复变函数课程教学大纲
适用专业：本科数学各专业学时：50
先修课程：数学分析、高等代数制定日期：2002年9月
一、本课程的地位和作用
复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是数学分析的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标
通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求
（一）复数与复变函数
1．教学基本要求
（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；
（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。
（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
（4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。
（6）详细介绍引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。
2．教学内容
（1）*复数及其运算。复平面。*复数的模与辐角及其三种表示法。
（2）△复数的乘幂与方根。
（3）复数在几何中的应用。
（4）复平面上点集的有关概念。*区域、曲线的有关概念，约当定理。△复数方程表示曲线以及不等式表示区域。
（5）*△复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实变函数的关系。
（6）复变函数的极限的概念及性质。
（7）复变函数连续性的概念、运算法则及性质。
（8）无远点，扩充复平面与球面，扩充复平面上的四则运算。
（二）解析函数
1．教学基本要求
（1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两个概念之间的联系与区别。
（2）牢固掌握Caucly-Riemann方程与复值函数可微解析的等价刻画，并要求学生能熟练运用Caucly-Riemann方程判定函数的可微性、解析性以及论证解析函数的一些基本性质。
（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。
（4）牢固掌握三类初等解析函数（即指数函数、三角函数和双曲函数）的定义、基本
性质及其相互关系与内在联系。
（5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。
2．教学内容
（1）复变函数的导数与微分。
（2）*△解析函数的概念与基本性质。
（3）*Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。
（4）解析函数的求导公式与求导法则。
（5）*复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。
（6）初等解析函数：指数函数，三角函数，双曲函数
（7）△初等多值函数：根式函数，对数函数，一般幂函数，反三角函数。
（三）复变函数的积分
1．教学基本要求
（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，计算方法以及复变函数积分与二元实变函数的第二型线积分的联系。
（2）解析函数的Cauchy积分定理是本章的核心。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理，柯西积分公式和高阶导数分式。
（3）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。
（4）掌握Cauchy不等式，Liourille定理，了解Morera定理，并会利用这些结论解决一些问题。尤其用Lioarille定理证明代数学基本定理，通过用复分析的方法证明代数学基本定理这一事实，让学生认识到不同数学分支间的相互联系和相互渗透。
（5）掌握调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。
2．教学内容
（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。
（2）*单连通区域内的Cauchy积分定理。
（3）△不定积分。
（4）多连通区域内的Cauchy积分定理。
（5）*Cauchy积分公式。*解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。
（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代数学基本定理的证明。Morera定理。
（7）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。
（四）解析函数的幂级数表示法
1．教学基本要求
（1）理解复函数项级数的概念，掌握一致收效性的判别法。
（2）掌握幂级数的基本性质，会利用公式求幂级数的收敛半径。
（3）理解解析函数的幂级数定义的等价性。
（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。
（5）掌握解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理。
（6）掌握解析函数论中最有用的定理之一——最大模原理。
