一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=2CD?OE;
(3)若
314
cos,
53
BAD BE
∠==,求OE的长.
【答案】(1)DE为⊙O的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =35
6
.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角,可得出△BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,从而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中两锐角互余,从而可得∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为⊙O的切线;
(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:
连接OD,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=AC?CD.
∴BC2=2CD?OE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数
2.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE?tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE?tan60°=?=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个, 其坐标为:P 1(﹣m ,1),P 2(
﹣m ,﹣3),P 3(﹣
﹣m ,3),P 4(3
﹣m ,
3).
【考点】二次函数综合题.
3.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)
【答案】22.4m 【解析】 【分析】
首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】
解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3, ∴FG =
tan 3
AG AFG =∠,
在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG
CG
, ∴CG =
tan AG
ACG ∠=3.
又∵CG ﹣FG =24m ,
33
=24m , ∴AG 3, ∴AB 3+1.6≈22.4m .
4.2018年12月10日,郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》,将停车纳入城市综合交通体系,计划到2030年,在主城区新建停车泊位33.04万个,2019年初,某小区拟修建地下停车库,如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度为1:3,DE =3米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志屏的高度(标志牌上写有:限高米),如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.1米,参考数据2≈1.41,3≈1.73)
【答案】该停车库限高约为2.2米.
【解析】
【分析】
据题意得出
3
tan
3
B=,即可得出tan A,在Rt△ADE中,根据勾股定理可求得DE,即可
得出∠1的正切值,再在Rt△CEF中,设EF=x,即可求出x,从而得出CF3的长.【详解】
解:由题意得,
3 tan B=
∵MN∥AD,
∴∠A=∠B,
∴tan A=3
3
,
∵DE⊥AD,
∴在Rt△ADE中,tan A=DE
AD
,∵DE=3,
又∵DC=0.5,
∴CE=2.5,
∵CF⊥AB,
∴∠FCE+∠CEF=90°,
∵DE⊥AD,
∴∠A+∠CEF=90°,
∴∠A=∠FCE,
∴tan∠FCE=3.
在Rt△CEF中,设EF=x,CF=3x(x>0),CE=2.5,
代入得(5
2
)2=x2+3x2,
解得x=1.25,
∴CF=3x≈2.2,
∴该停车库限高约为2.2米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题和勾股定理,解题的关键是坡度等于坡角的正切值.
5.如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=
-x-与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.
(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;
(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;
(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2
(2);
(3)a=4
【解析】
【分析】
(1)在直线y=-x-中,令y=0,可求得E的坐标,即可得到OE的长为5;连接MH,根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2;再由EC=MC=2,∠EHM=90°,可知CH 是RT△EHM斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长;
(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD,从而求得DQ的长,在直角三角形CDQ中,即可求得∠D的余弦值,即为cos∠QHC的值;
(3)连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知,
∠GTA=90°,∠3=∠4,故∠AKC=∠MAN,再由△AMK∽△NMA即可得出结论.
【详解】
(1)OE=5,r=2,CH=2
(2)如图1,连接QC、QD,则∠CQD =90°,∠QHC =∠QDC,
易知△CHP∽△DQP,故,得DQ=3,由于CD=4,
;
(3)如图2,连接AK,AM,延长AM,
与圆交于点G,连接TG,则
,
由于,故,;
而,故
在和中,;
故△AMK∽△NMA
;
即:
故存在常数,始终满足
常数a="4"
解法二:连结BM,证明∽
得
6.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD的长),试求出主塔BD的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
【答案】主塔BD的高约为86.9米.
【解析】
【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度,再由BD=BC+CD可得出.【详解】
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
sin BC
A
AB
=.
∴sin152sin311520.5279.04
BC AB A?
=?=?=?=.
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈(米)
答:主塔BD的高约为86.9米.
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合,熟悉掌握是解决本题的关键.
7.如图,正方形OABC的顶点O与原点重合,点A,C分别在x轴与y轴的正半轴上,点
A的坐标为(4,0),点D在边AB上,且tan∠AOD=1
2
,点E是射线OB上一动点,
EF⊥x轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GH∥x轴交AE于点H.
(1)求B,D两点的坐标;
(2)当点E在线段OB上运动时,求∠HDA的大小;
(3)以点G为圆心,GH的长为半径画⊙G.是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切?若不存在,请说明理由;若存在,请求出所有符合条件的点E的坐标.
【答案】(1)B(4,4),D(4,2);(2)45°;(3)存在,符合条件的点为(8﹣
42,8﹣42)或(8+42,8+42)或42164216,??
++ ?
???
或16421642,77??
-- ? ???
