卷积的物理意义是什么？
叽叽拨叽叽丁建辉
对于初学者，我推荐用复利的例子来理解卷积可能更直观一些：
小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下
一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是，如下表所示：
将这笔钱存入银行的一年之后，小明又往银行中存入了100元钱，年利率仍为5%，那么这笔钱按复利计算，到了第五年，将收回的钱数是，我们将这一结果作为新的
一行加入上面的表格中：
以此类推，如果小明每年都往银行中存入新的100元钱，那么这个收益表格将是这样的：
可见，最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和，即：用求和符号来简化这个公式，可以得到：
在上式中，为小明的存钱函数，而为存入银行的每一笔钱的复利计算函数。在这
里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。
为了更清晰地看到这一点，我们将这个公式推广到连续的情况，也就是说，小明在从到的这一段时间内，每时每刻都往银行里存钱，他的存钱函数为，而银行也
对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益：，则小明到时间将得到的总钱数为：
这也就是卷积的表达式了，上式可以记为。
相信通过上面这个例子，大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。下面我们再展开说两句：如果我们将小明的存款函数视为一个信号发生（也就是激励）的过程，而将复利函数视为一个系统对信号的响应函数（也就是响应），那么二者的卷积就可
以看做是在时刻对系统进行观察，得到的观察结果（也就是输出）将是过去产生的所有信号经过系统的「处理／响应」后得到的结果的叠加，这也就是卷积的物理意义了。
卷积经典例子
比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！
如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？
扔一块石头进湖里，会产生一个水波。
数学上：
好了，这时候水波就是g(t)，扔进去的石头就是一个冲击函数。
物理上：
那如果连着扔好多块呢？产生的水波就是一个个石头产生的水波的叠加吧。（图不画了自己脑补吧╮(╯_╰)╭）只是这时候因为扔进去的石头有先后顺序，最近扔进去的那块石头对现在的水波影响比较大咯。（这就是g(t)要反一下的原因，g(t)在t=0处就是石头刚扔进去
时候水的反应）
数学上：
这时候这一个个石头就是f(t)，然后现在的水波，就是这一块块石头激起的水波的叠加，也就是f(t)与g(t)的卷积，只是这个时候f(t)是一个离散的函数罢了。看，因为我们扔石头是有先后的咯，所以产生的水波叠加实际上就是一个个有时间差的g(t)的简单叠加咯。
物理上：
那那...如果我们不扔石头了，我们...尿尿呢(/ω?＼) ...尿尿也会激起水~~波~~荡~~漾~~吧_(:3 」∠)_ ...你看我们尿尿的时候，水波会不停地产生呢...
数学上：
这时候呢，我们尿的尿就是一个f(t)了...如果我们尿尿的力道忽大忽小...那么f(t)就会一会变大一会变小。（所以我们可以尿出我们想要的函数f(t)...嗯(??`ω′?)）然后这时候g(t)是什么呢。。。你可以理解为一滴尿液滴到水里产生的水波呢~~然后这忽大忽小的尿液，在湖里产生了连续不断的水波就是f(t)*g(t)，卷积啦！
（貌似暴露了我是一个男生这种事情...女生嘘嘘的时候应该不会观察水波吧...)
上面足够解释物理现象中的卷积了。。
物理意义…不知楼主问的是不是卷积在信号系统中输入输出计算的意义。我觉得要想理解好卷积首先要理解好一个和线性代数相关的概念：线性映射。
什么是线性映射呢？
设想有个向量v
通过某种映射可以从v得到w，记为
w=T(v)
如果对于任意v，T都满足线性代数里两条巨基本的性质：
1) T(u+v)=T(u)+T(v)
2) a T(v)=T(a v)
那么就称T是一个线性映射，其实就是简单的线性代数嘛
所以如果我们把输入信号和输出信号分别和v和w对应起来的话，似乎就是个线性映射系统啊。当然实际上没有这么简单，还多了那么一点东西，所以在信号与系统里，叫做线性时不变(Linear Time-Invariant, LTI)系统。
什么叫时不变呢？以冲击函数为例子说明一下，假设在t=0的位置上有个单位冲击，在某个L TI system中，造成的响应是在t=1到t=2区间上的某种曲线。
时不变的意思就是如果把这个t=0上的单位冲击移动到任意时间点，比如t0去，那么响应
的曲线也会响应地移动到t=t0+1到t=t0+2的位置上去。
结合之前线性系统的定义，整个系统是线性的，所以是线性+时不变。
其实从不太严谨的线性代数角度也可以理解线性时不变系统，本质还是线性映射。比如考虑对如下对一个向量的变换：
矩阵的特点是紧贴着对角线下的元素是1，其他的元素都是0，得到的结果是x“向下移”了一个位置。如果我们在输入信号离散的时间轴上取一段，想象每个离散的时间点就是向量的一维，那么可以把这段信号看做一个向量，用一个同样大的具有如上特点的矩阵与这个向
量相乘，得到的结果就是这个输入信号在时间轴上向后“移动了”一位，那么如果变换矩阵是如下的形式呢？
可以看到，x移动了两个单位，这似乎就是时间轴上的移动操作啊。那如果变换矩阵再换换样子呢？
