“卷积”是什么？ 卷积的实质是加权平均，卷积的重要性在于它是频域上的乘积！连续空间的卷积定义是f(x)与g(x)的卷积是f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的. 实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t 就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.实际上为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色（Filter），另一个则扮演被平均的角色（图像）。 把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是 图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷 积核做一个矩阵的形状.（以下两个是动态图，文档没有显示出来效果，详见下面网址） http://blog.sina.com.cn/s/blog_6819cb9b0100m3rz.html
首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为 w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。 此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。 这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是 ......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......， 另一个序列是 .....,x_1,x_2,x_3,...... 将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。 但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier 变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！ 形象的小例子来解释一下卷积： 比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！ 如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性
实验对理论物理学家的重要性 摘要理论物理学家是个特殊群体，表面上他们可以象数学家那样，不必从事实验研究。事实上有些理论物理大师虽然素以不擅长实验而著称，甚至有些人的某些言论更令人费解。但析其言观其行，结果表明：实验对理论物理学家至关重要，理论物理离不开实验。 关键词理论物理；实验；直觉 一．引言 从历史上看，早期的物理学实验与理论是合而为一的，每一个物理学家既从事实验研究，也进行理论探索。如伽利略和牛顿。但随着物理学的进一步发展，物理学家也出现了分工，有的专门从事实验工作，有的专门从事理论研究。到了二十世纪，费米成为仅有的在理论和实验方面都有非凡才能并获得杰出成就的伟大物理学家。有人断言，能象这样既专于实验又长于理论者，“费米是最后一人”[1]。一个事实是，有些物理学家，如泡利、海森堡、杨振宁等在物理学界素以不擅长实验而著称，但并没妨碍他们对物理学做出巨大贡献成为物理学大师级人物。另外有些物理学家如爱因斯坦有的言论若不细加分析也会使人们对实验的重要作用产生怀疑。 二．爱因斯坦等对实验看法的表述 爱因斯坦曾反复思索数学与实在的关系：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，…还有一个理由那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”[2]于是他产生困惑：“数学既然是一种同经验无关的人类思维的产物，它怎么能够这样美妙地适合实在的客体呢？那么，是不是不要经验而只靠思维，人类的理性就能够推测到实在事物的性质呢？”[2]经过分析他说：“…我们不得不倾向于下面这个更一般的观点，这是彭加勒观点的特征。几何（G）并不断言实在事物的性状，而只有几何加上全部物理定律（P）才能做到这点。用符号来表示，我们可以说：只有（G）+（P）的和才能得到实验的验证。因此，（G）可以任意选取，（P）的某些部分，也可以任意选取；所有这些定律都是约定。”[2]“我认为，从永恒的观点来看彭加勒是正确的。”[2]更一般地，爱因斯坦认为，作为物理学理论根本部分的基本概念和基本原理都“不是理性所能触动的”，而都是“人类理智的自由发明”，“具有纯粹虚构的特征。”