授；1750年丹尼尔又任物理学教授和哲学教授，同年被选为英国皇家学会会员；1782年3月17日逝世于巴塞尔，终年82岁。丹尼尔是伯努利家庭中成就最大的科学家。他在数学和物理学等多方面都做出了卓越的贡献，仅在1725年到1749年间就曾10次获得法国科学院年度资助，还被聘为圣彼得堡科学院的名誉院士。在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程等多学科的内容，取得了重大成就。在物理学方面，丹尼尔所取得的成功是惊人的。其中对流体力学和气体动力学的研究尤为突出。1738年出版的《流体力学》一书是他的代表著作。书中根据能量守恒定律解决了流体的流动理论，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的重要基本定理之一。丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来。他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致。丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义。

大学物理第六章题解

第六章 经典质点系动力学 6-1．如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止开始到下，试判断 质心C 的运动方向． 解 建立如图x 轴，由于水平方向外力分量之和为零 0ix F =∑， 所以水平方向动量守恒x P C =．因初始时静止，故 0x Cx P mv == 由d 0d C Cx x v t ==，可知C x =常量，质心C 竖直向下运动． 6-2．如图，船的质量为5000kg ，当质量为1000kg 的汽车相对船静止时，船尾螺旋桨的转动可使船以加速度20.2m s 前进．在船行进中，汽车相对于船以加速度20.5m s 沿船前进的相反方向加速运动，求此时船的加速度的大小． 解 将船与汽车作为质点系．当汽车相对于船静止时，船的 加速度即为质点系质心的加速度，根据质心运动定理可知船尾螺 旋桨转动时的推力 ()=(50001000)021200(N)e C F ma .=+?= 在船的行进过程中，以船的行进方向为x 、x '轴正方向．设船相对于岸的速度、加速度用x 、x 表示，汽车相对于船的速度、加速度用x '、x '表示，则汽车相对于岸的速度、加速度为x x '+、x x '+．根据质点系的动量定理 ()d [()]d e m x m x x F t '++=船车 即 ()()]e m x m x x F '++=船车 500010001000051200x x .+-?= 可求出此时船的加速度的大小2028m s x .=． 6-3．三只质量均为0m 的小船鱼贯而行，速率都是v ，中间一船同时以相对本船的速率u 沿水平方向把两个质量均为m 的物体抛到前后两只船上，求两物体落入船后三只船的速率（忽略水对船的阻力）． 解 以船行方向为速度正方向，设两物体落入船后三只船的速率为1v 、2v 、3v ． 以中间船及两物体为质点系，因为在抛出物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒 00222(2)()()m m v m v m v u m v u +=+++- 所以 2v v = 以前船与抛入物体为质点系，因为在抛入物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒 001()()m v m v u m m v ++=+ 所以 10mu v v m m =++ 以后船与抛入物体为质点系，同样，根据质点系水平方向动量守恒 003()()m v m v u m m v +-=+ 30mu v v m m =- +

解简易方程——方程的意义 教案和反思_教案教学设计

解简易方程——方程的意义教案和反思教学目标： 1、知识与技能：让学生理解方程的意义，知道什么是方程的解，什么是解方程，并弄清等式与方程的关系。 2、过程与方法：会判断什么是方程，会解一步计算的方程，并会检验方程的解。 3、情感态度与价值观：让学生养成良好的检查、验算的习惯，培养学生的分析能力、观察能力。 教学重点：理解方程的意义，初步掌握解方程的方法和书写格式。 教学难点：方程的解和解方程两个概念间的联系及区别，并会应用。 教具准备：课件、白纸 教学过程： 一、激情导入 1、游戏引出课题： 师：小朋友们，我们来做个游戏吧！老师来说一个词语，你们反这个词语反一反说出来，好吗？看谁反应快！ 父母的爱——爱父母；动物的画——画动物； 节目的表演——表演节目；生命的感悟——感悟生命；朋友的理解——理解朋友； 朋友的善待——善待朋友；亲人的召换——召换亲人；儿女的担忧——担忧儿女

问题的答——答问题；方程的解——解方程； 引出课题：板书“方程的解解方程” 这节课我们来研究这里面的知识。 二、讲解概念“等式、方程” 1、找朋友： 师：刚才我们玩的这个游戏中，找到了好几对文字上的朋友。 下面，请你来帮这些式子或数字找找朋友，你愿意吗？ 生：愿意。 ①、出示课件：同桌之间说一说；指名回答，根据学生回答再次出示课件。 师：这几对好朋友都有什么特点呢？ 生：它们相等。（关键引出“相等”） 师：除了把它们用线连起来，还可以用什么方法来表示它们之间是相等的呢？ 生：列成一个式子。 学生口答列式，师边板书：80－20=60 2+0.5=2.5 30÷15=2 30×2=60 师：像这样用等号连接起来的，表示左右两边相等的式子，我们把它们取名叫等式。 师：你能举例说几个等式吗？