是不是觉得眼熟，其实这种斜边元素相等形式的矩阵就是一个不严谨的简单的线性时不变系统。更不严谨地说，如果我们把每个时间点都理解成一个向量中的一维的话，矩阵乘法操作的本质就是将这个向量投射到对应的维上，并且矩阵中的每个向量的Norm就是投影之后的系数。
总之，这就是线性时不变，说白了还是线性两个字最重要，于是，卷积求响应就很清晰了，就是简简单单的加法而已：已知冲激信号在输出中的响应的情况下，给定一个输入信号，只要把输入信号看成一个个时间点上的冲激信号的叠加，直接在输出的t时间点上把这所有冲激信号的响应简单加起来，就可以了。
写出来的话就是：
(注意这里t和τ∈N)
对应前面解释来看，其中f(τ)是输入信号在τ位置的值，也就是和单位冲激信号的比值，作为系数，而h(t-τ)则是距离t时刻τ那么多时间点上的一个冲激信号在t时刻所对应的响应。我这里说的都是离散情况举例，连续情况可以脑补推广。总之，不严谨地说，都是线性代数。
编辑于 2014-03-03 15 条评论感谢
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北落，数学爱好者，电子工程专业
Jim Leo、judgetan、知乎用户等人赞同
有一个挺有意思的例子，我以前在万门大学童哲校长的公开课上看到的：
我们在研究一个人一天24小时肚子里还剩多少东西，记为函数（小时）
我们有如下信息：
此人吃下去的东西在肚里按指数衰减，即如果他肚子里现在有食物量 1，剩余量按消化时间的变化便是，其中为衰减常数;
此人今天吃饭的量是：在早上7点、中午12点和晚上18点各进餐，并假设在
其他时间没有吃东西。要写作函数的话，应该是，其中是Dirac脉冲函数。如果不熟悉的话，可以认为此人在饭点儿瞬间往肚子里塞那么多食物。
请看图：
图：“消化规律”
可以看到：大概五个小时肚子里的东西就差不多消化完了。
图：“今儿的吃法”
好了，我们现在看考察一下，比如说下午15点，这人肚子里还剩多少东西：
早饭吃的，经过15－7 ＝8小时的消化（按指数衰减），还剩; 中饭吃的，经过15－12 ＝ 3小时的消化，还剩；
晚饭还没吃呢，自然不算。
加起来就是：
考察任意时间，就有卷积
你可以仔细看一下，上面t＝15的情况可以从这个式子里面导出［注1］。
也请看图：
图：（上）吃法儿；（下）肚里食物量
其实在前面的讨论里面，我们把“吃饭的量”看作输入，“肚子里还剩的食物”看作输出。并且我们假设：
消化系统是线性的，即：如果（1）按吃法产生肚子里食物量变化；并且（2）按
吃法产生肚子里食物量变化，那么对任意常数a,b，按吃法会产生肚子里食物量变化.
消化系统是时不变的，即：对任意时间间隔，若按吃法产生肚子里食物量变化，则按吃法将产生肚子里食物量变化.
在这样线性时不变（Linear and Time-Invariant, LTI）系统里，上面的函数：
此人肚子的”消化规律“是系统的冲激响应；
此人今天”吃饭的量“是激励（输入）；
我们考察的肚子里”还剩的食物量“是响应（输出）。
任何一个线性时不变系统都可以由冲激响应完全描述。
它的输入输出关系正是卷积：
/*-----------------------------------------------------------*/
上面有几个参数可以变化，我们来玩一玩：
比如说：这兄弟最近消化不大好，也就是冲激响应里面的衰减系数比较小，那么会怎么样呢？
（最近消化不大好）上：吃法儿；下：肚里食物量
你可以看到前一顿儿还没消化完，就到吃下一顿了。如果按原计划吃，实在要把肚子撑坏。。（峰值大概12，比上面的结果大了很多）
再来：其实咱吃饭不用那么急，一下子就揣肚子里。比如：这兄弟花了半小时吃饭，像这样：
（花半小时吃饭，而且在正常消化状态）上：吃法儿；下：肚里食物量你可以看到，峰值（大概8）进一步减小了，细嚼慢咽就是好。
再吃慢一点呢？
（花一个小时吃饭，而且在正常消化状态）上：吃法儿；下：肚里食物量嗯，对肚子压力更小一点了。
那么过年的时候是咋样呢？
（过年的时候，每顿花三个小时，吃得多而且肠胃状态不那么好）上：吃法儿；下：肚里食物量
可以看到，这个峰值和最前面那种瞬间吃好饭的状况差不多了，而且过了半夜还没消化完。所以，不要暴饮暴食噢！
最后这一部分有点娱乐性质，主要是画图的时候玩儿上了。。哈哈
并且用线性时不变的模型来模拟人吃饭消化，可能有不妥，比如：人的胃不是线性的，因为有总容量的限制，而且估计也不是时不变，因为吃的太多时肚子消化能力大概会变弱。拿这个仅仅用于举例子咯。
希望有帮到你。也请各位朋友赐教！
/*-----------------------------------------------------------*/
［注1］t＝15的情况：
激励（输入）
冲击响应（系统）
求响应（输出）
这里用到：
当时：
注意：
编辑于 2015-04-30 26 条评论感谢
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mai qiao
曹伯谱、李敏镐、Kingil Ma等人赞同
很多数学公式，为了简洁之美，省略了原来的推导过程，省略了本应该具有不同意义的子参数，而呈现给我们的就是几个字母加上几个符号。每一个公式的出现都应该有其演变过程的，所以当我们直接看其结果，不懂其意义的时候会觉得非常别扭，总感觉一种深深的不安。在大神们的基础上，简单说下我的理解。以辐射为例，一个人在核试验室工作，需要评定工伤，测量该人的受辐射量。我们假设评定的时间日期为t，人本身是一个系统，输入是每个
工作时刻的辐射量f（），辐射量衰减函数为g（），但是衰减过程是和时间有关系的，这个时间关系是什么呢？当然是，你从受辐射到测量辐射这一过程的时间间隔（t-），所以时刻的辐射衰减函数就是g（t-）。因此在某一时刻的输入（辐射）对于系统（人）