[3]就概念而言，“一切概念，甚至那些最接近经验的概念，从逻辑观点，完全象因果性概念一样，都是一些自由选择的约定，…”[3]进一步“概念体系连同那些构成概念体系结构的句法规则都是人的创造物。”[3]“事实上，我相信，甚至可以断言：在我们的思维和我们的语言表述中所出现的各种概念，从逻辑上来看，都是思维的自由创造，它们不能从感觉经验中归纳地得到。”[3]物理学基础可任意地选取约定，具有虚构的特征以及都是思维的自由创造等等提法显然与以物理学为代表的自然科学追求自然界具有“真”的特征的客观规律的宗旨至少表面上有一定偏差。难道爱因斯坦的科学贡献真的就是在这些观点的指导下做出的吗？
卷积的物理意义 卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢? 卷积表示为y(n) = x(n)*h(n) 使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。 同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on; 其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。 假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。 再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的?“残留影响”有关。 当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。 对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知
初中物理实验心得体会 一：初中物理实验心得体会 要学好任何一门课程，都要有适合自己的、良好的学习方法，只有这样才会得到事半功倍的学习效果。要学好物理课，首先要重视各学科的横向关联作用，比如：语文的阅读能力就直接影响物理知识的学习和对物理概念的理解程度；数学知识在物理课中有目的迁移应用就是物理学习中的计算能力。第二要重视物理是一门实验科学，要有意识、有目标的培养自己的观察能力和实验操作能力，以及实事求是的科学态度。第三要重视在群体学习过程中树立独立思考、分析、归纳结论的意识，要自我培养良好的独立作业能力。第四要重视探索自己学习道路上的未知领域，学会科学的探索，严谨的分析是打开未知领域之门的金钥匙。 下面就如何学好初二物理提出几项建议： 1.学会使用物理课本初中物理课要学习的全部内容是什么?初二物理课要学习初中物理课程中的哪些部分?物理课上老师会先讲些什么、后讲些什么?对新开的一门课程，同学们的脑海中会有一连串的问号，并且很想知道答案。这并不难，随着学习进程每个问题都会得到答案。关键是作为学生，是被动地等待答案，还是主动地探求去寻找答案，对!当然是做后者。开学初，每位同学都会得到各学科的课本，初二的学生手中自然就会比初一时多出我们需要的《物理》课本。打开课本，同学们的某些浅显问题的答案就在眼前。物理课本是我们学习物理的依据，是同学们学习物理的向导。同学们要学会通过课前看物理课本而了解上物理课时老师要讲的内容，知道上物理课时，针对所学环节听什么，使学习过程是有目的的行为。通过课中随着老师的引导看物理课本，达到认知知识、理解知识要点的目的。通过课后看物理课本，达到复习巩固知识，学会初步应用知识解答问题的目的。物理课本中有大量的依据物理现象进行分析推论物理结论的课文，同学们认真阅读后会发现，这些课文不仅能使你们浅显地认识物理知识，还会使你们很好地组织出解答物理问题的论述语言，这是解答物理简述题的语言之源。在我们学习了一些可用数学表达式书写的物理规律之后，同学们会在物理课本中阅读到一些典型例题的解题分析、解题过程。这是解答物理计算题的范例，要很好地阅读、细心地反复阅读，这是分析能力、综合应用知识能力的良好培养过程，这个过程，可以使同学们对物理计算题的解题能力提高，书写格式掌握，收到水到渠成的效果。物理课本中有一些引导同学们思考的小标题和小实验的课题，在学习时间宽松时不妨读一读，它会使你们眼前一亮。同学们的物理思维会得到扩展，对知识的理解会深化。 2.明确学习目标，注重理解物理概念做任何事情都要有预期目标和要达到的目的，否则会迷失前进的方向，学习知识亦如此。青少年时期的初二学生有着广泛的好奇心，