,理由见解析 【解析】 【分析】
(1)由正方形性质知AB=OA=4,∠OAB=90°,据此得B (4,4),再由tan ∠AOD= 1
2
得AD=
1
2
OA=2,据此可得点D 坐标; (2)由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=1
2
OF ,再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ,即GF=
1
2
EF ,根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点,结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线,即HD ∥BE ,据此可得答案;
(3)分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况,设PG=x ,结合题意建立关于x 的方程求解可得. 【详解】
解:(1)∵A (4,0), ∴OA =4,
∵四边形OABC 为正方形, ∴AB =OA =4,∠OAB =90°, ∴B (4,4),
在Rt △OAD 中,∠OAD =90°, ∵tan ∠AOD =12
, ∴AD =
12OA =1
2
×4=2, ∴D (4,2);
(2)如图1,在Rt △OFG 中,∠OFG =90°
∴tan∠GOF=GF
OF =
1
2
,即GF=
1
2
OF,
∵四边形OABC为正方形,
∴∠AOB=∠ABO=45°,
∴OF=EF,
∴GF=1
2
EF,
∴G为EF的中点,
∵GH∥x轴交AE于H,
∴H为AE的中点,
∵B(4,4),D(4,2),
∴D为AB的中点,
∴DH是△ABE的中位线,
∴HD∥BE,
∴∠HDA=∠ABO=45°.
(3)①若⊙G与对角线OB相切,
如图2,当点E在线段OB上时,
过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG2x,OF=EF=2x,
∵OA=4,
∴AF=4﹣2,
∵G为EF的中点,H为AE的中点,
∴GH为△AFE的中位线,
∴GH=1
2AF=
1
2
×(4﹣2)=22,
则x=22x,
解得:x=22,
∴E(8﹣2,8﹣2
如图3,当点E在线段OB的延长线上时,
x=2x﹣2,
解得:x=2+2,
∴E(8+42,8+42);
②若⊙G与对角线AC相切,
如图4,当点E在线段BM上时,对角线AC,OB相交于点M,
过点G作GP⊥OB于点P,设PG=x,可得PE=x,
EG=FG2,
OF=EF=2x,
∵OA=4,
∴AF=4﹣2,
∵G为EF的中点,H为AE的中点,
∴GH为△AFE的中位线,
∴GH=1
2AF=
1
2
×(4﹣2)=22,
过点G作GQ⊥AC于点Q,则GQ=PM=3x﹣2∴3x﹣2=22x,
∴22
7
x=,
∴
42164216
,
77
E
??
? ???
;
如图5,当点E 在线段OM 上时,
GQ =PM =22﹣3x ,则22﹣3x =2﹣2x , 解得422
7
x -=
, ∴16421642,77E ??
-- ? ???
; 如图6,当点E 在线段OB 的延长线上时,
3x ﹣22=2x ﹣2, 解得:422
7
x -=
(舍去); 综上所述,符合条件的点为(8﹣42,8﹣42)或(8+42,8+42)或
42164216,??++ ? ???或16421642,??
-- ? ???
. 【点睛】
本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.
8.如图,建筑物
上有一旗杆
,从与
相距的处观测旗杆顶部的仰角为
,
观测旗杆底部的仰角为
,求旗杆
的高度.(参考数据:
,
,
)
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中,根据tan∠BDC=求出BC,接着在Rt△ADC中,根据tan∠ADC==即可求出AB的长度
【详解】
解:∵在Rt△BDC中,tan∠BDC==1,∴BC=CD= 40m 在Rt△ADC中,tan∠ADC==
∴tan50°= =1.19
∴AB7.6m
答:旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
9.已知抛物线y=﹣1
6
x2﹣
2
3
x+2与x轴交于点A,B两点,交y轴于C点,抛物线的对称
轴与x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形AECO.
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图,P为直线AC上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP 面积最大时,求|PM﹣OM|的值.
(3)如图,将△AOC沿直线AC翻折得△ACD,再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上,是否存在这样的点D′,使得△A′ED′为直角三角形?若存在,请求出点D′的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=1
3
x+2;(2) 点M坐标为(﹣2,
5
3
)时,四边形AOCP的面积最大,此时
|PM﹣OM|有最大值61; (3)存在,D′坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(
3
5
-,
19
5
).
【解析】
【分析】
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,求出点A、B、C坐标,即可求解;(2)连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,即可求解;
(3)存在;分①A′D′⊥A′E;②A′D′⊥ED′;③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,∴A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,
2),函数对称轴为:x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,8
3
),C点坐标为(0,2),则过点C
的直线表达式为:y=kx+2,将点A坐标代入上式,解得:k
1
3
=,则:直线AC的表达式
为:y
1
3
=x+2;
(2)如图,过点P作x轴的垂线交AC于点H.