的影响输出（体内辐射量）就是函数，而我们现在需要统计当前日
期 t 时刻的身体残留辐射量，所以要将以前所受辐射累加起来，得到卷积公式。前提是，人这一系统是线性时不变系统。欢迎大家批评指正。
发布于 2014-12-22 4 条评论感谢
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杨宇翔
Mr WC、知乎用户、朱小强等人赞同
关于卷积的物理意义，我看过以下的三个故事：
故事一：【转自人人】无意在网上看到这篇《大牛讲解信号与系统以及数字信号处理》
故事二：卷积的意义 - yeeman的专栏
故事三：关于卷积的一个血腥的讲解，看完给跪了
这三个故事中，我觉得故事三最生动形象。大概的结论就是系统某一时刻的输出是由无数个单一输入共同作用（叠加）的结果。
我主要学习的是离散时间信号的卷积（和）。我对卷积的理解主要来源于卷积的计算。冲击响应能够表征系统的特性，给定输入信号，通过计算卷积就能够获得输出信号。所以，卷积是定义LTI系统的一种方式。当然，我们还有其他描述系统的方法，例如从频域的角度。系统的频率响应可以告诉我们某个系统是一个低通滤波器或高通滤波器，但是频率响应并没有告诉我们怎么实现这个系统。但是根据卷积，我们可以写出计算机程序实现这个系统。因此，卷积也是一种计算机算法。
发布于 2014-05-23 添加评论感谢
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D Flip Flop，申请改名中，忘了打算改成啥了
许鹏、徐宁、知乎用户等人赞同
简单来说就是卷积
就是x点所受的其它所有ξ点的影响的叠加。
比如信号与系统里，LTI系统的输出就是每个时刻的输入所产生的输出的叠加。
把x(t)送入冲激响应为h(t)的LTI系统得到y(t)。
τ时刻的输入是x(τ)；τ时刻附近dτ时间的输入在t时刻产生的输出，就是把h(t)乘一个x(τ)dτ，再平移τ，就是x(τ)h(t-τ)dτ；把所有τ产生的输出叠加就是y(t) 写作
再如概率论中的全概率公式。
比如已知两个独立的随机变量X和Y的概率密度分布fx(x)和fy(y)，求Z=X+Y的密度分布。考虑X=x的条件下Y=z-x的处概率密度，正是fy(z-x)，由全概率公式，此时Z的概率密度就是所有x处fx(x)fy(z-x)叠加。
上面两个例子也可以从傅里叶变换的角度理解，因为傅里叶变换有时域卷积性质。
编辑于 2015-07-07 2 条评论感谢
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haisenberg，EE类
知乎用户、姜宏赞同
我想给小明一个嘴巴子
扇他的每个嘴巴子都是一个激励
被扇之后他的脸会肿
肿就是响应
而这个响应会随时间衰减（由系统的特性决定）
所以随时间推移小明的脸会消肿
但是这不够爽我想他的脸越来越肿
于是我在他的脸还在消肿时候不停地扇
他的脸越来越肿
总体效果等于之前我扇的每个嘴巴子产生的效果在当下这一秒的状态的叠加，就是积分
发布于 2015-07-07 添加评论感谢
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Shay LI，生于忧患，死于安乐
郭秘密、俞甁庵、郭致远等人赞同
我觉得flappy bird就是一种卷积，哈哈
编辑于 2014-05-30 3 条评论感谢
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九铭书记，知道一点微末的数学知识，一直想还原有趣…
卷积不是主要用在各种变换吗…把时间区间的变量转化成频率区间的变量，可以压缩图片，降低声音清晰度（把flac变成mp3）什么的…
发布于 2015-07-08 添加评论感谢
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林麦，怕什么真理无穷，进一寸有一寸的喜
许鹏、Pachel、Knight Blanc等人赞同
最近复习看到卷积这块儿，说说我的理解。
如果随便给你两个函数让你算卷积，其实没什么具体意义，就是用某种规则实现某种运算而已。如果要探究物理意义，那么最好把它放到一个因果稳定的系统（就是从零之后才有值，而且收敛的那种）中，从单位冲击响应h（t）来看。我们都知道，将给定的一个函数x(t)与系统的h(t)卷积，得到的就是输出y(t),这利用了LSI系统满足的叠加定理。下面解释为什么卷积一下子就是输出。
(1)对h(t)的一种理解是：它表征影响因子。所谓影响因子就是你给了一个输入，它在不同时间产生的影响力大小。首先要明白，当我们算某个时刻的响应的时候，它不仅与这个时刻的输入有关，还与之间所有在这个时刻存在影响因子的输入有关。例如，我们要求t=4时刻的输入y(4),那么
y(4)=x(4)h(0)+x(3)h(1)+x(2)h(2)+x(1)h(3)+x(0)h(4),注意，这个式子是错误的，正确的应该是无数时刻的积分，这里只领会精义就行了。看下面的图，相同颜色的是对应的输入与对应在t=4时刻的影响因子，x(4)当然对应的影响因子最大为h(0),x(3)对应的影响因子就相对小了为h(1),····x(0)对应的影响因子最小为h(4).它正好就是h(-t+4),就是反褶后右移4。为什么要反褶呢，因为隔着t=4越近的输入对应的影响因子在h(t)中隔的t=4越远，而且从上面的式子也能看出，括号里对应时刻的和为4，正好也是平移的大小。
所以说，卷积的工程意义就是指示了某个系统的响应特性，也就是在某时刻给个输入delta(t)，它接下来会做出什么反应，反应持续多久，h(t)就表征了这些，也就是在不同时刻的影响因子。
