一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米 【解析】
解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3
6392
==米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高
2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，
2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？
【答案】
【解析】
过A作AF CD
于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且
MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：△MED∽△BCA；
（2）求证：△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17
5
S1时，求cos∠ABC的
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .
【解析】
【分析】
（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；
（2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以
2
114
ACB S MD S
AB ??== ???，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBD
S ME S EB =，从而可知
52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7
2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】
（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；
（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，
MD MD AMD CMD AM CM =??
∠=∠??=?
， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，
由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴
2
114
ACB S MD S
AB ??== ???， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =
1
2
S △ACB =2S 1，
∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2
5
S 1， ∵
1EBD
S
ME
S
EB
=
， ∴1125
S ME
EB S =
，
∴
5
2
ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，
∵
1
2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，
∴cos ∠ABC=105
147
BC x AB x ==. 【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
4．如图，抛物线C 1：y=（x+m ）2（m 为常数，m ＞0），平移抛物线y=﹣x 2，使其顶点D 在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，得到抛物线C 2．抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，设点D 的横坐标为a ．
（1）如图1，若m=．
①当OC=2时，求抛物线C 2的解析式；
②是否存在a ，使得线段BC 上有一点P ，满足点B 与点C 到直线OP 的距离之和最大且AP=BP ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； （2）如图2，当OB=2
﹣m （0＜m ＜
）时，请直接写出到△ABD 的三边所在直线的距
离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．
【解析】
试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；
②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；
（2）解题要点有3个：
i）判定△ABD为等边三角形；
ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；
iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．
试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+）2）．
∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵点C在抛物线C2上，
∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，
解得：a=，代入（I）式，
得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．
②在（I）式中，
令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．
假设存在满足条件的a值．
∵AP=BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，
∴OP⊥BC．
如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，
则OP⊥BC，OE=a．
∵点P在直线BC上，
∴P（a，a+），PE=a+．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=，
∴，
解得：a=．
∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+m）2）．
∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．
令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，
∴2a+m=2﹣m，
∴a=﹣m．
∴D（﹣m，3）．
AB=OB+OA=2﹣m+m=2．
如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．
∵tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．
作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE?tan30°=×=1，
∴P1（﹣m，1）；
在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．
在Rt△BEP2中，P2E=BE?tan60°=?=3，
∴P2（﹣m，﹣3）；
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．
∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．
综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，
其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．
【考点】二次函数综合题．
5．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且
将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结
（1）求证：
（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在，或
【解析】
（1）证明：∵四边形为正方形，∴
∵三角板是等腰直角三角形，∴
又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分
（2）存在.································· 4分
∵
∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，
又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分
∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和
此时，点分别在点和点，满足
·························· 7分
当切点在第二象限时，点在第一象限，
在直角三角形中，
∴∴
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
∴点的坐标为··························· 9分
当切点在第一象限时，点在第四象限，
同理可求：点的坐标为
综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分
（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；
（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．
6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB
CF AE
∠交BD于点H.
⊥；
（1）求证：DE DF
=：
（2）求证：DH DF
⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并（3）过点H作HM EF
证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.
（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.
（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得
222BD AB AD AB =
+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，
，所以22sin 45HN
BH HN HM ===?
.
由22cos 45DF
EF DF DH =
==?
，得22EF AB HM =-.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.
（2）证明：∵AED CFD △△≌， ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?， ∴45DEF DFE ∠=∠=?.
∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠， ∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.
（3）22EF AB HM =-.
证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，
∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?， ∴222BD AB AD AB =
+=.
∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，
∴HM HN =.
∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，
， ∴22sin 45HN
BH HN HM =
==?
.
∴22DH BD BH AB HM =-=.
∵22cos 45DF
EF DF DH =
==?
，
∴22EF AB HM =-. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
7．如图，已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ． （1）求这个二次函数解析式；
（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标；
（3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（-
7 5，
14
5
）．
【解析】【分析】
（1）将点A、
B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S△ABC= 1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，求出sinα=
22
2105
BH
AB
==，则tanα=
1
2
，在
△PMD中，tanα= MD
PM
=
1
2
22
x
=
+
，即可求解；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．
【详解】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
9
633
2
1
2
b
b c
?
=-+
??
?
?=--+
??
，解得：
1
3
2
b
c
=-
?
?
?
=-
??