卷积物理意义

卷积的物理意义 进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。 首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞ ?∞=?∫。从直观上理解 这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。 在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励） r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应) 如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。简而言之，就是某一时刻的状态量取决于所有时刻的作用效果以某种方式累积起来的结果。这样就应该解释清了卷积这一数学概念最本质的物理意义。 下面举个例子，比如00()()*()()r t e t t t e t t δ=?=?这个公式，将该公式 变化得到00()()()()r t e t t d e t t τδττ+∞ ?∞=??=?∫，由上式可以看出只有当

大学物理演示实验报告：基于电磁学验证流体力学伯努利方程实验

物理演示实验报告物理演示实验自主设计方案

本物理演示实验根据流体流速与压强的关系以及电磁铁的相关性质验证流体力学中伯努利原理 )(2 112111为常数C C gh v p =++ρρ(1)当外界环境被选定后，常数C 可以表示为 gh v p C 2222221ρρ++=(2)将(1)式与(2)式联立，可以得到 gh v p gh v p 22222121112 121ρρρρ++=++(3)这就是我们所说的伯努利方程，下面我们来验证这一原理。 在中学阶段，我们已经知道流体流速越大的地方压强越小这一流体学基本关系。为了验证流速与压强的具体关系，我们不妨选择空气流作为实验流体，大气压强作为外界标准压强，由基本数据可知标准大气的密度ρ=1.29kg/m 3 (温度为0℃，标准大气压p 0=101kpa)，我们只需要测量出流体的某一流速v 以及在该流 速下的压强p 1。进而将p 1,v 代入伯努利方程左右两端，验证等式是否成立。 此时，由于选定的外界是标准大气，故验证的等式为 02121p v p =+ρ(4)下面我们需要清楚流速与该流速下的流体压强的测量原理。 首先我们先测量流速。由于流体是以风的形式存在的，因此我们使用鼓风机作为风的发生装置。我们采取简易风车来测量风速。选择该风车的前提是在无风环境下风车能够静止即处于平衡状态，并且在受到风力时可以较为灵敏地进行转动，即摩擦阻力越小越好。设风车的转动半径为R，风车转动角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系有 ωR v =(5) 其中ω可以通过风车的转速n 来测量，即 n πω2=(6) 联立(5)(6)两式，这样我们可以较为准确地得出流速v 的大小为 Rn v π2=(7) 接下来，我们来测量该流速下的压强。该压强的测量需要运用电磁铁以及压一、演示物理原理简介（可以配图说明）

五年级数学：解简易方程-方程的意义 教案和反思

小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学五年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

解简易方程-方程的意义教案和反思 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学五年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标： 1、知识与技能：让学生理解方程的意义，知道什么是方程的解，什么是解方程，并弄清等式与方程的关系。 2、过程与方法：会判断什么是方程，会解一步计算的方程，并会检验方程的解。 3、情感态度与价值观：让学生养成良好的检查、验算的习惯，培养学生的分析能力、观察能力。 教学重点：理解方程的意义，初步掌握解方程的方法和书写格式。 教学难点：方程的解和解方程两个概念间的联系及区别，并会应用。 教具准备：课件、白纸 教学过程： 一、激情导入 1、游戏引出课题：

师：小朋友们，我们来做个游戏吧！老师来说一个词语，你们反这个词语反一反说出来，好吗？看谁反应快！ 父母的爱——爱父母；动物的画——画动物； 节目的表演——表演节目；生命的感悟——感悟生命；朋友的理解——理解朋友； 朋友的善待——善待朋友；亲人的召换——召换亲人；儿女的担忧——担忧儿女 问题的答——答问题；方程的解——解方程； 引出课题：板书“方程的解解方程” 这节课我们来研究这里面的知识。 二、讲解概念“等式、方程” 1、找朋友： 师：刚才我们玩的这个游戏中，找到了好几对文字上的朋友。 下面，请你来帮这些式子或数字找找朋友，你愿意吗？ 生：愿意。 ①、出示课件：同桌之间说一说；指名回答，根据学生回答再次出示课件。 师：这几对好朋友都有什么特点呢？ 生：它们相等。（关键引出“相等”）