(2)以前有个讲卷积的例子还不错。比如你一次性打一个人50大板，估计他就over了，而如果分五年打完这50大板，估计他还能活蹦乱跳的（当然不排除他由于心理恐惧提前崩溃了）。为什么呢，这还是影响因子的问题。当你一次性打完的时候，几乎所有的都在以最大的影响因子叠加，超过了他的最大抗打能了，系统崩溃。当你分五年打完的时候，每次他去受打的时候，以前的伤已经痊愈了，不再有影响因子，当然在他的抗打能力之内。其实你在发送信息的时候也一样，如果隔老长时间发一个符号，解调的时候轻松多了，因为前面的对它基本没有干扰了。但是代价是可想而知的，就像求县老爷五年内打完你五十大板的难度一样。
(3)有个事儿做工程的时候一定要明白，就是你想算某个时刻，不能单看某个时刻，还得看它的前前后后。比如通信原理里讲到的码间串扰，你会发现前面无数个时刻的拖尾在影响着你算的时刻，好在抽样函数有个很好的特性就是它在kπ处有零点而且它有对称性，这样可以通过恰当的设计，抽样
解调出来。这种特性也有它好的一面，例如抽样恢复的内插函数就是利用了许多个这样的抽样函数的叠加。其实这可以看成是相关性，预测编码的时候就是利用前面的影响预测出下一
刻的输出···
(4)我之前用matlab求卷积的时候特别不理解为什么conv函数都默认从t=0开始，而无法给出输入序列的位置信息也不让你输入序列的位置信息。这么牛的一帮人为啥就不写个适应性强点儿的卷积函数呢。后来我明白了，因为我们工程上做的因果系统，所以h(t)必然是从0开始有值的，而你的输入也是从0开始的，所以默认当然就是从t=0开始的啊。所以看来只有我们才在这儿无聊地拿着两个没有意义的任意的图让你算卷积，然后老师就开始‘先反褶其中一个，再平移其中一个，求它们重叠部分的面积’，哎，只会做题不求甚解，中国的教育说多了都是泪啊~
发布于 2014-04-15 2 条评论感谢
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FinnYang，Somehow Engineer.
judgetan、Tina tamashiro、余霆嵩等人赞同
作为提问者我想对排名第一的答案进行补充，就是正确的理解自然对数e的含义，我觉得理解之后才能更好的理解排名第一的答案。
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我发现贴进来之后公式没了，请大家自动去看原文，最终的原文是英文版，有兴趣的同学直接走英文吧。
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以下全部摘自网络：
1.
e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。
它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？
维基百科说：
"e是自然对数的底数。"
但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是：
"自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。"
这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？
2.
昨天我读到一篇好文章，它把这个问题解释得非常清楚，而且一看就懂。
它说，什么是e？简单说，e就是增长的极限。
下面就是它的解释。
3.
假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。
那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：
其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。
4.
我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。
那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？
当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。
因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。
5.
有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。
假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？
回答就是271.828元，等于100个e。
但是，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利息率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢？
为了便于思考，我们取n等于50：
我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000所得到的值非常接近e：
因此，5%利息率就相当于e的20分之一次方：
20分之一正好等于5%的利率率，所以我们可以把公式改写成：
上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算，前提是它必须是持续不断的复合式增长。
6.
再考虑时间因素，如果把钱在银行里存2年，可以得到多少钱？
在时间t的情况下，通用公式就是：
上式就是计算增长量的万能公式，可以适用于任何时间、任何增长率。
7.
