证明不等式的八种方法

利用导数证明不等式的八种方法

构造函数法---1研究其单调性

2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.18

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

一、移项法构造函数

【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有

x x x ≤+≤+-)1ln(1

11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

11

1)1ln()(-++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数

当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，

即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，

故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，

∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011

1)1ln(≥-++

+x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11

1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），

那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明

【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2)(x x g =的图象的下方；

分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即

3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有323

2ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到06

1)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。

【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则x x x x F 12)(2

--='=x x x x )12)(1(2++- 当1>x 时，)(x F '=x

x x x )12)(1(2++- 从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=

>F x F ∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，

故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2)(x x g =的图象的下方。 【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），

并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可

以设)()()(x g x f x F -=做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(

n

n n ->+ 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2

3++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

【解】令)1ln()(23++-=x x x x h ， 则1)1(31123)(2

32

+-+=++-='x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正， 所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h

即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+

对任意正整数n ，取3211)11ln(),0(1n

n n n x ->++∞∈=，则有 【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝

()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求

证：．a )(a f >b )(b f

【解】由已知 x )(x f '+)(x f >0 ∴构造函数 )()(x xf x F =，

则=)('x F x )(x f '+)(x f >0， 从而)(x F 在R 上为增函数。

b a > ∴)()(b F a F > 即 a )(a f >b )(b f

【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，

求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'，要想到

是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

5、主元法构造函数

例．（全国）已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln(

)(=-+= (1) 求函数)(x f 的最大值；

(2) 设b a <<0,证明 ：2ln )()2

(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<. 分析：对于（II ）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：

证明：对x x x g ln )(=求导,则1ln )('+=x x g . 在)2

(2)()(b a g b g a g +-+中以b 为主变元构造函数, 设)2(

2)()()(x a g x g a g x F +-+=,则2ln ln )]2([2)()('''x a x x a g x g x F +-=+-=. 当a x <<0时，0)('

当a x >时,0)('>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数.

从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .

因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ,即.0)2

(2)()(>+-+b a g b g a g

又设2ln )()()(a x x F x G --=.则)ln(ln 2ln 2

ln ln )('x a x x a x x G +-=-+-=. 当0>x 时,0)('

因为,,0)(a b a G >=所以0)(

2)()(a b b a g b g a g -<+-+. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数21()2

x f x ae x =- (1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;

(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x

解：(1)f ′(x)＝ ae x －ｘ，

∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，

即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立

记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e -x ，

当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．

知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,

∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a ≥1/e,

即a 的取值范围是[1/e, + ∞)

(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =)0(1212>---

x x x e x 则F ′(x)=e x -1-x,

令h(x)= F ′(x)=e x -1-x,则h ′(x)=e x -1

当x>0时, h ′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,

又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0

即F ′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,

∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x ．

小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当211

1)1(,0x

x e x x ++<+>时

8.构造形似函数

例：证明当a b b a e a b >>>证明,

例：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：m n n m )1()1(+>+

【思维挑战】

1、（2007年，安徽卷） 设x a x x x f a ln 2ln 1)(,02

+--=≥

求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x ， 2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数

,ln 3)(,22

1)(22b x a x g ax x x f +=+=其中a >0，且a a a b ln 32522-=， 求证：)()(x g x f ≥

3、已知函数x

x x x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ，

恒有.1ln ln a

b b a -≥- 4、（2007年，陕西卷）)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a < b ，则必有 （ ）

（A ）af (b )≤bf (a )

（B ）bf (a )≤af (b ) （C ）af (a )≤f (b )

（D ）bf (b )≤f (a ) 【答案咨询】

1、提示：x a x x x f 2ln 21)(+-='，当1>x ，0≥a 时，不难证明1ln 2

x ∴0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调递增，故当1>x 时，

0)1()(=>f x f ，∴当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x

2、提示：设b x a ax x x f x g x F --+=-=ln 3221)()()(22则x

a a x x F 232)(-+=' =x

a x a x )3)((+- )0(>x 0>a ，∴ 当a x =时，0)(='x F ， 故)(x F 在),0(a 上为减函数，在),(+∞a 上为增函数，于是函数)(x F 在),0(+∞上的最小