，
故：抛物线的表达式为：y=1
2
x2-x-
3
2
，
令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-3
2
，
故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；
（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，
由题意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22，
S△ABC=1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，
解得：BH=22，
sinα=BH
AB
=
22
210
=
5
，则tanα=
1
2
，
由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，
延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，
在△PMD中，tanα=MD
PM
=
22
x+
=
1
2
，
解得：x=22，则CD=2x=4，
故点P（7，0）；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，
直线AP表达式中的k值为：8
4-
=-2，则直线A′N表达式中的k值为
1
2
，
设直线A′N的表达式为：y=1
2
x+b，
将点A′坐标代入上式并求解得：b=7
2
，
故直线A′N的表达式为：y=1
2
x+
7
2
…①，
当x=1时，y=4，
故点M（1，4），
同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，
联立①②两个方程并求解得：x=-7
5
，
故点N（-7
5
，
14
5
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝
3
5
，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ． （1）求点D 坐标；
（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝3
20
ABCD S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝
24(04)
220
(410)3
3t t t t t ??
?-+
（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，2220
1233t t -+= 【详解】
解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝
35
， 10cos OB
BC B
∴=
= 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，
∴点D 的坐标为（10，8）．
（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）． 分两种情况考虑，如图1所示． ①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，
∴S ＝
1
2PQ ?OQ ＝4t ， ∵4＞0，
∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；
②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：
4k b 010k b 8+=??
+=?，解得：4k 3
16
b 3?=????=-??
， ∴直线AD 的解析式为416
33
y x =-． 当x ＝t 时，416
33
y t =
-， 4164
8(10)3
33PQ t t ??∴=--=- ???
21220
233
S PQ OP t t ∴=
?=-+ 22202502
(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为
503
． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)
220(410)3
3t t t t t ??
?-+
（3）S 菱形ABCD ＝AB ?OC ＝80． 当0≤t ≤4时，4t ＝12， 解得：t ＝3； 当4＜
t ≤10时，2220
33
t
t -
+＝12， 解得：t 1＝5（舍去），t 2＝
． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝
3
20
ABCD S 菱形，t 的值为3或．
【点睛】
考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.
9．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5?方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5?方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：
（1）M，N两村庄之间的距离；
（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）
【答案】(1) M，N29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是5
【解析】
【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
【详解】
解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．
（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°
∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6，
AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8，
过M作MC⊥AB于点C，
在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°
∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3，
MC=MA?cos∠AMC=MA?cos36.5°=4，
过点M作MD⊥NE于点D，
在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，
ND=NE-MC=2，
∴MN22
52
+29
即M，N29
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得
MN22
+5
510
∴村庄M、N到P站的最短距离和是5
【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．已知：如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=30°，OA=3．以点O为原点，斜边OA 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，⊙P 与x轴的另一交点为N，点M在⊙P上，且满足∠MPN=60°．⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：
（发现）（1）MN的长度为多少；
（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与Rt△ABO重叠部分的面积．
（探究）当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标．
（拓展）当MN与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围．
【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（2）重叠部分的面积为3
8
；【探究】：点P 的坐标为10（，）；或3
03（）或23
03
-（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．
【解析】 【分析】
发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；
拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]
（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803
ππ
?=． 故答案为
3
π
； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=
PQ ×AQ 3
8
= 3
[探究]
①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；
②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123
303
cos ==?，∴点P 的坐标为（
23
3
，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 23
3
=
； ∴点P 的坐标为（23
3
-
，0）；
[拓展]
t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：
如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 41
1
-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．
如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3
则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴33 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得3 ∴CD=CE+DE=123）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．
第九讲 锐角三角函数 板块一 锐角三角函数 【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =?∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。 ⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5 C ．45 D ．56 ⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。如果MC n =，CMN α∠=。那么P 点与B 点的距离为 。 【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =?∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的 取值范围是( ) A ．1 02 m << B ．02m << C ．0m < D ．0m << B 5 B 4 B 3 B 2B 1 A 5A 4A 3A 2A 1B A C D E D C B A B N