回到上面的例子，如果银行的利息率是5%的复利，请问100元存款翻倍需要多少时间？
计算结果是13.86年：
上式最后一个等号，表明用72除以增长率，可以得到翻倍的大致时间，这就是72法则的来源。
source: 数学常数e的含义
编辑于 2014-03-02 4 条评论感谢
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徐普，数学,计算机,加班
Gongqiu Ting、FinnYang赞同
通过傅立叶变换，可以把一个函数映射到频率领域，转换成频谱。比如光波可以用其空间上的坐标来表示，也可以用光谱来表示。两个函数的频谱相乘，相当于两个原函数做卷积。
编辑于 2015-06-06 3 条评论感谢
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王强，学生
就两个字叠加
发布于 2015-07-08 添加评论感谢
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张原
张秀、知乎用户、柏船等人赞同
卷积可以解决这个问题：
已知如果输入是冲击函数，输出是函数 f()。
问如果输入是给定的函g()，输出是什么。
输出就是f g卷积一下。
上面是目的。下面是怎么做的。
将 g 在[0 t]时间内的值按照 f 的变化趋势来个积分。比如在 t 时刻，g 早输入的部分要对应 f 后面的部分。g 晚输入的要对应 f 前面的部分。
g：输入。f：冲击响应。
可以看出，冲击响应是非常重要的一个响应。
wiki上卷积的动态图做得很不错。卷积
编辑于 2015-08-09 3 条评论感谢
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方鑫
知乎用户、傅里叶、杨露深赞同
看了这么多回答，作为搞信号处理的，谈谈我的看法。
其实卷积就是各个时刻的输入信号各自乘以相对应的衰减或增幅，然后叠加在一起作为输出信号输出，这里的衰减或增幅就对应与系统的单位冲激响应。
个人感觉那个血腥的信号例子还是很不错的。
发布于 2015-06-10 添加评论感谢
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实验在物理教学中的作用 商镇中学孙永红 物理是一门以观察和实验为基础的自然科学。物理实验既是物理教学内容的一个重要的组成部分，又是物理研究的一种重要方法，同时也是激发学生学习兴趣、培养学生能力的前提。所有的物理知识都是在实验的基础上建立起来的，因此，在初中阶段对学生进行实验的养成教育，既贯彻了当前素质教育的要求，又有利于提高课堂效率。 一、充分利用物理趣味实验，创设问题情境，激发学生求知欲 兴趣是最好的老师。利用惊奇实验导入新课，能唤起学生的注意，引起学生思考，从而产生强烈的求知欲望。例如：“大气压”是比较抽象的概念，新课引入先演示窄口瓶“吞”鸡蛋的实验，这奇迹般的现象立即吸引了学生们的注意力，接着问学生这是什么原因？大气压将为你解开这个谜，在学生兴趣被激发的情况下转入新课教学。当学生明白大气压的概念后，为了加深印象，我将一只玻璃杯灌满水，用一张塑料卡片盖在杯口上，再按住卡片把水杯倒过来。当把手移开后，会产生什么现象？松手后学生惊讶不已。纷纷议论，这大气压到底有多大？为了满足学生的好奇心和求知欲，我将抽去空气的马德堡半球拿出来，叫学生推选两个力气最大的男生来拉，结果用尽力气也拉不开，再换四个不服气的同学，还是没有拉开，当我把进气阀门打开后，一个人就很轻松的把两半球拉开了。学生既惊奇又信服，对“大气压不但确实存在而且还很大”的结论深信不疑。 二、学生多动手实验的机会，培养学生的实验操作能力
实验是学生将来从事科学实践的起点。因此，在物理实验课的教学中，必须重视培养学生的实验技能和操作能力，指导学生弄懂实验原理，学会正确使用实验器材，掌握计数、读数和处理实验结果的技巧，通过分析、推理得出正确结论。使学生养成良好的实验习惯比如在电学实验中，教师要反复强调电流表、电压表的连接特点及“＋”、“－”接线柱的接法，让学生学会用欧姆定律正确估算量程，避免量程过大使测量值的误差大，又避免量程过小而烧坏仪表。学生掌握了基本实验技能，就能独立动手操作，打好实验的基础，有了这种基础，学生就能自主的探究其他电学实验。此外，小实验、小制作也能使学生思维活跃，学习欲望高涨，如课本中“纸盒烧开水”、“自制电磁铁”等小实验、小制作，有很强的趣味性和知识性，十分贴近学生的生活，教师要鼓励学生做好这些课外小实验、小制作，并有意识地在教学中加以讲评。使班级中不同认知水平的学生的求知欲都能得到满足。同时，教师可以根据教材的要求，引导学生把对教学内容的学习和对小实验、小制作的学习结合起来，从而使教学内容的学习和小实验、小制作的学习达到某种程度的互补。这样，加深了学生对所学内容的理解和记忆，更重要的是能培养学生的动手操作能力。 三、设计不同的实验方案，培养学生的创新能力 物理教学要教会学生知识，不仅要求学生学会，还要学生会学。创新是一种高层次的知识迁移。在实验教学中，我注重给学生提供更多的思维机会和广阔的思维空间，激发学生求异创新的愿望。利用尽可能多的方法来设计实验方案，并对各方案进行评价，选择最佳方案，
“卷积”是什么？ 卷积的实质是加权平均，卷积的重要性在于它是频域上的乘积！连续空间的卷积定义是f(x)与g(x)的卷积是f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的. 实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t 就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.实际上为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色（Filter），另一个则扮演被平均的角色（图像）。 把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是 图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷 积核做一个矩阵的形状.（以下两个是动态图，文档没有显示出来效果，详见下面网址） https://www.doczj.com/doc/a613575126.html,/s/blog_6819cb9b0100m3rz.html
首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为 w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。 此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。 这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是 ......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......， 另一个序列是 .....,x_1,x_2,x_3,...... 将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。 但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier 变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！ 形象的小例子来解释一下卷积： 比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！ 如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说，某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程