FFT结果的物理意义

FFT结果的物理意义 最近正在做一个音频处理方面的项目，以前没有学过fft，只是知道有这么个东西，最近这一用才发现原来欠缺这么多，最基本的，连fft的输入和输出各自代表什么都不知道了，终于在网上查到这样的一点资料，得好好保存了，也欢迎大家分享。 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos参数为弧度，度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

流体力学【关于伯努利方程的应用】

工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日

关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：

适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ

方程的意义和解简易方程

方程的意义和解简易方程 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 教学内容：（教材第105一107页，练习二十六）。 教学要求： 1．使学生理解和掌握等式及方程、方程的解和解方程的意义，以及等式与方程，方程的解与解方程之间的联系和区别。 2．使学生理解并掌握解方程的依据、步骤和书写格式，培养良好的解题习惯。 教具： 教学天平、小黑板。 学具： 自制的简易天平、定量方块。 教学步骤： 一、复习 1．根据加法与减法，乘法与除法的关系说出求下面各数的方法。 （1）一个加数＝（）○（） （2）被减数＝（）○（）

（3）减数＝（）○（） （4）一个因数=（）○（） （5）被除数＝（）○（） （6）除数=（）○（） 2．求未知数X（并说说求下面各题X的依据）。 （1）20十X=100 （2）3X＝69 （3）17—X=0。6 （4）x÷5＝1。5 二、新授 1．理解和掌握“方程的意义”。 （1）出示天平，介绍使用方法（演示）后，设问：在天平两边放物体，在什么情况下才能使天平保持平衡？ （两边的物体同样重时，天平才能保持平衡。） （2）演示：在左边放两个重物各20克和30克，右边砝码也是50克，让学生观察，天平是平衡的。说明了什么？怎样用式子表示？ 板书：20十30＝50 指出：表示左右两边相等的式子叫等式。 （并板书）等式：表示等号两边两个式子的相等关系，即等式是表示相等关系的式子。 （3）教学例2（课本105页）。 ①教师继续演示，调整，在左盘放一20克的重物

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏

变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数

解简易方程——方程的意义 教案和反思

解简易方程——方程的意义教案和反思Solving simple equation -- the meaning of equ ation teaching plan and reflection

解简易方程——方程的意义教案和反思 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标： 1、知识与技能：让学生理解方程的意义，知道什么是方程的解，什么是解方程，并弄清等式与方程的关系。 2、过程与方法：会判断什么是方程，会解一步计算的方程，并会检验方程的解。 3、情感态度与价值观：让学生养成良好的检查、验算的习惯，培养学生的分析能力、观察能力。 教学重点：理解方程的意义，初步掌握解方程的方法和书写格式。 教学难点：方程的解和解方程两个概念间的联系及区别，并会应用。 教具准备：课件、白纸 教学过程： 一、激情导入 1、游戏引出课题：

师：小朋友们，我们来做个游戏吧！老师来说一个词语，你们反这个词语反一反说出来，好吗？看谁反应快！ 父母的爱——爱父母；动物的画——画动物； 节目的表演——表演节目；生命的感悟——感悟生命；朋友的理解——理解朋友； 朋友的善待——善待朋友；亲人的召换——召换亲人；儿女的担忧——担忧儿女 问题的答——答问题；方程的解——解方程； 引出课题：板书“方程的解解方程” 这节课我们来研究这里面的知识。 二、讲解概念“等式、方程” 1、找朋友： 师：刚才我们玩的这个游戏中，找到了好几对文字上的朋友。 下面，请你来帮这些式子或数字找找朋友，你愿意吗？ 生：愿意。 ①、出示课件：同桌之间说一说；指名回答，根据学生回答再次出示课件。 师：这几对好朋友都有什么特点呢？ 生：它们相等。（关键引出“相等”） 师：除了把它们用线连起来，还可以用什么方法来表示它们之间是相等的呢？ 生：列成一个式子。

图像傅里叶变换的物理意义

傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量

卷积公式

卷积公式 卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。 卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54) 卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？ 卷积表示为y(n) = x(n)*h(n) 假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表

述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。 再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。 当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。 对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算而已。就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。 在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。 学过信号与系统的都应该知道，时域的卷积等于频域的乘积，即有 Y(s)=F(s)×H(s)。（s=jw，拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式） 有一点你必须明白，在通信系统里，我们关心的以及要研究的是信号的频域，不是时域，原因是因为信号的频率是携带有信息的量。 所以，我们需要的是Y(s)这个表达式，但是实际上，我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系，就要用到卷积运算。 系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。建议你去看看定积分的内容。特别注意的是：概念中冲击函数的

伯努利原理讲解

伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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