让学生经历从自然到物理、从生活到物理的认识过程，经历基本的科学探究实践，使学生得到全面发展，成为新课程标准的新要求。 事实证明，实验教学更有利于学生各方面能力的培养。由于我们长期徘徊在“做实验不如讲实验，讲实验不如背实验”的老路中，把演示实验甚至学生实验课作为讲读课来上，根本谈不上什么探索性、开放性的实验课，从根本上有悖于新课标的要求，导致在物理的学习中很多同学产生了“四难”情绪，即难听、难学、难考、难用。如何才能解决这一难题呢？其重要途径就是实验教学，在此我想谈谈实验在教学中所起的作用。 一、物理实验能提高学生的学习兴趣 物理世界是一个充满神奇和兴趣的世界，大量的物理实验能显现多种奇异的物理现象，能折射出五彩斑斓的美丽图景，能激发学生学习物理的兴趣。例如鸡蛋放入水中要下沉，这是学生们常见的现象，可是当教师把鸡蛋放入装有浓盐水的玻璃水槽中时，鸡蛋竟浮在水面上，这时再往水槽中加一些清水，鸡蛋又会下沉，然后再加些细盐并轻轻搅拌，如果浓度适中的话，鸡蛋竟会停留在盐水中间。当学生们看到这些现象，就渴望知道“为什么”，这样引入就会引起浓厚的学习兴趣，从而收到事半功倍的效果。 二、实验教学有助于学生的感知和认识 在学习过程中，普遍认为概念和规律难以理解和掌握。对于这些难于理解的概念和规律，教师应一开始就让学生通过动手实验观察现象、分析推断，这样问题会变得简单明了。如学习滑轮一节，对于绳子自由端移动的距离与物体移动距离的倍数关系，学生很不好理解，教师可发给每个实验小组一把刻度尺、滑轮、钩码、细绳，让他们实际测量，这样会使学生获得清晰的认识，加深印象。 三、物理实验能培养学生的能力 培养学生实验能力是我国近些年来物理教学改革的重点内容之一。因此在实验的过程中要培养学生多方面的能力： 1.培养学生敢对身边的现象提出问题的能力 重视培养学生会提出问题的意识与能力，是促进学生自主学习能力进化的重要手段。例如测量小灯泡的电阻时，首先让学生观察桌子上不同型号的小灯泡，让学生提出自己想要知道的问题：（1）灯泡为什么能发光？（2）灯泡是用什么材料制成的？（3）灯泡有电阻吗？（4）灯泡的灯丝与定值电阻有什么不同？通过教师与学生的讨论引导学生发现问题，最终指向课堂所要探究的问题：测量小灯泡的电阻。 2.培养学生勇于猜想和假设的能力 教师在备课的过程中，要特别注意物理情境的设计，搭好台阶以帮助学生进行合理的猜想。如在《凸透镜的成像规律》的教学中，教师首先用实验创设情境：将点燃的蜡烛放在凸透镜前，使烛焰的像清晰地成在墙壁上，然后教师再改变蜡烛与凸透镜的距离，使像清晰地成在墙壁上。有了合理有趣的情境创设，加上教师巧妙的引导，学生的猜想也就不再会漫无边际，在课堂上学生的猜想和他说出的猜想依据会不时给教师带来惊喜。3.培养学生的实验设计能力 猜想实验方案的设计就是根据实验探究的目的和现有的实际条件来制定完成实验目的的具体计划。这个对于现在的学生来说是个大问题，很多学生不知道如何进行。所以老师要在教学过程中慢慢地培养学生的这种能力，包括器材的选择、器材的装配、具体的实验步骤和计划、科学探究方法的选取、实物的简化等。
信息与通信工程学 院实验报告 课程名称:数字信号处理 实验题目:卷积定理 指导教师: 班级: 学号: 学生姓名: 一、实验目的与任务 通过本实验,验证卷积定理,掌握利用DFT 与FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘,因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积,当满足121-+≥N N L 时,线性卷积等于圆周卷积,因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 与)(n h ,用图解法求出两者的线性卷积与圆周卷积; 2. 编写程序计算线性卷积与圆周卷积; 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果,分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==,点数N=18,分别用conv()函数与FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下: clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度与 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X 、*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT z1=ifft(Z); figure('numbertitle','off','name','1605034243刘桢'); subplot(221),stem(x);axis([1 N -inf inf]);title('序列 x'); subplot(222),stem(y);axis([1 N -inf inf]);title('序列 y'); subplot(223),stem(z);axis([1 N -inf inf]);title('直接卷积'); subplot(224),stem(z1);axis([1 N -inf inf]);title('N=18 点的圆周卷积'); 成绩