让学生经历从自然到物理、从生活到物理的认识过程，经历基本的科学探究实践，使学生得到全面发展，成为新课程标准的新要求。 事实证明，实验教学更有利于学生各方面能力的培养。由于我们长期徘徊在“做实验不如讲实验，讲实验不如背实验”的老路中，把演示实验甚至学生实验课作为讲读课来上，根本谈不上什么探索性、开放性的实验课，从根本上有悖于新课标的要求，导致在物理的学习中很多同学产生了“四难”情绪，即难听、难学、难考、难用。如何才能解决这一难题呢？其重要途径就是实验教学，在此我想谈谈实验在教学中所起的作用。 一、物理实验能提高学生的学习兴趣 物理世界是一个充满神奇和兴趣的世界，大量的物理实验能显现多种奇异的物理现象，能折射出五彩斑斓的美丽图景，能激发学生学习物理的兴趣。例如鸡蛋放入水中要下沉，这是学生们常见的现象，可是当教师把鸡蛋放入装有浓盐水的玻璃水槽中时，鸡蛋竟浮在水面上，这时再往水槽中加一些清水，鸡蛋又会下沉，然后再加些细盐并轻轻搅拌，如果浓度适中的话，鸡蛋竟会停留在盐水中间。当学生们看到这些现象，就渴望知道“为什么”，这样引入就会引起浓厚的学习兴趣，从而收到事半功倍的效果。 二、实验教学有助于学生的感知和认识 在学习过程中，普遍认为概念和规律难以理解和掌握。对于这些难于理解的概念和规律，教师应一开始就让学生通过动手实验观察现象、分析推断，这样问题会变得简单明了。如学习滑轮一节，对于绳子自由端移动的距离与物体移动距离的倍数关系，学生很不好理解，教师可发给每个实验小组一把刻度尺、滑轮、钩码、细绳，让他们实际测量，这样会使学生获得清晰的认识，加深印象。 三、物理实验能培养学生的能力 培养学生实验能力是我国近些年来物理教学改革的重点内容之一。因此在实验的过程中要培养学生多方面的能力： 1.培养学生敢对身边的现象提出问题的能力 重视培养学生会提出问题的意识与能力，是促进学生自主学习能力进化的重要手段。例如测量小灯泡的电阻时，首先让学生观察桌子上不同型号的小灯泡，让学生提出自己想要知道的问题：（1）灯泡为什么能发光？（2）灯泡是用什么材料制成的？（3）灯泡有电阻吗？（4）灯泡的灯丝与定值电阻有什么不同？通过教师与学生的讨论引导学生发现问题，最终指向课堂所要探究的问题：测量小灯泡的电阻。 2.培养学生勇于猜想和假设的能力 教师在备课的过程中，要特别注意物理情境的设计，搭好台阶以帮助学生进行合理的猜想。如在《凸透镜的成像规律》的教学中，教师首先用实验创设情境：将点燃的蜡烛放在凸透镜前，使烛焰的像清晰地成在墙壁上，然后教师再改变蜡烛与凸透镜的距离，使像清晰地成在墙壁上。有了合理有趣的情境创设，加上教师巧妙的引导，学生的猜想也就不再会漫无边际，在课堂上学生的猜想和他说出的猜想依据会不时给教师带来惊喜。3.培养学生的实验设计能力 猜想实验方案的设计就是根据实验探究的目的和现有的实际条件来制定完成实验目的的具体计划。这个对于现在的学生来说是个大问题，很多学生不知道如何进行。所以老师要在教学过程中慢慢地培养学生的这种能力，包括器材的选择、器材的装配、具体的实验步骤和计划、科学探究方法的选取、实物的简化等。
卷积的物理意义 卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢? 卷积表示为y(n) = x(n)*h(n) 使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。 同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on; 其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。 假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。 再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的?“残留影响”有关。 当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。 对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算
对伯努利方程的一些讨论 〔摘要〕伯努利方程是能量方程,推导过程有多种途径,本文从动力学角度根据功能原理推导伯努利方程,只研究理想流体在作定常流动时伯努利方程的推导过程,并讨论在不同条件下方程中各项的物理意义,然后讨论了伯努利方程中“动压强”的意义以及“动压强”和“静压强”的关系。最后列举了伯努利方程在生产生活中的应用. 〔关键词〕动力学;功能原理;伯努利方程，动压强 一、引言 流体力学是探索自然规律的基本学科,是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系,以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响.而伯努利方程是研究流体最基本最常用的基本规律之一,为灵活掌握并更好的运用,需了解它的推导过程及相关项的物理意义. 二、伯努利方程的历史由来 1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。
丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根，由于受到家庭的影响，从小对自然科学的各个领域有着极大兴趣。1716～1717年在巴塞尔大学学医；1718～1719年在海德堡大学学习哲学；1719～1720年又在斯特拉斯堡大学学习伦理学，此后专攻数学；1721年他获得了医学大学学位；1725～1732年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院工作，并担任数学教师；1733～1750年他担任了巴塞尔大学的解剖学、植物学教授；1750年丹尼尔又任物理学教授和哲学教授，同年被选为英国皇家学会会员；1782年3月17日逝世于巴塞尔，终年82岁。丹尼尔是伯努利家庭中成就最大的科学家。他在数学和物理学等多方面都做出了卓越的贡献，仅在1725年到1749年间就曾10次获得法国科学院年度资助，还被聘为圣彼得堡科学院的名誉院士。在数学方面，丹尼尔的研究涉及代数、概率论、微积分、级数理论、微分方程等多学科的内容，取得了重大成就。在物理学方面，丹尼尔所取得的成功是惊人的。其中对流体力学和气体动力学的研究尤为突出。1738年出版的《流体力学》一书是他的代表著作。书中根据能量守恒定律解决了流体的流动理论，提出了著名的伯努利定理，这是流体力学的重要基本定理之一。丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来。他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致。丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义。