12?5? D C B A ⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1 sin cos 8 αα?=，且4590α<<°°，则 cos sin αα-的值是( ) A B ． C ． 34 D ． ⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302= °，1 sin 2102 =-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°° ；因为sin 452= ° ，sin 2252 =°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。由此可知sin 240=°( ) A ．1 2 - B ． C ． D ． 板块二 解直角三角形及应用 【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角 12CBD ∠=?，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把 坡角降为5?。 ⑴求坡高CD ； ⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09?≈?≈?≈，，) 【例4】面积专题： 题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A ． 1sin α B ．1 cos α C ．sin α D ．1
锐角三角函数培优-题型分类 【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．1．（2009?牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k 的值为（） A．B．2 C．±2 D． 【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值． 【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx ﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=， ∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为， 即||=4×，k=±2． 故选C． 【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 2．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．B．1 C．D． 【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA===，故选A． 【考点3】锐角三角函数的定义． 3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中． 过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E． ∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=DC， 设CD=BD=1， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2． 在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1， 则CE=，DE=． ∴tan∠DAC===．
讲义编号：组长签字：签字日期：
2、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 3、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 4、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 、 5 5 B 、 25 5 C 、12 D 、2 5、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =， 32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ） A 、2 B 、 2 2 C 、 63 D 、33 6、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ） A 、1 2 B 、13 C 、14 D 、 24
7、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3 A ，则这个菱 sin 5 形的面积= cm2。 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3 ，点D在BC边上，且 5 ∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。 9、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。 10、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2， tan∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC （2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，是判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE 的值。 考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算： （1）019(π4)sin 302 --+-- （2）201()(32)2sin 3032 ---+?+- （3）1 0182sin 45(2)3-?? -+-π- ??? （4）2sin45°＋3cos30°－2 3 2、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2 B =（ ） A 、2 1 B 、 23 C 、22 D 、2 1 3、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 4、Rt△ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3 3 ，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念（1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α＋cos α＝１；（２）若α>４5°，则sin α＞co ｓα;(3)若co ｓα>,则α<60°；(4)。正确得有( ）A 、(1) (２） （3)(４) B 、(２)（3)(4） C 、（1)(3)(4） D 、(1)（２)（3) 变式: 1、下列各式中，不正确得就就是( ) A. B 、 C 、 D 、ｔan ４5°>sin ４5° 2、已知∠Ａ满足等式,那么∠A 得取值范围就就是( ） A 、0°<∠A ≤９0° B 、90°<∠Ａ<180° C 、0°≤∠A <90° Ｄ、0°≤∠A ≤9０° ３、α就就是锐角,若ｓin α＝cos150，则α= ４。若sin530１8\=0、8０18,则ｃos3604２\= 题型:锐角三角函数基本概念(２) 例:已知sin α·cos α=,且４5°＜α<90°，则ＣＯS α-si ｎα得值为（ ) A 、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 变式： 1、已知△ABC 中,∠Ｃ=９0°,下列各式中正确得就就是( ） A.sinA ＋c ｏsB=s ｉnC B 、si ｎA ＋sinB=ｓinC C 、 D 、 2、已知si ｎα+cos α=m ，sin α×ｃos α=ｎ,则m ，n 得关系式( ) A.m=n Ｂ、ｍ＝2ｎ+1 C 、 D 、 题型:求三角函数值 例:如图，菱形得边长为5,AC 、BD 相交于点Ｏ，ＡC=6,若，则下列式子正确得就就是（ ) A.sin α= B 、cos α= C 、t ａn α= D 、cot α＝ 变式:1、设0°＜α<４5°,sin αco ｓα=,则s ｉn α＝ ２、已知si ｎα-ｃo ｓα＝,0°＜α<１8０°,则ｔan α得值就就是（ ) B 、 C 、 Ｄ、 3、如图,在正方形ABCD 中,Ｍ为ＡD 得中点,E 为ＡB 上一点,且BE=３A Ｅ,求sin ∠ＥCM 。 4、如图，在矩形中,就就是边上得点，,,垂足为,连接。 (１)求证:;(２）如果,求得值。 题型:三角函数值得计算(1) 例:计算:= 变式:1、计算：= 2、计算:0000002000027tan 63tan 60cot 360 sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值得计算(2） 例：化简根式:＝ 变式:1、若,化简下式: αααααα αsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知ｔａnA=3,且∠A 为锐角,则cotA －= 3、已知为锐角,,求得值。 题型:三角函数与一元二次方程得综合题（1) 例：在Rt △ABC 中,∠C=９０°，斜边＝５，两直角边得长ａ,b 就就是关于x 得一元二次方程得两个实数根,求Rt △ABC 中较小锐角得正弦值。 变式:1、若就就是得三边，,且方程有两个相等得实数根,求得值。 2、已知a,ｂ,c 为△A ＢC 中三个内角∠A,∠B,∠C 得对边。当m ＞0时,关于x 得方程有两个相等得实数根,且。试判断△ＡBC 得形状、
1锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=??cossin，ctgα=??sincos； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC = 思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比， sinA=135?ACCD，tanB=2?BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． 注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径， 不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21??； （2）RCcBbAa2sinsinsin???．
【例2】在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A 32? B32? C．0.3 D23? 思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 2【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D 作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值． 思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，