2．教学内容
（1）复数项级数的基本概念及其收敛性判别准则。
（2）复函数项级数的概念，收敛、一致收敛性的概念及其判别准则。
（3）幂级数的收敛状况，收敛圆、收敛半径以及在收敛圆内的性质。
（4）*解析函数在一点邻域内的泰勒展式。
（5）常用初等解析函数的泰勒展式。
（6）幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况。
（7）*解析函数的零点孤立性，内部唯一性，最大模原理。
（五）解析函数的Laurent展式与孤立奇点
1．教学基本要求
（1）理解双边幂级数的概念。
（2）能求出一些较简单的Laurent级数的收敛圆环以及解析函数的Laurent展式。
（3）掌握解析函数的三种类型奇点的定义，特征以及判别方法。了解解析函数在无穷远点的性质。
（4）知道整函数和亚纯函数的概念。
2．教学内容
（1）双边幂级数的概念，收敛圆环。
（2）*Δ解析函数的Laurent展式，系数公式，收敛域。
（3）*解析函数的三种类型（可去奇点、极点、本性奇点）的孤立奇点的定义，判别方法及其特征性质。
（4）△解析函数在无穷远点的性质。
（5）整函数与亚纯函数的概念。
（六）残数理论及其应用
1．教学基本要求
（1）掌握残数的概念，深刻理解残数定理。
（2）熟练掌握残数的计算方法（包括在无穷远点的残数）。
（3）了解应用残数定理计算实积分的方法（三种），并能计算简单的实积分。
（4）了解辐角原理及Rouche定理，并能利用这此结论判定解析函数零点位置。
2．教学内容
（1）*残数的定义。残数定理。
（2）*△残数的计算（含无穷点处的残数的计算）。
（3）*△关于三种类型实积分的计算。
（4）辐角原理，儒歇定理。
（5）解析函数零点位置的判定。
注：按全国自然科学名词审定委员会1993年颁布的数学名词，“残数”应为“留数”。
（七）保形变换
1．教学基本要求
（1）理解导数的模与辐角的几何意义，理解解析变换的特性——保域性与保角性。
（2）理解线性变换（也称为Mobius变换或分式线性变换）的特性。
（3）能求一些简单的单连通区域与单位圆或半平面之间的变换。
（4）了解黎曼映射定理，边界对应定理。
2．教学内容
（1）导数的几何意义。保形变换的概念。
（2）线性变换及其应用。
（3）某些初等函数所构成的保形变换。
（4）黎曼存在定理。边界对应定理。
（八）解析开拓（本章只作了解即可）
1．教学基本要求
（1）了解解析开拓的概念。
（2）了解解析开拓的幂级数方法，以及透弧直接解析开拓。
（3）了解对称原理和黎曼面的概念。
2．教学内容
（1）解析开拓的概念。
（2）幂级数开拓法；透弧直接解析开拓的定理。
（3）对称原理。
（4）黎曼面。
注：本课程面授教学为50学时，自学时数至少100学时。
五、教学方法的建议
1．在讲授复变函数论这门课程过程中，应注意与数学分析中的相应知识作比较，注意两者之间的异同。对于化为实的情形去处理的问题以及与实的情形类似的部分可以指导学生自己去完成学习。
2．讲授本课程时，注意尽可能用新观念与新方法处理老问题。
3．讲授本课程采用详细讲授与讲座讲授相结合的办法。如初等多值函数，整函数与亚纯函数，解析开拓等部分就宜采用讲座式讲授。
六、主要教材及参考书
1．主要教材：
《复变函数论》（第二版），钟玉泉编，高等教育出版社。
2．参考书：
（1）复变函数学习指导书，钟玉泉编，高等教育出版社。
（2）复变函数、积分变换李建林编，西北工业大学出版社。
（3）复变函数，李庆忠主编，科学出版社。
（4）复变函数论，张锦豪等编，高等教育出版社，施普林格出版社。
七、说明：
本大纲中“*”表示重点内容，“△”表示难点内容。
大纲撰写人：徐州师范大学数学系苏简兵（教授）
复变函数课程教学大纲
适用专业：专科数学各专业学时：36
先修课程：数学分析、高等代数制定日期：2002年9月
一、本课程的地位和作用
复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是数学分析的一门后继课程。本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标
通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求
（一）复数与复变函数
1．教学基本要求
（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；
（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。
（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
（4）了解复平面上点集的几个概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。
（6）了解引进扩充复平面的思想和方法。
2．教学内容
（1）*复数及其运算。复平面。
（2）*复数的模与辐角。
（3）△复数的乘幂与方根。
（4）*复数在几何中的应用。
（5）复平面上点集的几个概念。*区域，曲线，约当定理。
（6）*复变函数的概念，极限与连续性。
（7）扩充复平面与复球面。
（二）解析函数
1．教学基本要求
（1）要求学生深刻理解复解析函数的概念以及可导的定义，弄清这两概念之间的联系与区别。
（2）牢固掌握Cauchy-Riemann方程、复值函数可微与解析的等价刻画，以及充分条件和必要条件，并能利用这些结论判定函数的可微性与解析性。