值是0)()()(=-=a g a f a F ，故当0>x 时，有0)()(≥-x g x f ，即)()(x g x f ≥

3、提示：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，2

2)1()1(111)(x x x x x f +=+-+=' ∴当01<<-x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为减函数

当0>x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为增函数

因此在)(,0x f x 时=取得极小值0)0(=f ，而且是最小值 于是x x x f x f +≥

+=≥1)1ln(,0)0()(从而，即x

x +-≥+111)1ln( 令a b x b a x -=+->=+1111,01则 于是a

b b a -≥1ln 因此a b b a -≥-1ln ln 4、提示：x x f x F )()(=，0)()()(2

'≤-='x x f x xf x F ，故x x f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数，由b a < 有b b f a a f )()(≥⇒ af (b )≤bf (a ) 故选（A ）

不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛 的应用。证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。 1.数学归纳法 数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。当不等式对于一些特定 的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立； （2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中 Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式； （3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明 Pk(k+1)； （4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知， 当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。 2.数学推理 数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的 数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。例如，可以利用已 知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得 出需要证明的不等式。 3.代入法 代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。例如，

对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对 不等式进行推导和比较，得出结论。 4.反证法 反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等 式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式 成立。具体步骤如下： （1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个 条件可以是一个数、一个式子等； （2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论； （3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式 成立。 5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式） AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。它断言，若a1， a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。通过这个不等式，我们可以证明很多其他不等式。具体的证明方法是： （1）将n个非负实数的乘积开方，即√(a1*a2*...*an)； （2）寻找一个具有n个元素的数列x，使得其算术平均数和几何平 均数相等，即(a1+a2+...+an)/n = x； （3）通过计算，证明√(a1*a2*...*an) ≤ x，从而得出不等式成立。

证明不等式的常用技巧

证明不等式的常用技巧 证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。 1不等式证明方法 比较法 ①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； ②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 构造法 通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。 2基本不等式 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。 一、常用基本不等式 我们先来看几种平均数：

证明不等式的13种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知,,0a b c ≥，且 1a b c ++=，求证： () 222 29 1.a b c abc +++≥ 证明：不妨设a b c ≤≤，则1 03 a ≤≤ ，从而有940a -<，于是 () 222 29a b c abc +++ ()222 2 2 2 2 2 2 22()(94)22(1)(94) 2122(1)(94) 2131 1. 4 a b c bc a b c a a a a a a a a a =+++-+?? ≥+-+- ??? -?? =+-+- ??? =+-≥ 2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设,,a b c R + ∈，试证： 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 证明： 令a b α=+，,b c c a βγ=+=+，则0,αβγ++=于是

()()()()2222 2 2 2 2 2 42()22(), a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b c a b b c c a a b c αβγαβγαβγ??++ ?+++?? ++++++= + + +++=+++++++ + +++≥++ 所以 2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++. 说明：本题可以加强为：设,,a b c R + ∈，试证： () 2222 ()22a b c a b c a c a b b c c a a b c ++-++≥++++++. 3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3 设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2 2 22 2 2 2 22 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 证明：不妨设x y z ≥≥，则22y x ≤222,z yz y z yz ≤≤，于是 2 2 2 2 2 2 22x y y z z x x y z +++ 22222 2 22(), x y x z x yz x yz x y z ≤+++=+ （这里转化为齐次了！） 而 1 ()24 x y z x y z ++??+≤= ???， 故有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.16 x y y z z x x y z +++≤ 等号在1 ,02 x y z == =时取得. 4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 35 ≤.