卷积的物理意义 进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。 首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞ ?∞=?∫。从直观上理解 这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。 在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励） r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应) 如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。简而言之，就是某一时刻的状态量取决于所有时刻的作用效果以某种方式累积起来的结果。这样就应该解释清了卷积这一数学概念最本质的物理意义。 下面举个例子，比如00()()*()()r t e t t t e t t δ=?=?这个公式，将该公式 变化得到00()()()()r t e t t d e t t τδττ+∞ ?∞=??=?∫，由上式可以看出只有当
实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验设备 1、计算机 2、Matlab7.0以上版本 三、实验内容 1、对于给定的时域离散信号会进行频谱分析，即序列的傅里叶变换及其性质分析。 2、对于离散系统会进行频域分析及Z 域分析。包括频谱特性、零极点画图、稳定性分析。 3、对于差分方程会用程序求解，包括求单位冲击序列响应，零输入响应、零状态响应、全响应，求其系统函数，及其分析。 4、信号时域采样及其频谱分析，序列恢复。 5、扩展部分主要是关于语音信号的读取及其播放。 四、实验原理 1、序列的产生及运算 在Matlab 中自带了cos 、sin 、exp （指数）等函数，利用这些函数可以产生实验所需序列。 序列的运算包括序列的加法、乘法，序列)(n x 的移位)(0n n x -，翻褶)(n x -等。序列的加法或乘法指同序号的序列值逐项对应相加或相乘，但Matlab 中“+”“.*”运算是对序列的值直接进行加或乘，不考虑两序列的序号是否相同，因此编程时考虑其序号的对应。 2、序列的傅里叶变换及其性质 序列的傅里叶变换定义：)(|)(|)()(ω?ωωω j j n n j j e e X e n x e X ==∑∞-∞=-，其幅度特性为|)(|ωj e X ， 在Matlab 中采用abs 函数；相位特性为)(ω?，在Matlab 中采用angle 函数。 序列傅里叶变换的性质：
FFT结果的物理意义 最近正在做一个音频处理方面的项目，以前没有学过fft，只是知道有这么个东西，最近这一用才发现原来欠缺这么多，最基本的，连fft的输入和输出各自代表什么都不知道了，终于在网上查到这样的一点资料，得好好保存了，也欢迎大家分享。 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos参数为弧度，度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
思想实验在物理学中的地位和作用 一、引言： 物理学从本质上看是一门实验科学。物理实验在物理学的发展和物理学教育中占有重要地位。可以说，离开了物理实验，就无法了解物理学。正因为如此，在物理学的研究和教学中，对于物理实验历来十分重视，无论从实验的设计、仪器的制作和调试，还是到实验过程的控制、实验结果的分析等各个环节，都强调一丝不苟。想比之下，对于与此有关联的思想实验却介绍不多。因此，对物理学中的思想试验进行纵向的历史考察，横向的比较研究，是十分必要的。有助于物理学的研究和教学。 二、思想实验的一般考察 伽利略是位近代物理学的先驱者。他对物理学作出了多方面的贡献。其中，他发现的落体定律和惯性定律，为近代物理学提供了两快坚固的基石。伽利略的成功，得益于他率先采用了科学的物理实验，更得益于他独创的物理实验与思想实验相结合的科学方法。伽利略的出色工作，表明了他既是一位物理学的大师，也是一位进行思想实验的先驱。 众所周知，在相当长的一段时间内，人们对于力和运动等物理现象、物理规律的认识，一直受到亚里士多德学说的束缚。