四边形AOCP面积=△AOC的面积+△ACP的面积,四边形AOCP面积最大时,只需要△ACP
的面积最大即可,设点P坐标为(m,
1
6
-m2
2
3
-m+2),则点G坐标为(m,
1
3
m+2),
S△ACP
1
2
=PG?OA
1
2
=?(
1
6
-m2
2
3
-m+2
1
3
-m﹣2)?6
1
2
=-m2﹣3m,当m=﹣3时,上式
取得最大值,则点P 坐标为(﹣3,
5
2
).连接OP 交对称轴于点M ,此时,|PM ﹣OM |有最大值,直线OP 的表达式为:y 56=-
x ,当x =﹣2时,y 5
3
=,即:点M 坐标为(﹣2,53
),|PM ﹣OM |的最大值为:
2222555(32)()2()233-++--+=61. (3)存在.
∵AE =CD ,∠AEC =∠ADC =90°,∠EMA =∠DMC ,∴△EAM ≌△DCM (AAS ),∴EM =DM ,AM =MC ,设:EM =a ,则:MC =6﹣a .在Rt △DCM 中,由勾股定理得:MC 2=DC 2+MD 2,即:(6﹣a )2=22+a 2,解得:a 83=,则:MC 103
=,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ,交EC 于点H .在Rt △DMC 中,12DH ?MC 12=MD ?DC ,即:DH 108
33
?
=?2,则:DH 85=
,HC 22
65DC DH =-=,即:点D 的坐标为(61855
-,); 设:△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位,则:点A ′坐标(﹣61010
,D ′坐标为(618551010
,-++),而点E 坐标为(﹣6,2),则2''
A D =
22618
(6)()55
-++=36,2'A E =22(2)1010+=2410m +,2
'ED =22248(
()551010+=2128
510
m +.若△A ′ED ′为直角三角形,分三种情况讨论:
①当2''A D +2'A E =2'ED 时,36+2
410m -=2128510m +,解得:m =105
,
此时D ′(618551010
,-
++)为(0,4); ②当2''A D +2'ED =2'A E 时,36+2
128510m +=2
410
m +,解得:
m =8105
-
,此时D ′(618551010,-++)为(-6,2); ③当2'A E +2'ED =2''A D 时,2
410m -
++2128510m ++=36,解得:m =810-
或m =10,此时D ′(618551010,-++)为(-6,2)或(
35,19
5
). 综上所述:D 坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(35,19
5
). 【点睛】
本题考查了二次函数知识综合运用,涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识,其中(3)中图形是本题难点,其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标,本题难度较大.
10.问题探究: (一)新知学习:
圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH 的对角互补,那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上). (二)问题解决:
已知⊙O 的半径为2,AB ,CD 是⊙O 的直径.P 是上任意一点,过点P 分别作AB ,CD
的垂线,垂足分别为N ,M . (1)若直径AB ⊥CD ,对于
上任意一点P (不与B 、C 重合)(如图一),证明四边形
PMON 内接于圆,并求此圆直径的长;
(2)若直径AB ⊥CD ,在点P (不与B 、C 重合)从B 运动到C 的过程汇总,证明MN 的长为定值,并求其定值;
(3)若直径AB 与CD 相交成120°角. ①当点P 运动到
的中点P 1时(如图二),求MN 的长;
②当点P (不与B 、C 重合)从B 运动到C 的过程中(如图三),证明MN 的长为定值. (4)试问当直径AB 与CD 相交成多少度角时,MN 的长取最大值,并写出其最大值.
【答案】(1)证明见解析,直径OP=2; (2)证明见解析,MN 的长为定值,该定值为2; (3)①MN=
;②证明见解析;
(4)MN 取得最大值2.
【解析】
试题分析:(1)如图一,易证∠PMO+∠PNO=180°,从而可得四边形PMON内接于圆,直径OP=2;
(2)如图一,易证四边形PMON是矩形,则有MN=OP=2,问题得以解决;
(3)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°.根据角平分线的性质可得P1M=P1N,从而得到△P1MN是等边三角形,则有MN=P1M.然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得∠QMN=90°,∠MQN=∠MPN=60°,在Rt△QMN中运用三角函数可得:
MN=QN?sin∠MQN,从而可得MN=OP?sin∠MQN,由此即可解决问题;
(4)由(3)②中已得结论MN=OP?sin∠MQN可知,当∠MQN=90°时,MN最大,问题得以解决.
试题解析:(1)如图一,
∵PM⊥OC,PN⊥OB,∴∠PMO=∠PNO=90°,∴∠PMO+∠PNO=180°,∴四边形PMON内接于圆,直径OP=2;
(2)如图一,
∵AB⊥OC,即∠BOC=90°,∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°,∴四边形PMON是矩形,
∴MN=OP=2,∴MN的长为定值,该定值为2;
(3)①如图二,
∵P1是的中点,∠BOC=120°,∴∠COP1=∠BOP1=60°,∠MP1N=60°,∵P1M⊥OC,
P1N⊥OB,∴P1M=P1N,∴△P1MN是等边三角形,∴MN=P1M.
∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=,∴MN=;
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,
交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,