（3）熟练掌握和运用解析函数的求导法则和求导公式。
（4）牢固掌握二类初等解析函数（即指数函数与三角函数）的定义、基本性质及其相互关系。
（5）介绍初等多值函数的概念以及它们的性质，了解其多值性。
2．教学内容
（1）复变函数的导数与微分。
（2）*△解析函数的概念与基本性质。
（3）*Cauchy-Riemann方程与Cauchy-Riemann条件。
（4）解析函数的求导公式与求导法则。
（5）*复变函数的可微性与解析性的等价刻画、充分条件与必要条件。
（6）初等解析函数：指数函数，三角函数。
（7）初等多值函数：根式函数，对数函数。
（三）复变函数的积分
1．教学基本要求
（1）掌握沿有向曲线上复变函数积分的概念与基本性质，计算方法以及复变函数积分与二元实变函数的第二型线积分的联系。
（2）解析函数的Cauchy积分定理是本章的核心。要求学生熟练掌握和运用Cauchy积分定理，柯西积分公式和高阶导数分式。
（3）理解解析函数在单连通区域内的不定积分的概念。
（4）掌握Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理以及用Loiuville定理证明代数学基本定理。
（5）了解调和函数的概念以及解析函数与调和函数的关系。
2．教学内容
（1）复变函数积分的定义及其基本性质与计算。
（2）*单连通区域内的Cauchy积分定理。
（3）△不定积分。
（4）多连通区域内的Cauchy积分定理。
（5）*Cauchy积分公式。*解析函数的无穷可微性定理。高阶导数公式。
（6）Cauchy不等式。Liourille定理。代数学基本定理的证明。Morera定理。
（7）调和函数的概念。解析函数与调和函数的关系。
（四）解析函数的级数表示法
1．教学基本要求
（1）理解复函数项级数的概念。
（2）掌握一致收敛性的判别法。
（3）掌握幂级数的基本性质（敛散性、解析性），会利用公式求简单幂级数的收敛半径。
（4）牢记常用初等解析函数的幂级数展开式，并能熟练运用。
（5）了解解析函数的零点孤立性定理，解析函数的唯一性定理。
（6）理解双边幂级数的概念。
（7）能求出较简单的解析函数的Laurent展式。
（8）掌握解析函数的三种类型奇点的定义、特征以及判别方法。
（9）了解解析函数在无穷远点的性质。
（10）了解整函数及亚纯函数的概念。
2．教学内容
（1）复数项级数的概念及其收敛性判别准则。
（2）复函数项级数的概念，收敛、一致收敛性的概念及其判断准则。
（3）幂级数的收敛状况，收敛圆、收敛半径以及幂级数和函数的解析性。
（4）解析函数在一点邻域内或区域内的泰勒展式。
（5）初等解析函数的泰勒展式。
（6）解析函数的零点孤立性定理、唯一性定理。
（7）双边幂级数的概念。
（8）解析函数的Laurent展式。
（9）解析函三种类型的孤立奇点（即可去奇点、极点、本性奇点）的定义、判别方法及其特征性质。
（10）整函数及亚纯函数的概念。
（五）残数理论及其应用
1．教学基本要求
（1）掌握残数的概念，深刻理解残数定理。
（2）熟练掌握残数的计算方法。
（3）了解应用残数定理计算实积分的方法（前两种）。
（4）了解辐角原理、Rouche定理。
2．教学内容
（1）*残数的定义。残数定理。
（2）*△残数的计算（含无穷点处的残数的计算）。
（3）前两种类型实积分的计算。
（4）辐角原理，儒歇定理。
注：按全国自然科学名词审定委员会1993年颁布的数学名词，“残数”应为“留数”。
（六）保形变换（本章仅供学员了解内容，不作其它要求）
1．教学基本要求
（1）了解导数的模与辐角的几何意义，理解解析变换的特性——保域性与保角性。
（2）了解线性变换（也称为Mobius变换或分式线性变换）的特性。
（3）了解黎曼映射定理，边界对应定理。
2．教学内容
（1）导数的几何意义。保形变换的概念。
（2）线性变换及其应用。
（3）某些初等函数所构成的保形变换。
（4）黎曼存在定理。边界对应定理。
注：本课程面授教学为36学时，自学时数至少72学时。
五、教学方法的建议
1．在讲授复变函数论这门课程过程中，应注意与数学分析中的相应知识作比较，注意两者之间的异同。对于化为实的情形去处理的问题以及与实的情形类似的部分可以指导学生自己去完成学习。
2．讲授本课程时，注意尽可能用新观念与新方法处理老问题。
3．讲授本课程采用详细讲授与讲座式讲授相结合的办法。如对只要求学业员了解的内容，如初等多值函数，整函数与亚纯函数，保形变换等部分，就宜采用讲座式讲授。
六、主要教材及参考书
1．主要教材：《复变函数》（师范专科学校试用教材），钟玉泉编，高等教育出版社。
2．参考书：
（1）复变函数学习指导书，钟玉泉编，高等教育出版社。
（2）复变函数、积分变换李建林编，西北工业大学出版社。
（3）复变函数，李庆忠主编，科学出版社。
（4）复变函数论，张锦豪等编，高等教育出版社，施普林格出版社。
七、说明：
本大纲中“*”表示重点内容，“△”表示难点内容。
大纲撰写人：徐州师范大学数学系苏简兵（教授）
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