证明不等式的八种方法

利用导数证明不等式的八种方法 构造函数法---1研究其单调性 2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.18 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明

不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。 一. 比较法 例1 求证：2 23x +>x . 证明：因为()2 22 155232320222x x x x x ??+-=-+=-+≥> ??? 所以 2 23x +>x . 证明例1的方法称为作差比较法。用差与“0”比较大小。 例2 已知a >b>c>0,求证：() 3 a b c a b c a b c abc ++>。 证明：因为 () 2223 3 3 3 a b c b a c c a b a b c a b c a b c a b c abc ------++= 33 33 33 a b a c b a b c c a c b a b c ------+++= 3 3 3 a b a c b c a a b b c c ---?? ????= ? ? ??? ?? ?? 且a >b>0, 所以a -b>0, 1a b >，故3 1a b a b -??> ??? 。 同理可证 3 1a c a c -??> ???，3 1b c b c -??> ? ?? 。 所以 3 3 3 1a b a c b c a a b b c c ---??????> ? ? ??? ???? ，从而()3a b c a b c a b c a b c ++ >。 证明例2的方法称为求商比较法。用商与“1”比较大小。 二．反证法 例3 是无理数。 = q p ，p ≠0,且p,q 互素，则 所以， 222p q = ① 故2 q 是偶数，q 也必是偶数。

不等式证明常用方法

不等式证明常用方法 不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法 例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+. 证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+. 评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论. 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用. 二、作商法 例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥. 证明：首先，由条件0>b a b a ,0>a b b a ， 其次， b a a b b a b a b a b a -=)(， ⑴当0>≥b a 时， 1≥b a ，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a . ⑵当0>>a b 时，10<-b a b a . 综合⑴、⑵：1)(≥-b a b a ，∴a b b a b a b a ≥. 评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论. 2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。作商法常用于证幂、指数形式的不等式。 三、综合法 例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证： c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,c ab 也均是正实数. ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a +≥+≥+≥

不等式的八种证明方法及一题多证

不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 1A B >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 1A B <。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++

解析：用作差比较法 ∵ ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-= ++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2 a b a b a b ab +> 解析：用作商比较法 ∵ () 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b b ab -++--- - -+??=== ??? 又∵a>b>0,() 2 2 1,01 2a b a b a b a a b a b b a b ab -+-??∴>>∴> ? ?? ∴> 例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。 解析：法1：用作差比较法 [][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x x x a a +--=11l o g )1(l o g 2 ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-< x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 法2：用作商比较法 2 111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x --=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证

构造函数法证明不等式的八种方法

导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 【解】1 111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左面，令11 1)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方； 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--= ， 则x x x x F 12)(2 --='=x x x x )12)(1(2++- 当1>x 时，)(x F '=x x x x )12)(1(2++- 从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴06 1)1()(>=>F x F

初中数学不等式证明方法总结

初中数学不等式证明方法总结 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。 初中数学不等式证明方法总结1 知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(÷或×1个负数的时候要变号)。 不等式的证明 1、比较法 包括比差和比商两种方法。 2、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。 3、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。 4、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。 5、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 6、反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件

或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

证明不等式的方法

证明不等式的方法 1.比较法。在证明不等式的方法中，比较法是最基本、最重要的方法。比较法是利用不 等式两边的差是正还是负来证明不等关系的。利用不等式的性质对不等式进行变形，变形目 的在于判断差的符号，而不考虑值是多少。 2.综合法。综合法是由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，即由已知逐步推 演不等式成立的必要条件得到结论。综合法是“由因导果”。 3.分析法。分析法也是证明不等式的一种常用的基本方法，当证题不知从何入手时，有 时可以用分析法获得解决。分析法是和综合法对立统一的两种方法，它是由结果步步寻求不 等式成立的充分条件，找寻已知，是“执果索因”。 分析法和综合法常常是不能分离的，如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析 法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程。 4.作商法。将不等式左右两端作商、变形化简商式到最简形式，判断商与1的大小，应 用范围一般是被证式的两端都是正数，被证式子两端都是乘积形式或指数形式时常用此法。 5.判别式法，对于含有两个或两个以上字母的不等式，在使用比较法无效时，若能整理 成一边为零，而另一边为某个字母的二次式时，这时候可用判别式法。 6.代换法。代换法中常用的有两种：一种是三角代换法，一种是增量代换法。三角代换 法多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时候 可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。此法可以把复杂的代数问题转化为三角 问题。要注意的是可能对引入的角有一定的限制，这一点要根据已知来定。增量代换法一般 是在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量法进行 代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。 7.构造函数法。函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中某 些变化的量建立起联系，构造出函数，再利用函数的性质，就能解决问题。 8.反证法。用直接法证明不等式困难时，可考虑用反证法。用反证法证明不等式，其实 质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立。 9.放缩法。放缩法是根据不等式两端的特点及已知条件，采取舍掉式中一些正项和负项，或者是在分式中放大或缩小分子、分母，还或者把式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的。 以上证明不等式的方法，它们之间不是互相割裂的，而是互相联系的，因此要注意灵活 运用这些方法，不断地积累经验和技巧，使问题证得有声有色。1150