亚里士多德认为：物体运动速度的大小和有无，是由它是否受力以及力的大小直接决定的；地面上轻重不同的物体下落速度不同；重物下落较快，轻物下落较慢，对此也曾有人反对过他的错误说法，但都因为没有确切的实验和理论的认证，所以没有被人重视。第一个成功的打破亚里士多德的错误权威的正是伽理略。伽利略巧妙地运用思想实验否定了这一统全欧洲近两千年的错误理论。 物体下落的速度和物重成正比。伽利略在他的著作《关于两种新科学的谈话和数学证明》中写道：“我十分怀疑亚里士多德曾用实验验证过。当两个石头，一个的重量是另一个的10倍，从同一高度，如100库比特，下落时，其速度的差别会达到这样的程度，以致前者着地时，后者还不超过10库比特。”加利略紧紧抓住这一疑点，设计了思想实验来进行分析和论证。他指出：如果亚里士多德的论断成立的话，即重物比轻物体下落得快，那么，当重物体和轻物体绑在一起下落时，由于快的受慢的阻碍而减慢。慢的受快的驱使而加快，其结果绑在一起的物体下落速度一定介于原来两个物体的速度之间，即小于原来重物体下落的速度。但是，两个物体绑在一起就成了一个复合体，它比原来的重的物体还要重，按亚里士多德的论断复合体下落的速度要大于原来重物体下落的速度，这就和上面的结论相矛盾了。由此可知，重物体下落不会比轻物体下落的快，二者下落的速度应该是相等的。正是这一思想实验，坚定了伽利略落体实验的信心和决心。 在否定了亚里士多德的落体定律之后，伽利略进一步对自由落体运动进行了定量研究。他根据对自由落体运动的定性观察结果：速度越来越快的基础上，假设自由落体运动是一种匀加速运动，在1590—1592年期间进行了大量的落体实验。但在当时的测试条件下，不可能立即用实验来证实这一假设，伽利略便用思想实验与真实实验相结合的方法解决这个难题。他借助于数学，求出了从静止开始的匀加速运动的距离s与时间t的关系，即：s/t2=常量.这时不包括任何速率，只要直接测定s和t就行了。 但是，物体的自由下落还是太快了，在当时无法精确测定。伽利略想用不太快的运动来测量，即用斜面代替落体实验，经过多次的反复实验测定，得到如下结果： （1）当斜面倾角固定时，球滚过的距离s与所用时间t的平方之比为一常数，即：s/t2=c. （2）改变斜面的倾角，s/t2的值随之改变，但小球通过的距离与时间平方成正比关系不变，变化的仅是比例常数。 伽利略用思想实验把这个结果推向极端——当倾角为90o时。即物体作自由落体时，这个论断也成立。他由此得出结论，自由下落运动是匀加速运动。
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏
变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数
2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是
物理实验的意义和作用 （一）物理实验的作用 1.为发展物理规律提供丰富的感性材料。 2.检验物理理论假说的正确性。 3.开拓物理应用的新领域。 （二）、物理实验在教学中的作用 1.可以使学生获得丰富的感性认识，加深学生对物理概念、原理和定理的理解。 2.可以培养学生的观察实验能力、思维能力，发展学生智力。 3.可以使学生初步了解物理学的思想方法、研究方法，培养学生事实求是的科学态度和遵守纪律、爱护仪器的优良品质。 （三）、中学物理实验方式 1.演示实验 2.边教边实验（课堂实验） 3.分组实验 4.课外实验与制作 演示实验 （一）演示实验——演示实验指课堂上主要有教师操作表演的实验，有时也可以请学生充当助手或在教师指导下让学生上讲台进行操作 1.演示实验作用 （1）获得生动的感性认识，更好的理解、掌握规律。 （2）培养学生观察能力、思维能力，使学生获得有关物理现象或过程生动、深刻的印象。 （3）教师演示对学生实验技能和素养起一定的示范作用。 2.演示实验分类
（1）引入课题演示。 （2）建立概念和规律的演示。 （3）深化与巩固物理概念和规律的演示。 （4）应用物理知识的演示。 （二）演示实验在设计和表演方面的基本要求 1.明确目的，根据教学要求设计演示实验。 2.安全可靠，确保演示成功。 （1）演示成功的首要条件是掌握实验原理。 （2）坚持科学性原则，不得弄虚作假。 （3）为了确保演示成功，课前必须充分准备并进行试做。 3.简易方便。 演示实验要求简易方便，包括仪器结构简单；操作简单；由演示现象导出结论时，解说推理简单。 4.现象清楚、明显、直观。 （1）明显 （i）仪器尺寸要足够大。 (ii)物理过程变化要显著，“可见度”要高。 (iii)要使被观察的主体对比强烈，以利于学生看准目标。 (iv)演示的仪器放在适当高度的方位。 (v)注意让学生观察物理现象的发展过程。 （2）直观
傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量