《复变函数与积分变换》教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 FunctionsofVariables&Transformations 课程性质：专业基础课 学分：3 总学时：48学时，其中，理论学时：48学时，实验(上机)学时：0学时， 适用专业:通信工程、电子信息工程等专业 先修课程：高等数学 一、教学目的与要求： 复变函数与积分变换是工科院校中数学要求较高专业的一门基础理论课程。复变函数以及与它密切相关的积分变换，它的理论和方法不仅在数学的其他的许多分支中，而且在其他自然科学和工程技术如电力工程、自动控制、信号分析和图像处理、材料成型等领域内获得广泛的应用，已成为不可缺少的运算工具。 通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，傅立叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用这些知识解决实际问题的能力，为后继专业课程的学习提供必要的数学工具。
第一章复数与复变函数（8学时） 第一节复数的概念与运算 一、复数的概念、表示法和运算 二、区域 第二节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限和连续 本章重点：复数的表示法、方根运算公式 本章难点：复变函数的极限与连续性 本章教学要求：掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。 第二章解析函数（5学时） 第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数和解析的概念 二、复变函数解析的充要条件 三、解析函数的基本性质 第二节初等函数的解析性 一、指数函数、三角函数、对数函数 本章重点：复变函数解析的充要条件 本章难点：复变函数解析的充要条件 本章教学要求：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。 第三章复变函数的积分（6学时） 第一节复变函数的积分 一、复变函数的积分的定义与性质 第二节柯西定理与柯西公式 一、柯西积分定理、柯西积分公式 二、解析函数的高阶导数公式 本章重点：会求复变函数的积分，理解柯西积分定理 本章难点：掌握柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式 本章教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。 第四章级数（5学时） 第一节复级数的基本概念 一、复级数的一般概念
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换代码01121210 课程类型: 公共必修课学分：3 总学时：48 理论学时：48 先修课程：无适用专业:理工科各专业 一、课程性质、目的和任务 复变函数与积分变换是工科相关专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，重点掌握解析函数、柯西定理与柯西积分公式、留数、共性映射等内容，以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法，为有关后续课程的学习奠定必要的数学基础。 本课程的理论与方法在自然科学和工程技术中都有广泛的应用，它是研究微分方程、积分方程、数学物理方程等数学分支的必要工具，更是学习工程力学、振动力学、电工学、电磁学、热学、自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课程必要的理论基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。 二、教学基本要求 通过本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识，切实掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，并具有比较熟练的运算能力和分析解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，进而为学习后继课程及工程实际应用奠定良好的基础。 本课程分为九章，其中前七章为复变函数的内容，后两章为积分变换的内容。其中第七章解析函数在平面场的应用作为选讲内容。 第一个层面是考试中对各知识点的要求由低到高分为三个认知层次，其中对概念与理论用“理解”、“知道”和“了解”表述，对方法和运用由“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。 第二个层面是考试中对各部分内容的掌握程度按由低到高依次为：“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”四个能力层次确定其考核要求，它们之间是递进等级的关系，后者必须建立在前者的基础上。其含义是： 识记——要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、定理、公式、法则、重要结论、方法、步骤等），并能根据考核的不同要求，做出正确的表达、选择和判断。 领会——要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核要求，给出正确的解释、说明和论述。 简单应用——要求考生能够运用本大纲中规定的少量知识点，分析和解决一般应用问题，如简单的计算、证明和分析等。 综合应用——要求考生能够运用本大纲中规定的多个知识点经过分析、计算或推导，解决稍复杂的问题. 