第六章 经典质点系动力学 6-1．如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止开始到下，试判断 质心C 的运动方向． 解 建立如图x 轴，由于水平方向外力分量之和为零 0ix F =∑， 所以水平方向动量守恒x P C =．因初始时静止，故 0x Cx P mv == 由d 0d C Cx x v t ==，可知C x =常量，质心C 竖直向下运动． 6-2．如图，船的质量为5000kg ，当质量为1000kg 的汽车相对船静止时，船尾螺旋桨的转动可使船以加速度20.2m s 前进．在船行进中，汽车相对于船以加速度20.5m s 沿船前进的相反方向加速运动，求此时船的加速度的大小． 解 将船与汽车作为质点系．当汽车相对于船静止时，船的 加速度即为质点系质心的加速度，根据质心运动定理可知船尾螺 旋桨转动时的推力 ()=(50001000)021200(N)e C F ma .=+?= 在船的行进过程中，以船的行进方向为x 、x '轴正方向．设船相对于岸的速度、加速度用x 、x 表示，汽车相对于船的速度、加速度用x '、x '表示，则汽车相对于岸的速度、加速度为x x '+、x x '+．根据质点系的动量定理 ()d [()]d e m x m x x F t '++=船车 即 ()()]e m x m x x F '++=船车 500010001000051200x x .+-?= 可求出此时船的加速度的大小2028m s x .=． 6-3．三只质量均为0m 的小船鱼贯而行，速率都是v ，中间一船同时以相对本船的速率u 沿水平方向把两个质量均为m 的物体抛到前后两只船上，求两物体落入船后三只船的速率（忽略水对船的阻力）． 解 以船行方向为速度正方向，设两物体落入船后三只船的速率为1v 、2v 、3v ． 以中间船及两物体为质点系，因为在抛出物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒 00222(2)()()m m v m v m v u m v u +=+++- 所以 2v v = 以前船与抛入物体为质点系，因为在抛入物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒 001()()m v m v u m m v ++=+ 所以 10mu v v m m =++ 以后船与抛入物体为质点系，同样，根据质点系水平方向动量守恒 003()()m v m v u m m v +-=+ 30mu v v m m =- +
卷积的物理意义 进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。 首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞ ?∞=?∫。从直观上理解 这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。 在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励） r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应) 如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。简而言之，就是某一时刻的状态量取决于所有时刻的作用效果以某种方式累积起来的结果。这样就应该解释清了卷积这一数学概念最本质的物理意义。 下面举个例子，比如00()()*()()r t e t t t e t t δ=?=?这个公式，将该公式 变化得到00()()()()r t e t t d e t t τδττ+∞ ?∞=??=?∫，由上式可以看出只有当
思想实验在物理学中的地位和作用 一、引言： 物理学从本质上看是一门实验科学。物理实验在物理学的发展和物理学教育中占有重要地位。可以说，离开了物理实验，就无法了解物理学。正因为如此，在物理学的研究和教学中，对于物理实验历来十分重视，无论从实验的设计、仪器的制作和调试，还是到实验过程的控制、实验结果的分析等各个环节，都强调一丝不苟。想比之下，对于与此有关联的思想实验却介绍不多。因此，对物理学中的思想试验进行纵向的历史考察，横向的比较研究，是十分必要的。有助于物理学的研究和教学。 二、思想实验的一般考察 伽利略是位近代物理学的先驱者。他对物理学作出了多方面的贡献。其中，他发现的落体定律和惯性定律，为近代物理学提供了两快坚固的基石。伽利略的成功，得益于他率先采用了科学的物理实验，更得益于他独创的物理实验与思想实验相结合的科学方法。伽利略的出色工作，表明了他既是一位物理学的大师，也是一位进行思想实验的先驱。 众所周知，在相当长的一段时间内，人们对于力和运动等物理现象、物理规律的认识，一直受到亚里士多德学说的束缚。亚里士多德认为：物体运动速度的大小和有无，是由它是否受力以及力的大小直接决定的；地面上轻重不同的物体下落速度不同；重物下落较快，轻物下落较慢，对此也曾有人反对过他的错误说法，但都因为没有确切的实验和理论的认证，所以没有被人重视。第一个成功的打破亚里士多德的错误权威的正是伽理略。伽利略巧妙地运用思想实验否定了这一统全欧洲近两千年的错误理论。 物体下落的速度和物重成正比。伽利略在他的著作《关于两种新科学的谈话和数学证明》中写道：“我十分怀疑亚里士多德曾用实验验证过。当两个石头，一个的重量是另一个的10倍，从同一高度，如100库比特，下落时，其速度的差别会达到这样的程度，以致前者着地时，后者还不超过10库比特。”加利略紧紧抓住这一疑点，设计了思想实验来进行分析和论证。他指出：如果亚里士多德的论断成立的话，即重物比轻物体下落得快，那么，当重物体和轻物体绑在一起下落时，由于快的受慢的阻碍而减慢。慢的受快的驱使而加快，其结果绑在一起的物体下落速度一定介于原来两个物体的速度之间，即小于原来重物体下落的速度。但是，两个物体绑在一起就成了一个复合体，它比原来的重的物体还要重，按亚里士多德的论断复合体下落的速度要大于原来重物体下落的速度，这就和上面的结论相矛盾了。由此可知，重物体下落不会比轻物体下落的快，二者下落的速度应该是相等的。正是这一思想实验，坚定了伽利略落体实验的信心和决心。 在否定了亚里士多德的落体定律之后，伽利略进一步对自由落体运动进行了定量研究。他根据对自由落体运动的定性观察结果：速度越来越快的基础上，假设自由落体运动是一种匀加速运动，在1590—1592年期间进行了大量的落体实验。但在当时的测试条件下，不可能立即用实验来证实这一假设，伽利略便用思想实验与真实实验相结合的方法解决这个难题。他借助于数学，求出了从静止开始的匀加速运动的距离s与时间t的关系，即：s/t2=常量.这时不包括任何速率，只要直接测定s和t就行了。 但是，物体的自由下落还是太快了，在当时无法精确测定。伽利略想用不太快的运动来测量，即用斜面代替落体实验，经过多次的反复实验测定，得到如下结果： （1）当斜面倾角固定时，球滚过的距离s与所用时间t的平方之比为一常数，即：s/t2=c. （2）改变斜面的倾角，s/t2的值随之改变，但小球通过的距离与时间平方成正比关系不变，变化的仅是比例常数。 伽利略用思想实验把这个结果推向极端——当倾角为90o时。即物体作自由落体时，这个论断也成立。他由此得出结论，自由下落运动是匀加速运动。