不等式的证明方法

不等式的证明方法 引言 不等式是变量之间很重要的一种联系，证明不等式的方法，人们作了不少探索，不少文章和专著作了这方面的汇聚和总结工作。本文的编写目的是归纳、总结《高等数学》中证明不等式的常用方法，帮助初学者掌握有关的证明方法和技巧。 证明不等式常用的方法有：比较法(差值比较与正数的商值比较)；分析法；综合法；变量替换法；判别式法；反正法；微积法；数学归纳法。 本文着重讲解数学归纳法和微积法，在证明过程中也穿插着用变量替换法（或引入参数法），判别式法。 证明中常用到的不等式如下： 1°a 2+b 2≥2ab ，a,b ∈R 2°1/a+1/b ≥4/(a+b), a 、b>0、a ≠b 3°a 3+ b 3+ c 3≥3abc, a 、b 、c ∈R + 4°b/a+a/b ≥2、a 、b 同号 5°(a 1+a 2+…a n )/n a 1,a 2,…,a n ∈R + 6°(a 1+a 2+…+a n ) (1/ a 1+1/a 2+…+1/a n ) ≥n 2 a 1,a 2,…,a n ∈R + 7° 贝努力不等式：(1+x 1)(1+x 2)……(1+x n )≥1+ x 1+ x 2+…… + x n 其中x 1 x 2…… x n 为同号且大于-1的数。 8°当 n>1时 n!<1( )2 n n + 9°柯西不等式:设a k 和b k 均为任意实数(k=1,2……n),则 (1n k k k a b =∑)2 ≤(2 1 n k k a =∑)(21 n k k b =∑)

10°琴生不等式:设P 1,P 2…P n 是一组正实数,而且P 1+…+P n =1,则对于区间(a,b)上任意一个满足条件函数()0f x ''≥的函数f(x),恒有不等式 1 1 ()()n n k k k k k k f p x p f x ==≤∑∑其中x 1,x 2…x n ∈(a,b),特别地,P 1=P 2=…=P n =1/n 时, 则有不等式f((x 1+x 2+…+x n )/n) ≤1n [f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n )] 一.利用数学归纳法 该发适用于证明对任何自然数n 都成立的不等式。 例1、证明贝努力不等式 (1+x 1)(1+x 2)……(1+x n ) ≥1+x 2+x 3+…… +x n 其中x 1,x 2,……,x n 是符号相同且大于-1的数。 证明：1°(1+x 1)(1+x 2)=1+x 1+x 2+x 1x 2≥1+x 1+x 2 ∵x 1x 2≥0，可知n=2时命题成立 2°设n=k 时，命题成立，即(1+x 1)(1+x 2)…(1+x k )≥1+x 1+x 2+…+x k ∵x 1，x 2。。。x k+1 同号，且为大于-1的数 ∴(x 1+x 2+…+x k )*x k+1≥0 因之(1+x 1)(1+x 2)…(1+x k )(1+x k+1)≥(1+x 1+x 2+…+x k )(1+x k+1) =(1+x 1+x 2+…+ x k + x k+1)+(x 1+x 2+…+x k )*x k+1≥1+x 1+x 2+…+x k +x k+1 这说明n=k+1时，命题也成立。 由1°2°可知命题对一切n 成立。 例2、证明不等式n!＜1( )2n n +1()2 n n +,n ＞1 提示：利用不等式11 21( )(1)211 n n n n n +++=+>++(n=1，2……) 证明：1°显然2！＜2 21()2 + 于是n=2 是命题成立。 2°设n=k 时，命题成立，即