三、教学内容及要求 第一章复数与复变函数 （一）本章知识点 §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 《复变函数与积分变换》教学大纲 英文课程名称：Functions of Complex Variable and Integral Transformation 课程代码： 课程类别：专业基础课 学时：51 学分：3 开设学期：4 适应专业：自动化、电科、电类本科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 开课单位：数学科学学院 一、课程简介 复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。 二、教学基本要求与内容安排 （一）教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质、方法，为学习后续课程和扩大数学知识面打下必要的数学基础。（二）教学内容安排 （教学要求：A—熟练掌握；B—理解或掌握；C—了解或会） 三、习题课和课堂讨论内容 各章结束根据内容安排1节或2节习题课，包括知识、方法总结、典型例题等。 四、实验（实践）内容 无 五、考核方式 考核方式为笔试；平时成绩占50%，期末成绩占50%；平时成绩评定包含出勤、课堂表现、作业、讨论、期中考核等方面。 六、推荐教材和主要参考书 教材：王忠仁等. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2006. 参考书：[1]刘建亚. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2005. [2]华中科技大学. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社, 2008. 制订人（签字）：张梅审核人（签字）：杨慧卿日期：2012年 12月 复变函数教学大纲 一、课程概述： 复变函数是数学专业一门主要的专业必修课。复变函数是数学的一门重要分支。复变函数是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学科研及其他实际工作打好基础。本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数及其性质，复变函数的积分及其性质，柯西积分定理及柯西积分公式，复变函数展开为泰勒级数、洛朗级数，孤立奇点的分类（包括无穷远点），留数在求积分中的应用，共形映射的概念及性质等. 二、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。 三、学时分配表 四、教学基本内容： 第一章、复数与复变函数（8学时） 教学要求： 掌握复数及运算规律, 掌握复数与平面点、平面向量的对应关系。掌握复数的几何表示及运算性质；掌握模，辅角的概念及性质；掌握复数的几种表示形式及相互之间的运算关系。理解复数的乘积及商、幂、根的求法，了解区域的概念。理解复变函数及复变函数的极限和连续性。 掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念，了解区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点、复平面及扩充复平面的概念。 难点是辐角的概念及复球面与无穷远点的要领。 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：复变函数与积分变换课程类别：必修课 课程英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transform 总学时/周学时/学分：56/4/3其中实验（实训、讨论等）学时：4 先修课程：高等数学 授课时间：1-18周周一1-2，1-8周周三3-4节授课地点：6F302 授课对象：2016通信工程1-6班 开课院（系）：计算机学院高等数学课程群 任课（/助课）教师姓名/职称：刘学杰/讲师编写人姓名/职称：刘学杰/讲师 使用教材：《复变函数与积分变换》，苏变萍、陈东立，北京：高等教育出版社，2010。 教学参考资料： 1、《复变函数与积分变换》，马柏林、李丹衡、宴华辉，上海：复旦大学出版社，2007。 2、《复变函数与积分变换》，刘西民，上海：上海交通大学出版社，2010。 课程期末考核方式：开卷（）闭卷（√）课程论文（）实操（） 联系电话：1592022386/64613Email:bgliouxj@https://www.doczj.com/doc/994900252.html, 答疑时间、地点与方式：1.每次上课的课前、课间和课后，采用一对一的问答方式；2.每次发放作业时，课前采用集中讲解方式；3.课程结束后和教学前安排集中答疑。 编写时间：2017年9月28-9月5日 二、课程简介 本课程属于电子、电气、自动化及光信息的基础必修课，其目的是为培养相关专业学生的计算能力和理性思考能力。由于针对的是非数学专业的学生，因此在兼顾理论的同时，以实际应用为主。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的一些基本概念、基本理论与基本方法；能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生掌握Fourier变换、Laplace变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打好基础。