物理演示实验报告物理演示实验自主设计方案
本物理演示实验根据流体流速与压强的关系以及电磁铁的相关性质验证流体力学中伯努利原理 )(2 112111为常数C C gh v p =++ρρ(1)当外界环境被选定后，常数C 可以表示为 gh v p C 2222221ρρ++=(2)将(1)式与(2)式联立，可以得到 gh v p gh v p 22222121112 121ρρρρ++=++(3)这就是我们所说的伯努利方程，下面我们来验证这一原理。 在中学阶段，我们已经知道流体流速越大的地方压强越小这一流体学基本关系。为了验证流速与压强的具体关系，我们不妨选择空气流作为实验流体，大气压强作为外界标准压强，由基本数据可知标准大气的密度ρ=1.29kg/m 3 (温度为0℃，标准大气压p 0=101kpa)，我们只需要测量出流体的某一流速v 以及在该流 速下的压强p 1。进而将p 1,v 代入伯努利方程左右两端，验证等式是否成立。 此时，由于选定的外界是标准大气，故验证的等式为 02121p v p =+ρ(4)下面我们需要清楚流速与该流速下的流体压强的测量原理。 首先我们先测量流速。由于流体是以风的形式存在的，因此我们使用鼓风机作为风的发生装置。我们采取简易风车来测量风速。选择该风车的前提是在无风环境下风车能够静止即处于平衡状态，并且在受到风力时可以较为灵敏地进行转动，即摩擦阻力越小越好。设风车的转动半径为R，风车转动角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系有 ωR v =(5) 其中ω可以通过风车的转速n 来测量，即 n πω2=(6) 联立(5)(6)两式，这样我们可以较为准确地得出流速v 的大小为 Rn v π2=(7) 接下来，我们来测量该流速下的压强。该压强的测量需要运用电磁铁以及压一、演示物理原理简介（可以配图说明）
FFT结果的物理意义 最近正在做一个音频处理方面的项目，以前没有学过fft，只是知道有这么个东西，最近这一用才发现原来欠缺这么多，最基本的，连fft的输入和输出各自代表什么都不知道了，终于在网上查到这样的一点资料，得好好保存了，也欢迎大家分享。 FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos参数为弧度，度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日
关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：
适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏
变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数
物理实验的意义和作用 （一）物理实验的作用 1.为发展物理规律提供丰富的感性材料。 2.检验物理理论假说的正确性。 3.开拓物理应用的新领域。 （二）、物理实验在教学中的作用 1.可以使学生获得丰富的感性认识，加深学生对物理概念、原理和定理的理解。 2.可以培养学生的观察实验能力、思维能力，发展学生智力。 3.可以使学生初步了解物理学的思想方法、研究方法，培养学生事实求是的科学态度和遵守纪律、爱护仪器的优良品质。 （三）、中学物理实验方式 1.演示实验 2.边教边实验（课堂实验） 3.分组实验 4.课外实验与制作 演示实验 （一）演示实验——演示实验指课堂上主要有教师操作表演的实验，有时也可以请学生充当助手或在教师指导下让学生上讲台进行操作 1.演示实验作用 （1）获得生动的感性认识，更好的理解、掌握规律。 （2）培养学生观察能力、思维能力，使学生获得有关物理现象或过程生动、深刻的印象。 （3）教师演示对学生实验技能和素养起一定的示范作用。 2.演示实验分类
（1）引入课题演示。 （2）建立概念和规律的演示。 （3）深化与巩固物理概念和规律的演示。 （4）应用物理知识的演示。 （二）演示实验在设计和表演方面的基本要求 1.明确目的，根据教学要求设计演示实验。 2.安全可靠，确保演示成功。 （1）演示成功的首要条件是掌握实验原理。 （2）坚持科学性原则，不得弄虚作假。 （3）为了确保演示成功，课前必须充分准备并进行试做。 3.简易方便。 演示实验要求简易方便，包括仪器结构简单；操作简单；由演示现象导出结论时，解说推理简单。 4.现象清楚、明显、直观。 （1）明显 （i）仪器尺寸要足够大。 (ii)物理过程变化要显著，“可见度”要高。 (iii)要使被观察的主体对比强烈，以利于学生看准目标。 (iv)演示的仪器放在适当高度的方位。 (v)注意让学生观察物理现象的发展过程。 （2）直观
傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量
卷积公式 卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。 卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54) 卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？ 卷积表示为y(n) = x(n)*h(n) 假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表
述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。 再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。 当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。 对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。卷积本身不过就是一种数学运算而已。就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。 在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。 学过信号与系统的都应该知道，时域的卷积等于频域的乘积，即有 Y(s)=F(s)×H(s)。（s=jw，拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式） 有一点你必须明白，在通信系统里，我们关心的以及要研究的是信号的频域，不是时域，原因是因为信号的频率是携带有信息的量。 所以，我们需要的是Y(s)这个表达式，但是实际上，我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系，就要用到卷积运算。 系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。建议你去看看定积分的内容。特别注意的是：概念中冲击函数的