构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法 下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法： 1.特殊赋值法： 这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即 f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^2 2.梯度法： 这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。 例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当 x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^2 3.极值法： 这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。例 如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^2 4.差的平方法： 这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。例如对于 不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^2 5.相似形式法： 这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4

- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^2 6.中值定理法： 这种方法通过应用中值定理来证明不等式。例如对于不等式 f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。 7.逼近法： 这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。 8.极限法： 这种方法通过计算极限来证明不等式。例如对于不等式a > b，可以构造一个极限函数f(x) = lim(n→∞)(a+x/n)^n - (b+x/n)^n，当n趋 近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x/n)^n - (b+x/n)^n = ∞，从而得到 a > b。 通过上述八种方法，可以构造出满足特定条件的函数，从而证明不等式的成立。根据不同的问题，可以选择适合的方法来进行证明。构造函数证明是数学证明中常用的一种方法，它可以帮助我们更好地理解和应用不等式。

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数， 并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。下面就列举八种常用的 构造函数法证明不等式的方法。 1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然 后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x， 然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证 明不等式的成立。 5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证 明不等式的成立。 6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明 不等式的成立。 7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造 f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等 式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。 以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。

初中数学不等式证明方法总结

初中数学不等式证明方法总结 初中数学不等式证明方法总结 通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。 初中数学不等式证明方法总结1 知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。(÷或×1个负数的时候要变号)。 不等式的证明 1、比较法 包括比差和比商两种方法。 2、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。 3、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。 4、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放

缩法。 5、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 6、反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。 知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9 )1 1)(11(≥++y x 。 6、已知.9 111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ + =+∈+ b a b a R b a 求证： 三、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知a 、b 、c 为正数，求证： )3(3)2( 23 abc c b a ab b a -++≤-+ 8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ，求证3≤ ++c b a 。 四、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、 1

不等式的证明方法

第二节 不等式的证明方法 [考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 1．基本不等式 定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. (4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 2 1＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在 一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法： ①比差法的依据是：a －b >0⇔a >b ，步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号． ②比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证A B ≥1.

不等式的证明方法经典例题

不等式的证明方法经典例题 第一篇：不等式的证明方法经典例题 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 a2+b2a+b注意a+b≥2ab的变式应用。常用(其中a,b∈R+)来解决有≥2222关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c均为正数，求证： 111111++≥++ 2a2b2ca+bb+cc+a 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求证： 4a2+b2+c2≥4413 3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：a+b+c>abc(a+b+c) 4、知a,b,c∈R，求证: a2+b+2b2+c+2c2+a≥2(a+b+c) 211(1+)(1+)≥9xy5、x、y∈(0,+∞)且x+y=1，证：。 6、已知a,b∈R,a+b=1求证： 1++⎛⎝1⎫⎛1⎫1⎪1+⎪≥.a⎭⎝b⎭9 三、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知a、b、c为正数，求证： 2(a+ba+b+c3-ab)≤3(-abc)23

8、a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1，求证a+b+c≤3。 四、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、b<1，求证：ab+(1-a2)(1-b2)≤1。 22x+y=1，求证：-2≤x+y≤210、114+≥.a-bb-ca-c1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3． 211、已知a>b>c,求证： 13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10． 14、解不等式5-x-221x+1＞ 2215、－1≤1-x－x≤2． 五、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16、已知a，b∈R，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥ 六、利用“1”的代换型 2225．2111已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：++≥9.abc17、七、反证法 反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法33119、已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不能均大于4。 20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于 1。 421、a、b、c∈R，a+b+c>0，ab+bc+ca>0，a⋅b⋅c>0，求证：a、b、c均为正数。