培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，为学习相关后续专业课程奠定必要的数学基础，并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础。 三、课程教学目标（精炼概括3-5条目标，本课程教学目标须与授课对象的专 业培养目标有一定的对应关系） 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 1．知识与技能目标：通过本课程的学习，使学生掌握常用的计算法则，了解该课程的后续应用。学生在学习完本课程后，至少应掌握下述技能：(1)解析函数的构造及其幂级数表示；（2）Fourier变换的性质及其应用；（3）Laplace变换及其应用；（4）离散Fourier变换、快速Fourier变换及其应用；（5）z变换及其应用。应理解复变函数的解析性、多元函数的调和性与基本的复变函数，了解函数的奇点与留数定理。 2．过程与方法目标：通过本课程的学习，使学生的基本运算能力、分析问题的能力与 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 教学大纲 课程：复变函数与积分变换 适用专业：理工科专业(四年制本科) 编者：李贤 审核人： 教研室：高等数学教研室 院系：教育学院 制订时间：2010年7月 修订时间：年月 教育学院高等数学教研室制 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms 课程编号： 课程所属单位：教育学院高等数学教研室 课程面向专业：理工科各专业（四年制本科） 课程类型：必修课 总学时：64学时学分： 4学分 编写修订人及单位：李贤教育学院高等数学教研室 修订时间：2010年7月 说明部分 一、大纲的使用说明： 本大纲主要根据我校理工类本科专业复变函数与积分变换内容要求组织形成，并适度参照全国各个院校所用复变函数与积分变换教材。体系结构与多数常用教材相吻合，易于选择相应教材进行课堂教学，教学过程可根据各专业的具体要求进行适当删节。 二、课程简介： 复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。 三、课程性质 开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，同时，它也是理工类专业的一门理论性和应用性较强的基础理论课。 四、课程教学目的与基本要求 在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，了解复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的傅立叶变换与拉普拉斯变换等，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力，. 五、教学方法要求 课程教法： 1．本课程以课堂讲授为主，适当利用多媒体教学手段，采用启发式，结合实际灵活施教。 2．适当补充后续课程所必需的初等数学基础知识，在此基础上，高等数学教学内容以学科专业必备的数学基础为主，着重基本内容的讲解，采用由简到难、精讲多练的方法，加强典型习题的练习，提高学生动手能力，重视学生良好的学习方法和学习习惯的培养。 4．授课教师应推荐相应的参考书目，补充适当的课外读物。 5．每次课后留作业，作业批改1/3，按时辅导答疑; 每章至少上一次习题课。 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。 复变函数教学大纲 Prepared on 24 November 2020 复变函数教学大纲 课程名称：复变函数课程编码： 英文名称：Complex Analysis 学时：48 学分：3 适用专业：信息与计算科学课程类别：任选 课程性质：学科基础课 先修课程：数学分析高等代数空间解析几何 教材：复变函数论（钟玉泉第三版高等教育出版社） 一、课程性质与任务 复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。 二、课程教学的基本要求 复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。 本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。 教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。 三、课程内容及教学要求 第一章复数与复变函数 教学基本内容： 1.复数发展史略； 2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算，复数的代数式，复数的模与辐角，共轭复数； 3.复平面与复球面：复平面，复数的向量式、三角式与指数式，复数的乘幂与n次方根，无穷远点与复球面； 4.复数的应用举例；复变函数试题与答案
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
复变函数测试题及答案
复变函数与积分变换教学大纲
复变函数教学大纲
第一章复变函数习题及解答
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
复变函数及积分变换试题及答案
《复变函数与积分变换教学大纲》
复变函数试题及答案
复变函数与积分变换试题及答案(2)
复变函数教学大纲
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